TESTEVACA 1719259576813 atvalgelin pdf

Seja a transformação linear P2(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}^2 definida por \( T(ax^2 + bx + c) = (a + b, b - c) \) e considere as seguintes afirmações: I) O polinômio \( p(x) = 2x^2 - 2x + 5 \) pertence ao \( N(T) \). II) \( N(T) = \{ x^2 - x - 1 \} \). III) \( B = \{ x^2 - x - 1 \} \) é base para \( N(T) \) e \( \dim_R N(T) = 1 \). Assinale a alternativa correta: \(\ \ \) a. \ \ As afirmações II e III estão corretas. ⭕ b. \ \ Apenas a afirmação II é correta. c. \ \ Todas as afirmações I, II e III estão corretas. Encontrando \(N(T)\): \( (a+b, b-c) = (0,0) \) \( a+b=0 \Rightarrow b=-a \) \( b-c=0 \Rightarrow b=c \) Então, \( ax^2+bx+c = ax^2 - ax - a \) \( = a(x^2, x - 1) \) \( I. \ \ 2x^2 - 2x+5 \ \ \cancel{\in} \ \ N(T) \) (base) II. \ \ \ \checkmark III. \ \ \ \checkmark Qual o operador linear \( T : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2 \) tem como matriz canônica: \( [T] = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \) Assinale a alternativa correta: a. \ \ T(x, y) = (x-y, -2x + 3y) b. \ \ T(x, y) = (x-y, -2x - 3y) ⭕ c. \ \ T(x, y) = (x-y, 2x + 3y) d. \ \ T(x, y) = (-x + y, 2x + 3y) Sabemos que \( \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \), então \( [T] \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} = T(x,y) = (x-y, 2x+3y) \) Sejam os operadores lineares \( T : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2 \) definido por \( T(x, y) = (x, x-y) \) e \( S : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2 \) definido por \( S(x, y) = (x + y, 2x) \). É correto afirmar que a matriz canônica de \( T \circ S \) é \( \ \ \ \ \ \ [T \circ S] = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \) ⭕ Verdadeiro Falso Primeiro, temos que \( T \circ S = ((x+y), (x+y) - (2x)) \) \( = (x+y, -x+y) \) ou em forma matricial: \( T \circ S = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \) Seja a transformação linear T : R^3 → R^2 definida por T(x, y, z) = (3x + 2y − 4z, x − 5y + 3z) e as bases B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} e B' = {(1, 3), (2, 5)} dos espaços vetoriais R^3 e R^2, respectivamente. Qual a matriz de transformação linear [T]_B,B' ? a. [T]_B,B' = ( 2 -33 -13 ) ( 4 19 2 ) b. [T]_B,B' = ( -7 -33 -13 ) ( 4 19 8 ) c. [T]_B,B' = ( -7 -7 -7 ) ( 4 4 4 ) d. [T]_B,B' = ( 4 -19 -8 ) ( -7 33 13 ) Portanto, de fato, o operador T é diagonalizável! Primeiramente, vamos determinar T para cada vetor da base B: T(1,1,1) = (3.1 + 2.1 - 4.1, 1 - 5.1 + 3.1) = (1, -1) T(1,1,0) = (3.1 + 2.1 - 4.0, 1 - 5.1 + 3.0) = (5, -4) T(1,0,0) = (3.1 + 2.0 - 4.0, 1 - 5.0 + 3.0) = (3,1) Agora, devemos resolver os sistemas gerados por esses vetores em função dos vetores da base B'. Ou seja: x(1,3) + y(2,5) = (1, -1) → sistema 1 x(1,3) + y(2,5) = (5, -4) → sistema 2 x(1,3) + y(2,5) = (3, 1) → sistema 3 Resolvendo sistema 1: { x + 2y = 1 → x = 1 - 2y 3x + 5y = -1 → 3(1 - 2y) + 5y = -1 → 3 - 6y + 5y = -1 → 3 - y = -1 → y = 4 => x = 1 - 2.4 = -7 Resolvendo sistema 2: { x + 2y = 5 → x = 5 - 2y 3x + 5y = -4 → 3(5 - 2y) + 5y = -4 → 15 - 6y + 5y = -4 → 15 - y = -4 => y = -19 => x = 5 - 2.19 = 5 - 38 = -33 Resolvendo sistema 3: { x + 2y = 3 → x = 3 - 2y 3x + 5y = 1 → 3(3 - 2y) + 5y = 0 → 9 - 6y + 5y = 0 → 9 - y = 1 => y = 8 => x = 3 - 2.8 = -13 Assim, [T]_B,B' vai ser dada pelas soluções desses sistemas. Da seguinte forma: [T]_B,B' = ( x x x ) ( y y y ) [T]_B,B' = ( -7 -33 -13 ) ( 4 19 8 ) Portanto, Sejaam as transformações lineares: T : R^2 → M_2(R) e S : R^2 → M_2(R) definidas por: T(x,y) = ( x 5y ) ( x + y 3x ) S(x,y) = ( x + y 6y ) e considere as seguintes afirmações: ( −x 0 ) I) (T + S)(x, y) = ( 2x + y 11y ) II) N(T + S) = {(0,0)}; III) B = ( 2 ( 0 1 ) ( 11 1 ) é base 0 1 ) 0 para Im(T+S). Com base nas afirmações acima, assinale a alternativa CORRETA: a. Somente a afirmação II é correta. b. Todas as afirmações I, II e III são corretas. c. Somente a afirmação I é correta. Portanto, N(T+S) = {(0,0)}. Determinado a imagem de T+S: Im(T+S) = ( 2x+y 11y ) = x ( 2 0 ) + y ( 1 1 ) ( y 4x ) ( 0 0 ) ( 1 0 ) Como as matrizes são L.I., então formam uma base de Im(T+S). Determinando os autovalores: Antes, veja que a matriz associada ao operador é \( A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \) \( \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 2 - \lambda & 2 \\ 1 & 3 - \lambda \end{vmatrix} \) \( = (2-\lambda)(3-\lambda) - 2 \cdot 1 = \lambda^2 - 5\lambda + 4 = 0 \) \( = (\lambda - 1)(\lambda - 4) = 0 \) Ou seja, \[ \begin{cases} \lambda = 1 \\ \lambda = 4 \end{cases} \] são os autovalores. Encontrando os autovetores: Para \(\lambda = 1\): \( \begin{bmatrix} 2-1 & 2 \\ 1 & 3-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 0 \) \( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 0 \) \( x + 2y = 0 \Rightarrow x = -2y \) Então \( v_1 = (-2,1) \) Para \(\lambda = 4\): \( \begin{bmatrix} 2-4 & 2 \\ 1 & 3-4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 0 \) \( \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 0 \) \( -2x + 2y = 0 \Rightarrow 2x = 2y \) Então \( v_2 = (1,1) \) Caso \( \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \) \( = 1 - (-2.1) = 3 \neq 0 \) \( v_1 \) e \( v_2 \) são L.I. \text{(matriz com os autovetores nas colunas)}