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Questao 1) {4 x1) + x2 - x3 + x4 = -2 {x1 + (4 x2) - x3 - x4 = -1 - x1 - x2 + (5 x3) + x4 = 0 x1 - x2 + x3 + (3 x4) = 1 -▻ [4 1 -1 1 -2 1 4 -1 -1 -1] -▻ Matriz diagonalmente dominante, o metodo pode -1 -1 5 1 0 -▻ ser aplicado !! 1 -1 1 3 1 -▻ Isolando as variaveis dominantes: x1 = 2 - x2 + x3 - x4 4 x2 = -1 - x1 + x3 + x4 4 x3 = x1 + x2 - x4 5 x4 = 1 - x1 + x2 - x3 3 • Criterio de parada → 2 iteracoes • Solucao Inicial x(0) = 0 → b x(0) = [0 0 0 0] x1 x2 x3 x4 1a Iteracao: x1(1) = -2 - 0 + 0 - 0 = -0,5 4 x2(1) = -1 - 0 + 0 + 0 = -0,25 4 x3(1) = 0 x4(1) = 0,333 -▻ x(1) = [-0,5 -0,25 0 0,333] 2a Iteracao: x1(2) = 2 - (-0,25) + 0 -0,333 = -0,521 4 x2(2) = -1 - (-0,521) + 0 - 0,333 = -0,040 4 x3(2) = -0,5 - 0,25 - 0,333 = -0,217 5 x4(2) = 1 - (-0,5) - 0,125 - 0 3 = 0,417 x(2) = [-0,521 -0,040 -0,217 0,417] Questao 2) Mesma logica, porem usando o metodo de Seidel! Equacoes { x1 = 2 - x2 + x3 - x4 4 { x3 = x1 + x2 - x4 5 { x2 = -1 - x1 + x3 + x4 4 { x4 = 1 - x1 + x2 - x3 3 • Criterio de parada → 2 iteracoes • x(0) = 0 1a Iteracao: x1(1) = -2 - 0 + 0 - 0 = 0,5 4 x2(1) = -1 - (-0,5) + 0 + 0 = -0,125 4 x3(1) = 0,5 - 0,125 - 0 = -0,125 5 x4(1) = 1 - (-0,5) - 0,125 - (-0,125) 3 = 0,5 (▻ x4(1) = 0,5 2a Iteracao: x1(2) = 2 - (-0,125) + (-0,125) - 0,5 = -0,625 4 x2(2) = -1 - (-0,625) + (-0,125) + 0,5 = 0 4 x3(2) = -0,625 + 0 - 0,5 = -0,225 5 x4(2) = 1 - (-0,625) + 0 - (-0,225) = 0,617 3 x(1) = [-0,5 -0,125 -0,125 0,5] x(2) = [-0,625 0 -0,225 0,617] Questao 3) Equacoes { 1,19 x1 + 2,11 x2 - 100 x3 + x4 = 1,12 { 14,2 x1 - 0,123 x2 + 1,02 x3 - x4 = 3,44 { 100 x2 - 99,9 x3 + x4 = 2,15 { 15,3 x1 + 0,110 x2 - 13,1 x3 - x4 = 4,16 [A((1) (b((1)(2) = [1,19 2,11 -100 1 1,12 14,2 -0,123 1,02 -1 3,44 100 -99,9 1 2,15 15,3 0,110-13,1 -1 4,16 | | |] pivô = a(11) = 1,19 ml2 = 14,2 = 11,933 1,19 ml3 = 0 ml4 = 15,3 = 12,857 1,19 L2 L2 - ml2.L1 } L3 L3 - ml3.L1 | Zeros a primeira coluna, com L4 L4 - ml4.L1 | excecao do pivo! [A((1) (b((1)(2) = [1,19 2,11 -100 1 1,12 0 -25,301 120,55 - 10,933 -9,985 100 -99,9 1 2,15 0 -27,018 12,736,1 - 13,887 - 10,240 | | |] pivô = a(22) = -25,301 ml3 = 100 = -3,952 -25,301 ml4 = -27,018 = -1,068 -25,301 L3 L3 - ml3.L2 } L4 L4 - ml4.L2 } Zeros a segunda coluna! Outro lado [A^(4)][6^(4)] = | 1,14 2,11 -100 1 | 1,12 | | -25,301 1205,5 -12,933 | -9,925 | | 4664,236 -50,111 | -37,074| | -14,8749 0,044 | 0,360 | Co L4 -> L4 - mL4 L3; Zero a terceira coluna! Co [A^(3)][6^(3)] = | 1,14 2,11 -100 1 | 1,12 | | -25,301 1205,5 -12,933 | -9,925| | 4664,236 -50,111 | -37,074| | 0 0,044 -0,116 | 0,242 | 1. Agora podemos resolver esse sistema linear! Co | 1,14x1 + 2,11x2 - 100x3 + x4 = 1,12 | -25,301x1 + 1205,5x3 -12,933x4 = -9,925 | 4664,236x3 - 50,111x4 = -37,074 | -0,116x4 = 0,242 -> x1 = 0,122 x2 = 0,029 x3 = -0,030 x4 = -2,086 • Solução para este sistema 4x4 -> X = [ 0,122 ] [ 0,029 ] [ -0,030 ] [ -2,086 ] Questão 4) Equações 1,19x1 + 2,11x2 - 100x3 + x4 = 1,12 14,2x1 - 0,112x2 + 12,1x3 - x4 = 3,44 100x2 - 99,9x3 + x4 = 2,15 15,3x1 + 0,110x2 - 13,1x3 - x4 = 4,16 Co Pivotando a linha 1 com a 4, devido a 4º possuir maior valor absoluto [ L1 <-> L4 ] Co | 15,3x1 + 0,110x2 - 13,1x3 - x4 = 4,16 | 14,2x1 - 0,112x2 + 12,1x3 - x4 = 3,44 | 100x2 - 99,9x3 + x4 = 2,15 | 1,19x1 + 2,11x2 - 100x3 + x4 = 1,12 Co [A^(0)][6^(0)] = | 15,3 0,110 -13,1 -1 | 4,16 | | 14,2 -0,112 12,1 -1 | 3,44 | | 0 100 -99,9 1 | 2,15 | | 1,19 2,11 -100 1 | 1,12 | Co L2 <- L2 - mL2*L1 L3 <- L3 - mL3*L1 L4 <- L4 - mL4*L1 Co [A^(1)][6^(1)] = | 15,3 0,110 -13,1 -1 | 4,16 | | -0,224 24,359 -0,072 | 0,420 | | 0 100 -99,9 1 | 2,150 | | 2,101 -98,978 1,078 | 0,795 | Co Co L3 <- L3 - mL3*L2 | Zerar a segunda j coluna L4 <- L4 - mL4*L2 Co [A^(2)][6^(2)] = | 15,3 0,110 -13,1 -1 | 4,16 | | -0,224 24,357 -0,072 | -0,420 | | 0 10773,771 31,143 | -185,350 | | 0 0 129,466 0,403 | -3,144 | Co L4 <- L4 - mL4 L3 ; Zerar a terceira coluna. Co [A^(3)][6^(3)] = | 15,3 0,110 -13,1 -1 | 4,16| | -0,224 24,357 -0,072 | -0,420 | | 0 10773,771 -31,143 | -185,350 | | 0 0 0,777 | -0,920 | Agora podemos resolver o sistema 4x4 ! Co | 15,3x1 + 0,110x2 - 13,1x3 - x4 = 4,16 | -0,224x2 + 24,357x3 - 0,072x4 = -0,420 | 10773,771x3 - 31,143x4 = -185,350 | 0,777x4 = -0,920 -> x1 = 0,177 x2 = -0,028 x3 = -0,021 x4 = 1,184 • Solução para este sistema -> X = [0,177] [-0,028] [-0,021] [1,184]
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Questao 1) {4 x1) + x2 - x3 + x4 = -2 {x1 + (4 x2) - x3 - x4 = -1 - x1 - x2 + (5 x3) + x4 = 0 x1 - x2 + x3 + (3 x4) = 1 -▻ [4 1 -1 1 -2 1 4 -1 -1 -1] -▻ Matriz diagonalmente dominante, o metodo pode -1 -1 5 1 0 -▻ ser aplicado !! 1 -1 1 3 1 -▻ Isolando as variaveis dominantes: x1 = 2 - x2 + x3 - x4 4 x2 = -1 - x1 + x3 + x4 4 x3 = x1 + x2 - x4 5 x4 = 1 - x1 + x2 - x3 3 • Criterio de parada → 2 iteracoes • Solucao Inicial x(0) = 0 → b x(0) = [0 0 0 0] x1 x2 x3 x4 1a Iteracao: x1(1) = -2 - 0 + 0 - 0 = -0,5 4 x2(1) = -1 - 0 + 0 + 0 = -0,25 4 x3(1) = 0 x4(1) = 0,333 -▻ x(1) = [-0,5 -0,25 0 0,333] 2a Iteracao: x1(2) = 2 - (-0,25) + 0 -0,333 = -0,521 4 x2(2) = -1 - (-0,521) + 0 - 0,333 = -0,040 4 x3(2) = -0,5 - 0,25 - 0,333 = -0,217 5 x4(2) = 1 - (-0,5) - 0,125 - 0 3 = 0,417 x(2) = [-0,521 -0,040 -0,217 0,417] Questao 2) Mesma logica, porem usando o metodo de Seidel! Equacoes { x1 = 2 - x2 + x3 - x4 4 { x3 = x1 + x2 - x4 5 { x2 = -1 - x1 + x3 + x4 4 { x4 = 1 - x1 + x2 - x3 3 • Criterio de parada → 2 iteracoes • x(0) = 0 1a Iteracao: x1(1) = -2 - 0 + 0 - 0 = 0,5 4 x2(1) = -1 - (-0,5) + 0 + 0 = -0,125 4 x3(1) = 0,5 - 0,125 - 0 = -0,125 5 x4(1) = 1 - (-0,5) - 0,125 - (-0,125) 3 = 0,5 (▻ x4(1) = 0,5 2a Iteracao: x1(2) = 2 - (-0,125) + (-0,125) - 0,5 = -0,625 4 x2(2) = -1 - (-0,625) + (-0,125) + 0,5 = 0 4 x3(2) = -0,625 + 0 - 0,5 = -0,225 5 x4(2) = 1 - (-0,625) + 0 - (-0,225) = 0,617 3 x(1) = [-0,5 -0,125 -0,125 0,5] x(2) = [-0,625 0 -0,225 0,617] Questao 3) Equacoes { 1,19 x1 + 2,11 x2 - 100 x3 + x4 = 1,12 { 14,2 x1 - 0,123 x2 + 1,02 x3 - x4 = 3,44 { 100 x2 - 99,9 x3 + x4 = 2,15 { 15,3 x1 + 0,110 x2 - 13,1 x3 - x4 = 4,16 [A((1) (b((1)(2) = [1,19 2,11 -100 1 1,12 14,2 -0,123 1,02 -1 3,44 100 -99,9 1 2,15 15,3 0,110-13,1 -1 4,16 | | |] pivô = a(11) = 1,19 ml2 = 14,2 = 11,933 1,19 ml3 = 0 ml4 = 15,3 = 12,857 1,19 L2 L2 - ml2.L1 } L3 L3 - ml3.L1 | Zeros a primeira coluna, com L4 L4 - ml4.L1 | excecao do pivo! [A((1) (b((1)(2) = [1,19 2,11 -100 1 1,12 0 -25,301 120,55 - 10,933 -9,985 100 -99,9 1 2,15 0 -27,018 12,736,1 - 13,887 - 10,240 | | |] pivô = a(22) = -25,301 ml3 = 100 = -3,952 -25,301 ml4 = -27,018 = -1,068 -25,301 L3 L3 - ml3.L2 } L4 L4 - ml4.L2 } Zeros a segunda coluna! Outro lado [A^(4)][6^(4)] = | 1,14 2,11 -100 1 | 1,12 | | -25,301 1205,5 -12,933 | -9,925 | | 4664,236 -50,111 | -37,074| | -14,8749 0,044 | 0,360 | Co L4 -> L4 - mL4 L3; Zero a terceira coluna! Co [A^(3)][6^(3)] = | 1,14 2,11 -100 1 | 1,12 | | -25,301 1205,5 -12,933 | -9,925| | 4664,236 -50,111 | -37,074| | 0 0,044 -0,116 | 0,242 | 1. Agora podemos resolver esse sistema linear! Co | 1,14x1 + 2,11x2 - 100x3 + x4 = 1,12 | -25,301x1 + 1205,5x3 -12,933x4 = -9,925 | 4664,236x3 - 50,111x4 = -37,074 | -0,116x4 = 0,242 -> x1 = 0,122 x2 = 0,029 x3 = -0,030 x4 = -2,086 • Solução para este sistema 4x4 -> X = [ 0,122 ] [ 0,029 ] [ -0,030 ] [ -2,086 ] Questão 4) Equações 1,19x1 + 2,11x2 - 100x3 + x4 = 1,12 14,2x1 - 0,112x2 + 12,1x3 - x4 = 3,44 100x2 - 99,9x3 + x4 = 2,15 15,3x1 + 0,110x2 - 13,1x3 - x4 = 4,16 Co Pivotando a linha 1 com a 4, devido a 4º possuir maior valor absoluto [ L1 <-> L4 ] Co | 15,3x1 + 0,110x2 - 13,1x3 - x4 = 4,16 | 14,2x1 - 0,112x2 + 12,1x3 - x4 = 3,44 | 100x2 - 99,9x3 + x4 = 2,15 | 1,19x1 + 2,11x2 - 100x3 + x4 = 1,12 Co [A^(0)][6^(0)] = | 15,3 0,110 -13,1 -1 | 4,16 | | 14,2 -0,112 12,1 -1 | 3,44 | | 0 100 -99,9 1 | 2,15 | | 1,19 2,11 -100 1 | 1,12 | Co L2 <- L2 - mL2*L1 L3 <- L3 - mL3*L1 L4 <- L4 - mL4*L1 Co [A^(1)][6^(1)] = | 15,3 0,110 -13,1 -1 | 4,16 | | -0,224 24,359 -0,072 | 0,420 | | 0 100 -99,9 1 | 2,150 | | 2,101 -98,978 1,078 | 0,795 | Co Co L3 <- L3 - mL3*L2 | Zerar a segunda j coluna L4 <- L4 - mL4*L2 Co [A^(2)][6^(2)] = | 15,3 0,110 -13,1 -1 | 4,16 | | -0,224 24,357 -0,072 | -0,420 | | 0 10773,771 31,143 | -185,350 | | 0 0 129,466 0,403 | -3,144 | Co L4 <- L4 - mL4 L3 ; Zerar a terceira coluna. Co [A^(3)][6^(3)] = | 15,3 0,110 -13,1 -1 | 4,16| | -0,224 24,357 -0,072 | -0,420 | | 0 10773,771 -31,143 | -185,350 | | 0 0 0,777 | -0,920 | Agora podemos resolver o sistema 4x4 ! Co | 15,3x1 + 0,110x2 - 13,1x3 - x4 = 4,16 | -0,224x2 + 24,357x3 - 0,072x4 = -0,420 | 10773,771x3 - 31,143x4 = -185,350 | 0,777x4 = -0,920 -> x1 = 0,177 x2 = -0,028 x3 = -0,021 x4 = 1,184 • Solução para este sistema -> X = [0,177] [-0,028] [-0,021] [1,184]