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ASDASDASDasdasd CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Análise Estatística I UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária Profª Fernanda S Costa 1 Fonte:M.E.G. Martins, DeptoEIO, Univ.Lisboa CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 2 UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 3 UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária Distribuição da Média Amostral CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição da Média Amostral Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 4 UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição da Média Amostral Demonstração: As duas primeiras propriedades decorrem imediatamente das propriedades do valor esperado e da variância. E[X̄] = E[1/n ∑1n xi ] = 1/n E[∑1n xi ] = 1/n ∑1n E[Xi ] = 1/n ∑1n μ = 1/n nμ = μ = E[X] Var[X̄] = Var[1/n ∑1n Xi ] = 1/n2 Var[∑n1 Xi ] = 1/n2 ∑n1 Var[Xi ] = 1/n2 ∑n1 σ2 = 1/n2 nσ2 = σ2/ n = Var[X]/n A terceira conclusão é fundamentada em dois teoremas: Teorema das Combinações Lineares Teorema do Limite Central Análise Estatística I UERJ-Ime-Deptº.de Estatística e Atuária Profª Fernanda S Costa 5 CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição da Média Amostral O Teorema das Combinações Lineares diz que: “uma v.a obtida pela combinação linear de v.a´s normais independentes tem também distribuição Normal”. Assim, se a distribuição da variável aleatória básica (população) for Normal, fX(x) ~N(μ; σ2) então, a distribuição amostral da média também será Normal para qualquer tamanho de amostra n. f X ̄ (x̄) ~N(μ;σ2/n) Análise Estatística I UERJ-Ime-Deptº.de Estatística e Atuária Profª Fernanda S Costa 6 CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição da Média Amostral Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 7 Por outro lado, se a distribuição da população não for Normal Mas a amostra for suficientemente grande, temos o Teorema do Limite Central “sob condições bastante gerais uma v.a, resultante da soma de n v.a independentes, tem distribuição Normal, no limite de n tendendo a infinito” Assim, no caso de população infinita ou amostragem com reposição, a distribuição amostral da média será aproximadamente Normal. Sendo aproximada esta conclusão ela é também estendia para amostragem sem reposição de população finita, porém razoavelmente grande Na prática quanto mais simétrica for a distribuição da população ou quanto mais próxima da normalidade ela estiver melhor será. UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição da Média Amostral Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 8 UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição da Média Amostral Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 9 No caso de amostragem sem reposição e população finita, pode-se demonstrar que: UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição da Média Amostral Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 10 Exemplo-1: Seja X uma população constituída dos seguintes elementos: {2,3,4,5}. Extrair todas as amostras de 2 elementos dessa população, com reposição, e determinar: (a) Média e Variância da população de X; (b) Média e Variância da distribuição amostral de média das amostras de dois elemento obtidas com reposição da população X. SOLUÇÃO: (a) UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição da Média Amostral Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 11 (b) Primeiro construímos a população de UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária Todas as amostras de dois elementos retiradas da população X com reposição Todos os possíveis valores de (sendo a média de amostras de dois elementos retiradas da população X com reposição) CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição da Média Amostral Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 12 (b) Primeiro construímos a população de (cont.) Como temos a população de , podemos calcular seu valor esperado e variância: UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária E[ ] = = 3,5 Mas mesmo que não tivéssemos a população de , poderíamos calcular seu valor esperado e variância utilizando o conhecimento, que agora temos, da distribuição amostral de : Var[ ] = = 0,625 E[ ] = E[X]= 3,5 Var[ ] = = 1,25 / 2 = 0,625 CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição da Média Amostral Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 13 Fazer o mesmo exercício considerando amostragem sem reposição. i. Construir a população de amostra de 2 elementos retiradas sem reposição ii. Construir a população de , médias de amostra de 2 elementos retiradas sem reposição iii. Calcular a média e variância da população construída no item ii. iv. Calcular o valor esperado e a variância de utilizando o conhecimento, que agora temos, da distribuição amostral de UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição da Média Amostral Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 14 UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição da Média Amostral Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 15 UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária E[Xbarra] = E[X]=p Var[Xbarra] = Var[X]/n = p(1-p)/n CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 16 UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária Distribuição Amostral de S2 (Variância Amostral) CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição Amostral de S2 (Variância) Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 17 Antes de entrarmos na distribuição amostral da variância, vamos abordar dois conceitos importantes para a compreensão da distribuição amostral da variância. 1. Graus de liberdade de uma estatística: Sejam as estatísticas: Diz-se que elas tem n graus de liberdade, e tal fato pode ser entendido como indicando haver n valores “livres” de xi que devem ser considerados para se poder calcular o valor da estatística, isto é, se qualquer dos valores de xi da amostra for desconhecido, o valor da estatística não pode ser determinado, pois todos os valores da amostra são livres e podem variar aleatoriamente. UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária Média da população X CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição Amostral de S2 (Variância) Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 18 Por outro lado, a estatística S², UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição Amostral de S2 (Variância) Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 19 Se em lugar da estatística S2, usarmos a estatística S´2, definida como: então S´2 terá também (n-1) graus de liberdade, pelo mesmo motivo de S2 ter (n-1) graus de liberdade. 2. Distribuição Qui-Quadrado (²) Define-se uma variável aleatória ², com  graus de liberdade, como sendo a soma do quadrado de  variáveis normais padronizadas e independentes, isto é: UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição Amostral de S2 (Variância) Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 20 Dependendo do número de graus de liberdade, a distribuição de ² assume as seguintes formas: y fy 0 5 10 15 0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 y fy 0 5 10 15 0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 y fy 0 5 10 15 0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 CH(2) CH(5) CH(10) UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição Amostral de S2 (Variância) Análise Estatística I UERJ-IME-Deptº.V Profª Fernanda S Costa 21 Tabela 2 CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição Amostral de S2 (Variância) Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 22 Propriedades mais importantes da distribuição Qui-Quadrado: UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição Amostral de S2 (Variância) Análise Estatística I UERJ-IME-Deptº.V Profª Fernanda S Costa 23 3- Distribuição da Variância amostral S² - Teorema de Fisher Seja X uma população Normal de média  e variância ². Logo, é uma v.a normal padronizada N(0;1) Então a soma dos zi 2 é uma variável aleatória Qui-quadrado com (n-1) graus de liberdade. UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária 2 n-1 definida como a soma de N(0,1) ao quadrado CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição Amostral de S2 (Variância) Análise Estatística I UERJ-IME-Deptº.V Profª Fernanda S Costa 24 UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária multiplicando-se os dois lados da equação anterior por 2 agora dividindo-se os dois lados da equação anterior por (n-1) CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição Amostral de S2 (Variância) Análise Estatística I UERJ-IME-Deptº.V Profª Fernanda S Costa 25 CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição Amostral de S2 (Variância) Análise Estatística I UERJ-IME-Deptº.V Profª Fernanda S Costa 26 E[S’2] = 2 CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição Amostral de S² (Variância) A variância de S² é: Var[S′²] = Var( \(\frac{\sigma^2}{n-1}\) \chi^2_{n-1} ) = \(\frac{\sigma^4}{(n-1)^2}\) Var[\chi^2_{n-1}] = \(\frac{\sigma^4}{(n-1)^2}\) 2(n-1) = \(\frac{2\sigma^4}{(n-1)}\) Assim: Var[S′²] = \(\frac{2\sigma^4}{n-1}\) e S′² é um estimador assintoticamente consistente de \sigma^2, pois Var [S′²] = 0, quando n \to \infty. Var[S′²] = \(\frac{2\sigma^4}{n-1}\) Análise Estatística I UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária Profª Fernanda S Costa 27 CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição Amostral de S² (Variância) Suponhamos agora a estatística S²: \(\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{\sigma^2}\) = \chi^2_{n-1} \(\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2\) = \sigma^2 \chi^2_{n-1} \(\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}\) = \(\frac{\sigma^2}{n}\) \chi^2_{n-1} Como: \(\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}\) = S² multiplicando-se os dois lados da equação anterior por \sigma^2 Logo: S² = \(\frac{\sigma^2}{n}\) \chi^2_{n-1} agora dividindo-se os dois lados da equação anterior por n Análise Estatística I UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária Profª Fernanda S Costa 28 CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição Amostral de S² (Variância) Tomando o valor esperado de S², temos: E [S²] = E [\(\frac{\sigma^2}{n}\) \chi^2] = \(\frac{\sigma^2}{n}\) E [\chi^2] = \(\frac{\sigma^2}{n}\) (n-1) = \(\frac{n-1}{n}\) = \sigma^2 - \(\frac{\sigma^2}{n}\) E[S²] = \sigma^2 - \(\frac{\sigma^2}{n}\) E a variância de S², é: Var (S²) = (\mu_4-\mu_2^2) / n - 2(\mu_4-2\mu_2^2) / n² + (\mu_4-3\mu_2^2) / n³ Como \mu_2^2 = \sigma^2, para n grande, temos: Var[S²] = Var( \(\frac{\sigma^2}{n}\) \chi^2_{n-1} ) = \(\frac{\sigma^4}{n^2}\) Var[\chi^2_{n-1}] = \(\frac{\sigma^4}{n^2}\) 2(n-1) = \(\frac{2(n-1)\sigma^4}{n^2}\) Var[S²] = \(\frac{2(n-1)\sigma^4}{n^2}\) Análise Estatística I UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária Profª Fernanda S Costa 29 CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 30 UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária Distribuição Amostral da Média quando 2 é desconhecido CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição Amostral da Média quando 2 é desconhecido Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 31 UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária  desvio padrão da população X é uma parâmetro da população e, portanto uma constante S desvio padrão de uma amostra de X é uma estatística e, portanto uma v.a. CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição Amostral da Média quando 2 é desconhecido Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 32 UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária duas va. que conhecemos as distribuições CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição Amostral da Média quando 2 é desconhecido Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 33 UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição Amostral da Média quando 2 é desconhecido Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 34 UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição Amostral da Média quando 2 é desconhecido Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 35 UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição Amostral da Média quando 2 é desconhecido Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 36 UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição Amostral da Média quando 2 é desconhecido Análise Estatística I UERJ-IME-Deptº.V Profª Fernanda S Costa 37 CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição Amostral da Média quando 2 é desconhecido Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 38 UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição Amostral da Média quando 2 é desconhecido Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 39 UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 40 UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária Distribuição Amostral da Frequencia CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição Amostral da Frequencia Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 41 Seja uma população finita onde p é a probabilidade de sucesso de um certo evento e q = (1-p) a insucesso . Suponha disponível uma amostra aleatória composta de n elementos desta população. Se o evento sucesso tiver ocorrido z vezes. Então Z número de sucessos (frequência absoluta) é uma v.a. Binomial com: E[Z]=n.p Var[Z]=n.p.q onde Z~Bi(n,p) UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição Amostral da Frequencia Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 42 Logo, frequência relativa f dada por Z/n também será Binomial, porém: E[f] = E[Z/n] = (1/n).E[Z] = (1/n).n.p = p => E[f]=p Var[f] = Var [Z/n] = (1/n²) Var (Z) = (1/n²).n.p.q = p.q /n => Var[f]=p.q/n Se a amostra for suficientemente grande pode-se aproximar a Binomial por uma Normal de mesma média e mesma variância. Na prática uma amostra é considerada grande suficiente quando: n.p ≥ 15 e n.p.q ≥ 15 ou ainda para p próximo de 0,5 e se n > 30 Nestes casos: f ~ N [ p, p.q/n ] ou n pq f  p N(0,1) UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição Amostral da Frequencia Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 43 Se tivermos interessados na freqüência absoluta, Z, devemos lembrar que E[z] = np e Var[z] = npq e Z ~Bi(np, npq), porém para n suficientemente grande também podemos considerar Z aproximadamente N(np, npq). Quando não conhecemos o valor de p, que é o parâmetro populacional, podemos substituir p pela estatística f, pois veremos no capítulo 5 que f é um estimador não tendencioso e consistente de p (recomenda-se nestes casos utilizar n > 30). UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 44 UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária Distribuição Amostral da Mediana CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição Amostral da Mediana Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 45 Consideramos aqui que a população da v.a. X é normal e o tamanho da amostra n é maior que 30, o que nos conduzirá aos resultados que serão apresentados. Seja X uma v.a. normalmente distribuída, então a mediana amostral (Me) de X terá distribuição amostral Normal, com: UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 46 UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária Distribuição Amostral do Coeficiente de Variação CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição Amostral do Coeficiente de Variação Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 47 Seja X uma v.a. normalmente distribuída, então a o coeficiente de variação amostra de X terá distribuição amostral Normal, com: UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 48 UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária Distribuição Amostral da Soma ou Diferença entre: Médias Frequencias Relativas CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição Amostral da Soma (ou Diferença) Análise Estatística I UERJ-IME-Deptº.V Profª Fernanda S Costa 49 1. Entre duas Médias Amostrais Suponhamos que: Assim, dos resultados já vistos temos : Temos, então, que a distribuição amostral da diferença ou soma será também uma distribuição normal, com: UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição Amostral da Soma (ou Diferença) Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 50 1. Entre duas Médias Amostrais (cont.) Sendo Z : Então, Z~N(0,1) UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição Amostral da Soma (ou Diferença) Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 51 2. Entre duas Frequências Relativas Sejam f1 e f2 frequências relativas calculadas nas amostras de tamanho n1 e n2: válidos quando n>30. Então, a distribuição amostral da soma ou diferença fr f1 e f2 será aproximadamente Normal com : UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária CAPITULO III – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Distribuição Amostral da Soma (ou Diferença) Análise Estatística I Profª Fernanda S Costa 52 2. Entre duas Frequências Relativas (cont.) Z~N(0,1) Sendo: q1=1-p1 e q2=1-p2 UERJ-IME-Deptº.de Estatística e Atuária