TESTEVACA 1718147128225 mat1106 pdf

2) Prova por Contradição: Vamos assumir que 𝑓 não é nem a função identidade nem a função constante zero e mostrar que isso leva a uma contradição. Assumimos que existe 𝑎 ∈ 𝑄 tal que 𝑓(𝑎) = 𝑐 ≠ 0. Para 𝑥 = 1 e 𝑦 = 1: Usando a primeira propriedade: 𝑓(2) = 𝑓(1 + 1) = 𝑓(1) + 𝑓(1) = 2𝑓(1) Denotando 𝑓(1) = 𝑐: 𝑓(2) = 2𝑐 Usando a segunda propriedade: 𝑓(1 ⋅ 1) = 𝑓(1)𝑓(1) = 𝑐 ⋅ 𝑐 = 𝑐2 Se 𝑐 = 0, 𝑓(𝑥) = 0 para todo 𝑥, contradizendo 𝑐 ≠ 0. Para 𝑥 = 2 e 𝑦 = 1: 𝑓(2 ⋅ 1) = 𝑓(2)𝑓(1) = 2𝑐 ⋅ 𝑐 = 2𝑐2 Se 2𝑐 ≠ 0, então 𝑐 = 1. Portanto, 𝑓(1) = 1, e usando as duas propriedades, pode-se estender para qualquer número racional que 𝑓(𝑥) = 𝑥. Assim, 𝑓 deve ser ou a função identidade ou a função constante zero. 5. (a) (𝑥 ⋅ 𝑦)𝑚 = 𝑥𝑚 ⋅ 𝑦𝑚 , se 𝑥 ⋅ 𝑦 = 𝑦 ⋅ 𝑥 • Para m=1: (𝑥 ⋅ 𝑦)1 = 𝑥 ⋅ 𝑦 e 𝑥1 ⋅ 𝑦1 = 𝑥 ⋅ 𝑦 Logo, a base da indução é verdadeira. • Suponha que a propriedade seja verdadeira para 𝑚 = 𝑘, ou seja, (𝑥 ⋅ 𝑦)𝑘 = 𝑥𝑘 ⋅ 𝑦𝑘 Queremos provar que a propriedade também é verdadeira para 𝑚 = 𝑘 + 1. Então: (𝑥 ⋅ 𝑦)𝑘+1 = (𝑥 ⋅ 𝑦)𝑘 ⋅ (𝑥 ⋅ 𝑦) Pela hipótese de indução, temos: (𝑥 ⋅ 𝑦)𝑘+1 = (𝑥𝑘 ⋅ 𝑦𝑘) ⋅ (𝑥 ⋅ 𝑦) Usando a associatividade e comutatividade, obtemos: (𝑥𝑘 ⋅ 𝑦𝑘) ⋅ (𝑥 ⋅ 𝑦) = 𝑥𝑘 ⋅ (𝑦𝑘 ⋅ 𝑥) ⋅ 𝑦 = 𝑥𝑘 ⋅ (𝑥 ⋅ 𝑦𝑘) ⋅ 𝑦 = (𝑥𝑘 ⋅ 𝑥) ⋅ (𝑦𝑘 ⋅ 𝑦) = 𝑥𝑘+1 ∙ 𝑦𝑘+1 Propriedade (b): (𝑥𝑚)𝑛 = 𝑥𝑚∙𝑘 • Para 𝑛 = 1: (𝑥𝑚)1 = 𝑥𝑚 e 𝑥𝑚∙1 = 𝑥𝑚 Logo, a base da indução é verdadeira. • Suponha que a propriedade seja verdadeira para 𝑛 = 𝑘, ou seja, (𝑥𝑚)𝑘 = 𝑥𝑚∙𝑘 Queremos provar que a propriedade também é verdadeira para 𝑛 = 𝑘 + 1. Então: (𝑥𝑚){𝑘+1} = (𝑥𝑚)𝑘 ⋅ 𝑥𝑚 Pela hipótese de indução, temos: (𝑥𝑚){𝑘+1} = 𝑥{𝑚 ⋅𝑘} ⋅ 𝑥𝑚 Usando a definição de potência, obtemos: 𝑥{𝑚 ⋅𝑘} ⋅ 𝑥𝑚 = 𝑥{𝑚 ⋅𝑘 + 𝑚} = 𝑥{𝑚 ⋅(𝑘 + 1)}