TESTINGTHEINDEX 1726853521365 USF_EAD_Cálculo_diferencial_e_integral_Completo 1 1 pdf

MURILLO PRETO CARDOSO JUNIOR CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2023 Murillo Preto Cardoso Junior USF UNIVERSIDADE SÃO FRANCISCO PRESIDENTE Frei Thiago Alexandre Hayakawa, OFM DIRETOR GERAL Jorge Apóstolos Siarcos REITOR Frei Gilberto Gonçalves Garcia, OFM VICE-REITOR Frei Thiago Alexandre Hayakawa, OFM PRÓ-REITOR DE ADMINISTRAÇÃO E PLANEJAMENTO Adriel de Moura Cabral PRÓ-REITOR DE ENSINO, PESQUISA E EXTENSÃO Dilnei Giseli Lorenzi COORDENADOR DO NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA - NEAD Franklin Portela Correia CENTRO DE INOVAÇÃO E SOLUÇÕES EDUCACIONAIS - CISE Franklin Portela Correia PROJETO GRÁFICO Centro de Inovação e Soluções Educacionais - CISE CAPA Centro de Inovação e Soluções Educacionais - CISE DIAGRAMADORES Andréa Ercília Calegari © 2023 Universidade São Francisco Avenida São Francisco de Assis, 218 CEP 12916-900 – Bragança Paulista/SP CASA NOSSA SENHORA DA PAZ – AÇÃO SOCIAL FRANCISCANA, PROVÍNCIA FRANCISCANA DA IMACULADA CONCEIÇÃO DO BRASIL – ORDEM DOS FRADES MENORES MURILLO PRETO CARDOSO JUNIOR Licenciado em Matemática pela Universidade São Francisco, pós graduado em Ensino de Física e Matemática pela Centro Universitário do Sul de Minas. Atualmente docente da Universidade São Francisco atuante nas componentes curriculares de Cálculo Diferencial e Integral de uma variável, Cálculo Diferencial e Integral de múltiplas variáveis, Princípios de Fenômenos de Transporte, Probabilidade e Estatística, Cálculo Vetorial, entre outras. Atuei também como professor da rede estadual de ensino do estado de São Paulo e instrutor de matemática e física no Laboratório de Matemática da Universidade São Francisco do campus de Itatiba. Além de contribuições no Programa de Atualização em Física da Universidade São Francisco. O AUTOR SUMÁRIO UNIDADE 01: PRINCÍPIOS DO CÁLCULO DIFERENCIAL .................................6 1. Funções ...............................................................................................................7 2. Limite de uma função ..........................................................................................13 3. Derivadas, Conceito e Definição .........................................................................34 4. Exercícios Comentados ......................................................................................43 UNIDADE 02: REGRAS E APLICAÇÕES DO CÁLCULO DIFERENCIAL ...........54 1. Tipos de Funções e Regras de Derivação ..........................................................54 2. Derivadas de Ordem Superiores .........................................................................65 3. Diferenciação Implícita e taxas relacionadas ......................................................67 4. Aplicações de Derivadas .....................................................................................71 5. Exercícios Comentados ......................................................................................82 UNIDADE 03: PRINCÍPIOS DO CÁLCULO INTEGRAL ........................................96 1. Princípios do Cálculo Integral ..............................................................................97 2. Integrais Definidas ...............................................................................................106 3. Aplicações de Integrais .......................................................................................117 4. Exercícios Comentados ......................................................................................127 UNIDADE 04: MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO, CÁLCULO DE ÁREAS E VOLUMES ....................................................................................................................................136 1. Métodos de Integração ........................................................................................137 2. Área entre curvas ................................................................................................148 3. Sólidos de Revolução ..........................................................................................154 4. Exercícios Comentados ......................................................................................161 6 1 Princípios do Cálculo Diferencial UNIDADE 1 PRINCÍPIOS DO CÁLCULO DIFERENCIAL INTRODUÇÃO O cálculo diferencial é uma das áreas fundamentais do cálculo, que estuda as derivadas e suas aplicações. Ele é usado para calcular a taxa de variação instantânea de fun- ções e para entender como as funções se comportam em pontos críticos. A principal ideia do cálculo diferencial é que, para entender como uma função está mu- dando em um determinado ponto, podemos aproximar a função por uma reta tangente nesse ponto e calcular a inclinação dessa reta. A inclinação da reta tangente é a deriva- da da função nesse ponto. A partir daí, é possível usar a derivada para resolver uma variedade de problemas, como encontrar máximos e mínimos de funções, determinar taxas de variação instan- tâneas em problemas de física e economia, entre outros. A derivada também é usada para estudar a forma de curvas e superfícies em geometria diferencial. O desenvolvimento do cálculo é atribuído a duas pessoas que trabalharam independen- temente em seus estudos: Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz. Isaac Newton, um matemático e físico inglês, é frequentemente creditado como o criador do cálculo. Em 1687, ele publicou sua obra mais famosa, “Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica”, em que apresentou suas ideias sobre cálculo diferencial e integral. Figura 01. Isaac Newton Fonte: 123RF 7 1 Universidade São Francisco Cálculo Diferencial e Integral Gottfried Wilhelm Leibniz, um matemático, filóso- fo e diplomata alemão, também é creditado como cocriador do cálculo. Leibniz desenvolveu indepen- dentemente sua própria notação para o cálculo, que ainda é usada hoje em dia, e publicou seus re- sultados em 1684. Apesar de Newton e Leibniz terem trabalhado in- dependentemente, suas ideias eram bastante se- melhantes e ambos são considerados cocriadores do cálculo. O Cálculo é considerado uma das áre- as mais importantes e influentes da matemática e tem uma ampla gama de aplicações em física, en- genharia, ciência da computação, economia, entre outras áreas. 1. FUNÇÕES As funções são ferramentas fundamentais na compreensão e modelagem de fenôme- nos e sistemas complexos. Elas representam uma relação entre dois ou mais con- juntos de valores, geralmente denotados por domínio e imagem, onde cada valor do domínio é associado a um valor correspondente na imagem. Fonte: 123RF Figura 02. Gottfried Wilhelm Leibniz Figura 03. Domínio e Imagem de uma função Fonte 123RF. As funções podem ser representadas de diversas formas, como por meio de equações, gráficos ou tabelas, e podem ser utilizadas para resolver problemas em áreas como física, economia, engenharia, entre outras. 8 1 Princípios do Cálculo Diferencial Figura 04. Representação gráfica de uma função Fonte 123RF. Existem diversos tipos de funções matemáticas, incluindo as funções lineares, quadrá- ticas, exponenciais, logarítmicas, trigonométricas, entre outras. Cada tipo de função possui características próprias que permitem sua utilização em diferentes situações e problemas. O estudo das funções matemáticas é essencial para a compreensão de di- versos conceitos da matemática, e é uma das bases para o desenvolvimento de outras áreas, como a análise matemática e a teoria das equações diferenciais. Existem inúmeros exemplos de funções matemáticas, alguns dos quais são: I. Função linear: ( )= + f x ax b , onde a e b são constantes e x é a variável in- dependente. II. Função quadrática: ( ) 2 = + + f x ax bx c , onde a, b e c são constantes e x é a variável independente. III. Função exponencial: ( )= x f x a , onde a é uma constante positiva e x é a va- riável independente. IV. Função logarítmica: ( ) =log ( ) a f x x , onde a é uma constante positiva e x é a variável independente. V. Funções trigonométricas: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , sen x cos x tg x cotg x sec x cossec x , onde x é a variável independente. VI. Função raiz quadrada: f ( )=√ x x , onde x é a variável independente. VII. Função valor absoluto: f ( )= x x , onde x é a variável independente. VIII. Função polinomial: ( ) 1 1 1 0 0 1 ... , , , ..., n ondea a a − − = + + + + n n n n f x a x a x a x a são constantes e x é a variável independente. 9 1 Universidade São Francisco Cálculo Diferencial e Integral Exemplo de aplicação Um engenheiro precisa dimensionar a seção transversal de um cabo de aço que será utiliza- do em um guindaste que irá suportar uma carga máxima de 10 toneladas. A resistência do cabo de aço é dada por, 2 , 4 R π d σ = Esses são apenas alguns exemplos de funções matemáticas comuns, mas há muitas outras variações e combinações de funções que podem ser criadas e utilizadas em diferentes contextos e aplicações matemáticas. Exemplo: Considere a função matemática, ( ) 2 1 x f x x + = Determine o valor da função para x = −2 , x = 5 e x =10 . Resolução: A resolução desta questão consiste em determinar a imagem da função substituindo o valor de x na função fornecida. Vejamos: Para x = −2 , ( ) ( ) 2 2 1 4 1 5 5 2 2 2 2 2 f − + + − = = = = − − − − Para x = 5 , ( ) 25 1 25 1 26 5 5 5 5 f + + = = = Para 10 x = ( ) 102 1 100 1 101 10 10 10 10 f + + = = = Princípios do Cálculo Diferencial onde d é o diâmetro do cabo em milímetros e σ é a tensão máxima que o cabo pode suportar em N/mm². O engenheiro sabe que a tensão máxima que o cabo pode suportar é de 2000 N/mm². Qual deve ser o diâmetro mínimo do cabo de aço para suportar a carga máxima? Resolução Para resolver essa questão, é necessário utilizar a fórmula, R = \frac{\pi}{4} d^2 \sigma Isolando d, obtemos d em função de R e σ d = \sqrt{\frac{4R}{\pi \sigma}} Substituindo os valores de R = 10.000 kgf = 10.000 \cdot 9,81 N \ e \ \sigma = 2.000 N / mm², temos d = \sqrt{\frac{4 \cdot 10.000 \cdot 9,81}{\pi \cdot 2.000}} \approx 8,91 mm. 1.1. DOMÍNIO E IMAGEM As funções são relações matemáticas entre dois conjuntos, geralmente chamados de domínio e contradomínio. O domínio é o conjunto de valores que a função pode receber como entrada e o contradomínio (ou imagem) é o conjunto de valores que a função pode produzir como saída. Por exemplo, a função f(x) \equiv x^2 tem como domínio todos os números reais e como contra-domínio (ou imagem) todos os números reais não negativos. Isso significa que, para qualquer valor real que você escolha para x, a função sempre produzirá um valor não negativo. 11 1 Universidade São Francisco Cálculo Diferencial e Integral Figura 05. Gráfico da função ( ) ² f x x = Fonte: elaborada pelo autor. É importante notar que nem sempre todos os valores do contradomínio são produzidos pela função. No exemplo acima, a função só produz valores positivos, então não é pos- sível obter valores negativos como resultado. O conhecimento do domínio e da imagem de uma função é fundamental para entender o comportamento da função e para realizar operações com ela, como a composição de funções e a resolução de equações. ` Domínio de uma função O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores que a variável indepen- dente (normalmente representada por “x”) pode assumir, de modo que a função seja definida e produza um resultado válido. Em outras palavras, é o conjunto de valores que podemos colocar na função sem que ela resulte em uma divisão por zero, uma raiz quadrada negativa ou em qualquer outra condição que impeça a existência de um resultado numérico real. Por exemplo, considerando a função ( ) 1ü f x x = o domínio é o conjunto de todos os valores de x diferentes de zero, porque a divisão por zero não está definida. 12 1 Princípios do Cálculo Diferencial o domínio é o conjunto de todos os valores de x que pertencem ao intervalo 2 2 x − ≤ ≤ , porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real. Observe que se tomarmos valores fora do intervalo definido, como x = 3 ou 3 x = − , a imagem da função g não existirá para o conjunto dos números Reais. ( ) 1 0 0 f = =  Já para a função, ( ) 4 2 , g x x = − ( ) ( ) 2 3 4 3 4 9 5 g = − = − = − =  ( ) ( ) 2 3 4 3 4 9 5 g − = − − = − = − =  (Observação: −5 não existe para o conjunto dos números Reais, mas se considerar- mos o conjunto dos números Complexos está operação passa a ter solução) Agora escolhendo um valor de x pertencente ao intervalo citado, como x =1 ou x = 0 , a imagem existe e é definida para o conjunto dos números Reais. ( ) ( ) 2 1 4 1 4 1 3 g = − = − = ( ) 2 0 4 0 4 0 4 2 g = − = − = = É importante observar que o domínio é uma restrição fundamental na definição de uma função, porque define quais valores podem ser inseridos na função. Além disso, o do- mínio pode variar de uma função para outra, dependendo da expressão matemática utilizada e das restrições que ela impõe. 13 1 Universidade São Francisco Cálculo Diferencial e Integral ` Imagem de uma função A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a variável dependente (normalmente representada por “y” ou “f(x)”) pode assumir quando os valores corres- pondentes da variável independente são colocados na função. Em outras palavras, a imagem é o conjunto de todos os resultados possíveis da função. Por exemplo, considerando a função ( ) f x 2 = x , o conjunto imagem é o conjunto de to- dos os números reais maiores ou iguais a zero, porque o quadrado de qualquer número real é sempre um número positivo ou zero. Já para a função ( ) ( ) g x =sen x , a imagem é o conjunto de todos os valores reais entre -1 e 1, porque o valor do seno de um ângulo está sempre entre esses dois limites. Figura 06. Gráfico da função ( ) ( ) g x sen x = Fonte: elaborada pelo autor. Assim como o domínio, a imagem é uma restrição fundamental na definição de uma fun- ção, porque define quais valores a função pode assumir. É importante observar que a imagem pode variar de uma função para outra, dependendo da expressão matemática utilizada e das restrições que ela impõe. 2. LIMITE DE UMA FUNÇÃO Os limites são um conceito fundamental na análise matemática e são utilizados para estudar o comportamento das funções quando uma variável se aproxima de um determinado valor. Basicamente, um limite é a maneira de determinar o que uma função se aproxima à medida que sua variável independente se aproxima de um valor específico. 14 1 Princípios do Cálculo Diferencial Figura 07. Notação de Limite Fonte: elaborada pelo autor. Por exemplo, considere a função, ( ) 2 1 1 x f x x − = − Se quisermos saber o que essa função se aproxima quando x se aproxima de 1, pode- mos usar o conceito de limite. Nesse caso, substituir diretamente 1 x= na função resul- taria em uma divisão por zero, o que é indeterminado. No entanto, podemos encontrar o limite de ( ) f x quando x se aproxima de 1 calculando os valores de ( ) f x para valores de x cada vez mais próximos de 1. A expressão a seguir representa a notação do cálculo do limite da função citada ante- riormente quando o valor de x se aproxima de 1. 2 1 1 lim 1 x x → x − − A notação, x →1 , indica que o valor de x se aproxima de 1. Os limites matemáticos são importantes não só para o estudo da análise matemática, mas também para muitas outras áreas da matemática e ciência. Eles são frequente- mente usados em cálculo, álgebra, física, engenharia, economia e muitas outras disci- plinas. Entender os limites matemáticos é, portanto, fundamental para quem deseja ter uma compreensão sólida de matemática e suas aplicações práticas. 15 1 Universidade São Francisco Cálculo Diferencial e Integral 2.1. CÁLCULO DE LIMITES POR MÉTODOS NUMÉRICOS Métodos numéricos são técnicas matemáticas para resolver problemas que envolvem cálculos numéricos. Eles são usados para obter soluções aproximadas para problemas matemáticos que não podem ser resolvidos exatamente. No estudo de limites utilizamos os métodos numéricos para realizar aproximações do valor de x para um valor especificado e assim averiguar a tendência da imagem da fun- ção conforme x torna-se próximo do valor especificado. Importante, ressaltarmos que ao nos referirmos às aproximações numéricas devemos nos atentar a existência de duas formas de aproximação. Consideremos o número 3, podemos nos aproximar pelos valores menores que 3 e pelos valores maiores que 3, sendo assim ao realizar o método numérico de aproximação para o cálculo de limite devemos averiguar ambas as aproximações. Fonte: elaborada pelo autor. Figura 08. Caminhos de aproximação O valor de aproximação ou região de aproximação de x é indicado pela notação x c → , e, no exemplo x → 3 representa a aproximação de x ao valor 3. Já as aproximações laterais são representadas por x → c− (Lateral Esquerda) para os valores menores que c e x → c+ (Lateral Direita) para os valores maiores que c, no exemplo temos que 3 x − → e 3 x + → indicando respectivamente as aproximações pelos valores menores que 3 e pelos valores maiores que 3. Estes caminhos de aproximação são chamados de Aproximações Laterais, os quais permitem averiguarmos a tendência da imagem lateralmente, sendo estes denomina- dos Limites Laterais de f . Limites laterais são um conceito importante em cálculo que se referem à aproximação de um ponto pela esquerda ou pela direita em uma função. Eles são utilizados para determinar a existência e o valor de um limite quando uma função se aproxima de um determinado ponto. 16 1 Princípios do Cálculo Diferencial Formalmente, o limite lateral de uma função f(x) quando x se aproxima de um ponto c, pela esquerda (x < c) ou pela direita (x > c), é dado por: Limite lateral pela esquerda: ( ) lim x c f x A → − = Limite lateral pela direita: ( ) lim x c f x B → + = Onde A e B são valores reais ou infinitos. O limite lateral pela esquerda é obtido avaliando-se a função para valores de x que são menores que c, enquanto o limite lateral pela direita é obtido avaliando-se a função para valores de x que são maiores que c. Quando os limites laterais são iguais, o limite da função existe e é dado pelo valor comum. Quando os limites laterais não são iguais, o limite da função não existe. Quadro 01. Teorema dos Limites Teorema dos Limites O valor do limite de quando x se aproxima de um valor determinado c existe, se e somente se, os valores dos limites laterais são iguais. Ou seja, ( ) ( ) lim lim x c x c f x f x L − + → = → = Então, ( ) lim x c f x L → = Caso os limites Laterais sejam diferentes ( ) ( ) lim lim x c x c f x f x − + → → ≠ Então, ( ) lim x →c f x =  Fonte: elaborado pelo autor. 17 1 Universidade São Francisco Cálculo Diferencial e Integral Exemplo 01 Considerando a função, ( ) 2 4 2 x f x x − = − Determine o limite de f quando x se aproxima de 2. Resolução: Neste caso, desejamos obter ( ) 2 lim x f x → , ou seja, queremos determinar valor de aproxima- ção da imagem da função f conforme o valor de x se aproxima do valor 2. Para obter este limite, iremos utilizar o método numérico de aproximação, sendo assim ire- mos analisar para quanto a imagem se aproxima quando x se aproxima de 2 pela esquerda (valores menores que 2, 2 x − → ) e para quando x se aproxima de 2 pela direita (valores maiores que 2, 2 x + → ). Calculando os Limites Laterais Para obter os limites laterais, iremos escolher valores próximo de 2 mas diferentes de 2 e calcular respectivamente suas imagens. I. Limite Lateral Esquerdo Tabela de Aproximação Analisando a tabela de aproximação, observamos que a imagem da função f se torna cada vez mais próxima de 4 conforme valor de x se aproxima de 2, pelo caminho de valores menores que 2, sendo assim: x f(x) 1,9 3,900 1,99 3,990 1,999 3,999 Fonte: elaborada pelo autor. Tabela 01. Aproximação pelos menores que 2 Os limites laterais são importantes porque muitas funções não possuem um limite bem definido em um determinado ponto, ou porque o limite pode ser diferente de acordo com o lado pelo qual o ponto se aproxima. Os limites laterais permitem que os cálculos sejam feitos para aproximações de pontos específicos, e para isso é importante deter- minar os limites laterais adequadamente. 18 1 Princípios do Cálculo Diferencial ( ) 2 lim 4 x f x → − = II. Limite Lateral Direito Tabela de Aproximação Tabela 02. Aproximação pelos maiores que 2 Analisando a tabela de aproximação, observamos que a imagem da função f se torna cada vez mais próxima de 4 conforme valor de x se aproxima de 2, pelo caminho de valores maiores que 2, sendo assim: ( ) 2 lim 4 x → + f x = III. Conclusão Pelo Teorema dos Limites, temos que o limite de uma função existe, se e somente se, os limites laterais são iguais. Neste caso, temos que, ( ) ( ) 2 2 lim lim 4 x x f x f x − + → = → = Sendo assim, ( ) 2 lim 4 x → f x = Este último, indica que independentemente do caminho escolhido, podemos afirmar que quanto mais próximo de 2 o valor de x, mais próximo de 4 a imagem da função f . x f(x) 2,1 4,1 2,01 4,01 2,001 4,001 Fonte: elaborada pelo autor. Exemplo 02 Dada a função intervalar, ( ) 2 1, 1 2 , 1 x x f x x x  + ≥ =  − <  19 1 Universidade São Francisco Cálculo Diferencial e Integral Determine, caso exista, o limite da função quando o valor de x tende a 1. Resolução Uma função intervalar é uma função que apresenta uma relação para um certo intervalo e outra relação para outro intervalo de x. No caso, da função do exemplo, temos que para um valor menor que 1 ( x <1) a função obedece a relação 2 − x , enquanto que para um valor maior ou igual a 1 ( x ≥1) a função obedece a relação ² x +1 . Como desejamos determinar, ( ) 1 lim x f x → , iremos analisar os limites laterais da função, to- mando o cuidado em utilizar as relações de forma correta. Quando nos aproximarmos pelos valores menores que 1 utilizaremos 2 − x e quando nos aproximarmos pelos valores maio- res que 1 utilizaremos ² x +1 . I. Limite Lateral Esquerdo Tabela de Aproximação Tabela 03. Limite Lateral Esquerdo Analisando a tabela de aproximação, observamos que a imagem da função f se torna cada vez mais próxima de 1 conforme valor de x se aproxima de 1, pelo caminho de valores menores que 1, sendo assim: ( ) 1 lim 1 x → − f x = II. Limite Lateral Direito Tabela de Aproximação x ( ) = 2 − f x x 0,9 1,1 0,99 1,01 0,999 1,001 Fonte: elaborada pelo autor. Fonte: elaborada pelo autor. x ( ) 2 1 = + f x x 1,1 2,21 1,01 2,0201 1,001 2,002001 Tabela 04. Limite Lateral Direito 20 1 Princípios do Cálculo Diferencial Analisando a tabela de aproximação, observamos que a imagem da função f se torna cada vez mais próxima de 2 conforme valor de x se aproxima de 1, pelo caminho de valores maiores que 1, sendo assim: ( ) 1 lim 2 x → + f x = III. Conclusão Pelo Teorema dos Limites, temos que o limite de uma função existe, se e somente se, os limites laterais são iguais. Neste caso, temos que, ( ) ( ) 1 1 lim lim x x f x f x − + → → ≠ Sendo assim, ( ) 1 lim x → f x =  Este último, indica que o limite não existe, pois os limites laterais são diferentes. 2.2. CÁLCULO DE LIMITES POR ANÁLISE GRÁFICA A análise gráfica ou método gráfico é um meio visual que a partir da leitura do gráfico da função podemos analisar o seu comportamento, os métodos gráficos são convenientes se o gráfico da função for conhecimento e se tivermos a nossa disposição softwares gráficos que permitam a rápida construção do gráfico de f . Caso contrário outros métodos como meios analíticos, numéricos ou computacionais são mais convenientes. O método gráfico para determinar limites de uma função em um ponto envolve a re- presentação da função em um gráfico, onde é possível visualizar o comportamento da função em torno do ponto em questão. Para utilizar esse método, é necessário seguir os seguintes passos: I. Identificar o ponto em que se deseja determinar o limite da função. II. Observar o comportamento da função próximo ao ponto em questão, visualizando como a função se aproxima ou se afasta de um determinado valor. III. Se a função se aproxima de um valor específico à medida que x se aproxima do ponto em questão, então esse valor é o limite da função nesse ponto. 21 1 Universidade São Francisco Cálculo Diferencial e Integral Exemplo 01 Na Figura 09 é apresentado o gráfico de uma função f . Analisando o gráfico vamos de- terminar o limite da função f pelos caminhos 2 x − → , 2 x + → e x → 2 , caso exista. Figura 09. Gráfico da função f Ao se aproximarmos de 2 pelos valores menores que 2, caminho 2 x − → , indicado em vermelho na Figura. Observamos que conforme mais próximo x está de 2 mais próximo de 4 a imagem de f encontrasse, sendo assim, 2 lim 4 x → − f = Ao se aproximarmos de 2 pelos valores maiores que 2, caminho 2 x + → , indicado em verde na Figura. Observamos que conforme mais próximo x está de 2 mais próximo de 4 a imagem de f encontrasse, sendo assim, 2 lim 4 x → + f = Pelo Teorema 01, temos que, 2 2 lim lim 4 x x f f − + → = → = E podemos concluir que, 2 lim 4 x f → = O que nos indica que independente do caminho de aproximação escolhido a imagem da função tende para 4 conforme x se aproxima de 2. Fonte: elaborada pelo autor. 22 1 Princípios do Cálculo Diferencial Exemplo 02 Na Figura 10 temos o gráfico de uma função g . Analisando o gráfico iremos determinar o limite de g pelos caminhos 2 x − → , 2 x + → e x → 2 , caso exista. Fonte: elaborada pelo autor. Figura 10. Gráfico da função g Ao se aproximarmos de 2 pelos valores menores que 2, caminho 2 x − → , indicado em vermelho na Figura. Observamos que conforme mais próximo x está de 2 mais próximo de 2 a imagem de g encontrasse, sendo assim, 2 lim 2 x g → − = Ao se aproximarmos de 2 pelos valores maiores que 2, caminho 2 x + → , indicado em verde na Figura. Observamos que conforme mais próximo x está de 2 mais próximo de 3 a imagem de f encontrasse, sendo assim, 2 lim 3 → + = Pelo Teorema 01, temos que, 2 2 lim lim x x g g − + → → ≠ E podemos concluir que, 2 lim x g → =  23 1 Universidade São Francisco Cálculo Diferencial e Integral Isto nos indica que o limite da função g não existe, pois, os limites laterais são diferentes. No entanto, é importante lembrar que o método gráfico apresenta algumas limitações, como imprecisão na leitura de valores, dificuldade em funções complexas e descontinuidades, en- tre outras. Portanto, para obter resultados mais precisos, é recomendável utilizar métodos analíticos ou computacionais, como o uso de limites laterais ou a utilização de programas de cálculo simbólico. 2.3. LIMITES ALGÉBRICOS Os limites algébricos são aqueles em que é necessário aplicar técnicas algébricas para encontrar o seu valor. Essas técnicas envolvem manipulação algébrica das expressões que aparecem no limite, usando propriedades das operações matemáticas para simpli- ficá-las e torná-las mais fáceis de calcular. Passos de execução 01. Simplificar a expressão através de manipulação algébrica, normalmente utili- zando regras de fatoração. 02. Calcular o limite substituindo a variável x pelo valor de aproximação de x . Exemplo 01 Um exemplo simples de um limite algébrico é o limite da função f , abaixo, quando x se aproxima de 3. ( ) 2 – 9 , – 3 x f x x = Passo 01 Observe que a expressão 2 x −9 localizada no numerador da fração pode ser reescrita como 2 x −3² que, no caso, é uma diferença de dois quadrados. Aplicando a técnica da fatoração no numerador, podemos reescrever a função como ( ) ( )( ) 3 – 3 – 3 x x f x x + = Em seguida, podemos simplificar os termos (x - 3), ( ) ( )( ) 3 – 3 3 – 3 x x f x x x + = = + 24 1 Princípios do Cálculo Diferencial Diferença de quadrados Se tivermos uma expressão na forma 2 a 2 −b , podemos fatorá-la como ( )( ) a b a b + − . Essa técnica é útil quando temos uma expressão quadrática que não pode ser fatorada de outra forma. ( )( ) 2 2 a b a b a b − = + − Exemplo: 2 9 x − Passo 02 E encontrar o valor do limite como sendo x + 3 quando x se aproxima de 3. ( ) 2 3 3 – 9 lim lim 3 3 3 6 – 3 x x x x x → = → + = + = Logo, temos que a imagem da função f tende a 6 quando x se aproxima de 3 As regras de fatoração são um conjunto de técnicas que nos permitem reescrever uma ex- pressão matemática em termos de fatores. Para auxiliá-lo em seu estudo, a seguir apresen- taremos algumas regras de fatoração comuns: Quadro 02. Fatoração por Fator Comum Fonte: elaborado pelo autor. Quadro 03. Diferença de quadrados Fator Comum Esta técnica é usada para fatorar expressões que possuem um fator em comum em sua formação. ( ) ax bx x a b + = ⋅ + Exemplo 3 2 5 x x − Note que x é um fator comum, sendo assim podemos evidenciar o x na expressão e es- crever a expressão através de um produto por x, ( ) 2 5 3 3 5 x x x x = ⋅ − − 25 1 Universidade São Francisco Cálculo Diferencial e Integral Fonte: elaborado pelo autor. Quadráticas Redutíveis As quadráticas redutíveis são expressões do 2° grau do tipo ax2 bx c + + , em que , a bec são números reais e a ≠ 0 , em que o discriminante da expressão é maior ou igual a zero. Vale ressaltar que o discriminante de uma expressão de 2° grau é dado por 2 4 b a c ∆ = − ⋅ ⋅ , logo se ∆ ≥ 0 a expressão ax2 bx c + + é uma quadrática redutível. As quadráticas redutíveis apresentam forma fatorada dada por ( )( ) 1 2 a x x x x − − , onde 1 2 x e x são as raízes da expressão do 2° grau. ( )( ) 1 2 2 2 ax bx c + + = − − a x x x x As raízes 1 2 x e x , são obtidas respectivamente por, 1 2 2 2 − − ∆ − + ∆ = = b b x e x a a Exemplo: Consideremos a expressão, 2 6 8 x − x + Vamos primeiramente verificar se é uma quadrática redutível, para isso iremos calcular o valor de ∆ , 1, 6 8 = = − = a b e c Note que na expressão o valor 9 pode ser escrito como 3², sendo assim, 2 2 3² 9 x x = − − Desta forma, temos uma diferença de quadrados em que a = x e b = 3 , e assim pode- mos escrever a expressão através da forma fatorada a seguir, ( )( ) 2 2 2 3 9 3 3 x x x x − = = + − − Quadro 04. Quadráticas Redutíveis 26 1 Princípios do Cálculo Diferencial Essas são apenas algumas das regras de fatoração mais comuns. Existem muitas outras téc- nicas que podem ser usadas dependendo do tipo de expressão matemática que estamos ten- tando fatorar. A prática é fundamental para dominar essas técnicas e aplicá-las com eficiência. 2 4 b a c ∆ = − ⋅ ⋅ ( ) 6 2 4 1 8 36 32 4 ∆ = − − ⋅ ⋅ = − = Como ∆ = 4 e ∆ > 0 , temos que 2 6 8 x − x + é redutível, sendo assim apresenta forma fatorada e para obtê-la precisamos das raízes da expressão, 1 2 2 2 b b x e x a a − − ∆ − + ∆ = = ( ) ( ) 1 2 6 4 6 4 6 2 4 6 2 8 2 4 2 1 2 2 2 1 2 2 x e x − − − − − + − + = = = = = = = = ⋅ ⋅ Sendo assim as raízes são 1 x = 2 e 2 x = 4 , e a forma fatora será dada por: ( )( ) 1 2 2 2 ax bx c + + = − − a x x x x ( )( ) ( )( ) 2 6 2 8 1 2 4 2 4 x x x x − + = − − − − = x x Exemplo 02 Outro exemplo de limite algébrico é o limite de ( ) 2 2 4 3 1 x x f x x − + = − quando x se aproxima de 1, ou seja, desejamos obter, 2 2 1 4 3 lim 1 x x x x → − + − 27 1 Universidade São Francisco Cálculo Diferencial e Integral Nesta situação iremos verificar se o numerador da função 2 4 3 x − x + é uma expressão quadrática redutível e se for iremos fatorá-la e, também, fatoraremos o denominador 2 −1 que é uma diferença de quadrados. Comecemos por 2 x −1 que é igual a ( )( ) 2 2 1 1 1 . Já para 2 4 3 x − x + , iremos calcular o valor do discriminante, 1, 4 3 a b ec = = − = ( ) 2 2 4 4 4 1 3 b a c ∆ = − ⋅ ⋅ = − − ⋅ ⋅ 16 12 4 ∆ = − = Como ∆ = e ∆ > 0 , temos que 2 4 3 x − x + é redutível, então iremos obter suas raízes para escrevê-la na forma fatorada, 1 2 2 2 b b x e x a a − − ∆ − + ∆ = = ( ) ( ) 1 2 4 4 4 4 4 2 2 4 2 6 1 3 2 1 2 2 2 1 2 2 x e x − − − − − + − + = = = = = = = = ⋅ ⋅ Sendo assim as raízes são 1 x =1 e 2 x = 3 , e a forma fatora será dada por: ( )( ) 1 2 2 2 ax bx c + + = − − a x x x x ( )( ) ( )( ) 2 4 2 3 1 1 3 1 3 x x x x − + = − − − − = x x Substituindo na expressão inicial temos que, ( )( ) ( )( ) 2 2 1 1 3 4 3 1 1 x x x − + = − − − + − x x x x Simplificando por ( x −1) , ( )( ) ( )( ) 2 2 1 3 4 3 3 1 1 1 1 x x x x x x x x x − − − + − = = − + − + 28 1 Princípios do Cálculo Diferencial Substituindo no limite inicial, 2 2 1 1 4 3 3 1 3 2 lim lim 1 1 1 1 1 2 x x x x x x x → → − + − − = = = − = − − + + Sendo assim quando x se aproxima de 1 a imagem da função tende a -1. Esses são apenas alguns exemplos simples de limites algébricos, mas existem muitos outros problemas mais complexos que podem ser resolvidos usando técnicas algébricas. O impor- tante é ter uma boa compreensão das propriedades das operações matemáticas e saber como aplicá-las de forma eficaz para encontrar o valor correto do limite. Fonte: Autor (2023) 2.4. CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO A continuidade de uma função matemática é uma propriedade que descreve como a função se comporta sem descontinuidades ou saltos abruptos em seu domínio. Intuitiva- mente, uma função é contínua se não houver “buracos” ou “pulos” em sua curva, o que significa que a função pode ser desenhada sem levantar a caneta do papel. Formalmente, uma função ( ) f x é contínua em um ponto x =a se e somente se três condições são satisfeitas: I. ( ) f a está definida (ou seja, não há divisão por zero ou outra operação inválida em a ). II. O limite de ( ) f x quando x se aproxima de a existe e é finito. III. O limite de ( ) f x quando x se aproxima de a é igual a ( ) f a . Se a função é contínua em cada ponto em seu domínio, é chamada de função contínua. A continuidade é uma propriedade importante das funções matemáticas, pois permite que sejam usadas em cálculos e modelos matemáticos precisos e confiáveis. Um exemplo gráfico de uma função contínua seria o gráfico de uma função linear, como ( ) 2 1 f x = x + . O gráfico dessa função é uma linha reta que se estende para sempre em ambas as direções, sem qualquer interrupção ou salto. 29 1 Universidade São Francisco Cálculo Diferencial e Integral Figura 11. Gráfico da função ( ) f x 2x 1 = + Fonte: elaborada pelo autor. Outro exemplo seria a função cosseno, ( ) ( ) f x =cos x , que é uma função periódica e contínua em todo o seu domínio. O gráfico dessa função é uma curva suave e contínua, sem lacunas ou interrupções em sua curva. Figura 12. Gráfico da função ( ) ( ) f x cos x = Fonte: elaborada pelo autor. Em contraste, uma função não contínua, como ( ) 1 2 f x = x − tem um ponto de descontinuidade em x = 2 , onde a função “pula” de um valor negativo infinito para um valor positivo infinito, criando um buraco na curva. Isso pode ser visto no gráfico da função, onde há uma lacuna na curva em x = 2 . 30 1 Princípios do Cálculo Diferencial Figura 13. Gráfico da função ( ) 1 f x x 2 = − Fonte: elaborada pelo autor. Fonte: elaborada pelo autor. Outro caso de descontinuidade pode ser apresentado pela função intervalar a seguir, ( ) 2 , 3 , 2, 3 x se x f x x se x ≤  =  + >  neste caso, a função f apresenta um “salto” descontinuidade em x = 3 , pulando da imagem y = 3 para y → 5 , gerando assim um buraco na curva definida por f . Isso pode ser observado no gráfico da função no qual encontra-se uma lacuna em 3 x= . Figura 14. Gráfico da função intervalar ( ) f x 31 1 Universidade São Francisco Cálculo Diferencial e Integral Exemplo: Verifique se a função, ( ) 2 2 x x f x x − = É continua em x = 2 . Para realizar está verificação, iremos verificar se ( ) 2 f existe, se 2 2 2 lim x x x x → − existe e se ( ) 2 3 4 lim 2 x x f x → − = . I. Calculando a imagem ( ) 2 f ( ) 22 4 0 2 0 2 2 f − = = = Sendo assim, a imagem para x = 2 existe e é igual a 0. II. Calculando o limite de ( ) f x quando x se aproxima de 2 2 2 2 lim x x x x → − Note que 2 2 x x − , apresenta x como fator comum, portanto ( ) 2 2 2 . x x x x − = − Substituindo e simplificando, ( ) 2 2 2 2 x x x x x x x − − = = − Calculando o limite, ( ) 2 2 2 2 lim lim 2 2 2 0 x x x x x x → → − = − = − = Desta forma, temos que o limite de f para quando x se aproxima de 2 existe e é igual a 0. III. Analisando e concluindo Como a imagem e o limite existem em x = 2 e, 32 1 Princípios do Cálculo Diferencial ( ) 2 2 2 2 lim 0 x x x f x → − = = Podemos afirmar que a função é contínua em x = 2 . Note que se a imagem não existisse, o limite não existisse ou eles fossem diferentes a con- clusão seria que a função é descontínua. 2.5. LIMITES INFINITOS E NO INFINITO Limites infinitos e no infinito são dois tipos de limites matemáticos que se referem ao comportamento de uma função quando a variável independente se aproxima de um determinado valor ou tende ao infinito. Vale ressaltarmos que o infinito não tratado como um valor numérico, mas sim como uma representação de valores que crescem ou decrescem sem cota (limite). Neste caso quando dizemos que algo tende ou aproxima-se de infinito positivo, nos referimos que os valores crescem sem um valor limite, e quando dizemos infinito negativo, esta- mos indicando que os valores decrescem sem um valor limite. O estudo dos limites infinitos e no infinito é essencial em cálculo e outras áreas da matemá- tica, permitindo-nos compreender o comportamento de uma função em diferentes situações e fornecer soluções precisas para uma ampla variedade de problemas matemáticos. ` Limites Infinitos O limite infinito ocorre quando a função se aproxima de um valor infinito (positivo ou negativo) à medida que a variável independente se aproxima de um determinado valor. Por exemplo, considere a função, ( ) 1 2 f x = x − Analisemos os limites laterais da função f , 33 1 Universidade São Francisco Cálculo Diferencial e Integral Figura 15. Tabelas de Aproximações x ( ) = 2 − f x x 1,9 -10 1,99 -100 1,999 -1000 x ( ) = 2 − f x x 2,1 10 2,01 100 2,001 1000 Aproximação pela Esquerda Conforme x aproxima de 2,0 a função tende a menos infinito (-∞) Aproximação pela Direita Conforme x aproxima de 2,0 a função tende a infinito (∞) Fonte: elaborada pelo autor. Quando x se aproxima de 2 pela direita, ( ) f x decresce sem limite, ou seja, se aproxi- ma de infinito negativo. Já quando x se aproxima de 2 pela esquerda ( ) f x cresce sem limite, isto é, se aproxima de infinito positivo. (Veja Figura 16) Figura 16. Gráfico da função de f Fonte: elaborada pelo autor. ( ) ( ) 2 2 lim lim x x f x e f x − + → → = −∞ = ∞ 34 1 Princípios do Cálculo Diferencial ` Limites no Infinito Já o limite no infinito ocorre quando a função se aproxima de um valor constante (finito ou infinito) à medida que a variável independente tende ao infinito. Por exemplo, consi- dere a função ( ) 2 2 2 3 1 1 x x g x x − + = + Quando x tende ao infinito, x → ∞ , indicamos que esse valor se torna muito grande e podemos obter o limite de g tornando o valor de x cada vez maior e verificar para quando tende a imagem de g , vejamos, Tabela 05. x tendendo ao infinito x 2 2 2 3 1 1 − + + x x x ( ) g x 100 2 2 2 100 3 100 1 100 1 ⋅ − ⋅ + + 1,96990301 1000 2 2 2 1000 3 1000 1 1000 1 ⋅ − ⋅ + + 1,996999003 10000 2 2 2 10000 3 10000 1 10000 1 ⋅ − ⋅ + + 1,99969999 Fonte: elaborada pelo autor. Analisando a Tabela, podemos perceber que conforme o valor de x aumenta a imagem da função ( ) g x se aproxima de 2, ou seja, podemos dizer que o limite de g(x) quando x tende ao infinito é 2. 3. DERIVADAS, CONCEITO E DEFINIÇÃO A derivada é um conceito fundamental da matemática, que mede a taxa de variação instantânea de uma função em relação à sua variável independente. De maneira mais simples, a derivada indica como a função está mudando em um determinado ponto. Geometricamente, a derivada é representada pela inclinação da reta tangente à curva da função em um ponto específico. Uma reta tangente é uma linha que toca a curva da função em um ponto específico, e que tem a mesma inclinação da curva nesse ponto. 35 1 Universidade São Francisco Cálculo Diferencial e Integral 3.1. O PROBLEMA DA RETA TANGENTE O problema da reta tangente no cálculo diferencial é encontrar a equação da reta tan- gente em um determinado ponto de uma curva. Isso envolve a determinação da inclina- ção da curva naquele ponto e a localização do ponto de tangência da reta com a curva. A inclinação da curva em um determinado ponto é encontrada utilizando o conceito de deriva- da. A derivada de uma função em um ponto representa a taxa de variação instantânea da fun- ção naquele ponto. A inclinação da curva é igual à derivada da função no ponto de interesse. Figura 17. Representação da Reta Tangente Fonte: elaborada pelo autor. A reta tangente é importante no cálculo diferencial, pois ela é utilizada para encontrar pon- tos de máximo e mínimo em uma função, bem como para determinar a direção de movi- mento de um objeto em uma curva. Além disso, a reta tangente é utilizada para aproximar uma função complexa em torno de um ponto, tornando-a mais fácil de ser analisada. A fórmula matemática para calcular a derivada de uma função f(x) é dada pela expressão: ( ) ( ) ( ) 0 ' lim h f x h f x f x h → + − = onde h é uma pequena variação na variável independente x, e o limite indica que h se aproxima de zero, de modo que a derivada seja calculada para um ponto específico. 36 1 Princípios do Cálculo Diferencial Entretanto, graças aos estudos de Newton e Leibniz, foi nos generalizados regras de derivação que facilitam o processo de resolução e obtenção de tais taxas, estas regras serão apresentadas no próximo tópico juntamente com as notações de derivadas, pro- priedades das derivadas e exemplos de utilização das regras de derivação. 3.2. REGRAS DE DERIVAÇÃO As regras de derivação consistem em um conjunto de regras que especificam os proce- dimentos para se obter a derivada de modelo de função básica da matemática. Incial- mente iremos discutir alguns modelos simples e posteriormente iremos sintetizar essas regras em uma tabela funcional. ` Notações de Derivadas Como uma operação matemática, a derivada necessita de uma representação ou no- tação para a indicação de seu cálculo, ao longo do tempo os estudiosos dessa área desenvolveram algumas notações que são utilizadas até hoje. Vejamos, I. Notação de Newton A notação de derivada de Newton é muito utilizada na Física para representar taxas de variação instantâneas em grandezas físicas. A derivada na notação de Newton é repre- sentada por um ponto sobre a função. ( ) ( ) ÿ f x derivadade f x → ( ) ( ) ÿ v t derivadadev t → ( ) ( ) ÿ q x derivadadeq x → II. Notação de Leibniz A notação de derivada de Leibniz é dada pelo conceito de diferencial, indicando o dife- rencial da função em relação ao diferencial da variável, este diferencial é indicado pela letra d . df dx → diferencial da função f emrelaçãoaodiferencial de x 37 1 Universidade São Francisco Cálculo Diferencial e Integral dv diferencial da funçãovemrelaçãoaodiferencial det dt → III. Notação de Lagrange A notação de Lagrange para derivadas é dada por utilizar uma aspas simples ( ‘ ) deno- minada de linha sobre a função. ( ) ( ) f x → derivadada função f x ′ ( ) ( ) v t → derivadada funçãov t ′ Importante ressaltar que todas as notações se equivalem, ou seja, qualquer uma que for utilizada representará a derivada da função, ( ) ( ) ÿ ' df f x f x = dx = Entretanto é comum no início do curso de cálculo definirmos uma notação que será utilizada ao longo de todo o curso, nesse caso optaremos pela notação de Lagrange, ou seja, ao se deparar com uma linha (aspas simples) sobre uma função isto indicará da derivada da mesma. ` Função Constante Uma função constante é uma função na qual não ocorre a variação da imagem em re- lação a variável independente, normalmente esta função é representada por ü( ) = , onde C indica um valor real fixo. A função apresenta como gráfico uma reta paralela ao eixo das abcissas (eixo x). 38 1 Princípios do Cálculo Diferencial Figura 18. Representação da função constante Fonte: elaborada pelo autor. Como a derivada indica a inclinação da reta tangente a função constante apresenta inclinação nula (sem inclinação) temos que a derivada da função constante é zero. Logo, se ( ) f x = C , temos que: ( ) 0 f ′ x = ` Função Identidade A função identidade é uma função matemática simples que atribui a cada número real o próprio núme- ro. Em outras palavras, a função identidade é definida pela expressão ( ) f x = x , onde x é qualquer número real. Dessa forma, a função identidade tem o mesmo valor de entrada e saída, sendo repre- sentada graficamente por uma reta diagonal que passa pelo ponto (0,0) no plano cartesiano. Fonte: elaborada pelo autor. Figura 19. Representação da função identidade 39 1 Universidade São Francisco Cálculo Diferencial e Integral A função identidade é uma reta crescente de inclinação constante, e de valor igual a 1, já que apresenta inclinação de 45° e a tangente de 45° é igual a 1. Sendo assim, a derivada da função ( ) f x = x é dada por, ( ) 1 f ′ x = ` Função Potência A função potência é uma função matemática que pode ser escrita na forma ( ) n f x x = , onde n é um número real constante e x é a variável independente. O valor de x pode ser qualquer número real, incluindo valores negativos e frações. A função potência é muito utilizada em várias áreas da matemática e das ciências, como na física, na engenharia, na economia e em estatística, por exemplo. Ela é importante no cálculo diferencial, pois é uma das funções mais simples de derivar. A regra de deri- vação para funções potência é dada por: ( ) 1 ' n f x n x − = ⋅ Exemplo 01 Consideremos ( ) ³ f x = x , que é uma função potência de n = 3 , aplicando a regra de derivação para funções do tipo potência, temos: ( ) ( ) 1 n f x n x Regrade Derivação para função potência − = ⋅ ′ ( ) 3 1 3 f x = ⋅ x − ′ ( ) 3 ² f x x ′ = Exemplo 02 Consideremos agora ( ) 20 f x = x , que é uma função potência de n = 20 , aplicando a regra de derivação para funções do tipo potência, temos: ( ) ( ) 1 n f x n x Regrade Derivação para função potência − = ⋅ ′ ( ) 20 1 20 f x x − = ⋅ ′ 40 1 Princípios do Cálculo Diferencial ( ) 20 19 f x x = ′ ` Propriedade das Derivadas As propriedades das derivadas são regras que permitem simplificar e calcular derivadas de funções mais complexas a partir das derivadas de funções mais simples. Considere ( ) u = g x e ( ) v = h x , neste caso estamos indicando que tanto u e v são duas funções distintas de variável x, a partir delas iremos descrever duas principais propriedades das derivadas. I. Propriedade da soma: A derivada da soma de duas funções u e v é igual à soma das derivadas das funções individuais, ou seja, ( )' ' ' u v u v + = + Exemplo Considere a função ( ) 3 5 f x = x + , neste caso temos que a função f é formada pela soma de 3 u = x e v = 5 , sendo assim a derivada de f será dada pela propriedade da soma da derivada de u com a derivada de v . A derivada de u é dada pela regra de derivação para função potência, sendo assim, 3 ² u x ′ = A derivada de v é dada pela regra da função constante, sendo assim, 0 v′ = A derivada de ( ) f x é dada por, f ( ) x u v ′ = ′+ ′ ( ) 3 2 0 f x = x + ′ ( ) 3 ² f x x ′ = Vale ressaltar que a propriedade da subtração é análoga a propriedade da soma, sendo assim, 41 1 Universidade São Francisco Cálculo Diferencial e Integral ( ) ' ' u v u v − = − ′ II. Regra da multiplicação por constante: A derivada de uma função u multiplicada por uma constante (k) é dada pela constante (k) vezes a derivada da função u , ou seja, ( ) ' ' k u k u ⋅ = ⋅ Exemplo Seja ( ) 5 5 f x x = , neste caso temos a função potência 5 u = x multiplicada por uma cons- tante k = 5 . A derivada de f será dada por k = 5 vezes a derivada de u, que é dada pela regra da função potência 4 ' 5 u x = . Logo, ( ) 5 5 4 f x = ⋅ x ′ ( ) 25 4 f x x ′ = No tópico a seguir será apresentado uma tabela com as principais regras de derivação para funções básicas. ` Tabela de Regras de Derivação Na tabela seguir estão dispostas as regras de derivação para funções básicas. Tabela 06. Regras de Derivação para funções básicas FUNÇÃO MODELO MATEMÁTICO DERIVADA OBSERVAÇÃO Constante c 0 Identidade x 1 Potência nx n x −1 ⋅ Exponencial de base qualquer bx bx ln( ) b ⋅ “b” é o valor da base da exponencial 42 1 Princípios do Cálculo Diferencial Exponencial de base “e” xe xe “e” é o número de Euller e “ e = 2,71 … ” Logaritmo logb x ( ) 1 x ln b ⋅ “b” é o valor da base do logaritmo Logaritmo Neperiano lnx 1 x O logaritmo neperiano é um logaritmo de base “e” Seno sen x cos x Cosseno cos x sen x − Tangente tg x 2 sec x Secante sec x sec x tg x ⋅ Cossecante cossec x −cossec x cotg x ⋅ Cotangente cotg x 2 cossec x − Fonte: elaborada pelo autor. Vejamos um exemplo de como obter a derivada de uma função através da tabela. ( ) ( ) 2 5 x f x sen x e = − E, vamos determinar a derivada de ( ) f x . Primeiro, devemos observar que a função f é formada pela diferença entre as funções ( ) 2 u sen x = e 5 x v e = . Sendo assim a derivada de f será dada por ( ) ' ' u v u v − = ′− . A derivada de ( ) 2 u sen x = será dada por 2 vezes a derivada de ( ) sen x e pela tabela temos: Exemplo Considere a função, 43 1 Universidade São Francisco Cálculo Diferencial e Integral FUNÇÃO MODELO MATEMÁTICO DERIVADA Seno sen x cos x Sendo assim, 2cos u x ′ = A derivada de 5 x v e = será dada por 5 vezes a derivada de xe e pela tabela temos: FUNÇÃO MODELO MATEMÁTICO DERIVADA Exponencial de base “e” xe xe Desta forma, 5 x v e ′ = . Aplicando na expressão inicial teremos que a derivada da função f será dada por, f ( ) x u v ′ = ′− ′ ( ) 2cos 5 x f x x e = − ′ Logo a derivada de ( ) ( ) 2 5 x f x sen x e = − é igual a ( ) 2cos 5 x f x x e = − ′ . Abaixo, temos o fluxograma de utilização da tabela. Figura 20. Fluxograma – Como utilizar a tabela de derivadas IDENTIFICAR A FUNÇÃO PROCURÁ-LA NA TABELA ESCREVER A DERIVADA Fonte: elaborada pelo autor. 4. EXERCÍCIOS COMENTADOS O telescópio espacial Hubble foi colocado em órbita em 24 abril de 1990 pelo ônibus espacial Discovery. Um modelo para a velocidade do ônibus durante essa missão, do lançamento em t = 0 até a ejeção do foguete auxiliar em t = 126 segundos, é dado por ( ) 3 0,000397 – 0,02752 ² 7,196 – 0,9397 v t t t t = ⋅ ⋅ + ⋅ Exercício 1. 44 1 Princípios do Cálculo Diferencial Sendo ( ) v t dado em m/s e t em s. Considerando o modelo para velocidade mencionado acima, estime a velocidade do ônibus espacial nos instantes 0 t s = , 10 t s = e 126 t s = . Resolução: Para estimarmos a velocidade nos instantes indicados iremos substituir na função da veloci- dade apresentada no enunciado. Para 0 t s = ( ) 3 2 0 0,000397 0 – 0,02752 0 7,196 0 – 0,9397 v = ⋅ ⋅ + ⋅ ( ) 0 0,9397 / v m s = − Para 10 t s = ( ) 3 2 10 0,000397 10 – 0,02752 10 7,196 10 – 0,9397 v = ⋅ ⋅ + ⋅ ( 10) 68,6653 / v m s = Para 126 t s = ( ) 3 2 126 0,000397 126 – 0,02752 126 7,196 126 – 0,9397 v = ⋅ ⋅ + ⋅ ( 126) 1.262,998052 / v m s = Sendo assim as velocidades nos instantes 0, 10 e 126 s são respectivamente iguais a -0,9397 m/s, 68,6653 m/s e 1.262,998052 m/s. Exercício 2. Considere a função, a seguir, e responda as questões. ( ) 2 – 4 – 2 x f x x = a. Determine o limite da função f(x) quando x se aproxima de 2. b. Utilize o resultado da letra a) para determinar se a função f(x) é contínua no ponto x = 2. c. Encontre o limite da função f(x) quando x tende ao infinito. 45 1 Universidade São Francisco Cálculo Diferencial e Integral Resolução: a. Desejamos obter, 2 2 – 4 lim – 2 x x x → Note que 2 x − 4 pode ser escrita como 2 x − 2² tratando-se da diferença de quadrados sendo assim, ( )( ) 2 4 2 2 x x x − = + − . Substituindo e simplificando a expressão temos: ( )( ) 2 2 2 – 4 2 – 2 2 x x x x x x + − = = + − Calculando o limite, ( ) 2 2 2 – 4 lim lim 2 2 2 4 – 2 x x x x x → = → + = + = Sendo assim o limite da função é 4 conforme x se aproxima de 2. b. Para a função ser contínua em x = 2 , a imagem ( ) 2 f deve existir, o limite da função para quando x se aproxima de 2 deve existir e a imagem e o limite devem ser iguais. Calculando a imagem ( ) 2 f , ( ) 22 4 0 2 2 2 0 f valorindeterminado − = = − A imagem de ( ) f x não é definida em x = 2 , sendo assim podemos afirmar que a função é descontínua em 2 x = c. Iremos tender o valor de x ao infinito, ou seja, iremos torna-lo cada vez maior. x ( ) f x 100 102 1.000 1.002 10.000 10.002 Através da tabela concluímos que conforme o valor de x aumenta a função cresce sem limite, sendo assim, podemos afirmar que quando x tende ao infinito a função, também, tende ao infinito. 2 – 4 lim – 2 x x →∞ x = ∞ 46 1 Princípios do Cálculo Diferencial Exercício 3. Considere a função f e responda as questões a seguir. ( ) 2 2 1 3 2 x f x x x − = − + a. Calcule o limite da função f(x) quando x se aproxima de 1. b. Determine o limite da função f(x) quando x tende ao infinito. Resolução: a. Desejamos obter, 2 2 1 1 lim 3 2 x x x x − − + Primeiramente iremos fatorar o numerador 2 x −1 , pois trata-se da diferença de dois qua- drados ( )( ) 2 1 1 1 x x x − = + − Agora iremos verificar se x2 3 2 − x + é redutível, 1, 3 2 a b ec = = − = ( ) 2 2 4 3 4 1 2 b a c ∆ = − ⋅ ⋅ = − − ⋅ ⋅ 9 8 1 ∆ = − = Como ∆ =1 , temos que ∆ > 0 sendo assim x2 3 2 − x + é redutível e é possível escreva na forma fatorada. Portanto iremos determinar as suas raízes, 1 2 2 2 b b x e x a a − − ∆ − + ∆ = = ( ) ( ) 1 2 3 1 3 1 3 1 2 3 1 4 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 x e x − − − − − + − + = = = = = = = = ⋅ ⋅ Sendo assim as raízes são 1 x =1 e 2 x = 2 , e a forma fatora será dada por: 47 1 Universidade São Francisco Cálculo Diferencial e Integral ( )( ) 2 2 1 2 ax bx c a x x x x + + = − − ( )( ) ( )( ) 2 3 2 2 1 1 2 1 2 x x x x x x − + = − − = − − Substituindo e simplificando, ( )( ) ( )( ) 2 2 1 1 1 1 3 2 1 2 2 x x x x x x x x x + − − + = = − + − − − Calculando o limite, Sendo assim conforme x se aproxima de 1 a função tende a -2 b. Iremos tender o valor de x ao infinito, ou seja, iremos torna-lo cada vez maior. x ( ) f x 100 1,030612245 1.000 1,003006012 10.000 1,000300600 Ao tornarmos o valor de x cada vez maior, percebemos que a imagem da função se torna cada vez mais próxima de 1. Sendo assim podemos afirmar que quando x tende ao infinito a função tende a 1. 2 2 1 lim 1 3 2 x x x x →∞ − = − + 48 1 Princípios do Cálculo Diferencial Fonte: elaborada pelo autor. Exercício 4. Figura 21. Gráfico da função f Considerando o gráfico da função f , ao lado, determine: a. A imagem de f quando x =1 . b. A imagem de f quando x = −1 . c. O limite da função f quando x se aproxima de 1. d. O limite da função f quando x se aproxima de -1. Resolução: a. A imagem da função quando x =1 é representada pelo ponto (bolinha pintada) no qual a função apresenta coordenada y = 2 , sendo assim ( ) 1 2 f = . b. A imagem da função quando x = −1 não está definida, pois não temos um ponto (bolinha pintada) definido neste local. c. Quando x se aproxima de 1 pelos valores menores (lateral esquerda) que 1 observamos que a imagem tende a 1 e o mesmo acontece pelos valores maiores (lateral direita) que 1, sendo assim podemos definir que o limite da função é igual a 1 quando x se aproxima de 1. d. Quando x se aproxima de -1 pelos valores menores (lateral esquerda) que -1 observamos que a imagem tende a -3 e o mesmo acontece pelos valores maiores (lateral direita) que -1, sendo assim podemos definir que o limite da função é igual a -3 quando x se aproxima de -1. 49 1 Universidade São Francisco Cálculo Diferencial e Integral Determine a derivada de cada uma das funções a seguir: Exercício 5. a. ( ) 3 7 f x x = b. ( ) 5 2 4 3 g x x x = + + c. ( ) 2 4 2 h x x x = − + d. ( ) 3 2 1 2 2 m x x x− = − Resolução: a. A função f é uma função potência e apresenta um produto por constante, k = 3 e 7 u = x , sendo assim a derivada de f é dada por 3 vezes a derivada de 7x . ( ) 3 7 6 f x = ⋅ x ′ ( ) 21 6 f x x ′ = b. A função g é dada pela soma de 5 u = x , 2 4 v x = e w = 3 , sendo assim a derivada de g será dada ela soma da derivada de u , de v e w . Temos que 5 4 u x ′ = , 8 3 v x ′ = e w′ = 0 , desta forma, ( ) 4 3 5 8 0 g x x x = + + ′ ( ) 4 3 5 8 g x x x = + ′ c. A função h é dada pela soma de ² u = x , 4 v = − x e w = 2 , a derivada de h será dada pela soma das derivadas de cada uma das expressões, ( ) 2 4 0 h x x = − + ′ ( ) 2 4 h x x ′ = − 50 1 Princípios do Cálculo Diferencial d. A função m é dada por 2 3 u x = e 2 1 2 v x− = − , a derivada de m será dada pela soma das derivadas de u e v . Temos que 6 ² u x ′ = e ( ) 3 3 1 2 2 v x x − − ′ = − ⋅ − = , sendo assim temos, ( ) 2 3 6 m x x x− = + ′ Exercício 6. Usando a tabela de derivadas das funções básicas, obtenha a derivada de cada uma das funções a seguir: a. ( ) 2 3 x f x e senx = + b. ( ) cos g x sen x x = + c. ( ) 2sec 4 h x x = + d. ( ) 2 1 3 2 m x tg x = − e. ( ) 3 2ln 5 x l x x = − + f. ( ) 2 7 3 7 k x x cossec x = − Resolução: Utilizando a tabela e as propriedades das derivadas teremos, a. ( ) 2 3cos x f x e x = + ′ b. ( ) cos g x x sen x = − ′ c. ( ) 2sec h x x tg x = ⋅ ′ d. ( ) 2 2 3 m x sec x = ′ e. ( ) ( ) 2 3 ln 3 x l x x = − ′ f. ( ) 2 6 3 k x x cossec x cotg x = + ⋅ ′ 51 1 Universidade São Francisco Cálculo Diferencial e Integral CONCLUSÃO Limites e derivadas são conceitos fundamentais da matemática, especialmente no cál- culo diferencial. Os limites definem o comportamento de uma função em torno de um ponto, enquanto as derivadas medem a taxa de variação instantânea da função em relação à sua variável independente. Ambos os conceitos são importantes na modela- gem matemática e na solução de problemas nas mais diversas áreas do conhecimento, desde a física e a engenharia até a economia e a biologia. Dominar esses conceitos é essencial para qualquer estudante de engenharia ou ciências exatas que queira com- preender e aplicar corretamente o cálculo diferencial em suas pesquisas e projetos. Nesta unidade, foi-lhe apresentada os princípios do cálculo diferencial, discutindo o conceito de função, limites e derivadas. E, também, vimos as principais regras de deri- vação assim como exercícios de fixação destes conceitos. Na próxima unidade iremos nos aprofundar nos estudos de derivadas e suas aplicações em diversas áreas das ciências e da engenharia. 52 1 Princípios do Cálculo Diferencial REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2010. LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. São Paulo: Harbra, 2013. STEWART, J. Cálculo: volume 1. São Paulo: Cengage Learning, 2015. 53 1 Universidade São Francisco Cálculo Diferencial e Integral 54 Regras e Aplicações do Cálculo Diferencial 2 UNIDADE 2 REGRAS E APLICAÇÕES DO CÁLCULO DIFERENCIAL INTRODUÇÃO As derivadas são uma das ferramentas mais importantes da matemática, sendo utiliza- das em diversas áreas como física, engenharia, economia, entre outras. Com elas, po- demos determinar a taxa de variação instantânea de uma função, ou seja, a velocidade com que ela está mudando em um determinado ponto. Esse conceito tem diversas aplicações práticas, como no cálculo de velocidades e ace- lerações de objetos em movimento, na otimização de processos industriais e empresa- riais, no estudo de fenômenos naturais como o crescimento de populações, e na análise de curvas de dados em geral. Neste texto, iremos explorar algumas dessas aplicações e como as derivadas podem ser usadas para entender melhor o mundo ao nosso redor. Nesta unidade iremos nos aprofundar nas regras de derivação, sendo mais específico iremos aprender sobre as funções do tipo produto, quociente e composta e suas res- pectivas regras de derivação. Outro ponto a ser explorado será algumas das diversas áreas de aplicação do cálculo diferencial como lucro marginal, pontos de máximo e mínimo, e velocidade instantânea. 1. TIPOS DE FUNÇÕES E REGRAS DE DERIVAÇÃO As funções são formadas a partir de uma relação matemática entre duas variáveis, geralmente representadas por x e y. Essa relação pode ser expressa de diversas ma- neiras, dependendo do tipo de função em questão. Por exemplo, uma função linear pode ser expressa na forma y =mx b + , onde m e b são constantes que determinam a inclinação e a interceptação da reta correspondente. Já uma função quadrática pode ser expressa na forma ² y ax bx c = + + , onde a, b e c são constantes que determinam a curvatura e a posição da parábola correspondente. Além disso, as funções podem ser criadas a partir de outras funções, através de ope- rações matemáticas como adição, subtração, multiplicação e divisão. Por exemplo, po- demos criar uma função ( ) 2 2 f x x x = + a partir das funções ( ) g x 2 = x e ( ) 2 h x x = , somando-as. 55 2 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco ( ) ( ) ( ) f x g x h x = + Outro exemplo, é tomarmos as funções ( ) 3 g x = x e ( ) x h x = e , podemos formar uma função f através do produto entre as funções g e h , ( ) ( ) ( ) f x g x h x = ⋅ ( ) ³ x f x x e = ⋅ Ou seja, através das funções básicas podemos obter uma infinidade de funções depen- dendo da forma que as associamos. A seguir iremos explorar algumas destas associa- ções que nos permitem gerar as funções denominadas produto, quociente e composta. 1.1. FUNÇÃO PRODUTO Uma função produto é uma função que é definida pelo produto de duas outras funções. Sejam ( ) f x e ( ) g x duas funções definidas em um mesmo conjunto de valores de x. A função produto, denotada por ( ) h x , é definida como: ( ) ( ) ( ) h x f x g x = ⋅ Nessa definição, para cada valor de x , a função produto ( ) h x é dada pelo produto dos valores correspondentes das funções ( ) f x e ( ) g x . Exemplo 01 Se ( ) f x 2 = x e ( ) ( ) g x =sen x , então a função produto ( ) h x é dada por: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 h x f x g x x sen x = ⋅ = ⋅ ( ) ( ) ² h x x sen x = ⋅ 56 Regras e Aplicações do Cálculo Diferencial 2 Normalmente, usamos uma forma simplificada de notação para a função produ- to. Considere ( ) u = f x e ( ) v = g x , sendo assim, podemos escrever a expressão ( ) ( ) ( ) h x f x g x = ⋅ por, ( ) h x = u v ⋅ Essa notação facilitará a compreensão da regra de derivação para esse tipo de função. Mas no momento nos atentaremos em reconhecer a função produto e identificar as funções que a formam. Exemplo 02 Seja ( ) x cos( ) h x e x = ⋅ e ( ) 3 x m x x e = + . Considerando as funções h e m defina o tipo de função é cada uma delas Analisando a função ( ) x cos( ) h x e x = ⋅ temos que se trata de uma função do tipo produ- to, pois h é formada pelo produto entre as funções x u = e e cos( ) v x = . ( ) ( ) , cos x h x u v u e e v x = ⋅ = = Já a função ( ) 3 x m x x e = + é uma função soma, pois m é formada pela soma entre as funções ³ u = x e x v = e . ( ) 3 , x m x u v u x e v e = + = = A função produto é útil em diversas aplicações, como na análise de fenômenos que depen- dem do produto de duas grandezas, como a velocidade e o tempo, ou na modelagem de sistemas que envolvem a interação de dois ou mais componentes. ` Regra do Produto A regra do produto é uma das regras de derivação e é usada para encontrar a derivada de uma função produto, ou seja, uma função que é definida como o produto de duas outras funções. A regra do produto afirma que: 57 2 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Quadro 01. Regra do Produto Regra do Produto Sejam ( ) u = f x e ( ) v = g x duas funções diferentes de variável x. Então, a derivada da função produto ( ) h x u v = ⋅ é dada por: '( ) ' ' h x =u v u v ⋅ + ⋅ Fonte: elaborado pelo autor. Essa regra pode ser memorizada através da frase “derivada da primeira vezes a segun- da, mais a primeira vezes a derivada a segunda”. Para usar a regra do produto, é necessário encontrar as derivadas das funções u e v , que são denotadas por ' u e 'v , respectivamente. Em seguida, basta aplicar a fórmula acima para obter a derivada da função produto ( ) h x . Vejamos alguns exemplos: Exemplo 01 Se ( ) ( ) h x 2 x sen x = ⋅ , então temos: ( ) 2 u x e v sen x = = ( ) 2 ' u x e v cos x = = ′ Aplicando a regra do produto, temos: '( ) ' h x =u v u v ⋅ + ⋅ ( ) ( ) ( ) 2 ' 2 h x x sen x x cos x = ⋅ + ⋅ Portanto, a derivada da função h(x) é dada por ( ) ( ) ( ) 2 ' 2 h x x sen x x cos x = ⋅ + ⋅ . Exemplo 02 Se ( ) ( ) h x x e tg x = ⋅ , então temos: 58 Regras e Aplicações do Cálculo Diferencial 2 ( ) x u e e v tg x = = ( ) ' ² x u e e v sec x = = ′ Aplicando a regra do produto, temos: '( ) ' h x =u v u v ⋅ + ⋅ ( ) ( ) ( ) ' ² x x h x e tg x e sec x = ⋅ + ⋅ Observe que a expressão ( ) ( ) ² x x e tg x e sec x ⋅ + ⋅ apresenta xe como fator comum e colocando-o em evidencia temos, ( ) ( ) ( ) 2 x h x e tg x sec x   = ⋅ +   ′ Portanto, a derivada da função h(x) é dada por ( ) ( ) ( ) 2 x h x e tg x sec x   = ⋅ +   ′ 1.2. FUNÇÃO QUOCIENTE Uma função quociente é uma função que é definida pelo quociente de duas outras fun- ções. Sejam ( ) f x e ( ) g x duas funções definidas em um mesmo conjunto de valores de x. A função quociente, denotada por ( ) h x , é definida como: ( ) ( ) ( ) f x h x g x = Nessa definição, para cada valor de x, a função quociente ( ) h x é dada pelo quociente dos valores correspondentes das funções ( ) f x e ( ) g x . É importante notar que a função ( ) g x não pode ser igual a zero, pois o quociente de qualquer número por zero não é definido. Exemplo 01 Se ( ) ( ) f x =sen x e ( ) ² g x = x , então a função quociente ( ) h x é dada por: 59 2 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco ( ) ( ) ( ) ( ) 2 f x sen x h x g x x = = ( ) ( ) 2 sen x h x x = Assim como a função produto, usamos uma forma simplificada de notação para a função quo- ciente. Considere ( ) u = f x e ( ) v = g x , sendo assim, podemos escrever a expressão, ( ) ( ) ( ) f x u h x g x v = = ( ) u h x v = A função quociente também pode ser expressa na forma de uma fração de polinômios, onde os numeradores e denominadores das funções u e v são polinômios. Exemplo 02 Se 3 2 2 5 3 u x x x = − + e 2 v 4 = x − , então a função quociente ( ) h x é dada por: ( ) 3 2 2 2 5 3 4 x x x h x x − + = − A função quociente é importante em diversas áreas da matemática, como na análise de pro- blemas de otimização e na modelagem de sistemas que envolvem o comportamento de duas grandezas interdependentes. No entanto, a sua derivação é um pouco mais complexa do que a regra do produto, e exige o uso da regra do quociente que veremos a seguir. ` Regra do Quociente A regra do quociente é uma das regras fundamentais de derivação e é usada para en- contrar a derivada de uma função quociente, ou seja, uma função que é definida como o quociente de duas outras funções. A regra do quociente afirma que: 60 Regras e Aplicações do Cálculo Diferencial 2 Quadro 02. Regra do Quociente Fonte: elaborado pelo autor. Regra do Quociente Sejam u e v duas funções diferentes de variável x. Então, a derivada da função quociente ( ) / h x =u v é dada por: ( ) ' ² u v u v h x v ′⋅ − ⋅ = ′ A regra do quociente pode ser lembrada através da seguinte frase: “derivada de cima vezes a de baixo menos a de cima vezes a derivada da de baixo, tudo dividido pela de baixo elevada ao quadrado”. Para usar a regra do quociente, é necessário encontrar as derivadas das funções u e v , assim como fizemos na regra do produto, que são denotadas por ' u e 'v , respec- tivamente. Em seguida, basta aplicar a fórmula acima para obter a derivada da função quociente ( ) h x . Exemplo 01 Se ( ) 2 3 1 , x x h x x + + = então temos: 2 3 1 u x x e v x = + + = 2 3 ' 1 u x e v = + = ′ Aplicando a regra do quociente, temos: ( ) ² u v u v h x v ′ ′⋅ − ⋅ = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 1 1 x x x x h x x + ⋅ − + ′ + ⋅ = Desenvolvendo a expressão acima temos, 61 2 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco ( ) 2 2 2 2 2 3 3 1 1 ² x x x x x h x x x ′ + − − − − = = ( ) 2 2 1 x h x x − = ′ Portanto, a derivada da função ( ) h x é dada por ( ) ( ) ' ² 1 / ² h x x x = − . Exemplo 02 Se, ( ) ( ) 2 sen x f x x = então temos: ( ) ² u sen x e v x = = cos( ) ' 2 u x e v x = = ′ Aplicando a regra do quociente, temos: ( ) ² u v u v f x v ′ ′⋅ − ⋅ = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 cos ² 2 ² x x sen x x f x x ⋅ − ⋅ = ′ Como x é um fator comum na expressão ( ) ( ) cos ² 2 x x sen x x ⋅ − ⋅ iremos colocá-lo em evidência, ( ) ( ) ( ) 4 2 x xcos x sen x f x x   ⋅ −   = ′ Simplificando a expressão por x , ( ) ( ) ( ) 3 2 xcos x sen x f x x ′ − = 62 Regras e Aplicações do Cálculo Diferencial 2 Portanto, a derivada da função ( ) h x é dada por ( ) ( ) ( ) 3 2 / f x xcos x sen x x   = − ′   1.3. FUNÇÃO COMPOSTA Uma função composta é uma função que é formada pela composição de duas ou mais funções. A composição de funções é uma operação matemática que consiste em subs- tituir o argumento de uma função por outra função. Nestes casos, é comum, definirmos a função composta como uma função que depende de outra função. Formalmente, a composição de duas funções f e g é denotada por ( ) f o g e é definida como: ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) , f o g f g x f u u g x = = = Ou seja, para calcular o valor da função composta (f o g) para um determinado valor de x, primeiro aplicamos a função g a x, obtendo um novo valor g(x), e em seguida aplica- mos a função f a esse valor, obtendo o resultado final. Exemplo 01 Se ( ) f x 2 = x e ( ) 3 1 g x = x − , então a função composta ( ) f o g é dada por: ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) 2 3 1 3 1 f o g f g x f x x = = − = − Note que, para calcular ( ) f o g , primeiro aplicamos a função g a x , obtendo 3 1 x− , e em seguida aplicamos a função f a esse valor, obtendo o resultado final ( ) 3 1 2 x− . Uma forma usual de apresentar uma função composta é dada por ( ) f u e ( ) u = g x , na qual ( ) f u indica a função principal “de fora” e u a composição “de dentro”. Veja, ( ) ( ) ( ) 2 2 3 1 , 3 1 f x x f u u e u x = − = = − Exemplo 02 Se ( ) x f x =e e ( ) ( ) g x =sen x , então a função composta ( ) f o g é dada por: ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) sen x f o g f g x f sen x e = = = 63 2 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Note que, para calcular ( ) f o g , primeiro aplicamos a função g a x , obtendo ( ) sen x , e em seguida aplicamos a função f a esse valor, obtendo o resultado final ( ) esen x . Ainda poderíamos indicar da seguinte forma, ( ) ( ) ( ) ( ) , sen x u f x e f u e e u sen x = = = A função composta é uma importante ferramenta em várias áreas da matemática, como na análise de sistemas dinâmicos e na solução de equações diferenciais. Para calcular a deri- vada de uma função composta, é necessário usar a regra da cadeia a qual será apresentada no subtópico a seguir. ` Regra da Cadeia A regra da cadeia é a regra de derivação usada para encontrar a derivada de uma fun- ção composta, ou seja, uma função que é formada pela composição de duas ou mais funções. A regra da cadeia afirma que: Quadro 03. Regra da Cadeia Regra da Cadeia Sejam f e g duas funções diferentes de x, então a derivada da função composta ( ) h x ( ) = f u é dada por: ( ) ( ) ' ' ' h x f u u = ⋅ Fonte: elaborada pelo autor. Para memorizar a regra da cadeia podemos utilizar a seguinte frase: “a derivada da função de fora aplicada à função de dentro, multiplicada pela derivada da função de dentro”. Para aplicar a regra da cadeia, é necessário encontrar as derivadas das funções f e g , que são denotadas por f '( ) u e ’ u , respectivamente. Em seguida, basta substituir essas derivadas na fórmula acima para obter a derivada da função composta ( ) h x . Exemplo 01 Se ( ) ( ) h x 2 1 3 x = + , então podemos escrever ( ) h x como a composição de duas funções: ( ) 3 2 1 f u u e u x = = + 64 Regras e Aplicações do Cálculo Diferencial 2 Assim, temos: ( ) 3 2 ' 2 f u u e u = = ′ Aplicando a regra da cadeia, temos: ( ) ( ) ' ' ' h x f u u = ⋅ ( ) 2 ' 3 2 h x = u ⋅ ( ) 6 ² h x u ′ = Agora iremos substituir u por 2 x +1 na expressão que encontramos ( ) ( ) 2 ' 6 2 1 h x x = + Portanto, a derivada da função h(x) é dada por ( ) ( ) 2 ' 6 2 1 h x x = + . Exemplo 02 Se ( ) ( ) sen x f x = e , então podemos escrever ( ) f x como a composição de duas funções: ( ) ( ) u f u e e u sen x = = Assim, temos: ( ) ( ) cos u f u e e u x ′ = = ′ Aplicando a regra da cadeia, temos: ( ) ( ) ' ' ' f x f u u = ⋅ ( ) ( ) ' u cos f x e x = ⋅ Agora iremos substituir u por ( ) sen x expressão que encontramos ( ) ( ) ( ) ' cos sen x f x e x = ⋅ 65 2 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Portanto, a derivada da função ( ) f x é dada por ( ) ( ) ( ) ' cos sen x f x e x = ⋅ . Note que a regra da cadeia é essencial para calcular a derivada de uma função composta, pois ela nos permite levar em conta a influência de ambas as funções na variação do valor da função composta. 2. DERIVADAS DE ORDEM SUPERIORES A derivada de ordem superior, também conhecida como derivada de segunda ordem, terceira ordem, quarta ordem, e assim por diante, é uma generalização da derivada de primeira ordem. Ela representa a taxa de variação da taxa de variação da função origi- nal, ou seja, a taxa de variação da inclinação da curva. A derivada de segunda ordem de uma função f(x) é denotada por f’’(x) (lê-se “f duas linhas de x”) e é definida como a derivada da derivada de f(x), ou seja: ( ) 2 2 df d d f dx f x dx dx ′       = ′ = Aqui, “ ² / ² d f dx ” é a notação para a segunda derivada de ( ) f x em relação a x. A segunda derivada representa a taxa de variação da inclinação da curva de ( ) f x , ou seja, como a inclinação da curva está mudando em relação a x. Podemos continuar a calcular a derivada de ordem superior, ou seja, a terceira deriva- da, a quarta derivada, e assim por diante, aplicando a mesma ideia. A terceira derivada de f(x) é denotada por f '''( ) x , a quarta derivada por f '''' ( ) x , e assim por diante. ( ) 3 3 ² ² 3 df d dx d dx d f d d f dx f x derivadade ordem dx dx dx  ′                        = = → ° ′′ = ( ) 3 3 4 '''' 4 4 d f d dx d f f x derivadade ordem dx dx       = = → ° 66 Regras e Aplicações do Cálculo Diferencial 2 A partir da derivada de quarta ordem podemos indicar a ordem da derivada através de ( ) ( ) f n x , onde (n) indica da ordem da derivada. Vejamos, a derivada de quarta ordem ( ) ( ) ( ) 4 f '''' x f x = , já a de quinta ordem será dada por ( ) ( ) f 5 x . O processo para obter as derivadas de ordem superiores são recursivos, ou seja, de- pendem do resultado anterior. Sendo assim para obter a derivada de 2° ordem é neces- sário determinar a de 1° ordem, pois a de segunda será obtida a partir da de 1° ordem. Seguindo a mesma lógica para obter a derivada de 3° ordem de uma função será ne- cessário determinar as derivadas de 1° e 2° ordem. Vejamos alguns exemplos: Exemplo 01 Seja ( ) 5 x f x x e = + , e vamos obter a derivada de terceira ordem de f , ou seja, f '''( ) x . Para obter a derivada f '''( ) x é necessário f ''( ) x e f '( ) x . ( ) 5 x f x x e = + Derivada de 1° ordem, ( ) 4 5 x f x x e = + ′ A derivada de 2° ordem será obtida derivando a f '( ) x , ( ) 3 5 4 x f x x e = ⋅ + ′′ ( ) 3 20 x f x x e = ′ + ′ A derivada de 3° ordem será obtida derivando a f ''( ) x , ( ) 2 20 3 x f x x e ′′′ = ⋅ + ( ) 2 60 x f x x e ′ = ′ + ′ Sendo assim a derivada de 3° ordem de f é dada por ( ) 2 60 x f x x e ′ = ′ + ′ . 67 2 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Exemplo 02 Outro exemplo pode ser apresentado pela derivada de terceira ordem é a função exponencial ( ) ax f x =e , onde a é uma constante. Note que essa função é composta, logo será neces- sário utilizarmos a regra da cadeira. Calculando a primeira derivada de f(x) em relação a x: '( ) ax f x a e = ⋅ Calculando a segunda derivada de f(x) em relação a x: ( ) 2 '' ax f x a e = ⋅ Calculando a terceira derivada de f(x) em relação a x: ( ) 3 ''' ax f x a e = ⋅ Portanto, a terceira derivada de ( ) f x em relação a x é dada por 3 a vezes a exponencial de ax . A segunda derivada é frequentemente usada para determinar se uma função é côncava para cima ou para baixo em um determinado intervalo. Se a segunda derivada for positiva em um intervalo, a função é côncava para cima naquele intervalo. Se a segunda derivada for negati- va em um intervalo, a função é côncava para baixo naquele intervalo. Se a segunda derivada for zero em um ponto, a função pode ter um ponto de inflexão naquele ponto. As derivadas de ordem superior são importantes em várias áreas da matemática e da física, como na análise de movimentos e na resolução de equações diferenciais. A regra de Leibniz é uma regra geral para calcular a derivada de ordem superior de uma função produto, en- quanto a regra da cadeia pode ser usada para calcular a derivada de ordem superior de uma função composta 3. DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA E TAXAS RELACIONADAS A diferenciação implícita é uma técnica usada para calcular a derivada de uma função que é definida implicitamente, ou seja, que não pode ser facilmente escrita na forma y = f(x). Isso ocorre quando a variável dependente (y) e a variável independente (x) estão misturadas em uma equação, sem que y esteja isolada em um dos lados da equação. Para aplicar a diferenciação implícita, é necessário diferenciar ambos os lados da equa- ção em relação a x, usando a regra da cadeia para as funções que aparecem na equação. Em seguida, basta resolver a equação resultante para a derivada que se deseja encontrar. 68 Regras e Aplicações do Cálculo Diferencial 2 Exemplo 01 Considere a equação da circunferência 2 2 2 x y r + = . Queremos encontrar a derivada de y em relação a x , ou seja, 'y . Diferenciando ambos os lados da equação em relação a x , temos, ( ) ( ) ' 2 2 2 ' x y r + = ( ) ( ) ( ) ' ' 2 2 2 ' x y r + = A derivada de ²x é dada por, ( ) 2 ' 2 x x = Como ( ) y = f x , para calcular a derivada de ²y é necessário aplicar a regra da cadeia, pois é uma função composta, ( ) 2 ' 2 ' y y y = ⋅ Já r é um valor constante sendo assim, ( ) 2 ' 0 r = Substituindo na expressão inicial, temos ( ) ( ) ' 2 2 2 ' x y r + = ( ) ( ) ( ) ' ' 2 2 2 ' x y r + = 2 2 ' 0 x + y y ⋅ = Isolando ’y , temos: y’ x y =− Isso nos dá a derivada de y em relação a x, em termos de x e y. 69 2 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Exemplo 02 Vamos considerar a equação 2 3 3 y x y ⋅ + = . E desejamos determinar a derivada de y e, relação a x , ou seja, 'y . Diferenciando ambos os lados da equação em relação a x , temos ( ) ( ) ' 2 3 3 ' y x y ⋅ + = ( ) ( ) ( ) ' ' 2 3 3 ' y x y ⋅ + = Para ( y x2 ) ⋅ aplicaremos a regra do produto e cadeia, ( ) 2 2 2 y x y x y x ⋅ = ⋅ + ⋅ ′ Já para ( ) ' 3y aplicaremos a regra ad cadeia, ( ) 3 ' 3 ² ' y y y = ⋅ E para ( ) 3 ', temos: ( ) 3 ' 0 = Substituindo na expressão inicial, temos ( ) ( ) ' 2 3 3 ' y x y ⋅ + = ( ) ( ) ( ) ' ' 2 3 3 ' y x y ⋅ + = 2 2 2 3 0 y x y x y y ′⋅ + ⋅ ′ + ⋅ = Isolando , temos: ( ) 2 3 2 2 0 y x y xy ⋅ + + = ′ ( ) 2 3 2 2 y x y xy ⋅ + = − ′ 2 2 2 ’ 3 xy y x y =− + 70 Regras e Aplicações do Cálculo Diferencial 2 Isso nos dá a derivada de y em relação a x, em termos de x e y. Taxas Relacionadas As taxas relacionadas, por sua vez, são usadas para calcular como duas quantidades estão mudando em relação uma à outra. Em outras palavras, se duas grandezas x e y estão relacionadas por uma equação, as taxas relacionadas permitem determinar como uma delas está mudando em resposta a uma mudança na outra. Por exemplo, suponha que uma partícula esteja se movendo em linha reta e que a po- sição da partícula em relação ao tempo seja dada por ( ) s t 3 2 = t . Queremos determinar a velocidade da partícula em um determinado momento t. A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja: ( ) ( ) ds v t s t dt = ′ = Para calcular essa derivada, podemos usar a regra da potência para derivar s(t): '( ) s t 6 t = Assim, a velocidade da partícula em um determinado momento t é dada por: ( ) '( ) 6 v t s t t = = Isso nos diz como a posição da partícula está mudando em relação ao tempo. Além dis- so, podemos calcular a aceleração da partícula como a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo: ( ) '( ) dv a t v t = dt = Novamente, usando a regra da potência, temos: ( ) '( ) 6 a t =v t = 71 2 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Isso nos diz que a velocidade da partícula está aumentando a uma taxa constante de 6 unidades de medida por unidade de tempo, ou seja, a partícula está acelerando com uma aceleração constante. 4. APLICAÇÕES DE DERIVADAS As aplicações das derivadas são amplas e variadas, e estão presentes em muitas áre- as da ciência, da engenharia e da tecnologia. Algumas das principais aplicações das derivadas são: I. Cálculo de taxas de variação: As derivadas são usadas para calcular taxas de variação instantâneas de uma grandeza em relação a outra. Por exemplo, a velocidade de um objeto em movimento é a taxa de variação instantânea da posição em relação ao tempo. II. Otimização: As derivadas são usadas para encontrar pontos críticos de uma função, onde a taxa de variação é zero. Esses pontos críticos podem ser máxi- mos ou mínimos, e são usados para otimizar problemas em áreas como econo- mia, engenharia, ciência e tecnologia. III. Análise de curvas: As derivadas são usadas para analisar curvas e traçar grá- ficos de funções. Por exemplo, a primeira derivada é usada para encontrar os pontos críticos e a segunda derivada é usada para determinar o tipo desses pontos críticos (máximo ou mínimo). IV. Modelagem matemática: As derivadas são usadas para modelar situações físicas, biológicas e econômicas, através de equações diferenciais. Por exemplo, equações diferenciais são usadas para modelar a dinâmica de populações, a propagação de ondas eletromagnéticas, e o comportamento de sistemas econômicos. Essas são apenas algumas das principais aplicações das derivadas, que mostram a importância e a utilidade desses conceitos em diversas áreas do conhecimento. A seguir iremos explorar algumas dessas aplicações. 4.1. EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE A equação da reta tangente a uma curva em um ponto é uma forma de representar a inclinação da curva naquele ponto. Ela é uma reta que passa pelo ponto de tangência e que tem a mesma inclinação (derivada) da curva naquele ponto. 72 Regras e Aplicações do Cálculo Diferencial 2 Figura 01. Reta Tangente a f no ponto A Fonte: elaborada pelo autor. A equação da reta tangente pode ser obtida através da equação geral da reta, dada a seguir, ( ) P P y y m x x − = ⋅ − Na expressão temos que ( ) , P P x y são as coordenadas do ponto em que a reta tangencia a curva definida por f , no caso da Figura 01, esse ponto é representado pelo ponto A. Se conhecermos o valor de P x o valor de P y será obtido por ( ). P P y f x = Enquanto que m é o coeficiente de inclinação da reta tangente, nesse caso o coeficien- te de inclinação da reta tangente é obtida pelo valor da derivada da função f no ponto de tangência ( P x ). Já ( , ) x y são as variáveis da equação da reta tangente. Para encontrar a equação da reta tangente a uma curva em um ponto específico, pode- mos seguir os seguintes passos: I. Encontrar as coordenadas do ponto de tangencia ( ) P , P x y , sendo P x conhecido te- mos que, ( ) P P ü = II. Calcule a derivada da função em relação à variável independente. III. Encontre o valor da derivada no ponto de tangência. ( ) ' P ü = 73 2 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco IV. Utilize o ponto de tangência e o valor da derivada para escrever a equação da reta tan- gente. ( ) P P y y m x x − = ⋅ − Exemplo Se quisermos encontrar a equação da reta tangente à função ( ) 2 2 3 f x x x = + − no ponto ( ) 2, 5 , podemos seguir os seguintes passos: I. Note que o ponto de tangência já foi fornecido, sendo 2 P x = e 5 P y = . Desta forma vamos para o passo 2 II. Calculamos a derivada da função em relação a x: '( ) 2 2 f x = x + III. Encontramos o valor da derivada no ponto de tangência: ( ) ( ) f ' 2 2 2 2 6 = + = IV. Utilizamos o ponto de tangência e o valor da derivada para escrever a equação da reta tangente: ( ) P P y y m x x − = ⋅ − ( ) 5 6 2 y x − = − y 5 6 1 2 − = x − 6 1 2 5 y = x − + y 6 7 = x − Portanto, a equação da reta tangente à função ( ) 2 2 3 f x x x = + − no ponto ( ) 2, 5 é y 6 7 = x − . A seguir, na Figura 02, é representado graficamente a função f e reta tangen- te no ponto ( ) 2, 5 . 74 Regras e Aplicações do Cálculo Diferencial 2 Figura 02. Reta Tangente a f no ponto P Fonte: elaborada pelo autor. 4.2. PONTOS CRÍTICOS: MÁXIMO, MÍNIMO E INFLEXÃO Os pontos críticos de uma função são aqueles em que a derivada da função é zero ou não existe, matematicamente esta operação é indicada por, ( ) 0 f ′ x = Eles são importantes porque são pontos em que a inclinação da curva muda de cres- cente para decrescente ou vice-versa, o que pode indicar extremos locais (máximos ou mínimos) ou pontos de inflexão na função que indicam onde a flexão (concavidade) da curva muda de para cima para baixo. Em outras palavras, um ponto crítico é um ponto em que a taxa de variação da função muda, seja porque a inclinação muda de sinal (de positiva para negativa ou vice-versa), indicando um possível extremo local, ou porque a inclinação muda de direção, indican- do um possível ponto de inflexão na curva. Na Figura 03, temos a representação dos pontos de máximo, mínimo e inflexão de uma curva f . 75 2 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Fonte: elaborada pelo autor. Figura 03. Representação dos pontos críticos de f Para encontrar os pontos críticos de uma função, é necessário seguir os seguintes passos: I. Calcular a derivada da função em relação à variável independente. II. Encontrar os valores de x em que a derivada é zero ou não existe. ( ) 0 f ′ x = III. Verificar se esses valores correspondem a pontos de máximo, mínimo ou inflexão, usan- do a segunda derivada ou técnicas de análise gráfica. Os critérios de análise pela derivada de 2° ordem são descritos a seguir. ( ) ( ) ( ) 0, , 0, 0, f x mínimo f x máximo e f x pontodeinflexão ′′ > ′′ ′′ < = Por exemplo, para encontrar os pontos críticos da função ( ) 3 2 1 3 8 3 f x x x x = − + , pre- cisamos seguir os seguintes passos: I. Calcular a derivada da função: ( ) 2 ' 6 8 f x x x = − + 76 Regras e Aplicações do Cálculo Diferencial 2 II. Encontrar os valores de x em que a derivada é zero ou não existe: x2 6 8 0 − x + = ( ) 2 2 4 6 4 1 8 b ac ∆ = − = − − ⋅ ⋅ 36 32 4 ∆ = − = 2 b x a − ± ∆ = ( ) 6 4 2 1 x − − ± = ⋅ 1 6 2 4 2 2 2 x − = = = 2 6 2 8 4 2 2 x + = = = III. Verificar se esses valores correspondem a pontos de máximo, mínimo ou inflexão: Podemos usar a segunda derivada para analisar os pontos críticos: ''( ) 2 6 f x = x − ( ) 2 2 2 6 4 6 2 0, f pontodemáximo ′ = ⋅ − = − = − ′ < ( ) 4 2 4 6 8 6 2 0, f pontodemínimo ′ = ⋅ − = − = ′ > Portanto, os pontos críticos da função ( ) 3 2 1 3 8 3 f x x x x = − + são 2 x= e 4 x= , que correspondem a um ponto de mínimo e um ponto de máximo, respectivamente. A seguir na Figura 03, é apresentado o gráfico da função f com os pontos de máximo e mínimo que foram localizados no exemplo anterior. 77 2 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco 4.3. VELOCIDADE E ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA DE UM MÓVEL Velocidade instantânea e aceleração instantânea são conceitos importantes em cine- mática, que usam as derivadas para descrever a variação da posição, velocidade e aceleração de um objeto em movimento. A velocidade instantânea de um objeto é definida como a taxa de variação instantânea da posição em relação ao tempo em um determinado ponto. Matematicamente, isso é expresso como a derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, Figura 04. Pontos de Máximo e Mínimo de f Fonte: elaborada pelo autor. ( ) ( ) dx v t x t dt = ′ = A velocidade instantânea indica a rapidez e a direção do movimento de um objeto em um determinado momento. A aceleração instantânea de um objeto é definida como a taxa de variação instantânea da velocidade em relação ao tempo em um determinado ponto. Matematicamente, isso é expresso como a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, ( ) '( ) dv a t v t = dt = A aceleração instantânea indica a variação instantânea da velocidade de um objeto em relação ao tempo e a direção em que essa variação ocorre. 78 Regras e Aplicações do Cálculo Diferencial 2 Exemplo Um avião está decolando em uma pista reta e horizontal. A sua função de posição em relação ao tempo é dada por ( ) 3 2 1 0 3 50 , s t t t t = − + onde s é a posição em metros e t é o tempo em segundos. a) Qual é a velocidade instantânea do avião quando t = 4 segundos? b) Qual é a aceleração instantânea do avião quando t = 4 segundos? Para encontrar a velocidade instantânea, basta derivar a função de posição em relação ao tempo: ( ) ( ) 2 ' 30 6 50 v t s t t t = = − + a) Substituindo t = 4 na expressão acima, encontramos a velocidade instantânea do avião no instante t = 4 segundos: ( ) ( ) ( ) ² 4 30 4 6 4 50 538 / v m s = ⋅ − ⋅ + = b) Para encontrar a aceleração instantânea, basta derivar a função de velocidade em relação ao tempo: ( ) '( ) 60 6 a t v t t = = − Substituindo t = 4 na expressão acima, encontramos a aceleração instantânea do avião no instante t = 4 segundos: ( ) ( ) a 4 60 4 6 234 / 2 m s = − = Em resumo, a velocidade instantânea e a aceleração instantânea são conceitos fundamen- tais para descrever o movimento de objetos em uma ampla variedade de situações e são importantes ferramentas para modelar, analisar e prever o comportamento de sistemas físi- cos em diferentes áreas do conhecimento, como a física, a engenharia e a ciência em geral. 4.4. RECEITA, CUSTO E LUCRO MARGINAIS Receita, custo e lucro marginais são conceitos importantes em economia e são frequen- temente usados em análises de mercado e tomada de decisões empresariais. Receita marginal A receita marginal é a mudança na receita total quando uma unidade adicional de um produto é vendida. É calculada pela derivada da função de receita em relação à quan- tidade de produto vendida. 79 2 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Por exemplo, se a função de receita para uma empresa é dada por, ( ) 50 0.5 2 , R x x x = − então a receita marginal quando x unidades são vendidas é, '( ) 50 R x x = − Custo Marginal O custo marginal é a mudança no custo total quando uma unidade adicional de um produto é produzida. É calculado pela derivada da função de custo em relação à quan- tidade de produto produzida. Por exemplo, se a função de custo para uma empresa é dada por, ( ) 5 1 0, C x = x + então o custo marginal quando x unidades são produzidas é '( ) 5 C x = Lucro Marginal O lucro marginal é a mudança no lucro total quando uma unidade adicional de um pro- duto é vendida ou produzida. É calculado pela diferença entre a receita marginal e o custo marginal. ( ) ( ) '( ) L x R x C x − ′ = ′ Por exemplo, se a função de lucro para uma empresa é dada por, ( ) 45 0.5 2 1 0 , L x x x = − − então o lucro marginal quando x unidades são vendidas ou produzidas é dado por, 80 Regras e Aplicações do Cálculo Diferencial 2 ’( ) 45 – L x x = Note que as funções lucro, receita e custo marginais podem nos fornecer os valores críticos de máximo e mínimo de cada uma das funções, sendo assim podemos ter maior controle sobre o sistema produtivos assim como otimizar os processos fabris. Exemplo – Aplicação em otimização de processos Suponha que uma empresa produza um produto A e que tenha a seguinte função de custo: ( ) 3 2 0,5 4 30 1 0 C x x x x = − + + E que a função de receita para a venda de x, em centenas de unidades de canetas, é dada por: ( ) R x 20 0,1 2 x x = − Considerando que o objetivo da empresa é maximizar o lucro, qual é o número de uni- dades de canetas que a empresa deve produzir e vender? a. 149 unidades b. 257 unidades c. 447 unidades d. 581 unidades e. 875 unidades Para resolver essa questão, é necessário encontrar o ponto em que o lucro é máximo. O lucro é dado por ( ) ( ) ( ) L x R x C x = − . Portanto, é necessário derivar a função de lucro em relação a x, igualar a zero e resolver para x. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 20 0,1 0,5 4 30 1 0 L x R x C x x x x x x = − = − − − + + ( ) 3 2 0,5 4,1 1 0 –1 0 L x x x x =− + − 81 2 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Derivando ( ) L x , '( ) 1,5 ^ 2 8,2 1 0 L x x x =− + − Igualando L'( ) x a zero e resolvendo para x, encontramos: 1,5 2 x 8,2 1 0 0 x − + − = Aplicando a fórmula de Bhaskara, 1 4,47 2 1,49 x e x = = Como x representa centenas de unidades, a empresa deve produzir e vender 447 ou 149 unidades de canetas para maximizar o lucro. Neste caso, iremos testa da derivada de 2° ordem, ( ) 3 8,2 L x = − x + ′′ ( 4,47) 3 4,47 8,2 5,21 0 L pontodemáximo ′ = − ⋅ + = − < ′ → ( 1,49) 3 1,49 8,2 3,73 0 L pontodemínimo ′ = − ⋅ + = > ′ → Desta forma, para maximizar o lucro é necessário produzir e vender 447 unidades de canetas. Portanto, a resposta correta é a alternativa (C). O conhecimento dos conceitos de lucro, receita e custo marginais é importante para que as empresas possam tomar decisões informadas sobre como ajustar seus preços e quantidades de produção. Quando a receita marginal é maior que o custo marginal, produzir uma unidade adicional resultará em lucro adicional, incentivando a empresa a aumentar sua produção ou vender mais produtos. Por outro lado, quando o custo marginal é maior que a receita marginal, produzir uma unidade adicional resultará em perda adicional, incentivando a empresa a reduzir sua produção ou vender menos produtos. 82 Regras e Aplicações do Cálculo Diferencial 2 5. EXERCÍCIOS COMENTADOS Exercício 01: Para as funções produto, a seguir, determine a derivada de 1° ordem. a. ( ) ( ) ³ f x = x tg x ⋅ b. ( ) ( ) cos( ) g x sen x x = ⋅ c. ( ) x sec( ) h x e x = ⋅ d. ( ) ( )( ) 2 4 3 1 m x x x x = + + Resolução: Como as funções são do tipo produto, iremos aplicar a regra do produto em cada uma delas, ( ) ' ' u v u v u v ′ ⋅ = ⋅ + ⋅ a. Identificando u e v ( ) 3 u x e v tg x = = ( ) 3 2 ² u x e v sec x ′ = = ′ Aplicando na regra do produto, temos ( ) ( ) ( ) 2 3 3 ² f x x tg x x sex x = ⋅ + ⋅ ′ b. Identificando u e v ( ) ( ) cos u sen x e v x = = ( ) ( ) cos u x e v ′ = −sen x = ′ Aplicando na regra do produto, temos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos cos g x x x sen x  sen x  = ⋅ + ⋅ −   ′ ( ) ( ) ( ) cos² ² g x x sen x = − ′ Observação ( ) ( ) ( ) 2 cos² cos 2 x sen x x − = , pois trata-se de uma identidade trigonomé- trica, sendo assim, 83 2 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Exercício 02: ( ) ( cos 2x) g x = ′ c. Identificando e v ( ) x u e e v sec x = = ( ) ( ) sec x u e e v x tg x ′ = = ′ Aplicando na regra do produto, temos ( ) ( ) ( ) ( ) sec sec x x h x e x e x tg x = + ⋅ ′ Colocando o xe sec( ) x em evidencia, temos: ( ) ( ) ( ) ( ) sec 1 x h x e x tg x = ⋅ + ′ d. Identificando u e v 2 4 1 ³ u x e v x x = + = + 3 2 4x 3x² u x e v′ = = + ′ Aplicando na regra do produto, temos ( ) ( ) ( ) 4 3 2 3 2 ( 1) 4 3 ² m x x x x x x x ′ = ⋅ + + + ⋅ + Desenvolvendo a expressão, ( ) 5 4 5 4 3 2 2 2 4 3 4 3 m x x x x x x x ′ = + + + + + ( ) 5 2 3 6 5 4 3 ² m x x x x x = + + + ′ Para as funções quocientes a seguir determine a derivada de 1° ordem. a. ( ) ( ) ( ) x sen x a f x e = 84 Regras e Aplicações do Cálculo Diferencial 2 b. ( ) ( ) ( ) 2 xe x b g x tg x + = Resolução: Como as funções são do tipo quociente, iremos aplicar a regra do quociente em cada uma delas, ' 2 u u v u v v v ′⋅ − ⋅   =  ′    a. Nesta função temos ( ) u = sen x e x v = e , e suas respectivas derivadas são ( ) ' cos u x = e x v ′ = e , aplicando regra do quociente, temos: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 cos x x x x e sen x e f x e ⋅ − ⋅ = ′ Simplificando a expressão, temos, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 cos cos x x x e x sen x x sen x f x e e   − −   = = ′ b. Na função g , temos ² x u e x = + e ( ) v = tg x , e suas respectivas derivadas são 2 x u e x ′ = + e ²( ) v sec x ′ = , substituindo na regra do quociente, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ² ² x x e x tg x e x sec x g x tg x + ⋅ − + ⋅ = ′ Para as funções compostas, a seguir, determine a derivada de 1° ordem. a. ( ) ( ) ( ) 4 3 2 2 5 7 a f x x x x = + − + Exercício 03: 85 2 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Exercício 04: b. ( ) ( ) ( ) 2 1 b g x cos x = + c. ( ) ( ) 2 1 c h x x e − = Resolução: As funções do exercício 03 são funções do tipo composto, sendo assim obteremos suas res- pectivas derivadas pela regra da cadeia. ( ) '( ) ' f x f u u = ⋅ ′ a. Na função f , temos ( ) 4 f u = u e 3 2 2 5 7 u x x x = + − + , as derivadas destas fun- ções são respectivamente, ( ) 4 ³ f u u ′ = e 6 2 2 5 u x x = + − ′ . Aplicando na regra da cadeia, ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 3 2 2 4 6 2 5 4 2 5 7 6 2 5 f x u x x x x x x x ′ = ⋅ + − = + − + ⋅ + − b. Na função f , temos ( ) cos( ) f u u = e 2 1 u x = + , as derivadas destas funções são respectivamente, ( ) ( ) f u = −sen u ′ e u′ = 2 . Aplicando na regra da cadeia, ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 f x sen u sen x = − ⋅ = − ⋅ + ′ c. Na função f , temos ( ) u f u = e e 3 1 u = x + , as derivadas destas funções são res- pectivamente, ( ) u f u e ′ = e 3 ² u x ′ = . Aplicando na regra da cadeia, ( ) 3 2 1 3 3 ² u x f x e x x e + = ⋅ = ⋅ ′ Determine a derivada de 3° ordem da função, ( ) ( ) x f x e sen x = ⋅ Resolução Para obter a derivada de 2° ordem da função f , deveremos obter a derivada de 1° ordem. Determinando a derivada de 1° ordem 86 Regras e Aplicações do Cálculo Diferencial 2 A função f é uma função produto com x u = e e ( ) v = sen x , ( ) cos x u e e v x ′ = = ′ ( ) ( ) cos( ) x x f x e sen x e x = ⋅ + ⋅ ′ ( ) ( ) cos( ) x f x e sen x x   = +   ′ Determinando a derivada de 2° ordem A função f é uma função produto com x u = e e ( ) cos( ) v sen x x = + , ( ) ( ) sen x u e e v cos x x − − ′ = ′ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos sen x x f x e sen x x e cos x x     = + + ⋅ +     ′ ( ) [ ] 2 ( ) ( ) 2 ( ) x x f x e f cos x x cos x e ′ = ′ = Uma partícula se move em linha reta com velocidade v(t) em m/s, onde t é o tempo em se- gundos. A função da posição ( ) s t é dada por ( ) 3 s t 3 2 t t = − , sendo ( ) s t a posição em função do tempo, em metros. Determine: a. A velocidade da partícula em relação a um ponto fixo no instante t = 2 s; b. A aceleração da partícula em relação a um ponto fixo no instante t = 1 s; Resolução: a. Para determinar a velocidade da partícula em relação a um ponto fixo no instante t = 2 s, basta calcular a derivada da função da posição s(t) em relação ao tempo t e avaliar no instante t = 2 s: ( ) 3 s t 3 2 t t = − ( ) ( ) 2 ' 3 6 v t s t t t = = − ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 6 2 0 / v m s = − = Exercício 05: 87 2 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Exercício 06: Portanto, a velocidade da partícula em relação a um ponto fixo no instante t = 2 s é de 0 m/s. b. Para determinar a aceleração da partícula em relação a um ponto fixo no instante t = 1 s, basta calcular a segunda derivada da função da posição s(t) em relação ao tempo t e avaliar no instante t = 1 s: ( ) 3 s t 3 2 t t = − ( ) ''( ) 6 6 a t s t t = = − ( ) ( ) a 1 6 1 6 0 / 2 m s = − = Portanto, a aceleração da partícula em relação a um ponto fixo no instante t = 1 s é de 0 m/s². Considere a equação implícita da curva definida por, 2 2 9 x x y y − ⋅ + = Calcule a derivada de y em relação a x, ou seja, 'y , em termos de x e y. Resolução: Para calcular a derivada implicitamente, vamos derivar ambos os lados da equação em re- lação a x: ( ) ( ) 2 2 ’ 9 ’ x x y y − ⋅ + = Aplicando a regra produto para x y ⋅ e regra da cadeia na derivada do termo ²y , temos: 2 ' 2 ' 0 x y x y y y − − ⋅ + ⋅ = Isolando ’y , temos: 2 ’ 2 y x y y x − = − Portanto, a derivada de y em relação a x, em termos de x e y, é: 2 ’ 2 y x y y x − = − 88 Regras e Aplicações do Cálculo Diferencial 2 Exercício 07: Encontre a equação da reta tangente a curva definida por f no ponto P, representada no gráfico da Figura 05. Figura 05. Reta Tangente a f no ponto P Fonte: elaborada pelo autor. Resolução: Para encontrar a equação da reta tangente à curva ( ) 3 2 1 y f x x x = = − + no ponto P(-1, 2), precisamos calcular a derivada da função y em relação a x e avaliá-la no ponto P(-1, 2). A derivada da função y é: ' 3 2 2 y = x − Avaliando em 1 x=− , temos: ( ) ( ) 2 ' 1 3 1 2 1 m = y − = − − = Portanto, a inclinação da reta tangente à curva no ponto P(-1, 2) é 1. Agora, precisamos usar a equação da reta para encontrar a equação da reta tangente: ( ) P P y y m x x − = − Onde m é a inclinação da reta e ( P , P x y ) é o ponto em que a reta é tangente à curva. Subs- tituindo os valores conhecidos, temos: ( ) ( ) 2 1 1 y x − = − − 89 2 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Exercício 08: y 2 1 x − = + y 3 x = + Portanto, a equação da reta tangente à curva 3 y 2 1 x x = − + no ponto (-1, 2) é 3 y x = + . Dada a função, ( ) 3 2 4 7 9 –1 1 f x x x x = − + determine os valores críticos de máximo e mínimo local da função f . Resolução: Para encontrar o ponto crítico, precisamos calcular a derivada da função de lucro e igualá-la a zero: ( ) 2 ' 1 2 1 4 9 0 f x x x = − + = Podemos resolver esta equação usando a fórmula para as raízes de uma equação de se- gundo grau: ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 14 14 4 12 9 2 12 x − − ± − − = 14 4 24 x ± = 1 2 1 3 3 4 x e x = = Agora, precisamos verificar se esses valores correspondem a um ponto de máximo ou míni- mo de ( ) f x . Para isso, podemos calcular a segunda derivada de ( ) f x em cada ponto crítico: ''( ) 24 1 4 f x x = − Para x =1/ 3 . 90 Regras e Aplicações do Cálculo Diferencial 2 1 2 0 3 f  =− <     ′′ Portanto x =1 / 3 é um ponto de máximo de ( ) f x . Para 3/ 4 x= , 3 2 0 4 L  = >     ′′ portanto 3/ 4 x= é um ponto de mínimo de ( ) L x . Exercício 09: Um engenheiro eletricista está projetando um circuito elétrico para uma aplicação em um siste- ma de controle. A corrente elétrica I no circuito é dada pela equação ( ) 2 2 5 3 I V V V =− + + , onde V é a tensão elétrica aplicada. Qual é o valor de tensão elétrica que maximiza a corrente elétrica no circuito? Resolução: A taxa de variação da corrente elétrica com a tensão elétrica é / dI dV . Podemos calcular essa taxa utilizando a regra da cadeia para derivadas: ( ) 4 5 dI I V V dV =− = ′ + Para maximizar a corrente elétrica, devemos iguala 'I ( ) V a zero: 4 5 0 − V + = 5 4 V = Realizando o teste da segunda derivada, temos, ( ) 2 2 4 d I I V dV ′ = = − ′ A derivada de segunda ordem é negativa para todo o valor de V, sendo assim temos que em 5/4 V temos um ponto de máximo. 91 2 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Exercício 10: (ENADE 2019) A gerência de produção de uma empresa fabricante de calculadoras definiu como objetivo garantir o custo mínimo de estocagem. O perfil de produção da empresa indica, por meio de dados históricos, que o custo de estoque C(x), em milhares de reais, é dado pela expressão, ( ) 3 2 1 11 24 31 3 2 C x x x x = − + + para x > 0, em que x representa, em milhares, o número de calculadoras produzidas diaria- mente. HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, G. L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 11. ed., Rio de Janeiro: LTC, 2015 (adaptado). Nesse contexto, o número de calculadoras produzidas por dia que minimiza o custo de es- tocagem é: a. 3.000 b. 5.500 c. 8.000 d. 41.000 e. 62.500 Resolução: Para encontrar o número de calculadoras produzidas por dia que minimiza o custo de estoca- gem, precisamos encontrar o ponto crítico da função C(x), ou seja, onde a derivada da função é igual a zero ou inexistente. Vamos começar calculando a derivada da função C(x): ( ) 2 ' 1 1 24 C x x x = − + Agora, vamos encontrar os pontos críticos igualando a derivada a zero e resolvendo para x: x2 1 1 24 0 x − + = Podemos fatorar a equação acima: ( )( ) 3 8 0 x x − − = Portanto, os pontos críticos são x = 3 e x = 8. Agora, precisamos determinar se esses pontos críticos correspondem a um mínimo ou a um máximo da função C(x). Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada. Calculando a segunda derivada da função C(x), temos: 92 Regras e Aplicações do Cálculo Diferencial 2 ''( ) 2 1 1 C x = x − Avaliando a segunda derivada nos pontos críticos, temos: ( ) ( ) C '' 3 2 3 1 1 5 0 = − =− < ( ) ( ) C '' 8 2 8 1 1 5 0 = − = > Como C’’(3) é negativo, temos um ponto de máximo local em x = 3. Já que estamos interes- sados em encontrar o ponto de mínimo, descartamos x = 3 e verificamos que em x = 8 temos um ponto de mínimo local. Portanto, a quantidade de calculadoras que deve ser produzida por dia para minimizar o custo de estocagem é x = 8 mil unidades, alternativa (C). 93 2 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco CONCLUSÃO A regra do produto, quociente e cadeia são técnicas de cálculo que nos permitem en- contrar a derivada de funções compostas, produtos e quocientes de funções. Essas regras são importantes porque nos permitem simplificar cálculos complexos, evitando assim erros e economizando tempo. As derivadas de ordem superior são úteis para entender melhor o comportamento de funções mais complexas. Elas nos permitem calcular taxas de variação mais precisas e entender melhor a dinâmica do sistema em questão. Com as derivadas de ordem superior, podemos obter informações mais detalhadas sobre a curvatura, concavidade e pontos de inflexão de uma função. As aplicações de derivadas são amplas e abrangem diversas áreas do conhecimento. Na física, as derivadas são usadas para descrever o movimento de objetos e calcular as forças envolvidas. Na engenharia, as derivadas são usadas para projetar sistemas de controle, otimizar processos e calcular a tensão em materiais. Na economia, as de- rivadas são usadas para modelar e prever o comportamento do mercado e calcular a elasticidade da demanda. E na ciência da computação, as derivadas são usadas para otimizar algoritmos e programar sistemas de inteligência artificial. Em resumo, as técnicas de cálculo de derivadas são fundamentais para diversas áreas do conhecimento, e as aplicações dessas técnicas são variadas e relevantes para en- tender o mundo ao nosso redor. 94 Regras e Aplicações do Cálculo Diferencial 2 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. Porto Alegre: Bookman. 2010. HOFFMAN, L. D.; BRADLEY, G. L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 11. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015. LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. São Paulo: Harbra. 2013. STEWART, J. Cálculo: volume 1. São Paulo: Cengage Learning. 2015 95 2 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco 96 Princípios do Cálculo Integral 3 UNIDADE 3 PRINCÍPIOS DO CÁLCULO INTEGRAL INTRODUÇÃO O cálculo integral é uma das principais ferramentas da matemática, com uma vasta gama de aplicações em áreas como física, engenharia, economia e ciência da com- putação. O estudo do cálculo integral permite a compreensão da relação entre uma função e a área sob sua curva, bem como a análise do comportamento de uma função em relação ao seu limite. Figura 01. Representação de área com delimitação curvilínea Fonte: 123RF. A ideia do cálculo integral remonta aos antigos matemáticos gregos, mas foi somente no final do século XVII e início do século XVIII que o cálculo integral moderno foi de- senvolvido de forma sistemática por Isaac Newton e Gottfried Leibniz. Desde então, o cálculo integral tem sido uma área de estudo fundamental para o avanço da ciência e da tecnologia. O cálculo integral é dividido em duas partes principais: o cálculo de primitivas, também conhecido como integração indefinida, e o cálculo de integrais definidas. A integração indefinida consiste em encontrar uma função cuja derivada seja igual à função dada, enquanto a integral definida é usada para encontrar a área entre a curva da função e o eixo x em um intervalo específico. 97 3 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Ao estudar o cálculo integral, desenvolvemos habilidades importantes, como o racio- cínio abstrato e a capacidade de solucionar problemas. Além disso, o cálculo integral é uma ferramenta essencial para o desenvolvimento de outras áreas da matemática, como a geometria diferencial e a teoria das equações diferenciais. 1. PRINCÍPIOS DO CÁLCULO INTEGRAL O cálculo integral é um dos dois ramos do cálculo, ao lado do cálculo diferencial. Ele surgiu a partir das necessidades de encontrar áreas de figuras geométricas não ele- mentares, como curvas e superfícies curvas. A ideia básica do cálculo integral é dividir uma região em um grande número de pedaços menores, calcular a área de cada peda- ço e somá-los para obter uma aproximação da área total da região. A integração é uma operação matemática que consiste em encontrar uma função que representa a área sob uma curva de uma função em um determinado intervalo. Isso é feito encontrando uma antiderivada da função, que é a função que, quando derivada, resulta na função original. O cálculo integral tem inúmeras aplicações em diferentes áreas do conhecimento, como física, engenharia, estatística, economia e muitas outras. Ele é usado para modelar e solucionar problemas que envolvem taxas de mudanças contínuas, como a velocidade e a aceleração de objetos em movimento, o crescimento populacional, a dissipação de calor e a difusão de substâncias. 1.1. PRIMITIVA DE UMA FUNÇÃO OU ANTIDERIVADA A primitiva de uma função é uma das bases do cálculo integral. Ela é o inverso da de- rivada de uma função e pode ser entendida como uma função cuja taxa de variação é igual à função conhecida. Em outras palavras, se ( ) f x é uma função e ( ) F x é a sua primitiva, então, ( ) ( ) ' F x f x = Esta expressão nos indica que existe uma função denominada Primitiva (que dá ori- gem) representada por ( ) F x que ao ser derivada é igual a função conhecida ( ) f x . Por exemplo, se considerarmos a função, ( ) f x 3 2 x = A primitiva dela pode ser expressa como ( ) F x 3 = x , pois se derivarmos ( ) F x , teremos: 98 Princípios do Cálculo Integral 3 ( ) ( ) 3 2 ' ' 3 F x x x = = Assim, ( ) F x é uma função primitiva de ( ) f x . A primitiva de uma função é também chamada de antiderivada, e é uma função que pode ser obtida através do processo de integração. A primitiva de uma função não é única, pois uma constante pode ser adicionada a qualquer primitiva sem alterar sua derivada. Por exemplo, se ( ) F x é uma primitiva de ( ) f x , então ( ) F x +C , onde C é uma constante, também é uma primitiva de ( ) f x . Desta forma, a primitiva de ( ) 3 ² f x x = do exemplo anterior é dada por, ( ) 3 F x x C = + Pois ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' 3 3 2 ’ 3 0 3 ² F x x C x C x x = + = + = + = ′ . A primitiva, nesse caso, indica uma família de funções que apresentam o mesmo com- portamento, essa terminologia é conveniente pois membros de uma mesma família tendem a apresentar comportamento parecidos ou semelhantes. No caso, do cálculo a derivada dita o comportamento da função, sendo assim quando um conjunto de funções apresentam a mesma derivada são pertencentes à mesma família. Vamos fazer mais alguns exemplos de primitivas, Exemplo 01 Seja a função ( ) cos( ) x f x e x = + , a primitiva de ( ) f x é dada por, ( ) ( ) x F x e sen x C = + + Pois ao derivarmos a função ( ) F x obtermos a função ( ). f x Veja, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' cos 0 x x x F x e sen x C e sen x C e x = + + = + + = + + ′ 99 3 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Exemplo 02 Considere ( ) ( ) 4 2 2 1 g x x sec x = + ⋅ + , a primitiva de ( ) g x é dada por, ( ) ( ) 5 1 2 5 G x x tg x x C = ⋅ + ⋅ + + Pois a derivada de ( ) G x é igual a ( ) g x , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' ' 5 5 1 1 2 2 5 5 G x x tg x x C x tg x x C     = ⋅ + ⋅ + + = ′ ⋅ + ⋅ + +         ( ) ( ) ( ) 4 2 4 2 5 2 1 0 2 1 5 G x x sec x x sec x = + ⋅ + + = + ⋅ + ′ 1.2. INTEGRAIS INDEFINIDAS, PROPRIEDADES E REGRAS DE INTEGRAÇÃO Integrais indefinidas representam uma prática muito comum em diversos campos da matemática e da física. Basicamente, uma integral indefinida é uma função que repre- senta a antiderivada de outra função. Essa antiderivada é obtida através do processo de integração, que consiste em encontrar uma função que quando derivada resulte na função original. ( ) ( ) ( ) ( ) , ' F x f x dx tal que f x F x = ∫ = Integrais indefinidas podem ser resolvidas através de diversas técnicas, como substitui- ção e integração por partes, estas quais serão exploradas na próxima unidade. Essas técnicas exigem conhecimento prévio de derivadas, regras de integração e manipulação algébrica, mas no momento iremos nos atentar a estudar as propriedades das integrais indefinidas assim como as primitivas de funções básicas (regras básicas de integração). Propriedade das integrais indefinidas Algumas propriedades das integrais indefinidas são: I. Linearidade: a integral da soma de duas funções é igual à soma das integrais das funções individualmente. Isto é, 100 Princípios do Cálculo Integral 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx F x G x C ∫ + = ∫ + ∫ = + + Essa propriedade nos fornece que a integral indefinida de uma soma é igual a soma das integrais de cada uma das funções ou soma das primitivas. Exemplo Seja ( ) ² f x = x e ( ) x g x = e , ( ) 2 1 3 ² 3 x x x x e dx x dx e dx x e C ∫ + = ∫ + ∫ = + + II. Multiplicação por constante: a integral de uma função multiplicada por uma constante é igual à constante vezes a integral da função. Isto é, ( ) ( ) ( ) k f x dx k f x dx k F x C ∫ ⋅ = ⋅∫ = ⋅ + Exemplo Seja k = 3 e ( ) cos( ) f x x = , ( ) ( ) ( ) 3 cos 3 cos 3 x dx x dx sen x C ∫ ⋅ = ⋅∫ = ⋅ + Regras básicas de Integração (Primitivas de funções básicas) As regras de integração são importantes ferramentas no cálculo de áreas e volumes, bem como no cálculo de problemas físicos, como trabalho e energia. Algumas das prin- cipais regras de integração incluem: Primitiva da função potência A primitiva de uma função potência depende do grau “n” da potência. Vamos considerar a função potência ( ) n f x = x , onde n é uma constante. Para 1 n≠− , temos: 101 3 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco 1 1 n n x x dx C n + ∫ = + + onde C é a constante de integração. Já para 1 n=− , temos: 1 1 . x dx dx ln x C x ∫ − = ∫ = + A partir destas fórmulas, podemos encontrar as primitivas de diversas funções potência, bastando apenas ajustar o valor de n. Exponencial de base “e” A primitiva da função exponencial de base e é simplesmente a própria função exponen- cial. Ou seja, se f(x) = e^x, então sua primitiva F(x) é dada por: ( ) x x F x e dx e C =∫ = + onde C é a constante de integração. Primitiva da função logaritmo neperiano (ln) A primitiva da função ln(x) é dada por: ( ) ( ) ln x dx xln x x C ∫ = − + Onde C é a constante de integração. Podemos verificar essa primitiva derivando a expressão obtida: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ln 1 1 ln xln x x C ln x x x x x   − + = ⋅ + ⋅ − = + − =   Assim, concluímos que a expressão encontrada é realmente uma primitiva da função ln(x). 102 Princípios do Cálculo Integral 3 Primitiva da função Cosseno A primitiva da função cosseno é dada por: ( ) ( ) cos x dx sen x C ∫ = + onde C é a constante de integração. Note que a derivada de seno é cosseno, ou seja: ( ) ( ) ' sen x C cos x   + =   Por isso, ao calcular a integral de cosseno, obtemos como resultado a função seno, acrescida da constante de integração. Primitiva da função Seno A primitiva da função seno é a função menos o cosseno: ( ) ( ) , sen x dx cos x C ∫ =− + onde C é a constante de integração. Note que a derivada de menos cosseno é seno, ou seja: ( ) ( ) ' cos x C sen x   − + =   Por isso, ao calcular a integral de seno, obtemos como resultado a função cosseno, acrescida da constante de integração. A seguir iremos elencar as principais primitivas das funções básicas através de uma tabela de organizacional. Tabela de Primitivas de funções básicas (Tabela de Regras Básicas de Integração) 103 3 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Tabela 01. Regras Básicas de Integração FUNÇÃO MODELO MATEMÁTICO PRIMITIVA Nula 0 C Constante C C x ⋅ Identidade x 2 2 x Potência nx 1 1 1 nx paran n + ≠ − + Exponencial de base qualquer bx ( ) ln bx b Exponencial de base “e” xe xe Logaritmo Neperiano lnx x ln x x ⋅ − Hiperbólica 1 x ln x Seno sen x cos x − Cosseno cos x sen x Tangente tg x ln secx Secante sec x ln sec x tg x + Cossecante cossec x ln cossec x cotg x − Cotangente cotg x ln sen x 104 Princípios do Cálculo Integral 3 FUNÇÃO MODELO MATEMÁTICO PRIMITIVA Algumas identidades 2 sec x tg x ² cossec x cotg x − sec x tg x ⋅ sec x cossec x cotg x ⋅ cossec x − Fonte: elaborada pelo autor. Vejamos alguns exemplos de como obter a primitiva de uma função através da tabela de regras de integração Exemplo 01 Calcule a primitiva indicada a seguir, 1 2 sec 3 2 xe x dx   ∫ + +     Aplicando a 1° e 2° propriedade das integrais temos, 1 1 2 sec 3 2 sec 3 2 2 x x e x dx e dx xdx dx   ∫ + + = ⋅∫ + ⋅∫ + ∫     Pela tabela de integrais, Tabela 02. Excerto da tabela de Primitivas Básicas FUNÇÃO MODELO MATEMÁTICO PRIMITIVA Constante C C x ⋅ Exponencial de base “e” xe xe Secante sec x ln sec x tg x + Fonte: elaborada pelo autor. 105 3 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Sendo assim, 1 1 2 sec 3 2 ln sec 3 2 2 x x e x dx e x tg x x C   ∫ + + = + + + +     Exemplo 02 Obtenha a primitiva da função, ( ) 3 3 1 x f x = cossec x tg x ⋅ − + A primitiva de ( ) f x será dada por, ( ) ( ) 3 3x F x cossec x tg x x dx = ∫ ⋅ − + Aplicando a 1° e 2° propriedades das integrais temos, ( ) ( ) 3 3 1 3 3 x x F x cossec x tg x dx cossec x tg xdx dx xdx = ∫ ⋅ − + = ⋅∫ ⋅ − ∫ + ∫ Pela tabela de regras básicas de integração temos, Tabela 03. Primitiva da função identidade, exponencial e identidades trigonométricas FUNÇÃO MODELO MATEMÁTICO PRIMITIVA Identidade xX 2 2 x Exponencial de base qualquer bx ( ) ln bx b Algumas identidades cossec x cotg x ⋅ cossec x − Fonte: elaborada pelo autor. Sendo assim, ( ) 3 3x F x cossec x tg xdx dx xdx = ⋅∫ ⋅ − ∫ + ∫ 106 Princípios do Cálculo Integral 3 ( ) ( ) 2 3 3 ln 3 2 x x F x cossec x C = − − + + Recomendação Antes de iniciar a leitura do próximo tópico, Integrais Definidas, recomenda-se a prática das do cálculo de primitivas e integrais indefinidas. Pois esse conhecimento será necessário ao explorarmos o próximo conceito. Sugere-se que pratique com os exercícios 1 a 20, do mate- rial complementar “Lista de exercícios da unidade 03”. 2. INTEGRAIS DEFINIDAS De forma simples, a integral definida é o processo matemático utilizado para encontrar a área sob uma curva em um intervalo específico. A partir da definição de integral, é possível obter a primitiva de uma função, que é a inversa da derivada da função original, e assim através dos limitantes de uma região determinarmos sua área. As integrais definidas possuem algumas propriedades importantes, como a linearidade, a propriedade da soma e da constante, que facilitam o cálculo e a manipulação das mesmas. Além disso, o teorema fundamental do cálculo, que relaciona integrais defini- das e derivadas, é uma das principais ferramentas para o cálculo de integrais definidas. O estudo das integrais definidas é fundamental para o desenvolvimento de diversos campos da matemática e da ciência, desde a modelagem de fenômenos físicos até resolução de equações diferencias. 2.1. O PROBLEMA DA ÁREA O cálculo integral surgiu a partir de um problema fundamental: como calcular a área sob uma curva? Esse problema apareceu pela primeira vez na Grécia antiga, quando os matemáticos tentavam determinar a área de figuras geométricas complexas, como por exemplo, a área de um círculo ou de um segmento de parábola. Existem várias técnicas numéricas para o cálculo da área de uma região delimitada por uma curva. Uma dessas técnicas é o método de retângulos, que consiste em aproximar a área da região por meio de retângulos com base em uma partição uniforme da curva. No método dos retângulos podemos considerar como altura a margem direita, esquerda ou o ponto médio de cada partição, mas como temos como objetivo apenas conceituar a processo de integração iremos abordar apenas o método dos retângulos pela margem direita (caso considere interessante, vale a pesquisa dos demais métodos) Considere a região S, representada na Figura 02, 107 3 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Figura 02. Região S delimitada pela curva f e pelas retas x = -2, x = 2 e y = 0 Fonte: elaborada pelo autor. Fonte: elaborada pelo autor. Dividindo a região S em 8 retângulos aproximantes, representado a seguir na Figura 03, temos, Figura 03. Região S subdividida em 8 retângulos aproximantes Sendo assim uma aproximação da região S pelo método dos retângulos pode ser re- presentada por, 108 Princípios do Cálculo Integral 3 Figura 04. Representação da região S pela aproximação de 8 retângulos Fonte: elaborada pelo autor. Fonte: elaborada pelo autor. Ao somarmos as áreas de cada uma dos retângulos aproximantes, é possível obter um valor aproximado para a área da região S. Note que existe uma diferença considerável entre a área exata e a aproximada nesta aproximação, isto acontece pois os como a quantidade de retângulos é apenas 8 (considerada pequena nesse método) os retân- gulos não se ajustam com precisão a curva definida por f . Na próxima seção iremos explorar com maior propriedade este método, pois é uma ferramenta fundamental para os cálculos de área e o entendimento das integrais. Outro método é o método do trapézio, que consiste em aproximar a área da região por meio de trapézios com base em uma partição uniforme da curva, conforme a Figura 05. Figura 05. Representação do método dos trapézios Além disso, existe o método de Simpson, que utiliza uma aproximação por meio de polinômios de segundo grau para calcular a área da região. Esses métodos são úteis 109 3 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco quando não é possível calcular a área exata de uma região delimitada por uma curva de forma analítica, ou seja, por meio de uma primitiva da função que define a curva. No entanto, o problema da área não se limitava à geometria. Na física, por exemplo, a determinação da área sob uma curva pode ser utilizada para calcular a quantidade de trabalho realizado por uma força variável, a velocidade média de um objeto em movi- mento ou a quantidade de calor transferida em um processo termodinâmico. Exemplo Por exemplo, considere um objeto que está sendo puxado por uma mola, e a força da mola varia de acordo com a distensão da mola. Figura 06. Representação de um sistema massa-mola Fonte: 123RF Nesse caso, a área sob a curva que representa a força em função da distensão da mola é igual ao trabalho realizado pela força ao mover o objeto. Usando o teorema fundamental do cálculo, podemos calcular essa área como a integral da força em relação à distensão da mola. A solução para o problema da área veio com o desenvolvimento do cálculo integral por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz no final do século XVII. O cálculo integral é um ramo do cálculo que estuda a integração de funções e é utilizado para calcular áreas, volumes, centro de massa, trabalho, entre outras grandezas. 110 Princípios do Cálculo Integral 3 Método dos Retângulos O método dos retângulos ou soma de Riemann é um dos métodos numéricos utili- zados para o cálculo de integrais definidas. Ele consiste em aproximar a área sob uma curva por uma soma de áreas de retângulos de largura constante, conhecidos como retângulos de base. Esses retângulos têm a mesma altura da função em um ponto es- colhido em cada intervalo de base. Para utilizar esse método, é necessário dividir o intervalo de integração em n subinter- valos de base iguais e escolher um ponto em cada subintervalo para determinar a altura dos retângulos. Figura 07. Representação do método dos retângulos para n = 10, 20 e 40 Fonte: elaborada pelo autor. Fonte: elaborada pelo autor. Na Figura 06, temos a representação da aplicação do método dos retângulos para a mesma região com 10, 20 e 40 retângulos aproximantes. Note que quanto maior a quantidade de retângulos utilizados mais preciso e melhor o ajuste a curva, aumentando assim a assertividade no cálculo da área da região. A soma das áreas dos retângulos é dada por: Figura 08. Fórmula para aproximação de área pelo método dos retângulos 111 3 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco onde S A é a área da região S, ( ) f xi é a altura do retângulo em um ponto ix escolhi- do em cada subintervalo e ( ) / b a n − é a largura da base do retângulo. A notação acima, indica o somatório das áreas do 1° retângulo até o n-ésimo retângulo (último retângulo) que depende do número n de partições que realizarmos na região S. Em outras palavras a expressão pode ser reescrita como, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 n S i n i b a b a b a b a b a A f x f x f x f x f x n n n n n = − − − − − ≅ ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ +…+ ⋅ ∑ Exemplo Para entender melhor o método, vamos considerar como exemplo a área delimitada pela função ( ) f x 2 = x e o eixo x no intervalo [ ] 1,3 com 4 n= . Fonte: elaborada pelo autor. Figura 09. Representação da região S Dividindo o intervalo em quatro subintervalos iguais, temos: 112 Princípios do Cálculo Integral 3 Figura 10. Representação do método dos retângulos com n = 4 Um valor aproximado para a região será dado pelo método dos retângulos, ( ) 10 n S i i b a A f x n = − ≅ ⋅ ∑ Temos que para a região S ( ) 2 i i f x = x , a =1 , b = 3 e n = 4 , substituindo na expres- são 4 2 0 3 1 4 S i i A x = − ≅ ⋅ ∑ 4 2 0 0,5 S i i A x = ≅ ⋅ ∑ Expandindo o somatório, temos, ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 2 2 2 1 2 3 4 0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 S i i A x x x x x = ≅ ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ∑ Como temos que, 1 x =1,5 , 2 x = 2 , 3 x = 2,5 e 4 x = 3 , veja Figura 09, teremos: Fonte: elaborada pelo autor. 113 3 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 2 2 2 0 0,5 1,5 0,5 2 0,5 2,5 0,5 3 0,5 S i i A x = ≅ ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ∑ 4 2 0 0,5 1,125 2 3,125 4,5 S i i A x = ≅ ⋅ = + + + ∑ 4 2 0 0,5 10,75 ² S i i A x u = ≅ ⋅ = ∑ Desta forma, a área formada abaixo da função ( ) ² f x = x no intervalo [ ] 1, 3 é aproxima- damente 10,75 u². Observe que indicamos a unidade como u², isso acontece pois não temos a unidade de medida adotada para as dimensões da região S, senso assim denotamos como unidades quadradas. Podemos verificar a precisão da aproximação aumentando o número de subintervalos “n”. Quanto maior o número de subintervalos, mais preciso será o cálculo. A seguir, na tabela, é representado os valores das áreas aproximadas para n = 10, 100, 1000 e 10.000. Tabela 04. Valores das áreas aproximadas para n = 10, 100, 1.000 e 10.000 NÚMERO DE RETÂNGULOS (N) ÁREA APROXIMADA ( s ) A 10 9,48 100 8,75 1.000 8,67 10.000 8,667 Fonte: elaborada pelo autor. Abaixo, na Figura 11, temos a representação gráfica do método dos retângulos, para n = 10, 100, 1.000 e 10.000, veja que quando maior o valor de n melhores ajustados os retângulos se tornam a curva definida por f . Figura 11. Representação do método dos retângulos para n = 10, 100, 1.000 e 10.000 Fonte: elaborada pelo autor. 114 Princípios do Cálculo Integral 3 Quanto maior o número de subintervalos, mais preciso é o resultado obtido. Entretanto, essa precisão é alcançada ao custo de um maior número de cálculos e, portanto, de um maior tempo de processamento. O método dos retângulos é um dos métodos mais simples de se implementar e pode ser utilizado como uma primeira aproximação para o cálculo de integrais definidas. Entretanto, se analisarmos os resultados para as áreas aproximadas podemos perceber que os valores começam a se aproximar de certo valor, ou seja, podemos dizer que a área está tendendo a um valor determinado conforme a quantidade de retângulos n aumenta. No exemplo, conseguimos visualizar pela tabela que os valore tendem ao valor 8,666..., e esse valor é o valor exato da área da região S , ou seja, tendendo n ao infinito temos o valor exato da área, 2 0 2 25 lim 8,666 ² 3 n S i n i A x u n = →∞ = ⋅ = …= ∑ De forma geral, podemos definir que a área exata da região será dada pelo limite da soma de Riemann quando o número de retângulos tende ao infinito, e esse conceito nos define as integrais definidas que serão estudas no próximo tópico. Figura 12. Fórmula para o cálculo da área exata da região S Fonte: elaborada pelo autor. 2.2. TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO E INTEGRAIS DEFINIDAS O Teorema Fundamental do Cálculo é um dos conceitos centrais no estudo do cálculo integral. Ele estabelece uma relação entre a integração de uma função e a sua derivada, permitindo-nos calcular uma integral definida através da avaliação da função em seus limites de integração. O teorema pode ser dividido em duas partes: a primeira parte es- tabelece a existência de primitivas de uma função contínua em um intervalo, enquanto a segunda parte mostra como calcular uma integral definida usando a primitiva da função. 115 3 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco A primeira parte do teorema afirma que, se uma função f(x) é contínua em um intervalo [a,b], então ela tem pelo menos uma primitiva F(x) contínua em [a,b]. Em outras pala- vras, F(x) é uma função cuja derivada é igual a f(x) em todo ponto de [a,b]. ( ) ( ) 0 x f x dx F x C = + ∫ A segunda parte do teorema afirma que a integral definida de f(x) em [a,b] é igual à dife- rença entre os valores de F(x) em b e a. Matematicamente, podemos escrever: ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a = − ∫ O Teorema Fundamental do Cálculo é uma ferramenta poderosa que nos permite cal- cular integrais definidas sem a necessidade de recorrer a métodos numéricos como a soma de Riemann. Ele também estabelece uma conexão importante entre o cálculo integral e o cálculo diferencial, permitindo-nos entender melhor a relação entre a área sob uma curva e a sua taxa de variação em um determinado intervalo. Exemplo Suponha que se queira calcular a área da região delimitada pela curva y 2 = x entre as retas y = 0, 0 x= e 2 x= . Figura 13. Representação da região S do exemplo Fonte: elaborada pelo autor. 116 Princípios do Cálculo Integral 3 Usando o teorema fundamental do cálculo, podemos encontrar a primitiva da função ( ) f x 2 = x , que é ( ) 1 3 3 F x x = . Então, a área da região delimitada pela curva é dada por: ( ) ( ) 3 3 1 1 8 2 0 2 0 ² 3 3 3 AS F F u = − = ⋅ − ⋅ = Portanto, a área da região delimitada pela curva y 2 = x entre 0 x= e 2 x= é igual a 8/3 u², como não foi nos fornecido a unidade de medida das dimensões da região S, indicamos a área por u² que se refere a unidades quadradas. Esse exemplo ilustra como o teorema fundamental do cálculo permite calcular áreas e volumes de regiões delimitadas por curvas ou superfícies. No tópico 4, “Aplicações de Integrais”, iremos explorar com maior ênfase e com mais exem- plos desse teorema, nesse momento estamos apenas ilustrando o teorema fundamental do cálculo e uma das suas aplicações. Delimitando uma região de integração Delimitantes e limitantes são termos utilizados na matemática para definir os limites de uma região de integração em um problema de cálculo. A região de integração é a área ou volume que está sendo considerada no cálculo integral. Os delimitantes são as curvas, retas ou superfícies que definem as bordas da região de integração, enquanto os limitantes são os valores mínimo e máximo de cada variável que limitam a região e são representados por intervalos numéricos. Por exemplo, se desejamos calcular a área de uma região S, como a representada a seguir, necessitamos inicialmente definirmos as limitantes da região e descrever matematicamente a região S. Vejamos, Figura 14. Exemplo de delimitantes da Região S Fonte: elaborada pelo autor. Temos como limitantes da região S as retas x = 2 , x = 5 , y = 0 e a curva definida por ( ) y = f x . Para descrever matematicamente a região indicaremos o intervalo no eixo x, 117 3 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Fonte: elaborada pelo autor. do limitante inferior (esquerda) para o limitante superior (direita) 2 5 ≤ x ≤ , e o intervalo no eixo y, do limitante inferior (baixo) e superior (cima) ( ) 0 y f x ≤ ≤ . Sendo assim a região S fica descrita como: ( ) 2 5 0 x S y f x ≤ ≤  =  ≤ ≤  Vejamos outro exemplo, considere a região A descrita matematicamente a seguir, 2 0 3 0 2 x A y x ≤ ≤  =  ≤ ≤ +  A expressão acima descreve matematicamente a região A por seus limitantes, que no caso são as retas x = 0 , x = 3 , y = 0 e a curva definida por 2 2 y = x + . A seguir temos a representação da região A. Figura 15. Representação da região A É importante definir claramente os delimitantes e limitantes da região de integração para garantir que o cálculo integral seja realizado corretamente e os limites da integral sejam respeitados. Erros na definição dos delimitantes e limitantes podem levar a resultados incorretos ou até mesmo a integrais divergentes. 3. APLICAÇÕES DE INTEGRAIS As integrais têm inúmeras aplicações em diversas áreas do conhecimento, desde física e engenharia até economia e biologia. Algumas das principais aplicações de integrais incluem: 118 Princípios do Cálculo Integral 3 I. Cálculo de áreas e volumes: a integral definida é uma ferramenta poderosa para cal- cular áreas de figuras planas e volumes de sólidos, como cubos, esferas e cilindros. II. Física e engenharia: as integrais são amplamente utilizadas em física e enge- nharia para modelar e analisar fenômenos, como movimentos de partículas e objetos, circuitos elétricos, forças e campos magnéticos. III. Estatística e probabilidade: as integrais são usadas em estatística e probabili- dade para calcular probabilidades de eventos e distribuições de probabilidade. IV. Economia e finanças: as integrais são usadas em economia e finanças para modelar e analisar fenômenos, como crescimento econômico, inflação, taxas de juros e flutuações do mercado. V. Biologia e medicina: as integrais são usadas em biologia e medicina para mo- delar e analisar fenômenos, como a absorção de nutrientes, a propagação de doenças e a função dos órgãos. Em resumo, as integrais são uma ferramenta poderosa para modelar e analisar uma ampla variedade de fenômenos em várias áreas do conhecimento. 3.1. CÁLCULO DE ÁREA ABAIXO DA CURVA O cálculo de área abaixo de uma curva é uma das aplicações mais comuns das inte- grais definidas. Seja f(x) uma função contínua e não negativa definida em um intervalo [a,b], a área A abaixo da curva y=f(x) e acima do eixo x, entre os limites x=a e x=b, pode ser calculada pela integral definida: ( ) b a A f x dx =∫ Ou seja, a área abaixo da curva é dada pela integral da função f(x) no intervalo [a,b]. Para funções negativas, a área será negativa. Exemplo 01 Considere a curva é ( ) y =sen x e a região formada entre a curva e o eixo x no intervalo [ ü π ] . 119 3 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Figura 16. Representação da região abaixo da curva y = sen(x) Para calcular a área abaixo da curva, devemos integrar a função ( ) y =sen x em relação a x no intervalo [ ü π ] . A área A é dada por: ( ) 0 A sen x dx π = ∫ Resolvendo a integral. A integral pode ser calculada da seguinte forma: ( ) 0 Aü cos x π   = −   Aplicando os limites de integração: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 A cos cos π =− − − = − − − − 1 1 A= + A 2 ² u = Portanto, a área abaixo da curva ( ) y =sen x no intervalo [ 0, π ] é igual a 2 unidades quadradas. Fonte: elaborada pelo autor. Exemplo 02 Vamos calcular a área abaixo da curva de uma função cúbica. Considere a função ( ) 3 2 2 2 f x x x = − + no intervalo [0, 2]. 120 Princípios do Cálculo Integral 3 Para calcular a área abaixo da curva, devemos integrar a função 3 2 2 2 y x x = − + em rela- ção a x no intervalo [0, 2]. A área A é dada por: ( ) 2 3 2 0 2 2 A x x dx = − + ∫ Resolvendo a integral. A integral pode ser calculada da seguinte forma: 2 4 3 0 2 2 4 3 x x A x   = − +     Aplicando os limites de integração: ( ) ( ) 3 3 4 4 2 2 2 0 2 0 2 2 2 0 4 3 4 3 A     ⋅ ⋅     = − + ⋅ − − + ⋅         2 ( ) 8 16 0 0 4 0 4 3 4 3 A   ⋅   = − + − − +         ( ) 16 16 8 4 4 0 8 ² 3 3 3 A u   = − + − = − =     Figura 17. Representação da região abaixo da curva ( ) f x = x³ 2x² 2 − + Fonte: elaborada pelo autor. 121 3 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Portanto, a área abaixo da curva 3 2 2 2 ü= no intervalo [0, 2] é igual a 8/3 unidades quadradas. Essa aplicação é útil em diversas áreas, como na física para cálculo de áreas de superfície, em estatística para cálculo de probabilidades, em economia para cálculo de áreas de deman- da e oferta, entre outras aplicações. Além disso, o cálculo de área abaixo de uma curva é a base para o cálculo de outros conceitos importantes, como o cálculo de volumes e a determinação do centro de massa de um objeto. 3.2. ÁREAS COM SINAIS Áreas com sinais, também conhecidas como integrais de linha, são utilizadas para determinar a área entre uma curva e um eixo ou entre duas curvas, levando em consideração a orientação dos sinais. A integração com sinais é importante em diversas áreas da matemática e da física, como em cálculo vetorial, equações diferenciais e mecânica. Para calcular a área com sinais, é necessário definir a curva que será integrada e os limites de integração. Se a curva estiver acima do eixo x, a área será positiva, enquanto se estiver abaixo do eixo x, a área será negativa. Portanto, é necessário somar as áreas positivas e subtrair as áreas negativas para obter a área total. Vejamos um exemplo, considere a função f no intervalo de [-2, 2], representado a seguir, Figura 18. Representação de áreas com sinal Fonte: elaborada pelo autor. Note a região formada apresenta uma região 1S formada abaixo do eixo x e uma re- gião 2 S formada acima do eixo x. A região 1S apresentará um valor de área negativo enquanto a região 2 S um valor positivo, para determinarmos a área total da região S iremos realizar a seguinte operação, 122 Princípios do Cálculo Integral 3 1 2 ü ü = A área da região 1S será dada por, ( ) ( ) ( ) 1 0 4 0 4 4 2 ü 2 2 2 0 4 2 2 0 2 2 4 4 4 S x A x x dx x − −   −       = − + = − + = − + ⋅ − − + ⋅ −             ∫ ( ) 1 16 0 8 4 8 4 ² 4 AS u   = − − + = − − + = −     A área da região 1S será dada por, ( ) 1 2 2 ü 3 2 2 2 0 0 2 0 4 2 2 2 2 0 4 4 4 S x A x x dx x       = − + = − + = − + ⋅ − − + ⋅             ∫ ( ) 1 4 8 0 4 ² AS u = − + − = Aplicando, na expressão 1 2 S S S A A A = − + , temos, ( 4) 4 8 ² AS u = − − + = Portanto, a área total formada pelas regiões 1 e 2 é igual a 8 u². Vejamos a seguir mais um exemplo, considere a região delimitada pela função ( ) 4 6 2 4 f x x x = − + e y = 0 . 123 3 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Figura 19. Representação de áreas com sinal Fonte: elaborada pelo autor. Fonte: elaborada pelo autor. Note que nessa situação os valores dos limitante em x não estão bem definidos em no gráfico apresentado, sendo assim devemos encontrar esses limitantes igualando a função a zero. 4 6 2 4 0 x − x + = A equação, acima, é uma equação do 4° grau a qual no momento ainda não foram ex- ploradas (caso tenha interesse pesquise sobre equações biquadradas) e não é o nosso objetivo nessa componente curricular. Usando um software gráfico podemos estabelecer as soluções dessa equação, Figura 20. Representação gráfica das raízes da função f 124 Princípios do Cálculo Integral 3 Para facilitar a resolução e o entendimento usaremos valores aproximados na segunda casa decimal para os valores de x. Desta forma, área total da região S será dada por, Para melhor compreensão, vamos dividir esse cálculo em 03 partes ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 5 5 3 3 0,87 2,29 2 0,87 4 0,87 2 2,29 4 2,29 5 5 AS     − −     = − ⋅ − + ⋅ − − − ⋅ − + ⋅ −         ( ) ( ) 1 0,52 2,26 2,78 S A = − − = − 1 2 3 S S S S A A A A = − + − ( ) ( ) ( ) 0,87 0,87 2,29 4 2 4 2 4 2 2,29 0,87 0,87 6 4 6 4 6 4 AS x x dx x x dx x x dx − − − = − − + + − + − − + ∫ ∫ ∫ 0,87 0,87 2,29 5 5 5 2,29 0,87 0,87 2 ³ 4 2 ³ 4 2 ³ 4 5 5 5 S x x x A x x x x x x − − −       = − − + + − + − − +             1 2 3 Parte 1 Parte 2 Parte 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 5 3 3 0,87 0,87 2 (0,87) 4 0,87 2 0,87 4 0,87 5 5 AS       −       = − ⋅ + ⋅ − − ⋅ − + ⋅ −             ( ) ( ) 2 0,52 0,52 1,04 AS   = − − =   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 5 5 3 3 2,29 0,87 2 2,29 4 2,29 2 (0,87) 4 0,87 5 5 AS             = − ⋅ + ⋅ − − ⋅ + ⋅             ( ) ( ) 3 2,26 0,52 2,78 AS   = − − = −   125 3 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco 0,87 0,87 2,29 5 5 5 2,29 0,87 0,87 2 ³ 4 2 ³ 4 2 ³ 4 5 5 5 S x x x A x x x x x x − − −       = − − + + − + − − +             [ ] [ ] [ ] 2,78 1,04 2,78 S A = − − + − − 2,78 1,04 2,78 6,6 ² AS u = + + = Retornando para a expressão original. Desta forma, temos que um valor muito próximo da área total é igual a 6,6 u² Existem diversas aplicações das áreas com sinais na física, como no cálculo do trabalho realizado por uma força em um objeto em movimento, ou na determinação do fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Também são utilizadas em matemática para calcular a circulação de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada, por exemplo. Em resumo, as áreas com sinais são uma extensão do cálculo de áreas convencional, levando em consideração a orientação dos sinais para calcular a área total entre uma curva e um eixo ou entre duas curvas. 3.3. APLICAÇÕES NA ENGENHARIA As aplicações de integrais na engenharia são amplas e desempenham um papel funda- mental na resolução de problemas complexos. Através do cálculo integral, os engenhei- ros podem determinar volumes de materiais em construções, analisar a taxa de fluxo de fluidos em sistemas hidráulicos, calcular a área de superfícies irregulares, determinar momentos de inércia em estruturas e muito mais. O uso de integrais na engenharia permite uma modelagem precisa de fenômenos físicos e fornece as ferramentas neces- sárias para o projeto, análise e otimização de estruturas e sistemas. Otimização de Processos Na engenharia, a otimização de pro- cessos é uma das aplicações mais importantes do cálculo integral. Em processos produtivos, o objetivo é produzir a maior quantidade de pro- dutos com a menor quantidade de recursos possíveis, como tempo e materiais. Para isso, é necessário determinar o tempo e a quantidade de materiais necessários para a fa- bricação de um determinado produto, levando em conta as restrições de produção. Figura 21. Otimização de Processos Fonte: 123RF. 126 Princípios do Cálculo Integral 3 O cálculo integral é uma ferramenta essencial para essa determinação, pois permite o cálculo de áreas e volumes, que podem ser utilizados para determinar a quantidade de material necessário para a fabricação de um produto. Além disso, o cálculo integral é utilizado para determinar a taxa de variação de uma função, o que permite determinar a taxa de produção de um processo e, consequentemente, otimizá-lo. Dessa forma, o cálculo integral é uma ferramenta valiosa na área de engenharia de produção, permitindo a otimização de processos produtivos e a redução de custos na fabricação de produtos. Controle de Qualidade Além da otimização de processos, o cálcu- lo integral também é utilizado no controle de qualidade de produtos em processos indus- triais. Em particular, é comum utilizar integrais para medir o fluxo de líquidos e gases em tubulações, garantindo que as quantidades produzidas estejam dentro das especificações desejadas. Essa medida é importante para as- segurar a qualidade do produto final e evitar desperdícios de materiais. Fonte: 123RF. Figura 22. Controle de Qualidade Além disso, a integração também é utilizada em outras áreas do controle de qualidade, como na análise de dados de sensores e na determinação de pontos de falha em sis- temas produtivos. O uso do cálculo integral nessas áreas é fundamental para garantir a eficiência e a qualidade dos processos industriais. Projetos de construção O cálculo integral tem um papel fundamental na determinação de diversos parâmetros impor- tantes em projetos de construção. Um dos usos mais comuns do cálculo integral é para a deter- minação da área de superfícies, como paredes, tetos e lajes. Isso é essencial para calcular a quantidade de material necessário para a cons- trução de uma estrutura e para garantir que a quantidade de material seja suficiente para cobrir toda a superfície. Figura 23. Projetos de construção Fonte: 123RF. Além disso, o cálculo integral é utilizado para a determinação da resistência dos mate- riais que compõem as estruturas, como o concreto e o aço. A resistência dos materiais é uma propriedade fundamental que permite determinar a capacidade de suportar cargas e forças externas. Com o cálculo integral, é possível determinar a resistência desses materiais a partir de suas características físicas e propriedades mecânicas, como a elasticidade e a resistência à tração. 127 3 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Outra aplicação importante do cálculo integral na engenharia civil é na determinação da carga máxima que uma estrutura pode suportar. O cálculo integral permite modelar a distribuição de forças e cargas que atuam sobre uma estrutura e, a partir disso, determi- nar a carga máxima que ela pode suportar sem sofrer danos. Isso é crucial para garantir a segurança das pessoas e para evitar acidentes em obras civis. Além dessas aplicações, o cálculo integral também é utilizado em diversas outras áreas da engenharia civil, como na análise de estruturas e na determinação de parâmetros geotécnicos, como a permeabilidade do solo e a resistência à compressão. Devido à sua ampla gama de aplicações, o cálculo integral é considerado uma ferramenta fun- damental para a engenharia civil e para a construção de estruturas seguras e duráveis. Máquinas de Ressonância Magnética As máquinas de ressonância magnética (MRI) são um exemplo de aplicação prática de inte- grais na medicina. As MRI’s funcionam através da aplicação de um forte campo magnético e pulsos de radiofrequência no corpo humano, o que causa a excitação dos átomos de hidrogênio presentes no corpo. Figura 24. Máquina de Ressonância Magnética Fonte: 123RF. A partir disso, os átomos excitados emitem sinais de radiofrequência que são detecta- dos pela máquina e usados para criar imagens detalhadas do interior do corpo humano. A análise desses sinais é feita através de integrais de sinais de radiofrequência. A imagem produzida pela máquina de ressonância magnética é na verdade uma repre- sentação gráfica de uma integral. Os sinais de radiofrequência são integrados ao longo do tempo para produzir uma imagem em que as cores e tons representam as intensida- des dos sinais recebidos. Além disso, a análise de integrais também é usada para quantificar o fluxo sanguíneo em te- cidos específicos do corpo, através da medição do sinal de difusão das moléculas de água. 4. EXERCÍCIOS COMENTADOS Determine as primitivas das funções a seguir: a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 5 ² sec 2 x a f x e cossec x b g x sec x cossec x x = + + = − + Resolução a. Considerando a tabela de primitivas, temos, Exercício 01: 128 Princípios do Cálculo Integral 3 ( ) 1 2 ln 2 2 x F x e cossec x cotg x x C = + − + + b. Considerando a tabela de primitivas, temos, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 ln sec G x tg x cotg x x tg x C = + + + + Exercício 02: Exercício 03: Determine as primitivas indicadas: a. b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 5 3 2 ln 1 3 5 x a x x dx b sen x x dx x   ∫ − ⋅ + + ∫ − + −     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 5 3 2 ln 1 3 5 x a x x dx b sen x x dx x   ∫ − ⋅ + + ∫ − + −     Resolução a. Considerando a tabela de primitivas temos, ( ) ( ) ( ) 4 5 2 5 3 2 ln 1 3 ln 2 x x x x dx x xln x x x C ∫ − ⋅ + + = − ⋅ + − + + ( ) ( ) ( ) 4 5 2 5 3 2 ln 1 3 ln 2 x x x x dx x xln x C ∫ − ⋅ + + = − ⋅ + + b. Considerando a tabela de primitivas temos, ( ) ( ) 4 3 2 3 5 2ln 3cos 5 4 x sen x x dx x x x C x   ∫ − + − = + + − +     Calcule o valor das integrais definidas: a. ( ) ( ) ( ) 2 3 0 1 3 1 2 x a e dx b dx x   + +     ∫ ∫ b. ( ) ( ) ( ) 2 3 0 1 3 1 2 x a e dx b dx x   + +     ∫ ∫ 129 3 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Exercício 04: Resolução a. Para calcular a integral primeiramente iremos determinar a primitiva, ( ) 2 2 0 0 1 x x e dx e x   + = +   ∫ Substituindo os extremos do intervalo, ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 2 2 0 0 1 2 0 2 1 1 x x e dx e x e e e e   + = + = + − + = + − = +   ∫ b. Para calcular a integral primeiramente iremos determinar a primitiva, 3 3 1 1 3 2 3ln 3 dx x x x     + = +       ∫ Substituindo os extremos do intervalo, ( ) ( ) 3 3 1 1 3 2 3ln 3 3ln 3 3 3 3ln 1 3 0 3ln 3 9 0 dx x x x     + = + = + ⋅ − + ⋅ = + −       ∫ 3 1 3 2 3ln 9 dx x x  +  = +     ∫ Determine a área da região S, representada a seguir, Figura 25. Representação Gráfica da região S Fonte: elaborada pelo autor. 130 Princípios do Cálculo Integral 3 Resolução: A área da região S será obtida por, ( ) 2 2 3 1 2 2 A x x dx = − + ∫ Obtendo primitiva da função, 2 3 4 1 2 2 3 4 x x A x   = − +     Calculando a primitiva nos extremos do intervalo, 3 4 3 4 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 3 4 3 4 A     = ⋅ − + ⋅ − ⋅ − + ⋅         16 16 2 1 4 2 3 4 3 4 A     = − + − − +         2 16 2 1 16 29 35 4 4 2 3 3 4 3 12 12 A u     = − + − − + = − =         Sendo assim a área da região S é igual a 35/12 unidades quadradas. Exercício 05: Calcule a área formada entre a curva ( ) 1 ² f x x = x + e o eixo x no intervalo [1, 3] Resolução: A área abaixo da curva e acima do eixo x será dada por, 3 2 1 1 A x dx x   = +     ∫ Determinando a primitiva, 3 3 1 ln 3 x A x   = +     131 3 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Exercício 06: Calculando a primitiva nos extremos do intervalo, 3 3 3 1 27 1 26 ln 3 ln 1 ln 3 0 ln 3 9,76 ² 3 3 3 3 3 A u     = + − + = + − − = + ≅         Sendo assim a área formada abaixo da curva ( ) 1 ² f x x = x + e o eixo x no intervalo [1, 3] é aproximadamente igual a 9,76 unidades quadradas. Determine a área da região em destaque a seguir, Figura 26. Representação Gráfica da região do exercício 06 Fonte: elaborada pelo autor. Resolução: A região em destaque é formada por uma área com sinal positivo de [ 0, π ] , pois está aci- ma do eixo x e uma área com o sinal negativo [ π, 2 ] π . Desta forma a área da região em destaque será dada por, 1 2 A A A = − Calculando a área 1A [ ] ( ) ( ) ( ) 1 0 0 cos cos cos0 1 1 1 1 2 ² A sen xdx x u π π π = = − = − − − = − − − − = + = ∫ Calculando a área A2 132 Princípios do Cálculo Integral 3 [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 cos cos2 cos 1 1 1 1 2 ² A sen xdx x u π π π π π π = = − = − − − = − − − − = − − = − ∫ Calculando a área A ( ) 1 2 2 2 2 2 4 ² A A A u = − = − − = + = Sendo assim a área da região em destaque é igual a 4 unidades quadradas. Exercício 07: Na Física, o conceito de força pode ser usado para descrever o ato de empurrar ou puxar um objeto. Por exemplo, necessitamos de uma força para levantar um objeto ou empurrar um automóvel. Intuitivamente, sabemos que a força necessária para levantar um objeto do solo é uma força constante, isto é, sua intensidade não varia enquanto está aplicada ao objeto. No entanto, para empurrar um automóvel é necessária uma força variável, pois no início do movimento aplicamos uma força maior do que aquela aplicada quando o carro está em movimento. Se aplicarmos uma forma F a um objeto, fazendo-o deslocar-se a uma determinada distância d, na direção da força, podemos determinar o trabalho W realizado por F sobre o objeto. Se a força é constante, definimos W por W = F d ⋅ Se a força é variável, definimos W usando a integral definida, isto é, ( ) , b a W F x dx = ∫ sendo F(x) uma função contínua no intervalo [a; b]. Considerando que uma criança rolando uma pedra utiliza uma força ( ) 120 25 F x sen x = + ⋅ N sobre ela, quanto esta rola x metros. Quanto trabalho deve a criança realizar, para fazer a pedra rolar 2 m? Resolução: O trabalho será calculado por, ( ) 2 0 120 25 W sen x dx = + ⋅ ∫ Calculando o valor da integral definida temos, 133 3 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Exercício 08: ( ) 2 0 120 25 cos W x x = − ⋅ Calculando nos extremos do intervalo, ( ) ( ) 120 2 25 cos2 120 0 25cos0 W = ⋅ − ⋅ − ⋅ − 250,40 25 275,40 W J = + = Sendo assim o trabalho realizado pela criança deve ser aproximadamente igual a 275,40 Joules. A força F(x) necessária para distender uma mola x unidades além de seu comprimento na- tural é dada por ( ) , F x = k x ⋅ onde k é uma constante, chamada constante da mola. As molas reais obedecem à equação anterior, que é conhecida como Lei de Hooke. Coloca- mos a mola ao longo do eixo x com a origem no ponto onde começa o esticamento. O trabalho realizado para que a mola se estenda de 1x até 2x é dado por: 2 1 x x W = k xdx ⋅ ∫ Uma mola tem um comprimento de 0,5 m apresenta constante 8 / k N m = . Calcule o tra- balho realizado para que a mola se estenda de seu comprimento natural até um comprimento de 1,2 m. Resolução Aplicando a formula do trabalho apresentada temos, ( ) ( ) 1,2 1,2 2 2 2 0,5 0,5 8 4 4 1,2 4 0,5 4,76 W xdx x J   = ⋅ = = ⋅ − ⋅ =   ∫ Sendo assim o trabalho realizado para estender a comprimento da mola é de 4,76 Joules. 134 Princípios do Cálculo Integral 3 CONCLUSÃO Em suma, o cálculo integral é uma ferramenta matemática fundamental em diversas áreas, desde a física e engenharia até a economia e ciências sociais. Seu uso permite a resolução de problemas complexos, como a determinação de áreas e volumes, cálculo de trajetórias e velocidades, análise de fenômenos físicos, entre outros. Além disso, o cálculo integral é uma base importante para o desenvolvimento de outras áreas da matemática, como a geometria diferencial, análise harmônica e equações di- ferenciais parciais. Sua aplicação prática na indústria e em outras áreas tem sido cada vez mais relevante e necessária para o desenvolvimento tecnológico e científico. Portanto, o estudo do cálculo integral é de grande importância para o avanço das ciên- cias e para a solução de problemas do cotidiano. Dominar seus conceitos e técnicas é fundamental para quem deseja se destacar em áreas como engenharia, física, matemá- tica, economia, entre outras. Na próxima unidade exploraremos regras especiais de integração como o método da subs- tituição e da integração por partes, cálculo de área entre curvas e volume de sólidos de revolução, assim como mais algumas aplicações de integrais na engenharia e na física. 135 3 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. Porto Alegre: Bookman. 2010. HOFFMAN, L. D.; BRADLEY, G. L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 11. ed., Rio de Janeiro: LTC, 2015. LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. São Paulo: Harbra, 2013. STEWART, J. Cálculo: volume 1. São Paulo: Cengage Learning, 2015. 136 Métodos de Integração, Cálculo de áreas e Volumes 4 UNIDADE 4 MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO, CÁLCULO DE ÁREAS E VOLUMES INTRODUÇÃO Métodos de Integração, Cálculo de Áreas e Volumes são tópicos fundamentais no estudo do cálculo, da análise matemática e da engenharia. Essas áreas de conhecimento fornecem ferramentas poderosas para determinar a área de superfícies e o volume de sólidos, bem como para resolver uma ampla variedade de problemas práticos em diversas disciplinas. O cálculo de áreas é uma aplicação direta dos métodos de integração, e permite deter- minar a área delimitada por uma curva ou entre duas curvas. Esse cálculo é especial- mente útil em problemas que envolvem o estudo de formas irregulares ou que requerem a determinação precisa de áreas. Além disso, o cálculo de volumes é outra aplicação importante desses métodos. Ele per- mite determinar o volume de sólidos tridimensionais, como prismas, pirâmides, cilindros e esferas. O cálculo de volumes é essencial em áreas como engenharia, física e arquitetu- ra, onde é necessário quantificar a quantidade de espaço ocupado por um objeto. O estudo desses métodos e técnicas de integração, cálculo de áreas e volumes propor- ciona uma base sólida para a compreensão e resolução de problemas complexos em matemática e ciências aplicadas. Através do domínio dessas ferramentas, é possível analisar fenômenos do mundo real e modelá-los matematicamente, tornando-se uma habilidade valiosa para profissionais e estudantes nas áreas científicas e tecnológicas. Ao explorar os métodos de integração, cálculo de áreas e volumes, é possível obter uma compreensão mais profunda das relações entre funções, bem como desenvolver habilidades analíticas e de resolução de problemas. Esses conceitos desempenham um papel essencial em muitas áreas da matemática e são a base para o estudo de tópicos avançados, como equações diferenciais, séries e transformadas integrais. Em resumo, os métodos de integração, cálculo de áreas e volumes constituem ferra- mentas poderosas para a análise e quantificação de formas, volumes e fenômenos variados. Através dessas técnicas, é possível realizar cálculos precisos e resolver pro- blemas complexos, sendo aplicáveis em diversas áreas do conhecimento e desempe- nhando um papel fundamental na compreensão e modelagem matemática do mundo ao nosso redor. E, nesta unidade, teremos o prazer em apresentar e discuti-las com você. 137 4 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco 1. MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO Os métodos de integração desempenham um papel crucial no cálculo, permitindo-nos determinar a área sob uma curva, o comprimento de uma curva e resolver uma varieda- de de problemas relacionados. Dois métodos importantes de integração são a integra- ção por substituição e a integração por partes. A integração por substituição, também conhecida como regra da cadeia, é uma técnica que nos permite simplificar uma integral complexa através da introdução de uma nova variável. A ideia por trás desse método é fazer uma substituição apropriada para trans- formar a expressão em uma forma mais fácil de integrar. Essa substituição geralmente envolve a escolha de uma nova variável que simplifica a expressão, tornando possível a realização da integração de forma mais direta. Já a integração por partes é outra técnica importante para calcular integrais mais com- plexas. Essa técnica é baseada na regra do produto de derivadas e permite transformar uma integral em um produto de funções mais simples. A integração por partes é especialmente útil quando a integral envolve funções trigonométri- cas, logarítmicas ou exponenciais, pois permite reduzir a complexidade da integral original. 1.1. INTEGRAIS POR SUBSTITUIÇÃO A integração por substituição, também conhecida como regra da cadeia, é um méto- do poderoso e útil para calcular integrais mais complexas. Essa técnica nos permite simplificar uma integral através da introdução de uma nova variável, o que transforma a expressão em uma forma mais fácil de integrar. Vamos explorar esse método com alguns exemplos. Considere a integral, ( ) 2 3 ² 1 x x dx ∫ + ⁴ Nessa expressão, temos uma função composta ( 3 ² 1 ) x + ⁴ multiplicada por 2x . Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição apropriada para simplificar a expressão. Vamos escolher 3 ² 1 u = x + como nossa nova variável. Primeiro, precisamos calcular / du dx para determinar a relação entre du e dx . Derivan- do ambos os lados da equação 3 ² 1 u = x + em relação a x , obtemos / du dx 6 x = , iso- lando dx temos / 6 dx du x = . Agora, podemos reescrever a integral original em termos de u e du : ( ) 4 2 3 ² 1 2 6 du x x dx x u x ∫ + =∫ ⋅ ⁴ 138 Métodos de Integração, Cálculo de áreas e Volumes 4 Simplificando a expressão temos: ( ) 4 4 4 1 1 2 3 ² 1 3 3 3 du x x dx u u du u du ∫ + =∫ = ∫ = ∫ ⁴ Agora, a expressão é mais simples de integrar. E temos que a primeira integral equivale a nova integral simplificada. ( ) 4 1 2 3 ² 1 3 x x dx u du ∫ + = ∫ ⁴ Integrando em relação a u, obtemos: 5 4 5 1 1 1 3 3 5 15 u u du C u C ∫ = ⋅ + = + Substituindo de volta a variável original de u , no caso 3 ² 1 u = x + , temos: ( ) ( ) 5 5 2 1 1 2 3 ² 1 3 1 15 15 x x dx u C x C ∫ + = + = + + ⁴ Portanto, a solução da integral original é, ( ) ( ) 5 2 1 2 3 ² 1 3 1 15 x x dx x C ∫ + = + + ⁴ Vejamos outro exemplo: 3 2 x x e dx ∫ ⋅ Nessa integral, temos uma função exponencial e uma função polinomial. Para simplifi- car, podemos fazer a substituição ³ u = x . 139 4 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco 2 u x e dx ∫ ⋅ Novamente, precisamos calcular / du dx para determinar a relação entre du e dx . Derivando ambos os lados da equação ³ u = x em relação a x , obtemos / du dx 3 ² x = , isolando dx temos / 3 ² dx du x = . Agora, podemos reescrever a integral original em termos de u e du : 3 2 2 2 3 x u du x e dx x e x ∫ =∫ Simplificando a expressão, 3 2 1 1 3 3 x u u x e dx e du e du ∫ =∫ = ∫ Neste caso, temos que a integral original equivale a nova integral em termos de u . E, agora, a expressão ficou mais fácil de integrar. Integrando em relação a u, obtemos: 3 2 1 1 3 3 x u u x e dx e du e C ∫ = ∫ = + 3 2 1 3 x u x e dx e C ∫ = + Substituindo de volta a variável original, 3 u = x , temos: 3 2 ³ 1 1 3 3 x u x x e dx e C e C ∫ = + = + Portanto, a solução da integral original é, 3 2 ³ 1 3 x x x e dx e C ∫ = + 140 Métodos de Integração, Cálculo de áreas e Volumes 4 As integrais por substituição são particularmente úteis quando nos deparamos com expressões em que uma função interna se apresenta de forma complexa ou quando temos uma composição de funções. Essa técnica nos permite simplificar a integral atra- vés da introdução de uma nova variável. Em geral, podemos aplicar as integrais por substituição quando identificamos uma fun- ção dentro da integral que possui uma derivada simples e que, ao realizar a substituição adequada, podemos transformar a expressão em uma forma mais fácil de integrar. Alguns indícios que podem indicar a aplicação da substituição são: I. A presença de uma função composta, onde uma função está “dentro” de outra. II. A presença de uma função cuja derivada é um múltiplo constante da função em si. III. A presença de uma função cuja derivada é uma função mais simples presente na integral. É importante observar que a escolha da substituição adequada é fundamental para sim- plificar a integral. É necessário identificar a variável a ser substituída e calcular correta- mente a derivada dessa variável em relação à variável original. A substituição correta nos permitirá reescrever a integral em termos da nova variável, facilitando a sua resolução. Vejamos algumas dicas para a escolha da substituição adequada. a. Identificar uma função interna complexa: Se a expressão dentro da integral contém uma função interna complexa, como uma potência, uma exponencial, uma função trigono- métrica elevada a uma potência, ou uma raiz, pode ser útil escolher essa função como a nova variável de substituição. Isso pode simplificar a integral ao transformar a expressão em uma forma mais simples. Considere a integral, 3 2 x x e dx ∫ ⋅ Neste caso, a função interna complexa é 3 xe . Podemos fazer a substituição u 3 = x . A derivada de u em relação a x é 2 / du dx 3 = x . Assim, 2 / 3 dx du x = . Ao substituir na integral, obtemos, 1 3 ue du ∫ Agora, temos uma integral mais simples de ser resolvida em termos da nova variável u. 141 4 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco b. Reconhecer uma função cuja derivada é uma parte da expressão original: Se a ex- pressão dentro da integral contém uma função cuja derivada é uma parte da expressão original, escolher essa função como a nova variável de substituição pode levar a uma simplificação significativa. Isso ocorre porque a derivada dessa função se cancelará com partes da expressão original, tornando a integral mais fácil de ser resolvida. Considere a integral, ( 2 ) 2 x cos x dx ∫ ⋅ Neste caso, a derivada de 2x é uma parte da expressão original. Podemos fazer a subs- tituição u 2 = x . A derivada de u em relação a x é / du dx 2 x = . Assim, / 2 dx du x = . Ao substituir na integral, obtemos, ( ) cos u du ∫ Agora, temos uma integral mais simples de ser resolvida em termos da nova variável . c. Considerar a linearidade: Se a expressão dentro da integral é uma combinação linear de diferentes funções, pode ser útil escolher uma dessas funções como a nova variável de substituição. Isso pode simplificar a integral ao transformá-la em uma integral mais simples de uma única função. Considere a integral, ( ) 4 3 2 3 x dx ∫ + Neste caso, temos uma combinação linear de diferentes funções, 3x e 2. Podemos fazer a substituição 3 2 u = x + . A derivada de u em relação a x é / 3 du dx= . Assim, / 3 dx =du . Ao substituir na integral, obtemos, ( ) 4 3 1 3 u du ∫ Agora, temos uma integral mais simples de ser resolvida em termos da nova variável u. De forma geral, podemos utilizar os seguintes passos para aplicar o método de integra- ção por substituição: 142 Métodos de Integração, Cálculo de áreas e Volumes 4 Esses passos resumem a abordagem geral para resolver uma integral por substituição. Ao seguir esses passos, você poderá aplicar o método de forma sistemática, simplifi- cando a integral e chegando à solução correta. É importante lembrar de calcular corre- tamente as derivadas e garantir que todas as substituições sejam revertidas adequada- mente para obter a resposta final. 1.2. INTEGRAIS POR PARTES As integrais por partes são uma técnica útil no cálculo integral para resolver integrais de produtos de funções. Essa técnica é baseada na fórmula de integração por partes, que é uma consequência da regra do produto da diferenciação. Ao aplicar a integração por partes, podemos transformar uma integral mais complexa em uma forma mais simples, permitindo-nos encontrar a solução de forma mais eficiente. A fórmula básica da integração por partes é dada por: I. Identifique uma função interna complexa ou uma função cuja derivada é uma parte da expressão original. II. Faça a substituição adequada da variável, definindo a nova variável de substituição (u). III. Calcule a derivada da nova variável ( / du dx ). IV. Substitua a função interna ou a função com a derivada correspondente na integral ori- ginal. V. Simplifique a expressão substituindo as diferenciais correspondentes. VI. Resolva a nova integral resultante em termos da nova variável (u). VII. Reverta a substituição, substituindo a nova variável (u) de volta na variável original. VIII. Adicione a constante de integração (C), se necessário. , u dv u v v du ∫ ⋅ = ⋅ −∫ ⋅ onde u e v são funções diferenciáveis em relação à variável de integração, e du e dv são as diferenciais correspondentes. O processo de integração por partes envolve a escolha de u e dv, aplicação da fórmula de integração por partes e, em seguida, simplificação da nova integral resultante para obter a solução desejada. Vamos detalhar os passos do método de integração por partes: 143 4 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco I. Escolha u e dv : A escolha de u e dv é crucial para o sucesso da integração por partes. Normalmente, u é escolhido como uma função que é facilmente dife- renciável, enquanto dv é escolhido de forma que sua integral seja mais fácil de ser calculada. É uma boa prática escolher u de forma que a sua derivada du seja mais simples do que u . II. Calcule du e v : Calcule a derivada de u , du , em relação à variável de inte- gração. Integre dv em relação à mesma variável de integração para obter v . III. Aplique a fórmula de integração por partes: Use a fórmula, u dv u v v du ∫ ⋅ = ⋅ −∫ ⋅ para reescrever a integral original em termos de , , u v v du ∫ ⋅ e, possivelmente, outras integrais. IV. Simplifique a nova integral: Se possível, simplifique a nova integral obtida no passo anterior para uma forma mais fácil de ser resolvida. Isso pode envolver aplicar novamente a integração por partes, reduzir a integral a uma fórmula co- nhecida ou usar outras técnicas de integração. V. Resolva a integral resultante: Resolva a nova integral obtida após a simplifi- cação e encontre a solução desejada. Vamos ver alguns exemplos para ilustrar a aplicação da integração por partes: Exemplo 01 Vamos calcular a integral a seguir ( ) x cos x dx ∫ ⋅ Escolhemos u = x e ( ) dv cos x dx = . E assim teremos, du 1 du dx dx = → = e integramos dv para obter v , ( ) ( ) v cos x dx sen x = ∫ = Aplicando a fórmula de integração por partes, u dv u v v du ∫ ⋅ = ⋅ −∫ ⋅ 144 Métodos de Integração, Cálculo de áreas e Volumes 4 Substituímos os valores, ( ) ( ) ( ) x cos x dx x sen x sen x dx ∫ ⋅ = ⋅ − ∫ A integral ( ) ∫ sen x dx é conhecida e é igual a ( −cos x ). Simplificamos a expressão, ( ) ( ) ( ) cos x cos x dx x sen x x C ∫ ⋅ = ⋅ − + Exemplo 02 Vamos calcular a integral a seguir, ( ) ² x ln x dx ∫ ⋅ Escolhemos u ( ) =ln x e dv ² = x dx . Calculando du, 1 1 du du dx dx x x = → = E integrando dv obtemos, 1 ² 3 ³ v x dx x = ∫ = Aplicamos a fórmula de integração por partes, u dv u v v du ∫ ⋅ = ⋅ −∫ ⋅ Substituímos os valores, ( ) ( ) 1 3 1 1 ² ³ 3 3 x ln x dx ln x x x x dx ∫ ⋅ = −∫ ⋅ Simplificamos a expressão, ( ) ( ) 1 3 1 ² ² . 3 3 x ln x dx x ln x x dx ∫ ⋅ = ⋅ − ∫ 145 4 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco A integral ² ∫ x dx é conhecida e é igual a 1 ³ 3 x . Simplificamos a expressão, ( ) ( ) 3 3 1 1 ² 3 9 x ln x dx x ln x x C ∫ ⋅ = ⋅ − + Esses exemplos demonstram como a integração por partes pode ser aplicada para resolver integrais de produtos de funções. É importante praticar a identificação adequada das funções u e dv , bem como realizar os cálculos corretamente para obter a solução desejada. Além disso, a simplificação das integrais resultantes também é fundamental para obter uma res- posta final precisa. Para ajudá-lo na escolha de u e dv apresentamos a seguir alguns métodos úteis para escolher e definir estes parâmetros ao aplicar o método da integração por partes, junta- mente com exemplos ilustrativos. Escolha a função u baseada na ordem PEIL PEIL significa “Potência, exponencial, inversa, linear”. Nessa ordem, as funções têm diferentes níveis de facilidade de integração. Geralmente, é preferível escolher u com base na seguinte ordem, I. Potência: nx , onde n é um número inteiro positivo. II. Exponencial: x b , onde b é uma constante positiva. III. Inversa: 1/ x e ( ) ln x . IV. Linear: ax b + . Exemplo: Considere a integral, ( ) . x ln x dx ∫ ⋅ Nesse caso, podemos escolher u ( ) =ln x (Inversa) e dv = xdx . A derivada de u em relação a x é, 1 1 du du dx dx x x = → = 146 Métodos de Integração, Cálculo de áreas e Volumes 4 E a integral de é 1 2 ² v xdx x = ∫ = Aplicando a fórmula de integração por partes, obtemos, ( ) ( ) 1 1 ² 2 x ln x dx x ln x x x dx ∫ ⋅ = ⋅ −∫ ⋅ Simplificando, temos, ( ) ( ) ( ) 1 1 ² . 2 4 x ln x dx x ln x xdx x ln x x C ∫ ⋅ = ⋅ − ∫ = ⋅ − + Escolha u com base na simplificação da derivada: Se a derivada de uma função é mais simples do que a própria função, pode ser vanta- joso escolher essa função como u. Exemplo Considere a integral, x x e dx ∫ ⋅ Nesse caso, podemos escolher u = x (a derivada de x é mais simples que a própria função x) e x dv e dx = . A derivada de u em relação a x é, du 1 du dx dx = → = E a integral de é, x x v e dx e = ∫ = Aplicando a fórmula de integração por partes, obtemos: 1 x x x xe dx x e e dx ∫ ⋅ = ⋅ −∫ ⋅ Simplificando, temos, 147 4 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco x x x x e dx x e e C ∫ ⋅ = ⋅ − + Escolha u com base em funções trigonométricas: Para integrais que envolvem funções trigonométricas, é comum escolher dv como a função trigonométrica para simplificar a integral, ou seja, com a presença de uma fun- ção trigonométrica é comum escolhemos a outra função como u . Exemplo: Considere a integral, ( ) x sen x dx ∫ ⋅ Nesse caso, podemos escolher u = x e ( ) dv =sen x dx . A derivada de u em relação a x é, du 1 du dx dx = → = E a integral de dv é, ( ) ( ) v sen x dx cos x = ∫ =− Aplicando a fórmula de integração por partes, obtemos, ( ) ( ) ( ) . x sen x dx x cos x cos x dx ∫ ⋅ =− ⋅ + ∫ Simplificando, temos: ( ) ( ) ( ) . x sen x dx x cos x sen x C ∫ ⋅ =− ⋅ + + Esses são apenas alguns métodos comuns para escolher as funções . Em síntese, o método de integração por partes é muito útil para lidar com integrais que não se enquadram em outros métodos diretos, permitindo encontrar soluções analíticas para uma ampla variedade de problemas matemáticos e físicos. Recomendação Antes de iniciar a leitura do próximo tópico, Área entre curvas, recomenda-se a prática do método da substituição e de integrais por partes. Sugere-se que pratique com os exercícios 1 a 20, do material complementar “Lista de exercícios da unidade 04”. 148 Métodos de Integração, Cálculo de áreas e Volumes 4 2. ÁREA ENTRE CURVAS A área entre curvas é um conceito fundamental no cálculo e na geometria, que nos permite determinar a área de uma região delimitada por duas ou mais curvas em um plano. Esse conceito é frequentemente utilizado para resolver problemas relacionados à geometria, física, engenharia e outras áreas que envolvem o cálculo de áreas de re- giões irregulares. Para calcular a área entre curvas, é necessário encontrar os limites da região, ou seja, os pontos de interseção entre as curvas. Esses pontos indicam onde as curvas se cruzam e determinam as fronteiras da área desejada. A área entre as curvas é então calculada como a diferença entre as áreas sob as curvas, ao longo do intervalo deter- minado pelos limites. Existem diferentes métodos para calcular a área entre curvas, dependendo da com- plexidade das curvas envolvidas. Um método comumente utilizado é o método da inte- gração, que envolve a integração das funções que representam as curvas ao longo do intervalo de interesse. Ao calcular a integral das funções, obtemos a área sob as curvas, que pode ser subtraída ou adicionada, dependendo da orientação e da posição relativa das curvas. É importante ressaltar que o cálculo da área entre curvas requer um bom entendimento de integração e das propriedades das curvas envolvidas. Além disso, é fundamental determinar corretamente os limites de integração e a ordem das curvas para obter a área desejada. A área entre curvas é um conceito versátil e poderoso, que pode ser aplicado em uma variedade de situações. Seja para determinar a área entre uma curva e um eixo, a área entre duas curvas ou mesmo a área entre curvas em coordenadas polares, esse conceito nos permite quantificar geometricamente as regiões delimitadas por curvas complexas e irregulares. 2.1. DEFININDO AS DELIMITAÇÕES DA REGIÃO DE INTEGRAÇÃO Ao realizar cálculos de integração para determinar áreas entre curvas, é necessário definir e delimitar corretamente a região de integração. Essa região é formada pela área contida entre duas ou mais curvas em um plano, e compreender suas limitações é fun- damental para obter resultados precisos. Vamos explorar as principais delimitações de uma região de integração entre curvas, juntamente com exemplos ilustrativos. Limites horizontais Os limites horizontais são estabelecidos pelos valores mínimos e máximos da variável de integração (geralmente x). Esses limites definem a extensão horizontal da região de integração. 149 4 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Exemplo 01: Considere as curvas ( ) ² f x = x e ( ) g x = x . Figura 01. Interseções entre as curvas g e f Para determinar a área entre essas curvas, precisamos encontrar os pontos de interseção. Igualando as duas equações, temos, ( ) ( ) f x g x = x² x = 2 0 x − x = Resolvendo essa equação quadrática, encontramos dois pontos de interseção: 0 = e 1 x= . Esses pontos delimitam a região horizontalmente. Limites verticais Os limites verticais são determinados pelas curvas. As curvas indicam as limitantes da região e demarcam as fronteiras verticais da região de integração. Fonte: elaborada pelo autor. Exemplo 02: Considere as curvas ( ) ² f x = x e ( ) 2 1 g x = x − . Para determinar a área entre essas curvas, precisamos identificar os limites verticais. 150 Métodos de Integração, Cálculo de áreas e Volumes 4 Observando as curvas, podemos ver que a curva ( ) ² f x = x está abaixo da curva ( ) g x = x no intervalo entre 0 x= e 1 x= . Portanto, os limites verticais são determinados pelos valores ( ) ² f x = x e ( ) g x = x . Definidos os limites ou limitantes horizontais e verticais, podemos descrever a região S como, 2 0 1 x S x y x ≤ ≤  =  ≤ ≤  Essa expressão indica que horizontalmente a região começa em x = 0 e termina em x =1 , enquanto que na vertical a região inicia na curva ( ) ² f x = x e termina em ( ) g x = x . Figura 02. Limitantes superior e inferior da região S Fonte: elaborada pelo autor. Exemplo 03: Considere as curvas ( ) ³ 2 f x x x = − e ( ) 2 g x x = . 151 4 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Figura 03. Interseções entre f e g Para determinar a área entre essas curvas, é necessário encontrar os limites tanto na direção vertical quanto na horizontal. Igualando as duas equações, temos, ( ) ( ) f x g x = x³ 2 –1 x x − = 3 3 1 0 x − x + = Resolvendo essa equação cúbica, encontramos três pontos de interseção: 2 x=− , 0 x= e 2 x= . Esses pontos delimitam a região horizontalmente. Em seguida, encontramos os limitantes verticais identificando a curva superior e inferior em cada intervalo, sendo para a região 1S a curva superior é a curva definida por f e inferior a curva definida por g , já para a região 2 S temos o inverso entre as curvas, logo a curva superior é a função g e a inferior a função f . Desta forma, as regiões 1S e 2 S podem ser descritas matematicamente por, 1 2 3 3 2 0 0 2 2 2 2 2 x x S e S x y x x x x y x − ≤ ≤ ≤ ≤   = =   ≤ ≤ − − ≤ ≤   Ao delimitar corretamente a região de integração entre curvas, podemos aplicar os métodos de integração adequados para calcular a área desejada. É essencial identificar os pontos de interseção corretamente e estabelecer os limites verticais e/ou horizontais apropriados para obter resultados precisos. Visualizar graficamente as curvas e a região de integração pode ser útil para entender e determinar corretamente as delimitações da área entre as curvas. Fonte: elaborada pelo autor. 152 Métodos de Integração, Cálculo de áreas e Volumes 4 2.2. CÁLCULO DA ÁREA ENTRE CURVAS A área entre curvas é uma medida fundamental no cálculo que nos permite determinar a área de uma região delimitada por duas ou mais curvas em um plano. Essa área é calculada por meio de integração, utilizando o conceito de intervalos e limites das cur- vas envolvidas. Para calcular a área entre curvas, é necessário primeiro identificar os limites da região de interesse, ou seja, os pontos de interseção entre as curvas. Esses pontos marcam as fronteiras da área que desejamos calcular. Em seguida, utilizamos a integração para encontrar a área sob as curvas no intervalo definido pelos limites. A fórmula geral para calcular a área entre duas curvas y ( ) = f x e y ( ) = g x no inter- valo [a, b] é dada pela diferença entre as integrais definidas dessas funções: ( ) ( ) ( ) b a x f A x d g x = − ∫ Limitante inferior Limitante superior onde ( ) f x representa a função da curva superior e ( ) g x representa a função da curva inferior no intervalo [a, b]. A diferença ( ) ( ) ( ) f x − g x garante que estejamos medindo a área entre as duas curvas, e a integração ao longo do intervalo [a, b] nos dá o valor numérico dessa área. Vamos considerar um exemplo para ilustrar esse conceito. Exemplo: Desejamos calcular a área entre as curvas ² y = x e 2 y x = no intervalo [0, 2]. 153 4 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Figura 04. Região S definida entre g e f Passo 1: Identificar os limites Para encontrar os pontos de interseção entre as curvas, igualamos as duas equações: ( ) ( ) f x g x = x² 2 x = Resolvendo essa equação quadrática, temos: x² 2 0 − x = ( ) 2 0 x x− = Portanto, os pontos de interseção são 0 x= e 2 x= . Passo 2: Calcular a área Aplicamos a fórmula da área entre as curvas: ( ) 2 0 A 2 ² x x dx = − ∫ Integrando essa expressão, obtemos: 2 3 2 0 3 x A x  = −     Fonte: elaborada pelo autor. 154 Métodos de Integração, Cálculo de áreas e Volumes 4 3 3 2 2 2 0 2 0 3 3 A           = − − −                           4 8 3 0 A   = − −     12 8 3 3 A   = −     4 3 ² A u = Portanto, a área entre as curvas ² y = x e 2 y x = no intervalo [0, 2] é igual a 4/3 unidades quadradas. É importante ressaltar que, ao calcular a área entre curvas, devemos sempre observar a orientação das funções e garantir que a função superior esteja sendo subtraída da função inferior. Caso contrário, obteríamos uma área negativa, o que não representa uma área física. Além disso, essa fórmula também pode ser aplicada para calcular a área entre mais de duas curvas, simplesmente somando ou subtraindo as áreas entre pares de curvas consecutivas. 3. SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO Sólidos de revolução, são figuras tridimensionais que surgem a partir da rotação de uma curva em torno de um eixo. Esse processo de rotação cria uma forma sólida simétrica em relação ao eixo de rotação, resultando em uma estrutura cilíndrica ou em forma de disco. Esse conceito é amplamente utilizado no estudo da geometria e do cálculo para compreender e calcular volumes de objetos complexos. A ideia básica por trás dos sólidos de revolução é imaginar uma curva no plano, como um segmento de reta, uma curva suave ou até mesmo uma função matemática, e fa- zê-la girar 360 graus em torno de um eixo específico. Esse eixo pode estar localizado dentro da curva, fora dela ou até mesmo ser a própria curva. Ao realizar essa rotação, a curva gera um sólido que apresenta uma estrutura cilíndrica ou de disco, dependendo da forma da curva e do eixo de rotação. Esse sólido é chama- do de sólido de revolução porque é gerado pela revolução completa da curva. Um exemplo clássico de sólido de revolução é o cilindro. Ao girar um retângulo em tor- no de um de seus lados, obtemos um cilindro, em que a altura do retângulo se torna a altura do cilindro e o lado girado se torna a circunferência da base. 155 4 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Figura 05. Revolução da região retangular em torno do eixo x Fonte: elaborada pelo autor. Os sólidos de revolução também podem ser gerados a partir de curvas mais complexas, como parábolas, elipses e funções matemáticas. Através do cálculo integral, é possível determinar o volume desses sólidos, bem como a área da superfície. Figura 06. Revolução da região curvilínea em torno do eixo x Fonte: elaborada pelo autor. Os sólidos de revolução têm aplicações práticas em várias áreas, como engenharia, arquitetura e física, onde a compreensão e o cálculo de volumes e áreas são fundamen- tais. O estudo desses sólidos nos permite explorar propriedades geométricas e realizar análises precisas de objetos tridimensionais complexos. Em resumo, os sólidos de revolução são figuras tridimensionais que surgem da rotação de uma curva em torno de um eixo. Esses sólidos têm formas cilíndricas ou de disco e podem ser estudados e calculados por meio do uso de técnicas matemáticas, como o cálculo integral, permitindo-nos compreender e quantificar volumes e áreas de objetos tridimensionais de forma precisa e sistemática. 3.2. CÁLCULO DE VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO O cálculo do volume de sólidos de revolução é uma aplicação importante do cálculo integral. Esses sólidos são gerados pela rotação de uma curva em torno de um eixo, criando uma forma tridimensional. Determinar o volume desses sólidos requer o uso de fórmulas específicas e o conhecimento das técnicas apropriadas. A fórmula geral para calcular o volume de um sólido de revolução é dada por: 156 Métodos de Integração, Cálculo de áreas e Volumes 4 ( ) , b a V A x dx =∫ onde V representa o volume do sólido, [a, b] é o intervalo de integração que correspon- de ao domínio da curva, ( ) A x é a área da seção transversal do sólido em relação a um plano perpendicular ao eixo de rotação e dx representa um elemento de com- primento ao longo do eixo de rotação. Para determinar a área da seção transversal, é necessário considerar a forma da curva e o eixo de rotação. Dependendo da situação, a área da seção transversal pode ser uma função de x ou de outra variável. Portanto, é importante determinar a relação entre a área da seção transversal e a variável x . Existem dois casos comuns de sólidos de revolução e suas áreas de seção transversal correspondentes: I. Sólidos de revolução com seção transversal circular: Nesse caso, a área da seção transversal é uma função do raio do círculo. Seja r(x) o raio em função de x, e ( ) ( ) r x = f x que define curva da região de rotação, a área da seção transversal é dada por, ( ) ( ( ) ) 2 A x π r x = Figura 07. Revolução e seção transversal circular Fonte: elaborada pelo autor. 157 4 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Fonte: elaborada pelo autor. II. Sólidos de revolução com seção transversal em forma de anel: Nesse caso, a área da seção transversal é uma função do raio externo e do raio interno do anel. Sejam ( ) R x o raio externo, tal que ( ) ( ) R x = f x (a função f(x) representa a curva superior da região de revolução) e r(x) o raio interno, tal que ( ) ( ) r x = g x (a função g(x) repre- senta a curva inferior da região de revolução), a área da seção transversal é dada por, ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) 2 2 2 2 A x R x r x R x r x π π π   = − = −     Figura 08. Revolução e seção transversal em forma de anel Agora, vamos resolver alguns exemplos para ilustrar o cálculo do volume de sólidos de revolução: Exemplo 01: Vamos calcular o volume gerado pela rotação da curva y 2 = x em torno do eixo x, no inter- valo [0, 2]. 158 Métodos de Integração, Cálculo de áreas e Volumes 4 Figura 09. Região de Revolução S Neste caso, a área da seção transversal é dada por ( ) ( ) 2 2 4 A x x x π π = = . Substituindo na fórmula do volume, temos: 2 4 0 . V x dx π∫ Integrando, obtemos: 2 5 5 5 0 2 0 32 32 20,11 ³ 5 5 5 5 5 x V u π π π π π       = ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ = ≅             Nessa situação o volume de revolução obtido terá um volume aproximado de 20,11 unidades cúbicas. A seguir, é representado graficamente o sólido obtido. Fonte: elaborada pelo autor. Figura 10. Vistas do sólido de revolução obtido Fonte: elaborada pelo autor. 159 4 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Exemplo 02: Vamos considerar, agora, um exemplo de sólido de revolução com seção transversal em forma de anel. Suponha que queremos calcular o volume gerado pela rotação da região deli- mitada pelas curvas ( ) f x = x e ( ) g x 2 = x em torno do eixo x, no intervalo [0, 1]. Figura 11. Região de Revolução S Fonte: elaborada pelo autor. Para resolver esse problema, devemos determinar a área da seção transversal em função de x. Neste caso, a área do anel é dada pela diferença entre as áreas dos círculos externo e interno. O raio externo ( ) R x é dado por ( ) ( ) R x f x x = = , enquanto o raio interno ( ) r x é dado por ( ) ( ) 2 r x f x x = = . Portanto, a área da seção transversal ( ) A x é dada por: ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) 2 2 A x R x r x π π = − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 A x x x π π = − ( ) ( ) 2 4 A x x x =π − Agora, podemos calcular o volume utilizando a fórmula do volume: ( ) b a V = ∫A x dx 160 Métodos de Integração, Cálculo de áreas e Volumes 4 ( ) 1 2 4 0 V x x dx = π − ∫ Integrando, temos: 1 3 5 0 3 5 x x V π   = ⋅ −     1 1 0 3 5 V π       = ⋅ − −             5 3 15 15 V π   ℵ     2 ³ 15 V π u = Portanto, o volume do sólido de revolução é igual a 2 15π unidades cúbicas Figura 12. Vistas do sólido obtido pela revolução da região S Através do cálculo do volume, somos capazes de quantificar e compreender as propriedades físicas e geométricas de sólidos de revolução, como cones, cilindros, esferas e muitos outros. Essa técnica é amplamente utilizada em diversas áreas, como engenharia, arquitetura, física e matemática aplicada. O cálculo de volume de sólidos de revolução é um processo desafiador, mas gratificante. Requer uma compreensão sólida das técnicas de integração, manipulação de funções e geometria tridimensional. Ao dominar esse método, somos capazes de analisar e resolver problemas Fonte: elaborada pelo autor. 161 4 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco complexos envolvendo a determinação de volumes de sólidos gerados por rotação, permitindo- nos uma visão mais completa e precisa do mundo tridimensional que nos rodeia. 4. EXERCÍCIOS COMENTADOS Exercício 01. Faça o que se pede nos itens (a) e (b). Calcule a integral, ( ) 3 2 2 3 2 1 x x x x x e dx + + ∫ + + utilizando o método da substituição. Calcule a integral, ( ) ( ) 2 3 2 6 4 cos x x x x dx ∫ + ⋅ + utilizando o método da substituição. Resolução: a. Para resolver essa integral utilizando o método da substituição, faremos a seguinte substi- tuição 3 2 : u x x x = + + . Então, diferenciamos ambos os lados em relação a x para obter, ( ) 3 2 2 1 du x x dx = + + Agora, substituímos na integral: ( ) ( ) 3 2 2 2 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x u u du x x e dx x x e e du x x + + ∫ + + =∫ + + = ∫ + + Integrando a expressão simplificada, temos: u u e du e C ∫ = + onde C é uma constante de integração. Para obter a primitiva da função, substituímos novamente u por 3 2 x x x + + : ( ) 3 2 3 2 2 3 2 1 x x x x x x x x e dx e C + + + + ∫ + + = + Portanto, a primitiva ( ) 3 2 2 3 2 1 x x x x x e dx + + ∫ + + é 3 2 x x x e C + + + . 162 Métodos de Integração, Cálculo de áreas e Volumes 4 b. Para resolver essa integral utilizando o método da substituição, faremos a seguinte subs- tituição 3 2 : u x x = + . Então, diferenciamos ambos os lados em relação a x para obter, ( ) 3 2 2 du x x dx = + Agora, substituímos na integral: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 2 6 4 cos 2 3 2 cos 2cos 3 2 du x x x x dx x x u u du x x ∫ + ⋅ + =∫ + = ∫ + Integrando a expressão simplificada, temos: ( ) ( ) 2cos 2 u du sen u C ∫ = + onde C é uma constante de integração. Para obter a primitiva da função, substituímos novamente u por 3 2 x + x : ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 6 4 cos 2 x x x x dx sen x x C ∫ + ⋅ + = + + Portanto, a primitiva ( ) ( ) 2 3 2 6 4 cos x x x x dx ∫ + ⋅ + é ( ) 3 2 2sen x x C + + . Uma corrente elétrica i (em A) em um circuito pode ser descrita pela função ( ) 2 2 t i t e = , onde t (em segundos) é o tempo. Calcule a carga elétrica Q (em C) acumulada no circuito de 0 a 3 segundos utilizando o método da substituição. Observação, a carga elétrica acumulada é dada por, ( ) 0 ft t Q i t dt = ∫ Onde 0t e ft são os extremos do intervalo. Resolução: Para calcular a carga elétrica acumulada no circuito, utilizamos a relação fundamental entre a corrente elétrica e a carga elétrica: ( ) ( ) 0 , ft t Q i t dt ondei t é a funçãodadadacorrenteelétrica =∫ Exercício 02. 163 4 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Exercício 03. ( ) 3 2 0 2 t Q e dt =∫ Fazendo a substituição 2 u t = temos du 2 dt = . Portanto, a equação se torna, ( ) 2 2 u u du Q e e =∫ = ( ) ( ) 3 3 2 2 6 0 6 0 0 2 1 402,13 t t Q e dt e e e e C = = = − = − ≅ ∫ Portanto, a carga elétrica acumulada no circuito de 0 a 3 segundos é aproximadamente 402,13 C. a. Calcule a integral, ( ) 2 , x ln x dx ∫ ⋅ utilizando o método da integração por partes. b. Determine a primitiva de ( ) ²( ) f x x sec x = ⋅ . Resolução: a. Para resolver essa integral utilizando o método da integração por partes, faremos a se- guinte identificação: u ( ) =ln x e 2 dv = x dx . Diferenciamos u em relação a x para obter 1 du x dx = E integramos dv para obter, 1 3 v 3 x = Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes: ( ) ( ) 2 2 3 1 1 3 x ln x dx x ln x x x dx ∫ ⋅ = −∫ ⋅ ⋅ 164 Métodos de Integração, Cálculo de áreas e Volumes 4 ( ) ( ) 2 2 2 1 3 x ln x dx x ln x x dx ∫ ⋅ = − ∫ ( ) ( ) 3 2 2 1 3 3 x x ln x dx x ln x C ∫ ⋅ = − ⋅ + ( ) ( ) 3 2 2 9 , x x ln x dx x ln x C ∫ ⋅ = − + onde C é uma constante de integração. Portanto, a primitiva da função ( ) 2 x ln x dx ∫ ⋅ é ( ) 2 3 / 9 x ln x x C − + . b. Como desejamos obter a primitiva da função ( ) ²( ) f x x sec x = ⋅ , iremos fazer a inte- gral indefinida de f . ( ) ²( ) F x x sec x dx = ∫ ⋅ Tomando u = x e ²( ) dv sec x = , temos que du = dx e ( ) v = tg x , aplicando na for- mula de integral por partes, temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ² F x x sec x dx x tg x tg x dx = ∫ ⋅ = ⋅ − ∫ Calculando e simplificando a nova integral, temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ² ln F x x sec x dx x tg x sec x C = ∫ ⋅ = ⋅ − + Sendo assim a primitiva de ( ) ( ) ² f x x sec x = ⋅ é ( ) ( ) ln x tg x sec x C ⋅ − + . Exercício 04. Em um projeto de engenharia, a taxa de variação de temperatura T '( ) t (em °C/s) de um material em relação ao tempo t (em segundos) é modelada pela função '( ) t T t = te . Cal- cule a variação de temperatura ΔT (em °C) em um intervalo de tempo de 0 a 5 segundos utilizando o método da integração por partes, a variação de temperatura pode ser obtida por, ( ) 0 ft t T T ′ t dt ∆ = ∫ 165 4 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Exercício 05. Resolução: Para calcular a variação de temperatura ΔT, utilizamos a relação fundamental entre a taxa de variação e a variação de temperatura: ( ) 0 ft t T T ′ t dt ∆ = ∫ onde T '( ) t é a função dada da taxa de variação. 5 0 t T te dt ∆ = ∫ Fazendo a identificação u t = e t dv e dt = , temos du =dt e t v e = . Aplicando a fórmula da integração por partes: t t t t t te dt te e dt te e ∫ = − ∫ = − Agora, substituímos os limites de integração de 0 a 5 segundos: ( ) ( ) ( ) 5 5 5 5 0 0 5 5 0 0 5 0 5 1 594,65 t t t T te dt te e e e e e e e C ∆ = = − = − − − = − + = ° ∫ Portanto, a variação de temperatura ΔT em um intervalo de tempo de 0 a 5 segundos é de 594,65C °C. Calcule a área entre as curvas ( ) f x 2 = x e ( ) 2 3 g x = x + no intervalo [-1, 3]. Figura 13. Região S entre g e f Fonte: elaborada pelo autor. 166 Métodos de Integração, Cálculo de áreas e Volumes 4 Resolução: Para calcular a área entre as curvas, utilizamos o método da integração. A área é dada pela diferença entre as integrais das duas funções. ( ) ( ) b a A g x f x dx   = −   ∫ ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1 2 3 2 3 A x x dx x x dx − −   = + − = − + +   ∫ ∫ Integrando, temos: ( ) 3 3 3 2 2 1 1 2 3 3 3 x A x x dx x x − −   = − + + = − + +     ∫ Agora, substituindo os limites de integração: ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 3 3 3 3 1 3 1 3 3 A   −     = − + + ⋅ − − + − + ⋅ −         ( ) 27 1 1 9 9 1 3 9 9 9 2 3 3 3 A       = − + + − + − = − + + − −             5 32 9 ² 3 3 A u = + = Portanto, a área entre as curvas ( ) f x 2 = x e ( ) 2 3 g x = x + no intervalo [-1, 3] é igual a 32/3 unidades quadradas. Exercício 06. Calcule a área entre as curvas ( ) x f x =e e ( ) 2 1 g x = x + no intervalo [0, 2]. 167 4 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Figura 14. Região S entre f e g Resolução: Novamente, utilizamos o método da integração para calcular a área entre as curvas. ( ) ( ) 2 2 0 1 x A e x dx = − + ∫ Integrando cada função, temos: ( ) ( ) 2 2 3 2 0 0 1 3 x x x A e x dx e x   = − + = − −     ∫ Agora, substituindo os limites de integração: ( ) ( ) 2 2 3 2 0 0 1 3 x x x A e x dx e x   = − + = − −     ∫ 3 3 2 0 2 2 0 8 2 0 2 1 3 3 3 A e e e     = − − − − − = − − −         2 17 1,722 ² 3 A e u = − ≅ Portanto, a área entre as curvas ( ) x f x =e e ( ) 2 1 g x = x + no intervalo [0, 2] é igual a 2 e −17 / 3 unidades quadradas ou aproximadamente igual a 1,722 unidades quadradas. Fonte: elaborada pelo autor. 168 Métodos de Integração, Cálculo de áreas e Volumes 4 Exercício 07. Uma garrafa é gerada pela rotação da curva ( ) f x 4 2 = − x , onde x varia de 0 a 2, em torno do eixo x. Calcule o volume dessa garrafa. Figura 15. Região de revolução e sólido gerado Fonte: elaborada pelo autor. Resolução: Para calcular o volume da garrafa, utilizamos o método de integração por discos. A fórmula para o volume é, ( ( ) ) 2 b a V r x dx π =∫ onde r é o raio e dx é a espessura do disco. Nesse caso, o raio r é dado pela função ( ) f x 4 2 = − x . Então, substituímos na fórmula: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 0 0 4 16 8 V x dx x x dx π π = − = − + ∫ ∫ Agora, integramos de acordo com os limites de integração [0, 2]: ( ) 2 2 2 4 3 5 0 0 8 1 16 8 16x x x 3 5 V x x dx π π   = − + == − +     ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 5 3 5 8 1 8 1 16 2 2 2 16 0 0 0 3 5 3 5 V π       = − ⋅ + ⋅ − − ⋅ + ⋅             169 4 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco Exercício 08. Fonte: elaborada pelo autor. ( ) ( ) ( ) 8 1 32 8 32 0 3 5 V π     = − ⋅ + −         64 32 32 3 5 V π   = − +     800 320 96 15 15 15 V π   = − +     576 15 V π   =     576 3 120,64 ³ 15 V u u π = ≅ Portanto, o volume da garrafa gerada pela rotação da curva y 4 2 = − x no intervalo [0, 2] é igual a 576 π /15 unidades cúbicas ou aproximadamente igual a 120,64 unidade cúbicas Uma região R é delimitada pelas curvas ( ) f x 2 = x e ( ) 2 g x x = . Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação dessa região em torno do eixo y. Figura 16. Região de revolução e sólido gerado Resolução: Para calcular o volume do sólido de revolução, utilizamos o método dos anéis. A fórmula para o volume é 170 Métodos de Integração, Cálculo de áreas e Volumes 4 ( ) b a V A y dy =∫ onde r é o raio e dy é a espessura do disco. Para essa questão, vamos integrar em relação a y. Primeiro, precisamos encontrar as fun- ções em termos de y. A função 2 y = x pode ser reescrita como x y = , e a função 2 y x = como / 2 x = y . Agora, vamos encontrar os limites de integração. Para isso, igualamos as duas funções e resolvemos para y: ( ) ( ) f x g x = x2 2 x = 2 y y = Elevando ambos os membros ao quadrado, ( ) 2 2 2 y y   =     2 4 y y = 2 4 0 y − y = ( 4) 0 y ⋅ y − = y 0 4 = e y = Agora, podemos calcular o volume: ( ) 4 0 V A y dy =∫ Para encontrar a área ( ) A y , temos ( ) R y =√ y e ( ) / 2 r y = y , 171 4 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) 2 2 A y R y r y = π ⋅ − ( ) ( ) 2 2 2 y A y y π     = −           ( ) 2 4 y A y π  y  = −     Substituindo na fórmula do volume, temos: 4 2 0 4 y V y dy π   = −     ∫ Agora, integramos cada termo da função separadamente: 4 4 2 2 3 0 0 4 2 12 y y y V y dy π π     = − = −         ∫ 2 3 2 3 4 4 0 0 16 64 16 8 0 8 2 12 2 12 2 12 3 3 V π π π π           = − − − = − − = − = ⋅                     8 3 8,38 ³ 3 V u u = π ≅ Portanto, o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região R delimitada pelas curvas ( ) f x 2 = x e ( ) 2 g x x = em torno do eixo y é igual a 8 π / 3 unidades cúbicas ou aproximadamente 8,83 unidades cúbicas. CONCLUSÃO Nesta Unidade, começamos discutindo os métodos de integração, como a integração por substituição e por partes, que são ferramentas fundamentais para resolver integrais mais complexas. Em seguida, abordamos o cálculo de áreas e volumes, incluindo a determinação da área entre curvas e o cálculo de volumes de sólidos de revolução. Através desses tópicos, pudemos compreender como utilizar as técnicas de integração para calcular áreas delimitadas por curvas e volumes de sólidos gerados por rotação. Vimos que a escolha adequada das funções e a identificação das seções transversais corretas são essenciais para obter resultados precisos. 172 Métodos de Integração, Cálculo de áreas e Volumes 4 Além disso, discutimos exemplos detalhados e resoluções passo a passo, a fim de ilustrar a aplicação dos conceitos discutidos. Esses exemplos nos ajudaram a visualizar como aplicar as fórmulas e técnicas em situações práticas, como o cálculo de áreas entre curvas e o volume de sólidos de revolução. O estudo do cálculo integral é fundamental não apenas para a matemática, mas tam- bém para diversas áreas da ciência e engenharia. Ele nos fornece ferramentas pode- rosas para modelar e analisar fenômenos complexos, permitindo-nos compreender e descrever o mundo ao nosso redor com maior precisão. Em resumo, exploramos conceitos-chave do cálculo integral, como métodos de inte- gração, cálculo de áreas e volumes, e sua aplicação em problemas específicos. Es- ses conhecimentos nos capacitam a enfrentar desafios matemáticos e científicos mais avançados, possibilitando uma compreensão mais profunda e uma abordagem analítica para resolver problemas do mundo real. 173 4 Cálculo Diferencial e Integral Universidade São Francisco REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2010. HOFFMAN, L. D.; BRADLEY, G. L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 11. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015. LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. São Paulo: Harbra, 2013. STEWART, J. Cálculo: volume 1. São Paulo: Cengage Learning, 2015.