TESTETESTEINDEXAÇÃ0 1726510931935 Transformação matriz pdf

E-Book - Apostila 1. O que é uma função? Uma função é um dispositivo matemático que gera um procedimento de associação (relação) entre variáveis, formando dependência entre as mesmas. 2. O que é uma transformação? Uma transformação corresponde ao processo de associação entre elementos, análogo à uma função, porém, adotando o uso de vetores para a formação das combinações entre estes elementos. 3. O que é um operador identidade? O operador identidade relaciona um vetor consigo mesmo, ao ser multiplicado por uma matriz identidade, que é quadrada e de ordem n. 4. O que é o vetor nulo? Um vetor nulo apresenta todas as suas coordenadas (na forma algébrica ou matricial) iguais a zero, de modo que a transformação operada sobre este vetor também gera vetores nulos. 7 - 7 E-Book - Apostila OBJETIVO Definir transformação matricial. Palavras-chave: Matriz; espaço; dimensão; função; transformação. Funções e transformações Prezado estudante, receba as boas-vindas a esta aula, na qual você poderá dar início a uma série de reflexões a respeito dos processos de transformação linear que são comuns às operações com matrizes e funções: na verdade, busca-se complementar o seu conhecimento a respeito das características das matrizes, ‘operando-as’ a partir de procedimentos de cálculo que permitem desenvolver relações algébricas e geométricas entre vetores de diferentes dimensões. Ou seja, a partir do momento em que se concebe a existência de vetores, é possível descrevê-los matricialmente e relacioná-los com outros vetores dentro de um mesmo espaço, desenvolvendo coordenadas e posições que geram funções e transformações. Vale dizer que o estudo destes processos de transformação matricial é particularmente relevante para o segmento de Computação Gráfica e para os sistemas de engenharia, que envolvem o estudo de ondas acústicas e de filtragem de ruídos eletromagnéticos (ANTON; BUSBY, 2006, p.265). Como um ponto de partida desta discussão, é importante resgatar alguns conceitos básicos a respeito das funções. Certamente, você terá aprendido anteriormente que, se ocorre uma variável Y qualquer que dependa de uma variável X, de modo que um valor x determina exatamente um valor y, então, sabe-se que Y é uma função de X; por exemplo, se um número x é real, então, ocorre apenas um número real y que satisfaz a equação y = x². Uma função, portanto, corresponde a um operador de relações. Isto é, um ‘sistema’ no qual ocorre uma ‘entrada’ de um valor x e uma ‘saída’ de um valor y; este operador poderá ser definido como f, que gera valores reais, vetores, matrizes, etc. (IEZZI et al, 2019, p.21). Uma função que opera vetores é comumente definida como uma transformação, com notação em letras maiúsculas como F ou T, por exemplo. Neste caso, uma transformação pode operar um vetor x em um vetor w, de modo que temos a equação w = T(x), ou ainda: x →^T w 2 - 7 E-Book - Apostila Por exemplo, considere a existência de uma transformação T que opera o vetor x = (x1, x2) no vetor 3x = (3x1, 3x2) em um espaço R². Neste caso, é possível expressar esta transformação como T(x) = 3x, ou como x→^T 3x, ou ainda, como T(x1, x2) = (3x1, 3x2) ou \( \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} →^T \begin{pmatrix} 3x_1 \\ 3x_2 \end{pmatrix} \). Neste caso, se ocorre o vetor x = (-2,6), então a transformação T(x) = 3x = (-6,18) poderá ser expressa como \( \begin{pmatrix} -2 \\\ 6 \end{pmatrix} →^T \begin{pmatrix} -6 \\\ 18 \end{pmatrix} \). Da mesma forma, se ocorre uma transformação T que converte um vetor x (x1, x2, x3) em um espaço R³ em um vetor R³ cujos componentes correspondem ao valor das coordenadas ao cubo do vetor x, tem-se: T(x1, x2, x3) = (x1², x2², x3²) Agora, vamos considerar uma transformação que envolve matrizes. Neste caso, suponha a existência da matriz A, que se segue (ANTON; BUSBY, 2006, p.265): A = \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -10 \\ 3 & 8 \end{pmatrix} \] Na sequência, suponha a existência de uma transformação TA que opera esta transformação de uma matriz 3x2 (isto é, com três linhas e duas colunas) por meio de uma matriz 2x1, que exibe os seguintes valores correspondentes a coordenadas de um vetor: x = \[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \] Neste caso, o produto entre matrizes irá gerar uma matriz 3x1 em R³ que corresponde à operação Ax, isto é, uma transformação TA(x) = Ax, da seguinte forma: x →^T Ax = \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -10 \\ 3 & 8 \end{pmatrix} \] * \[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \] = \[ \begin{pmatrix} 1x_1 - 2x_2 \\ 2x_1 - 10x_2 \\ 3x_1 + 8x_2 \end{pmatrix} \] Ou seja, uma transformação T pode operar pontos ou vetores de um espaço com dimensão Rn, que são associados a outros pontos ou vetores em um espaço com dimensão Rm, correspondendo assim à equação T: Rn→Rm (SANTANA; QUEIRÓ, 2010, p.68). Figura 1 - Relações de domínio e imagem em uma função 3 - 7 E-Book - Apostila Para seguir aprimorando o seu conhecimento acerca das transformações matriciais e dos seus métodos de cálculo, você poderá consultar o site ‘Álgebra Linear e Aplicações, de autoria da Profa. Márcia Ruggiero e de Alfredo Vitorino (Unicamp), especificamente observando a página denominada ‘Sistemas Lineares’. Nesta página, você poderá recuperar conceitos e temáticas relativas às funções e sua representação matricial, por meio de exemplos que consolidam as referências que serão discutidas ao longo desta Unidade. Acesse:https://www.ime.unicamp.br/~marcia/AlgebraLinear/sistemas_lineares.html FINALIZANDO Prezado estudante, neste momento você pôde observar aspectos que ressaltam as representações matriciais de um vetor, a fim de desenvolver estas representações em processos conhecidos como transformações matriciais. Deste modo, foi possível perceber que estas matrizes podem apresentar formas de relacionamento em espaços de diferentes dimensões. Estas relações são operadas por meio das transformações matriciais, que são realizadas em espaços vetoriais de maneira semelhante à operacionalização das funções. REFERÊNCIAS HOWARD, Anton; BUSBY, Roberto. Álgebra linear contemporânea. Tradução Claus Ivo Doering. Porto Alegre: Bookman, 2006. SANTOS, Ana Moura. Transformações matriciais. Disponível no canal IEEEAcedemicPortugal. 8. Jun. 2014. Disponível em https://www.youtube.com/watch?v=f_dLhQ-HEYs. Acesso em 31. Dez. 2022. IEZZI, Gelson et al. Matemática – Volume Único. 6. Ed. São Paulo: Atual, 2019. RUGGIERO, Márcia Aparecida Gomes; VITORINO, Alfredo. Sistemas Lineares. Disponível em: https://www.ime.unicamp.br/~marcia/AlgebraLinear/sistemas_lineares.html. Acesso em 31. Dez. 2022. SANTANA, Ana Paula; QUEIRÓ, João Filipe. Introdução à Álgebra Linear. Lisboa: Gradiva, 2010. DÚVIDAS FREQUENTES E-Book - Apostila O exemplo que destaca a transformação Ax é um caso específico que destaca um conjunto de operações conhecidas como transformações matriciais, as quais serão melhor destacas no próximo tópico. Transformações matriciais Ao considerar o caso anteriormente mencionado de uma matriz A, de dimensões m x n, e se existir um vetor x que forma uma matriz coluna de dimensão Rn, logo, o produto Ax corresponde a um vetor incluso em um espaço de dimensão Rm. Desse modo, ao realizar a multiplicação de x por A, desenvolve-se uma transformação que ‘opera’ ou transfere os vetores de Rn para o espaço Rm (a imagem da transformação), da seguinte forma: TA: Rn→Rm No exemplo destacado, tem-se, portanto, a transformação TA(x) = Ax. Contudo, se houver uma situação em que a matriz A é quadrada (isto é, apresenta o mesmo número de linhas e colunas n x n), então tem-se a transformação expressa por TA: Rn→Rm, de modo que TA se torna um operador em Rn. Para compreender melhor o procedimento de transformação, suponha o procedimento expresso por TA: R2→R3, que retoma inicialmente a matriz A, como se segue: A = [1 -1 2 5 3 4] Deseja-se localizar um vetor x em um espaço de dimensão R2, cuja imagem sob a transformação TA será expressa pelo vetor com as coordenadas dispostas na seguinte matriz: E-Book - Apostila b = [ 7 0 7 ] Neste caso, deve-se localizar um vetor x que permite desenvolver o seguinte sistema: [1 -1] * [x1] = [7 2 5] [x2] 0 3 4 7] A equação apresentada permite desenvolver o sistema de equações como se segue: {x1 - x2 = 7 2x1 + 5x2 = 0} Observe que x1 = x2 + 7; assim, observa-se que 2(x2 + 7) + 5x2 = 0 → 7x2 = -14 → x2 = -2 Assim, tem-se que x1 = 7-2 = 5. Portanto, tem-se a única solução para o vetor x: x = [x1 ] = [5 x2] [-2] Deste modo, a transformação TA(x) está gerando o vetor b. Há ainda alguns casos particulares que devem ser observados em relação à transformação matricial (ANTON; BUSBY, 2006, p.267). O primeiro deles destaca as transformações que são comuns a vetores nulos. Neste caso, supondo a existência de uma matriz 0 de dimensões m x n, e que é nula (com seus elementos sendo iguais a zero), é preciso observar que as multiplicações por 0 geram vetores nulos inscritos em espaços de dimensão Rn, de modo que é válida a equação T0(x) = 0x = 0. O segundo caso particular gera o que se convenciona chamar de um operador identidade; este operador relaciona-se, como seu nome destaca, com a matriz identidade (uma matriz quadrada onde os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são iguais a zero). Neste caso, se I corresponde a uma matriz identidade de dimensões n x n, tem-se que para todo vetor x inscrito em espaços de dimensão Rn, tem-se a equação TI(x) = Ix = x. Deste modo, a multiplicação pelo operador identidade gera reflexões diretas do vetor transformado no espaço imagem. SAIBA MAIS Para dar continuidade à sua aprendizagem em relação aos conceitos e discussões propostas nesta aula, você poderá consultar o vídeo ‘Transformações matriciais’, no canal da seção portuguesa do IEEE (Instituto de Engenheiros Eletricistas e Eletrônicos). Neste vídeo, a profa. Ana Moura Santos destaca as relações entre variáveis e matrizes sobre vetores para a produção de transformações matriciais, com exemplos que enriquecem o conteúdo. Acesse: https://www.youtube.com/watch?v=f_dLhQ-HEYs DICA DE LEITURA