TESTEFEDERAL 1695738021078 doc06545520230926111727 pdf

1 a) x \in Z^+ \Rightarrow x > 0 \quad x^2 = 1 \quad x > 0 \Rightarrow x = \sqrt{1} = 1 b) x \in Z^+ \Rightarrow x > 0 \quad x^3 = x \quad \Rightarrow x^3 - x = 0 \quad \Rightarrow x(x^2-1) = 0 \quad \Rightarrow x(x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ ou } x - 1 = 0 \text{ ou } x + 1 = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ ou } x = 1 \Rightarrow x > 0 \Rightarrow x = 1 c) x \in Z^+ \Rightarrow x > 0 \quad 4x^2 - 8x = -4 \quad \Rightarrow x^2 - 2x = -1 1 \quad x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x-1)^2 = 0 \Rightarrow |x-1| = \sqrt{0} = 0 \Rightarrow x \in Z^+ \Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 2 a) I.F. 1) n = 1 \quad 2. 1 - 1 = 2 - 1 = 1 = 1^2 I.F. 2) Suponha \quad 1 + 3 + ... + (2n-1) = n^2 \quad 1 + 3 + ... + (2(n+1)-1) = \quad = n^2 + 2n + 2 - 1 = n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2 b) I.F. 1) n = 1 \quad : \quad 1^3 = 1 = 1 = \left(\frac{2}{2}\right)^2 = \left(\frac{1 \cdot 2}{2}\right)^2 = \left(\frac{1 \cdot (1+1)}{2}\right)^2 I.F. 2) Suponha \quad 1 + 8 + ... + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \quad 1 + 8 + ... + n^3 + (n+1)^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 + (n+1)^3 = = \frac{n^2(n+1)^2}{2^2} + (n+1)^2(n+1) = (n+1)^2 \left(\frac{n^2}{2^2} + n+1 \right) = = (n+1)^2 \left(\frac{n^2}{4} + \frac{4n+4}{4} \right) = (n+1)^2 \left(\frac{n^2 + 4n + 4}{4} \right) = = (n+1)^2 \frac{(n+2)^2}{2^2} = \left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2 = \left(\frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}\right)^2 c) \\ I.F. 0) \hspace{1cm} 3|0=0^3+2.0 \\ I.F. 1) \hspace{1cm} 1^3+2.1=1+2=3 \Rightarrow 3|1^3+2.1 \\ I.F. 2) \hspace{1cm} Hipótese: \hspace{1cm} 3|n^3+2n \\ (n+1)^3+2(n+1)=n^3+3n^2+3n+1+2n+2= \\ = (n^3+2n)+3n^2+3n+3 = \underbrace{(n^3+2n)}_{divisível \ por \ 3}+ \underbrace{3(n^2+n+1)}_{divisível \ por \ 3} \\ \Rightarrow 3| (n+1)^3+2(n+1) \\ 2) \\ 10^n - 1 = (9+1)^n - 1 = \left( \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 9^{n-k}.1^k \right) - 1 = \\ = \begin{pmatrix}\binom{n}{0} 9^n + \binom{n}{1} 9^{n-1} 1 + \ldots + \binom{n}{n-1} 9^1 + \binom{n}{n} 9^0\end{pmatrix} - 1 = \\ = 9 \left( 9^{n-1} + n_c 9^{n-2} + \ldots + n. 1 \right) + 1 - 1 = \\ \Rightarrow 9| (10^n - 1) Novamente, pelo pequeno Teorema de Fermat, \\ 3^{13-1} \equiv_{13} 1 \\ 3^{12} \equiv_{13} 1 \Rightarrow 3^{60} = (3^{12})^5 \equiv_{13} 1^5 = 1 \\ 3^3 = 27 = 26 + 1 \equiv_{13} 1 \Rightarrow 3^9 \equiv_{13} 1 \\ 3^{10} = 3.3^9 \equiv_{13} 3.1 = 3 \\ 2^{10} + 3^{10} \equiv_{13} 10 + 3 = 13 \equiv_{13} 0 \\ \Rightarrow 13 | (2^{10} + 3^{10}) d) Pelo pequeno Teorema de Fermat, 2^{13-1} \equiv_{13} 1 \\ 2^{12} \equiv_{13} 1 \Rightarrow 2^{60}=(2^{12})^5 \equiv_{13} 1^5 = 1 \\ 2^5=32=26+6 \equiv_{13} 6 \\ 2^{10}=(2^5)^2 \equiv_{13} 6^2=36 \equiv_{13} 10 \\ 2^{20} = 2^{10}. 2^{60} \equiv_{13} 10.1=10 8 \ | \ 4n(n+1) \\ \Rightarrow \ a^2 = 4n(n+1) + 1 \equiv_8 0 + 1 = 1 \\ \\ 5 \\ a) \ \text{mdc} (-14, 5) = 1 \\ \text{mdc}(-14, 5) \cdot \text{mmc}(-14, 5) = | -14 \cdot 5 |^* \\ \text{mmc}(-14, 5) = 70 \\ \\ b) \ 4116 \equiv_{3380} 736 \\ 3380 \equiv_{736} 436 \\ 736 \equiv_{436} 300 \\ 436 \equiv_{300} 136 \\ 300 \equiv_{136} 28 \\ 136 \equiv_{28} 24 \\ 28 \equiv_4 4 \\ 24 \equiv_4 0 \\ \Rightarrow \ \text{mdc}(4116, 3380) = 4 c2) Sejam a,b ∈ 𝑅. a⊕b = a+b+1 = b+a+1 = b⊕a , i (𝑅,⊕) é grupo abeliano. 2) (𝑅\e_{(𝑅,⊕)},•) = (𝑅\{-1},{•}) G1) Sejam a,b,c ∈ 𝑅\{-1} ao(b⊙c) = ao(b+c+bc) = a+b+c+abc+dc+ab+ac+bc = a+b+ab+c+(a+b+ab+c) = (a+b+ab)o c = (a⊙b)⊙c G2) Seja o ∈ 𝑅\{-1} ao b = a a+b+ab = a ⇒ a+b+ab = a b+ab = 0 b(1+a) = 0 (c1 b1) (c2 b2) (c1+c2 b1+b2) + = + + ∈ H (c1 -a1) (c2 -a2) (c1+c2 -a1-a2) SG 2) Seja ( c1 b1 ) ∈ M ( c -a ) -( c1 + b1 ) = ( -c -b ) ∈ H. ( c -a) -( c -a ) Portanto, M ≤ M2((𝑅)). 7) (G:H) = 2 => Existem duas classes laterais, tanto à direita quanto à esquerda de H: {H ∪ Hg = G, g ∉ H H ∩ gH = ∅ ∀ g ∉ G , gH = Hg ∴ H ⊑ G (𝑅,⊕) G1) Sejam a,b,c ∈ 𝑅. (a⊕(b⊕c)) = a⊕(b⊕c⊕1) = a+(b+c⊕1)+1 = = (a⊕b⊕1)⊕c⊕1 = (a⊕b⊕1)⊕c = (a⊕b)⊕c G2) Seja a ∈ 𝑅. a⊕(-1) = a+(-1)+1 = a ⇒ -1 = e_{(𝑅,⊕)} G3) Seja a ∈ 𝑅 a⊕b = e_{(𝑅,⊕)} a⊕b⊕1 = -1 b = a-2 ⇒ a-2 é o inverso de a com relação a ⊕. _______________________________________________________________________________________________________________ G3) Seja a ∈ ℝ \ {-1} . a⊙b = e ∈ (ℝ\{-1},⊙) a+b + ab = 0 b(1+a) = -a a ≠ -1 1+ a ≠ O b = - a / 1+ a → o inverso de a com relação a ⊙ é - a / 1+ a G4) Sejam a,b ∈ ℝ \ {-1} . a⊙b = a+b+ab = b+a+ba = b⊙a ., (ℝ\{-1},⊙) é grupo abeliano . 3) Distributividade sejam a,b,c ∈ ℝ, a⊙(b⊙c) = a⊙(b+c+1) = a+b+c+1+a(b+c+1)= a+b+c+1+ab+ac+a = (a+b+ab)+(a+c+ac)+1= = (a+b+ab)+(a+c+ac) = a⊙b ⊙ a⊙c Portanto, (ℝ, ⊕, ⊙) é corpo . 9) a) Os elementos inversíveis de Z 12 são as classes cujos representantes são primos com 12, ou seja , a̅ ∈ ℤ 12 é inversível mdc (a, 12) = 1 Assim, os elementos inversíveis de Z 12 são 1̅, 5̅,7̅, 11̅. Os divisores de zero de Z 12 são as classes não-nulas cujos representantes têm mdc com 12 maior que 1, ou seja ; a̅ ∈ ℤ 12 é divisor de zero ⇔ mdc(a,12)>1 Assim, os divisores de zero de Z 12 são 2̅, 3̅, 4̅, 6̅, 8̅, 9̅, 10̅. b) 1̅ 5̅ 7̅ 11̅ -------------------- 1̅ 1̅ 5̅ 7̅ 11̅ 5̅ 5̅ 1̅ 5̅ 7̅ 1̅ 7̅ 5̅ 11̅ 11̅ 7̅ 5̅ 1̅ 25̅ = 24̅ + 1̅ = 1̅ 35̅ = 24̅ + 11̅ = 11̅ 55̅ = 48̅ + 7̅ = 7̅ 49̅ = 48̅ + 1̅ = 1̅ 72̅ = 72̅ + 5̅ = 5̅ 120̅ = 120̅ + 1̅ = 1̅ ∀ a̅ ∈ U(ℤ 12) , a̅^⁻¹ = a̅ c) 2̅ . 6 = 12̅ = 0̅ 3̅ . 4 =12̅ = 0̅ 8̅ . 3 = 24 = 0̅ 9̅ . 4̅ = 36 = 0̅ 10̅ . 6 = 60 = 0̅ Como qualquer subgrupo cíclico em \(\mathbb{Z}_{12}\) é formado por múltiplos (do gerador), \(\forall \overline{a} \in (\mathbb{Z}_{12}, +), \forall \overline{b} \in \langle \overline{a} \rangle, \forall \overline{c} \in \mathbb{Z}_{12}, \overline{b} \cdot \overline{c} \in \langle \overline{a} \rangle \) ⇒ Os subgrupos cíclicos aditivos de \(\mathbb{Z}_{12}\) são ideais ⇒ \( \langle \overline{0} \rangle = \{ \overline{0} \} \) é ideal ⇒ \( \langle \overline{1} \rangle = \mathbb{Z}_{12} \) é ideal ⇒ \( \langle \overline{2} \rangle = \{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6}, \overline{8}, \overline{10} \} \) é ideal ⇒ \( \langle \overline{3} \rangle = \{ \overline{0}, \overline{3}, \overline{6}, \overline{9} \} \) é ideal ⇒ \( \langle \overline{4} \rangle = \{ \overline{0}, \overline{4}, \overline{8} \} \) é ideal ⇒ \( \langle \overline{6} \rangle = \{ \overline{0}, \overline{6} \} \) é ideal.