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An´alise Diferencial dos Escoamentos PME 3230 - Mecˆanica dos Fluidos I PME/EP/USP Prof. Antonio Luiz Pac´ıfico 2◦ Semestre de 2022 Conte´udo da Aula Introduc¸ ˜ao Cinem´atica dos Elementos Fluidos Conservac¸ ˜ao da Massa na Forma Diferencial Conservac¸ ˜ao da Quantidade de Movimento na Forma Diferencial Equac¸ ˜oes de Navier-Stokes Soluc¸ ˜oes Exatas das Equac¸ ˜oes de Navier-Stokes Exerc´ıcios Introduc¸ ˜ao Nos t´opicos anteriores foi desenvolvida a an´alise integral para as trˆes leis de conservac¸ ˜ao: massa, energia e quantidade de movimento. Este tipo de an´alise ´e interessante quando o interesse ´e gen´erico sobre o campo de escoamento e quando se deseja apenas conhecer os efeitos deste campo sobre algum dispositivo. Contudo a abordagem integral n˜ao pode determinar distribuic¸ ˜oes de grandezas espec´ıficas no campo de escoamento. Por exemplo, a an´alise integral pemite determinar o arrasto total sobre uma estrutura imersa no escoamento, mas n˜ao poder´a fornecer as distribuic¸ ˜oes de tens˜oes de cisalhamento e press˜ao ao redor desta estrutura que, ao final, s˜ao as grandezas que determinam o arrasto. Este ´ultimo t´opico aborda, de maneira introdut´oria, a an´alise diferencial dos escoamentos, tamb´em formulando-a para duas das trˆes leis de conservac¸ ˜ao: massa e quantidade de movimento. Cinem´atica dos Elementos Fluidos (a) translação (c) deformação linear (d) deformação angular (b) rotação Um elemento fluido possui quatro tipos fundamentais de movimento, ou deformac¸ ˜ao, ilustrados ao lado. Em geral, no movimento real de fluidos, todos os quatro tipos de movimentos ocorrem simultaneamente. A descric¸ ˜ao dos movimentos acima ilustrados ´e feita na forma de taxas. Em particular: a velocidade e acelerac¸ ˜ao do elemento, ⃗V e⃗a, respectivamente, indicam a sua taxa de translac¸ ˜ao; a velocidade angular, ⃗ω, ´e a medida da sua taxa de rotac¸ ˜ao; as taxas de deformac¸ ˜ao linear, ε, e angular, ˙γ, est˜ao associadas aos movimentos (c) e (d) acima. Cinem´atica dos Elementos Fluidos Translac¸ ˜ao: A translac¸ ˜ao de um elemento (ou part´ıcula de) fluido ´e quantificada pelos seus vetores velocidade, ⃗V, e acelerac¸ ˜ao,⃗a: ⃗V = u.⃗i + v.⃗j + w.⃗k (1) ⃗a = ∂⃗V ∂t + u · ∂⃗V ∂x + v · ∂⃗V ∂y + w · ∂⃗V ∂z (2) Maiores informac¸ ˜oes sobre essas quantidades, descric¸ ˜oes euleriana e lagrangiana do movimento; derivadas local e convectiva do vetor acelerac¸ ˜ao, entre outras associadas ao tema, devem ser recordadas do t´opico T2 - Introduc¸ ˜ao `a Cinem´atica dos Fluidos. Cinem´atica dos Elementos Fluidos Deformac¸ ˜oes Linear e Volum´etrica: na deformac¸ ˜ao linear, a forma dos v´ertices do elemento fluido permanece imut´avel. Haver´a mudanc¸a do comprimento do elemento na direc¸ ˜ao x somente se ∂u/∂x ̸= 0 (an´alogo para as direc¸ ˜oes y e z). Assim, essas derivadas parciais representam as componentes das taxas longitudinais de deformac¸ ˜ao nas trˆes direc¸ ˜oes x, y e z. As variac¸ ˜oes no comprimento dos lados podem causar alterac¸ ˜oes no volume do elemento. A taxa de dilatac¸ ˜ao volum´etrica local, instantˆanea, vale: Taxa de dilatac¸ ˜ao volum´etrica = ∂u ∂x + ∂v ∂y + ∂w ∂z = ⃗∇•⃗V (3) Cinem´atica dos Elementos Fluidos Rotac¸ ˜ao e Deformac¸ ˜ao Angular: A figura abaixo apresenta a composic¸ ˜ao de velocidades num elemento fluido que pode causar sua rotac¸ ˜ao e deformac¸ ˜ao angular. Ap´os as rotac¸ ˜oes dadas pelos ˆangulos δα e δβ os segmentos OA e OB v˜ao para as novas posic¸ ˜oes OA′ e OB′. respectivamente. Cinematica dos Elementos Fluidos As velocidades angulares dos segmentos OA e OB sao dadas por: oO = fim 8% — lim 8 on stoo Of ” 08 ~ sto0 Ot Para angulos pequenos: — s,__ (v/dx).6x.6t dv. — se _ (du/dy).d6y.dt du tan 800% do = =>, 6t; tan 6B <p = - a dt __ | (dv/dx).6t ov __ | (du/dy).dt du Moa = lim | ~——— _] = — 5 Mog = lim | —— ] = — 0A 5-30 St ax esol Ot dy Nota: dv/0x > 0 para Wog anti-horario; du/dy > 0 para Mog horario. A velocidade angular em torno do eixo Z, @z é definida como a média das velocidades angulares das duas linnas OA e OB e é tomada como positiva quando no sentido anti-horario. Assim, o.- 1 fodv ou (4) 72 \ax ay Cinematica dos Elementos Fluidos Analogamente, 0, = 1 fdu ow (6) Y""2 \dz ox 0, = 1 fdw av 6) * 2 \ay az Logo, = + + > 1 = y O= Wx + Oy J+ Ozk = 5-VXV (7) Define-se o vetor vorticidade de um escoamento, gE, como sendo o dobro do vetor rotagao: 6=20=VxV (8) Se é # 0 num ponto de um campo de escoamento, a particula de fluido que esta naquele ponto esta girando e o escoamento é dito rotacional. Ao contrario, se § = 0 num ponto, o escoamento 6 dito irrotacional. Cinematica dos Elementos Fluidos Em coordenadas cilindricas: z [1 OV, OVe\ . OV, OVz\ , 1 fd(r.Ve) OV,\ 5 $= GC e-S) a+ (SE -S) OFT (Se -3 & (9) Exemplos: 1. Considere o campo de escoamento bidimensional em r e 8 dado por: V. =0e Vg =@.r. Este escoamento é rotacional? 2 1 /O(r.Ve) OV,\ . 1 /0(.r?) 4 5 =—-( —~— —- —— ]-4é,=--| —~— —-0]-4,=2.0.6,40.°. SIM! $ r ( or 00) TF or 2 27 2. Considere o campo de escoamento bidimensional em r e 8 dado por: V, =0e Vp = Cte/r. Este escoamento é rotacional? z 1 /oa(r.Ve) OV-\ 1 /dCte 5 ~ =-—-| —~— —- — ]-6,=-- | —-—0]-@,=0..NAO! $ r ( or 00 or or 2 Cinem´atica dos Elementos Fluidos Retomando a figura anterior: Note que as derivadas ∂u/∂y e ∂v/∂x n˜ao induzem s´o rotac¸ ˜ao no elemento, mas tamb´em podem provocar sua deformac¸ ˜ao angular. Chama-se δγ o ˆangulo final, ou tamb´em deformac¸ ˜ao por cisalhamento, provocado pelas variac¸ ˜oes δα e δβ: δγ = δα+δβ. A deformac¸ ˜ao por cisalhamento ´e positiva quando o ˆangulo formado pela intesecc¸ ˜ao das linhas OA′ e OB′ ´e menor que aquela formada pelas linhas OA e OB. Cinematica dos Elementos Fluidos A taxa de deformagao por cisalhamento, ou taxa de deforma¢ao angular, Y, 6 dada por: . 6 dv /dx).dt+ (du/dy).6t dv. du y= tim OY = jim | Ov/0%)-81+ (Ou /oy).6t) _ ov | du st0 Of = 80 ét ox oy Generalizando: ig = 0 4 OM (10) i = Oxi OX; Atengao: a definigao da Eq. (10) é a fornecida pelo livro texto (Munson). Na apostila de exercicios resolvidos ela é definida como: es 1 /dvV; 1 av; i 2 Ox; Ox; Equacao da Continuidade na Forma Diferencial Considere o volume de controle infinitesimal (dx, dy, dz) da figura abaixo. y Control volume pu dy dz [Pu + 2 @u)dil dy de dz dx Zz A equagao da conservacao da massa em analise integral foi escrita como: op I. Ot . dV +)"(p. V.A)saidas — Yip. V.A)entradas =0 (1 1) Equacao da Continuidade na Forma Diferencial Como o VC agora é infinitesimal, pode-se escrever para o termo Svc(0p/at).dV que: Op OP — =—-ax-dy-az 12 I. ot ot y (12) Os termos dos fluxos de massa (entradas e saidas) ocorrem nas seis faces, sendo 3 entradas e 3 saidas. Esses 6 fluxos sao resumidos na tabela abaixo. Fluxo Entrada Fluxo Saida p.u.dy.dz | p.u+ o(p-u) - ax p.widy.dx | [p.w-+ 28") ae] dy- ce Usando a Eq. (12) mais aquelas acima tabeladas na Eq. (11), resulta: Equagao da Continuidade na Forma Diferencial op 0(p.u) 0(p.v) 0(p.w) _ ap POM et a dy dz 5 dx: dy -dz-+ 5 ax dy: dz = 0 (13) O elemento de volume (dV = dx.dy.dz) se cancela resultando na ED parcial envolvendo derivadas dos produtos p.Vj;, sendo / = x, y, Z. Assim, op _ A(p.u) | A(p.v) A(p.w) 4+ 4+ “~~ 4+ =0 14 dt’ ox | oy. oz (14) A Eq. (14) 6 a Equagao da Continuidade, ou Conservagao da Massa, na forma diferencial. Manipulando-a, pode-se escrever: ¥0(p.V) 9 342 742%) o(p.uitpvitp.wk) e . = =" x: =: e Uz. Vv. Wz. p Ox dy J dz p PpVJTP d(p.u) da(p.v) d(p.w _ op.u) , A(p.v) , A(p.w) ox oy Oz Equagao da Continuidade na Forma Diferencial Portanto, 5) 7 +Ve(p.V) —4+V Vv) =0 15 OF +Ve(p (15) No sistema de coordendas cilindricas: ( Typical point (r, @, z) ; Typical dD line = ‘dr Jas? | 7 ve ae! Equagao da Continuidade na Forma Diferencial op 1 O(p.r.V-) 1 O(p.Ve) . A(p.Vz) — +--+ - - -— 4+ —— = 0 16 ot r or vy 00 + dz (16) Quando o escoamento for compressivel, porém em regime permanente, = o 0(p. 0(p. 0(p. Coord. Cartesianas: Ve (. v) =0=> o(p-u) + (P-v) + (p-w) =0 Ox oy Oz (17) 1 O(p.r.V-) 1 OA(p.Ve) A(p.Vz) Coord. Cilfndricas: — -——~——— + - -———— + —~—~ =0 (18 cord. Cilindricas: — >, + 736 + a> (18) Como pe V sao variaveis, para este caso, as Eqs. (17) e (18) ainda sao nao-lineares e, portanto, de solugao mais complexa. Quando, além do regime permamente, o escoamento também for de fluido incompressivel, Ve (.V) = 0, mas como p €, agora, constante, VeV=0. Assim, Equac¸ ˜ao da Continuidade na Forma Diferencial Coord. Cartesianas: ⃗∇•⃗V = 0 ⇒ ∂u ∂x + ∂v ∂y + ∂w ∂z = 0 (19) Coord. Cil´ındricas: 1 r · ∂(r.Vr) ∂r + 1 r · ∂Vθ ∂θ + ∂Vz ∂z = 0 (20) As Eqs. (19) e (20) s˜ao EDO’s e uma ampla variedade de soluc¸ ˜oes s˜ao conhecidas para elas. Grandes s˜ao os casos pr´aticos de engenharia onde os escoamentos podem ser considerados incompress´ıveis. Para gases, particularmente, pode-se considerar incompress´ıveis, com um erro menor que 5% quando M < 0,3. Ex.: No ar, escoamentos com velocidades menores que 100 m/s podem tratados como incompress´ıveis. Conservac¸ ˜ao da Quantidade de Movimento na Forma Diferencial No movimento de um fluido existem dois tipos de forc¸as: de campo e de contato (ou superf´ıcie). Das forc¸as de campo este curso considera apenas `a devida ao capo gravitacional, forc¸a peso. As de contato podem ser devidas `a press˜ao, atrito viscoso e outras. Designando por ⃗Fc as de campo e por⃗Fs as de contato, ambas por unidade de volume: ⃗Fc = Fc,x.⃗i + Fc,y.⃗j + Fc,z.⃗k = ρ.⃗g (21) ⃗Fs = Fs,x.⃗i + Fs,y.⃗j + Fs,z.⃗k Da 2a Lei de Newton, ρ· D⃗V Dt =⃗Fc +⃗Fs (22) Conservacao da Quantidade de Movimento na Forma Diferencial Recordando, DV / Dt é a derivada material de V, dada por: DV Vf 2 o — = 6i(y v) Vv Dt at +( ° = wy wy Ou sy ou ot Ox oy oz vee vey OVW ov ot ox oy Oz ow ow OW ey ow (23) ot ox oy Oz A seguir, a figura ilustra o sistema geral de tensdes num elemento de fluido deformavel. Conservac¸ ˜ao da Quantidade de Movimento na Forma Diferencial σzz τzy τzx σxx τxy σyy τyz τyx τxz o Tz Tz o + ( / z )dz o o + ( / x)dx Tx Tx dx dy dz z x y origem O elemento possui volume dV = dx.dy.dz. Em cada plano existe uma tens˜ao resultante, T, dada pela soma vetorial de uma tens˜ao normal, σ, e duas tens˜oes de cisalhamento, τ. Na figura T ´e representada apenas em dois planos, a t´ıtulo de exemplo. Conservac¸ ˜ao da Quantidade de Movimento na Forma Diferencial Nomenclatura: ⃗Ti significa tens˜ao no plano ortogonal `a direc¸ ˜ao i; τij significa tens˜ao de cisalhamento no plano ortogonal `a direc¸ ˜ao i, na direc¸ ˜ao j; e σii significa tens˜ao normal atuante no plano ortogonal `a i, na direc¸ ˜ao i. Tomando como exemplo para an´alise a direc¸ ˜ao x, no plano ortogonal a x `a direita atua ⃗Tx+dx =⃗Tx +(∂⃗Tx/∂x).dx e no plano ortogonal a x `a esquerda atua ⃗Tx, de modo que a tens˜ao resultante nesta direc¸ ˜ao ser´a dada por (∂⃗Tx/∂x).dx. Analogamente, para as outras direc¸ ˜oes: (∂⃗Ty/∂y).dy e (∂⃗Tz/∂z).dz. Note que essas tens˜oes, se exclu´ıdas as diferenciais que as multiplicam, resultam nas forc¸as de superf´ıcie por unidade de volume: ⃗Fs = ∂⃗Tx ∂x + ∂⃗Ty ∂y + ∂⃗Tz ∂z Conservac¸ ˜ao da Quantidade de Movimento na Forma Diferencial onde, ⃗Tx = σxx.⃗i +τxy.⃗j +τxz.⃗k ⃗Ty = τyx.⃗i +σyy.⃗j +τyz.⃗k ⃗Tz = τzx.⃗i +τzy.⃗j +σzz.⃗k (24) Na Eq. (24) os nove componentes formam o que se costumou chamar de matriz de tens˜oes, π, ou tensor de tens˜oes: π =   σxx τxy τxz τyx σyy τyz τzx τzy σzz   (25) Pode-se demonstrar que esta matriz ´e sim´etrica. Assim, τmn = τnm. Consequentemente, Conservacao da Quantidade de Movimento na Forma Diferencial Oxx Txy Uxz Uxz Tyz Ozz Assim, a forga de superficie, por unidade de volume, fica: aa OO xx OT xy OT x7 > Fz = s+ 55 4+5> ) I . ( ox oy Foz Jit Oxy Wy Wtyz\ + (G2 +5458 It OTxz WTyz OOzz\ = a4 —% 4% |-k 27 & + oy + dz (27) Introduzindo as Eqs. (27), (23) e (21), escrita em termos de seus componentes, na Eq. (22), obtém-se: Conservacao da Quantidade de Movimento na Forma Diferencial ou ou ou ou OOxx Ty OT xz Pp (S; tu Say Sew) PHFD By Oz ov ov ov ov OTxy Wy OTyz p- (Seru Qery 4 w- 5) = PHT Toy Tez ow ow ow ow OTxz OTyz OOzz P (Spe Spee ew) ~ PGE OT Oy Faz (28) A eq. (28) é a equacao da conservacao da quantidade de movimento na forma diferencial. Se o escoamento for inviscido as tensdes de cisalhamento tornam-se nulas e, além disso, as tensdes normais passam a ser iguais: Txy = Tyz = Txz = 0 ; © Oxx = Oyy = Ozz = —P Conservac¸ ˜ao da Quantidade de Movimento na Forma Diferencial Para o caso completo, i.e., escoamento viscoso, as tens˜oes de cisalhamento n˜ao s˜ao nulas e a press˜ao, p, ´e definida como a m´edia aritm´etica das tens˜oes normais com sinal negativo, uma vez que press˜ao ´e sempre uma tens˜ao normal de compress˜ao: 1 3 ·(σxx +σyy +σzz) = −p (29) O pr´oximo passo ´e escrever as tens˜oes normais e de cisalhamento, na equac¸ ˜ao da conservac¸ ˜ao da quantidade de movimento, em termos de gradientes de velocidade de press˜ao. O resultado ´e o que se costumou chamar de Equac¸ ˜oes de Navier-Stokes. Equac¸ ˜oes de Navier-Stokes Como visto no in´ıcio deste t´opico, o movimento completo de um elemento fluido abrange 4 movimentos, a saber: 1. translac¸ ˜ao pura, descrita pelos componentes u, v e w de ⃗V; 2. rotac¸ ˜ao de um corpo r´ıgido, descrita por⃗ξ = 2.⃗ω = ⃗∇×⃗V; 3. dilatac¸ ˜ao volum´etrica, descrita por ⃗∇•⃗V; 4. deformac¸ ˜ao angular (ou por cisalhamento), descrita por ˙γij = ∂Vi ∂xj + ∂Vj ∂xi Os movimentos (1) e (2) geram meros deslocamentos de posic¸ ˜ao, por´em (3) e (4) geram deformac¸ ˜oes (distorc¸ ˜oes). A an´alise que se segue ´e v´alida somente para fluidos newtonianos, τ = µ.(dV/dy), e incompress´ıveis. O tratamento para fluidos compress´ıveis e/ou n˜ao-newtonianos est´a fora do escopo deste curso. Equacoes de Navier-Stokes Na a matriz de tensdes, Eq. (26), seus componentes, para fluidos newtonianos incompressiveis, sao dados por (prova fora do escopo desta disciplina): du Oxx = —PH 2M a (30) ov Oy = —p+2-y-— (31) yw H ay = 2 ow 32 Gzz = —Pt2-W = (32) ov. au =y-| —+— 33 Ty =U (5 + 5) (33) ow ov =y-|§—+— 4 Tyz u & + *) (3 ) ow du Tz =U Gan (35) Equagoes de Navier-Stokes Inserindo as Eqs. (30) a (35) na Eq. (28), chega-se a (apresentando desenvolvimento apenas para a diregao x): du du du du\ _ OOxx Ty OT xz (Sete gy tig +m Sz) = poet ax’ ay | az —<—_—_—_—__ Foxx _——_—_-____-_---— pu Fs.x ee = 2 (pa y MH) 4 2 f,. (2%, aU)], af, (am, au sx Oy LOPE ay ay | Vax” ay az |" \ ox "az _ Pu Fy uw a ~ Ox Boxe TF ay ax aye azax | az _ Fu, tu, uy tu Ry ew Ox TE Oe TH Bye TE oye TH 922 TH By ax Oz.ax _ Op 2 d fdu dv dw\ _ Op ° 0/23 = Equacoes de Navier-Stokes Para fluidos incompressiveis Vev= 0. Assim, dp 2 Fsx =—-~-+u.V°. S,X ax +H u (36) Fazendo 0 mesmo para as diregoes y e z cherga-se ao conjunto de equagdes conhecidas como Equagoes de Navier-Stokes (no caso, para escoamento de fluido incompressivel e newtoniano). Oy wy Ou sy = PR, ay ou ee (37) OT Oo Oy az) OH aT la HT OH yy) pg Pay (MH, MY HV) gg OE OT ay az) OM ay TE eT ay? Oz OW Hy OM oy OM) gg 88, (Ew ew ew PoE OKT a az) PH AZ THN OT Oy? T Oz (39) Equacoes de Navier-Stokes Em notagao vetorial: WV «\4) 2 2 a p- op t (Ve¥)-V =p.g—-Vptu.v2.V (40) eS bv Dt A Eq. (40) e suas componentes, Eqs. (37) a (39), constituem a base do movimento de fluidos incompressiveis e newtonianos. Estas equagoes mais a da continuidade ainda nao determinam todas as incdégnitas do campo de escoamento (u,v, w,p,P), pois juntas sao 4 equacées para 5 incégnitas. A 57 equacao é a da energia, que nao é abordada neste curso. Estas equagées foram determinadas por Claude-Louis Navier em 1827 e S. D. Poisson em 1831. Mais tarde, foram também obtidas por outro caminho por B. de Saint Venant em 1843 e George Gabriel Stokes em 1845. Equac¸ ˜oes de Navier-Stokes Estas equac¸ ˜oes apresentam uma enorme dificuldade para serem resolvidas, e at´e hoje n˜ao se tem uma soluc¸ ˜ao anal´ıtica para elas devido, principalmente, ao fato de serem n˜ao lineares. Tal car´ater de n˜ao-linearidade ´e dado pelos termos u · ∂u ∂x ; v · ∂v ∂y ; w · ∂w ∂z No livro texto (Munson) recomenda-se a leitura das p´aginas 322 a 330, item 6.10, onde ´e apresentado, embora de modo bem introdut´orio, a t´ecnica CFD, abreviac¸ ˜ao das palavras em inglˆes Computational Fluid Dynamics. A formulac¸ ˜ao destas equac¸ ˜oes em coodenadas cil´ındricas ´e mostrada a seguir. Equagoes de Navier-Stokes Ov, dV; Ve Ov, Ve OV, \ _ p (Sew or ar) az) dp 10 av, Vy. 1 PV 2 OVg OV, — Pr patw |b (1) oe Set eae See | 1) aVe Vg Va OVg V;.Vg OVo\ _ p (Seow ofr a rt Gz) _1 op 10 dVe Vo 1 OV 2 OV, d2Vq 799 1 P98 TH ; x (* O)-Bta Sete et e (2) av, dV, Va dV; aV2\ (Sete Ge OE te SE) = dp 10 aVz 1 0°V, OV, Pe paeta [5 (SE) +e Gee oe (*s) Soluc¸ ˜oes Exatas das Equac¸ ˜oes de Navier-Stokes Em geral, a busca de soluc¸ ˜oes exatas para as Equac¸ ˜oes de Navier-Stokes (ENS) apresenta enormes dificuldades matem´aticas, dada sua n˜ao-linearidade. Por outro lado, alguns casos particulares e de interesse pr´atico tˆem soluc¸ ˜oes anal´ıticas mais simples. Dentre esses casos, os principais s˜ao: ▶ escoamento viscoso entre placas planas; ▶ escoamento de Couette; ▶ escoamento de Poiseuille; ▶ escoamento viscoso em duto; ▶ escoamento viscoso em espac¸o annular; ▶ escoamento viscoso em superf´cies verticais. Escoamento Viscoso Entre Placas Planas U er} hipéteses: (1) esc. plena/e desenvol. e plano (2) esc. laminar (3) esc. isotérmico a) -- yo (4) so/e grav. como for¢a de campo (5) viscosidade constante . (6) fluido incompressivel CLE EEEE IEEE IEEE EEE PESIEEIIEEEEIEEEZIO FXO (7) esc. em reg. perman. Neste escoamento: u = u(x,t) Escoamento laminar vew=0 em regime perma- p =pXy.t) nente entre duas pla- o/oz=0 cas planas infinitas Da hipdtese (6), via equagao da conservagao da massa: VeV=0.:.du/dx = 0. Logo u = u(y, t). Mas da hipotese (7), u = u(y) somente. Deste modo, a ENS na diregao x, fica: dp 0°u O=-~—4+u-—> (44) ax 9 y2 Escoamento Viscoso Entre Placas Planas As condigées de contorno sao: (a) para y= 0 > u= 0; e (b) para y=a=u=U. Assim, integrando duas vezes a Eq. (44), resulta: 1 dp 2, G1 uy)=—-(=]- —_—: C. 45 e aplicando as condigoes de contorno: u a 0 uy) _¥ __# (9p (2).(1-2) (46) U a 2y.U \oax a a __ a (ap im: O livro texto designa por P = ZU (22), assim: WW) _¥ 4 p.(2). (1-4) (47) U a a a Escoamento Viscoso Entre Placas Planas A figura abaixo ilustra os perfis de velocidade, dados pela Eq. (37) tendo P como parˆametro. Dois casos s˜ao mais importantes e ser˜ao discutidos adiante: (a) quando ∂p/∂x = 0 e U ̸= 0; e (b) quando ∂p/∂x = Cte e U = 0. Escoamento Viscoso Entre Placas Planas Neste escoamento especifico, como v= w=0eu= u(y), a unica tensao de cisalhamento presente sera: 1 - ov 4 du\ | du 0 EN OT ay JE \ ay Como a Eq. (44) integrada s6 uma vez da: ou dp .=(). C. pode-se escrever, portanto, que, op Das condigédes de contorno: uU 1 dp C, = — —--a:-( — ' a 24 ($F) Escoamento Viscoso Entre Placas Planas Finalmente, u.U dp ( “) =— =—J)-ly-= 48 ty a + ($F) Y~5 (48) A vazao por unidade largura, b, sera: Q y=a y=alUy a (dp y y Q_ a= US _ F(R). (L). (44) b I, uly).ay I, a 22m ( a a ¥ 3 Q_U.a__@ (9 (49) b 2 12. \ax E a velocidade média na diregao do escoamento, U, é dada por: U a& (a 7-2-2 _Y_ # (% (50) A ba 2 12 \dx Escoamento de Couette Plano Este escoamento ´e o obtido quando ∂p/∂x = 0 e U ̸= 0. De acordo com a figura generalizada de perfis de velocidade, isto resulta em P = 0 e uma distribuic¸ ˜ao de velocidades linear. Neste caso, com P = 0, a Eq. (47) resulta em: u(y) = U a · y (51) Al´em do perfil de velocidade pode-se calcular para este caso: τxy = µ· U a (52) Q b = U.a 2 (53) u = U 2 (54) Escoamento de Couette Plano O escoamento de Couette plano ´e importante em mancais de deslizamento (com lubrificante preenchendo o espac¸o anular). Pode-se adotar perfil linear de velocidade estre mancais quando a folga entre eixo e mancal for pequena (ro − ri ≪ ri, Cf. figura abaixo). Na figura ao lado U = ri.ω e a folga vale b = ro − ri. Uma vez que o perfil de velocidade ´e linear no fluido que preenche o mancal, Vθ = U b ·(ro − r) (55) τrθ = µ.U b (56) Escoamento de Poiseuille Também conhecido como escoamento de Hagen-Poiseuille. Este escoamento ocorre tanto entre placas planas infinitas e fixas como no interior de dutos de secao circular. Neste item apresenta-se o escoamento entre placas planas infinitas e fixas e, no seguinte, para tubos (dutos de secao circular). Este escoamento é 0 obtido quando dp/dx = Cte e U = 0 (placas fixas). De acordo com a figura generalizada de perfis de velocidade, isto resulta em P #0. rrr FIX [ry al -4 /| x \ errr TPIT IPI IIZIEEOA FIX) Na verdade, neste caso, as condigdes de contorno mudam: u = 0 tanto para y = 0 como para y = a, 0 que leva a uma forma diferente do parametro P: P= (1/2.u).(dp/dx), que é, entdo, independente de U. Escoamento de Poiseuille Partindo da ENS para diregao x, Eq. (44), com as condigdes de contorno: y = a/2 > u=0ey = —a/2 > u=0, chega-se as seguintes solucdes: 1 dp : u(y) = —-( ~— }-(4.y7-@ 57 = (2) aya) 57) 0 Ty = (2) “y (58) 8 0 Q__@# (% (59) b 12.u \ox 2 0 u=-——. (2) (60) 12.u \ox 3.U Umax = > (61) Escoamento Viscoso em Tubos Este escoamento tamb´em ´e conhecido como escoamento laminar de fluido inconpress´ıvel de Hagen-Poiseuille. Para este caso, o sitema de coordenadas cil´ındricas ´e mais adequado. A figura abaixo ilustra as principais vari´aveis envolvidas neste tipo de escoamento. Na figura acima, θ ´e medido a partir do plano horizontal (zx) no sentido anti-hor´ario. Escoamento Viscoso em Tubos Neste escoamento V, = 0 e Vg = 0. Assim, aplicando a equacao da conservagao da massa, resulta: dV, /dz = 0 => Vz é independente de Z, logo V, = V,(r,8). Porém, levando em consideragao que o escoamento é axissimétrico, V; = V,(r) somente. As ENS para a direcao de interesse, i.e., diregao z é: dp 1 ad OV, O=—-—4+yu-]--—(r-—~2 62 az ? s,( or (62) A Eq. (62), integrada duas vezes, resulta: 1 dp\ » Vz = —-[{ — ]-r°4+C,.In(r) +C 63 = 7: (F) Fr eninin rc (63) As condigées de contorno sao: para r = 0 = dV,/dr = 00 que resulta em C; = 0; a outra 6 que para r= R=> V,=00 que resulta __1 a 2 em Co=—3i,- (38) -F Escoamento Viscoso em Tubos Finalmente, 1 op 2 2 V,(r) = —-(—)-(P —R 64 ln) pa (SP) (PR -F (6 A vazao é determinada por dQ = V,(r).2.1.r.dr, logo, R mt.R* (dp = 2.0. V,(r).r.dr=> Q= ——— - | — 65 Q [ (n).r.dr a (32) (65) Considerando uma perda de carga finita entre 2 pontos fixos no duto, Ap, separados por uma distancia L, segue-se que —dp/dz = Ap/L (para Ap = Pmontante — Pjusante)- Assim, mt.R*.A qa? 8.u.L Escoamento Viscoso em Tubos Velocidade média: V, = Q/A: v,-% (66) 7 8. Velocidade maxima: Vemax = AP (67) 2imax 4.u.L Observe que Vzmax = 2.Vz. Assim, r\2 Vz = Vz max . f _ (=) | (68) Como ja era conhecido de aulas de topicos anteriores deste curso. Escoamento Viscoso em Espaco Anular Escoamento importante para | >> trocadores de calor. =—_ S tow —_ 0 As condicées de G La @® escoamento nesta ( — () : ~ ~ > configuragao sao: =—, V, = 0 tanto para r = r; como para r = ro. A Eq. (63) também se aplica aqui como solugao do campo de velocidades na dire¢ao z. Utilizando as novas condigdes de contorno: 1 dp 2 — 2 r V(r) = —-(— )-|PF —2F++—2% -In{ — 69 N= Fy (32) | tintin) "\)| © Para o calculo da vazao: lo Q= / V,(r).2.1.r.dr Gf Escoamento Viscoso em Espaco Anular Cujo resultado é: n (oO 2 p2\2 ga. ().|4_4_ Wea) (70) 8.u \dz In(1o/r;) Ou, utilizando a definigao —dp/dz = Ap/L: Tw. 2 p2ye ga TAP | 4_ a Won (71) 8.u.L In(1o/r;) Vzmax OCorre para posicao radial rj, dada por: ot fm = 4/ —————~ 72 ™=\I 5 In(ro/n) (72) % Ler comentario do Munson sobre diametro hidraulico ao final da pagina 320 e inicio da pagina 321. Escoamento Viscoso em Superficies Verticais Considerando escoamento de fluido newtoniano, viscoso e incompressivel, em regime permanente e laminar (completamente é desenvolvido), verticalmente descendente, com espessura 6 constante: ECM: VeV=0 lou _,. u=uy) v=w=0 ax ENS, diregdo x: 0 = ou S, diregao x:0=p.g, +u- xe OBS: ha superficie livre, logo dp/dx = 0. Assim, fu Escoamento Viscoso em Superficies Verticais Integrando, 2 u= POY Cyt U2 Condigées de contorno: y=0 => u=0;ey=6=> du/dy =0 (desprezando a resisténcia do ar). Aplicando essas condigées, resulta Co =0 e C; = p.g.6/u. Finalmente, p.9.6 [y 1 (x) ae jo 8. (sf 73 u(y) r sa 5 (73) A tensao de cisalhamento sera: du Ty = Hy =p.g.(d—y) (74) Escoamento Viscoso em Superficies Verticais Vazao por unidade de largura, Q/b: 5 Q ) a= | u(y).b.dy > — =| u(y).dy 0 b Jo Q 95° Q_ p.9 8° (75) b 3.u Velocidade média, U: Q 9.87 j=" sy-P 9 (76) A 3.u TODO EQUACIONAMENTO DAS SOLUGOES EXATAS (OU SIMPLES) DAS EQUAGOES DE NAVIER-STOKES FOI FEITO CONSIDERANDO ESCOAMENTO LAMINAR COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO. Exerc´ıcio de Aula 1 Enunciado: Os trˆes componentes do vetor velocidade de um escoamento s˜ao: u = x2 + y2 + z2 v = x.y + y.z + z2 w = −3.x.z − z2 2 + 4 (a) Determine a taxa de dilatac¸ ˜ao volum´etrica e interprete o resultado; (b) Determine a express˜ao do vetor rotac¸ ˜ao. Este escoamento ´e irrotacional? [(MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004), exerc´ıcio 6.4] Exerc´ıcio de Aula 2 Enunciado: Um escoamento unidimensional ´e descrito por: u = a.y + b.y2 v = w = 0 onde a e b s˜ao constantes e diferentes de zero. Este escoamento ´e irrotacional? Qual ´e a combinac¸ ˜ao das constantes que propicia uma taxa de deformac¸ ˜ao angular nula? [(MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004), exerc´ıcio 6.6] Exerc´ıcio de Aula 3 Enunciado: Uma s´erie de experimentos realizados num escoamento tridimensional e incompress´ıvel indicou que u = 6.x.y2 e v = −4.y2.z. Entretanto, os dados relativos a velocidade na direc¸ ˜ao z apresentam conflitos. Um conjunto de dados experimentais indica que w = 4.y.z2 e outro indica w = 4.y.z2 − 6.y2.z. Qual dos dois conjuntos ´e o correto? Justifique sua resposta. [(MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004), exerc´ıcio 6.10] Exerc´ıcio de Aula 4 Enunciado: Um campo de velocidade ´e dado por: ⃗V = (3.y2 − 3.x2).⃗i + C.x.y.⃗j + 0.⃗k Determine o valor da constante C, sendo o escoamento: (a) incompress´ıvel; e (b) irrotacional. [(WHITE, 2002), exerc´ıcio 4.9] Exerc´ıcio de Aula 5 Enunciado: A velocidade de um escoamento de fluido inv´ıscido em cantos ´e dada por: ⃗V = a.(x2 − y2).⃗i − 2.a.x.y.⃗j + 0.⃗k Verificar se o escoamento ´e irrotacional. Exerc´ıcio de Aula 6 Enunciado: Um tanque de volume V cont´em g´as nas condic¸ ˜oes (ρ0,p0,T0). No tempo t = 0, o tanque ´e perfurado por um orif´ıcio de ´area A. Sabe-se que o fluxo de massa que sai por este orif´ıcio ´e aproximadamente proporcional a A e `a press˜ao no tanque. Supondo que a temperatura no tanque seja constante e o g´as seja perfeito, encontre uma express˜ao para a variac¸ ˜ao da press˜ao dentro do tanque. [(WHITE, 2002), exerc´ıcio 4.23] Exerc´ıcio de Aula 7 Enunciado: Um fluido escoa em condic¸ ˜oes tais que sua massa espec´ıfica, ρ, ´e func¸ ˜ao apenas do tempo. Dado o campo de velocidades: u = 4.x ; v = −2.y pede-se: (a) a express˜ao de ρ(t) para que o escoamento seja poss´ıvel; e (b) a equac¸ ˜ao das linhas de corrente. [Apostila, exerc´ıcio 2.35] Exerc´ıcio de Aula 8 Enunciado: Um amortecedor a g´as na suspens˜ao de um autom´ovel comporta-se como um dispositivo pist˜ao-cilindro. No instante em que o pist˜ao est´a a L afastado da extremidade fechada do cilindro, a massa espec´ıfica do g´as ´e uniforme e vale ρ e o pist˜ao comec¸a a se mover, afastando-se da extremidade fechada do cilindro com velocidade Vp. A velocidade do g´as ´e unidimensional e proporcional `a distˆancia em relac¸ ˜ao `a extremidade fechada, variando linearmente de zero, na extremidade, a Vg = Vp conforme o pist˜ao se afasta da extremidade fechada. Obtenha uma express˜ao para a massa espec´ıfica m´edia do g´as em func¸ ˜ao do tempo. [(FOX; MCDONALD; PRITCHARD, 2006), exerc´ıcio 5.2] Exerc´ıcio de Aula 9 Enunciado: O campo de velocidade do escoamento bidimensional e incompress´ıvel de glicerina a 20 ◦C (fluido newtoniano) ´e descrito por: ⃗V = (12.x.y2 − 6.x3).⃗i +(18.x2.y − 4.y3).⃗j onde x e y s˜ao dados em metros e a velocidade em m/s. Determine as tens˜oes σxx, σyy e τxy no ponto (x = 0,5 m; y = 1,0 m) se a press˜ao neste ponto ´e igual a 6 kPa. Fac¸a um esboc¸o para apresentar estas tens˜oes. [(MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004), exerc´ıcio 6.69] Exerc´ıcio de Aula 10 Enunciado: Mostre que a componente na direc¸ ˜ao z do vetor vorticidade, ξz, de um escoamento incompress´ıvel no plano xy varia de acordo com Dξz Dt = ν.∇2.ξz Qual ´e a interpretac¸ ˜ao f´ısica desta equac¸ ˜ao num escoamento inv´ıscido? [(MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004), exerc´ıcio 6.71] Exerc´ıcio de Aula 11 Enunciado: Uma lˆamina de fluido viscoso, com espessura constante, escoa em regime permanente num plano infinito e inclinado (a velocidade perpendicular a placa ´e nula). Utilize as Equac¸ ˜oes de Navier-Stokes para obter uma equac¸ ˜ao que relacione a espessura da lˆamina com a vaz˜ao no filme (por unidade de largura). O escoamento ´e laminar e a tens˜ao de cisalhamento na superf´ıcie livre da lˆamina ´e nula. [(MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004), exerc´ıcio 6.76] Exerc´ıcio de Aula 12 Enunciado: Um fluido viscoso escoa, em regime permanente, entre as duas placas infinitas, verticais e paralelas indicadas na figura ao lado. Utilize as Equac¸ ˜oes de Navier-Stokes para determinar o gradiente de press˜ao na direc¸ ˜ao do escoamento. Admita que o escoamento ´e laminar e incompress´ıvel. Expresse seu resultado em func¸ ˜ao da velocidade m´edia do escoamento. [(MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004), exerc´ıcio 6.77] Exerc´ıcio de Aula 13 Enunciado: Dois fluidos imisc´ıveis, incompress´ıveis e viscosos escoam entre as placas infinitas, paralelas e horizontais mostradas na figura abaixo. As massas espec´ıficas dos fluidos s˜ao iguais mas as viscosidades s˜ao diferentes. A placa inferior ´e im´ovel e a superior apresenta o movimento indicado na figura. Determine a velocidade na interface dos fluidos. Expresse seus resultados em func¸ ˜ao de U, µ1 e µ2. O escoamento ´e promovido apenas pelo movimento da placa superior, ou seja, n˜ao existe gradiente de press˜ao na direc¸ ˜ao x. Os perfis de velocidade e de tens˜ao de cisalhamento s˜ao cont´ınuos na interface entre os fluidos. Admita que o escoamento ´e laminar. [(MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004), exerc´ıcio 6.81] Exerc´ıcio de Aula 14 Enunciado: O arranjo experimental indicado ao lado pode ser utilizado para estudar escoamentos em regime permanente em tubos. O l´ıquido contido no reservat´orio apresenta µ = 0,015 N.s/m2 e ρ = 1200 kg/m3. O escoamento descarrega para a atmosfera com velocidade m´edia de 1 m/s. (a) Qual ´e o regime do escoamento no tubo? (b) Qual ´e a leitura no manˆometro sabendo que o escoamento ´e plenamente desenvolvido no trecho da tubulac¸ ˜ao localizado a jusante do manˆometro. (c) Qual ´e o m´odulo da tens˜ao de cisalhamento na parede do tubo, τrz, na regi˜ao com escoamento plenamente desenvolvido? [(MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004), exerc´ıcio 6.90] Exerc´ıcio de Aula 15 Enunciado: (a) Um fluido Newtoniano com viscosidade dinˆamica µ escoa num tubo (escoamento de Poiseuille). Mostre que a tens˜ao de cisalhamento na parede do tubo, τrz, ´e dada por |(τrz)parede| = 4.µ.Q π.R3 onde a vaz˜ao do escoamento no tubo ´e Q. (b) Um fluido com viscosidade dinˆamica igual a 0,003 N.s/m2 escoa num tubo com diˆametro interno igual a 2 mm e velocidade m´edia de 0,1 m/s. Nestas condic¸ ˜oes, determine o m´odulo da tens˜ao de cisalhamento na parede. [(MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004), exerc´ıcio 6.92] Exerc´ıcio de Aula 16 Enunciado: A figura abaixo mostra um fluido newtoniano escoando, em regime permanente, num canal anular e longo. O cilindro externo ´e im´ovel, mas o interno apresenta velocidade V0. Qual deve ser o valor de V0 para que o arrasto no cilindro interno seja nulo? Admita que o escoamento ´e laminar, incompress´ıvel, axissim´etrico e plenamente desenvolvido. [(MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004), exerc´ıcio 6.93] Exerc´ıcio de Aula 17 Enunciado: Um fio com diˆametro d est´a instalado na linha de centro de um tubo que apresenta diˆametro interno D. Admita que a queda de press˜ao por unidade de comprimento de tubo ´e constante. Determine a reduc¸ ˜ao na vaz˜ao em volume no tubo se: (a) d/D = 0,1; e (b) d/D = 0,01. [(MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004), exerc´ıcio 6.101] Exerc´ıcio de Aula 18 Enunciado: Um l´ıquido viscoso enche o espac¸o anular entre dois cilindros concˆentricos verticais. O cilindro interno ´e estacion´ario e o cilindro externo gira com velocidade constante. O escoamento ´e laminar. Simplifique as equac¸ ˜oes da continuidade, de Navier-Stokes e da tens˜ao de cisalhamento tangencial para modelar este campo de escoamento. Obtenha express˜oes para o perfil de velocidades do l´ıquido e para a distribuic¸ ˜ao de tens˜oes de cisalhamento. Compare a tens˜ao de cisalhamento na superf´ıcie do cilindro interior com aquela calculada por meio de uma aproximac¸ ˜ao obtida pelo “desdobramento” do espac¸o anular em um plano e com a considerac¸ ˜ao de um perfil de velocidade linear atrav´es da folga. Determine a raz˜ao entre os raios dos cilindros para a qual a aproximac¸ ˜ao “planar” prediz a tens˜ao de cisalhamento na superf´ıcie do cilindro interno com incerteza m´axima de 1%. [(FOX; MCDONALD; PRITCHARD, 2006), exemplo 5.10] Referˆencias Bibliogr´aficas FOX, R. W.; MCDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J. Introduc¸ ˜ao `a Mecˆanica dos Fluidos. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. ISBN 978-85-216-1468-5. MUNSON, B. R.; YOUNG, D. F.; OKIISHI, T. H. Fundamentos da Mecˆanica dos Fluidos. 4. ed. S˜ao Paulo: Bl¨ucher, 2004. ISBN 978-85-212-0343-8. WHITE, F. M. Mecˆanica dos Fluidos. 4. ed. Rio de Janeiro: McGraw Hill, 2002. ISBN 978-85-868-0424-3.