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Lista 2 Resistência dos Materiais ZEB 0566 δ_B = \frac{PL}{AE} \Rightarrow \frac{(P_1 - P_2) \cdot 0.6}{4,9 \times 10^{-4} \cdot 200 \times 10^9} = -5 \times 10^{-4} δ_A = \frac{PL}{AE} \Rightarrow \frac{P_1 \cdot 1.12}{4,9 \times 10^{-4} \cdot 70 \times 10^9} + δ_B = 2 \times 10^{-3} P_1 \cdot 3,498 \times 10^{-8} + (-5 \times 10^{-4}) = 2 \times 10^{-3} P_1 = \frac{2.5 \times 10^{-3}}{3,498 \times 10^{-8}} = 0,71469 \times 10^5 P_1 = 71469 N P_D = \frac{(P_1 - P_2) \cdot 0.6}{4,9 \times 10^{-4} \cdot 200 \times 10^9} = -5 \times 10^{-4} \Rightarrow (P_1 - P_2) \cdot 0,6 = -49000 (71469 - P_2) \cdot 0,6 = -49.000 42881,4 - 0,6P_2 = -49000 P_2 = \frac{-49000 - 42881,4}{0,6} P_2 = 153135,6 N 153 kN a) Nesse problema era possível pensar de duas formas. Considerando as barras duplas como um conjunto \Sigma M_B = 0 \Sigma M_B = F_{total_{DC}} \cdot 0.75 = 75,0 \cdot 1 F_{total_{DC}} = +100 \text{ kN} (TRAÇÃO) Por consequência: \Sigma y = 0 \Sigma y = -75 + 100 + F_{total_{BA}} F_{total_{BA}} = -25 \text{ kN} (COMPRESSÃO) Considerando as barras duplas individualmente \Sigma M_B = 0 \Sigma M_B = (2 \cdot F_{DC}) \cdot 0.75 = 75,0 \cdot 1 F_{DC} = +50 \text{ kN} (TRAÇÃO) Por consequência: \Sigma y = 0 \Sigma y = -75 + (2 \cdot 50) + (2 \cdot F_{BA}) F_{BA} = -12,5 \text{ kN} (COMPRESSÃO) Como no enunciado não foi identificado qual das considerações era necessária (conjunto ou barra individual) ambas as respostas estão corretas. δ_D = \frac{F_{DC} \cdot Lx}{E_x \cdot (2 \cdot A_{DC})} δ_D = \frac{+100 \cdot 10^{3} \cdot 0,5}{200 \cdot 10^{9} \cdot (2 \cdot (50 \cdot 5 \cdot 10^{-6}))} δ_D = +500 \mu m (ALONGAMENTO) δ_B = \frac{F_{BA} \cdot Lx}{E_x \cdot (2 \cdot A_{BA})} δ_B = \frac{-25 \cdot 10^{3} \cdot 0,5}{200 \cdot 10^{9} \cdot (2 \cdot (50 \cdot 5 \cdot 10^{-6}))} δ_B = -125 \mu m (ENCURTAMENTO) c) C_{S_{DC}} = \frac{\sigma_{última}}{\sigma_{admissivel(DC)}} C_{S_{DC}} = \frac{300 \cdot 10^6}{100 \cdot 10^3}/(2 \cdot 50 \cdot 5 \cdot 10^{-6})) C_{S_{DC}} = 1,5 C_{S_{BA}} = \frac{\sigma_{última}}{\sigma_{admissivel(BA)}} C_{S_{BA}} = \frac{300 \cdot 10^6}{25 \cdot 10^3}/(2 \cdot 50 \cdot 5 \cdot 10^{-6})) C_{S_{BA}} = 6,0 2) Um conjunto é composto por uma haste CB de aço A-36 e uma haste BA de alumínio 6061-T6, cada uma com diâmetro de 25 mm. Determine as cargas aplicadas P1 e P2 se A se deslocar 2 mm para a direita e B se deslocar 0,5 mm para a esquerda quando as cargas forem aplicadas. Despreze o tamanho das conexões em B e C e considere que elas são rígidas. Utilize Eaço = 200 GPA e Eal = 70 GPA. 3) Um sistema articulado é composto por três elementos de aço A-36 conectados por pinos, cada um com área de seção transversal de 500 mm2. Se uma força vertical P = 250 kN for aplicada à extremidade B do elemento AB, determine o deslocamento vertical de B 5 T=10°C δT/F = δT - δF -> δT = δF α1·ΔT·L1 + α2·ΔT·L2 = F·L1 F·L2 A1·E1 A2·E2 12x10⁻⁶·10·0,7 + 21x10⁻⁶·10·0,3 = F·0,3 99x10⁻⁶ = F·7,5x10⁻⁹ F·6,66x10⁻⁹ + 2x10⁻⁴·200x10⁹ 99x10⁻⁶ = F 14,6x10⁻⁹ F = 6,99 KN ΔT = 20 - 10 ΔT = 10°C 2 dAC² = 1,5² + 2² dAC = 2,5 m tgθ = 1,5 2 θ = 36,9° A = 500 mm ² = 5 x 10⁻⁴ m² E = 200 x 10⁹ Pa ΣFAx = 0 -> FACx = FADx -> FAC = FAD ΣFAy = 0 -> FACcosθ + FADcosθ = P FAD = FAC -> muito importante 2 · FACcosθ = P 2 · cos36,9 FAC = 250000 FAC = 156311 N FAD = 156311 N δAC = δAD = PL AE = 156311 · 2,5 5 x 10⁻⁴ x 200 x 10⁹ 3,9 x 10⁻³ m 4) Duas barras de materiais diferentes são acopladas e instaladas entre duas paredes quando a temperatura é T1 = 10ºC. Determine a força exercida nos apoios rígidos quando a temperatura for T2 = 20ºC. As propriedades dos materiais e as áreas de seção transversal de cada barra são dadas na figura. γ = 180 - θ γ = 143,1° LAC' = LAC + δAC LAC' = 2,5 + 3,0 x 10⁻³ m LAC' = 2,5039 180 = α + β + γ β = 180 - α - γ α= 36,83° β = 0,07° 2,5 = h' sendo sen36,83 sen0,07° h' = 5,09 x 10⁻³ m LEI DOS SENOS δB = δA + δBA δB = 250.000 · 3 5x10⁻⁴ · 200 · 10⁹ + 5,09 x 10⁻³ = 7,5 x 10⁻³ + 5,09 x 10⁻³ δB = 12,59 x 10⁻³ m ou 12,59 mm 5) Os dois segmentos de haste circular, um de alumínio (aluminum) e o outro de cobre (copper), estão presos às paredes rígidas de modo tal que há uma folga de 0,2 mm entre eles quando T1 = 15°C. Cada haste tem diâmetro de 30 mm.. Determine a tensão normal média em cada haste se T2 = 150°C. C T1 = 15°C T2 = 150°C D = 0,03m αAL = 24 x 10⁻⁶/°C EAL = 70 x 10⁹ αcu = 17 x 10⁻⁶/°C Ecu = 126 x 10⁹ A = 7,06 x 10⁻⁴ m² δcu = δT + δF Alumínio δcu = α . ΔT . L - PL/AE δcu = αΔT . L + αAL ΔT . L - PL/AE 2x10⁻⁴= δcu + δAL 2x10⁻⁴ = 17x 10⁻⁶ . 133 . 0,1 - P . 0,1 = 24/10⁶ . 135 . 0,2 - P . 0,2/494x10⁵ 889,56x105 + 1,124x10⁻3(P) - 6,18x10⁻⁴-5,164x10⁹(P) ρ = 6,775 x 10⁻⁴/5,164x10⁹ P= 1,3119 x 10⁵ N σ = F/A σ = 131,190/7,06x10⁻4 σ = 185821529Pa σ = 185,82 MPa 6) A haste central CD do conjunto a baixo é aquecida de T1 = 30ºC até T2 = 180ºC por uma resistência elétrica. Na temperatura mais baixa, a folga entre C e a barra rígida é 0,7 mm. Determine a força nas hastes AB e EF provocadas pelo aumento na temperatura. As hastes AB e EF são feitas de aço e cada um tem área de seção transversal de 125 mm2. CD é feita de alumínio e tem área de seção transversal de 375 mm2. Utilize Eaço = 200 GPA, Eal = 70 GPA, αaço = 12 x 10-6 /°C e αAl = 23 x 10-6 /°C. ΔT = 150° E = 70 x 10⁹ Pa A = 3,75 x 10⁻⁴ m² α = 2,3 x 10⁻⁶/°C L = 0,24 m E = 200 x 10⁹ Pa A = 1,25 x 10⁻4 m² α = 12 x 10⁻⁶/°C L = 0,3 m δ1 = δCD -LF F/A ΣFy = 0 FAB + FEF = 0 ⇒ FAB = FEF = F1 ΔT x 10⁻¹/262,5x10⁵ 1,2x10⁻8 F1 + 8,28x10⁻4 + 1,83x10⁻8 F1 = -7 x 10⁻4 FAB + FEF = FCD FCD = 2F1 F1 = 1,28 x 10⁻4 F1 = 0,43 x 10⁴ FE = 4,2kN 7) Um tecido usado em estruturas infláveis está submetido a um carregamento biaxial que resulta em tensões normais σx = 120 MPa e σy = 160 MPa. Sabendo que as propriedades do tecido podem ser de aproximadamente E = 87 GPa e ν = 0,34, determine a variação no comprimento (a) do lado AB, (b) do lado BC, (c) da diagonal AC. ε_x = 120×10^6 Pa, σ_y = 0, σ_z = 160×10^6 Pa ε_x = \frac{1}{E} (σ_x - vσ_y - vσ_z) = \frac{1}{87×10^9} [ 120×10^6 - (0.34)(160×10^6) ] = 754.02×10^-6 ε_z = \frac{1}{E} [ - vσ_x - vσ_y + σ_z ] = \frac{1}{87×10^9} [ - (0.34)(120×10^6) + 160×10^6 ] = 1.3701×10^-3 (a) S_{AB} = (AB) ε_x = (100 mm)(754.02×10^-6) = 0.0754 mm (b) S_{BC} = (BC) ε_z = (.75 mm)(1.3701×10^-3) = 0.1028 mm (c) A a _____ |\ B c|.\ b |. \ |. \. |____\ C Label sides of right triangle ABC as a, b, and c. c^2 = a^2 + b^2 Obtain differentials by calculus. 2c \, dc = 2a \, da + 2b \, db dc = \frac{a}{c} \, da + \frac{b}{c} \, db But, a = 100 mm, b = 100 mm, c = \sqrt{100^2 + .75^2} = 125 mm da = S_{AB} = 0.0754 mm db = S_{BC} = 0.1370 mm S_{AC} = dc = \frac{100}{125} (0.0754) + \frac{75}{125} (0.1028) = 0.1220 mm Tris Academy Treinando Habilidades ∫\frac{x^2}{(1+x)} \, dx