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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE EDUCAÇÃO E SAÚDE FÍSICA MODERNA LISTA 01 DE EXERCÍCIOS – RELATIVIDADE ESPECIAL Aluno(a): Matrícula: PARTE 01 Fonte: Fundamentos da Física – Autores: Halliday, Resnick e Walker. 4ª ed. 1) Ache a velocidade de uma partícula que leva dois anos a mais do que a luz para percorrer a distância de 6,0 anos-luz. Resp.: 0,75c. 2) A vida média de múons freados num bloco de chumbo, fixo num laboratório, é 2,2 s. A vida média dos múons com grande velocidade, numa explosão de raios cósmicos, observada da Terra, é 16 s. Ache a velocidade destes múons dos raios cósmicos em relação à Terra. Resp.: 0,99c. 3) Os píons são criados na alta atmosfera da Terra, quando partículas de alta energia, de raios cósmicos, colidem com núcleos atômicos. Um píon assim formado desce em direção à Terra com a velocidade de 0,99 c. Num referencial onde estejam em repouso, os píons decaem com a vida média de 26 ns. Num referencial fixo da Terra, qual é a distância percorrida (em média) pelos píons na atmosfera, antes de decaírem? Resp.: 55 m. 4) Uma barra mantém-se paralela ao eixo x de um referencial S, movendo-se ao longo deste eixo com velocidade 0,630c. O seu comprimento de repouso é 1,70 m. Qual será seu comprimento medido em S? Resp.: 1,32 m. 5) Um elétron, com 𝛽 = 0,999 987, move-se ao longo do eixo de um tubo no qual se fez vácuo, e que tem o comprimento de 3,00 m medido por um observador S no laboratório, em relação ao qual o tubo está em repouso. Um observador S’, que se move com o elétron, veria o tubo passando por ele com uma velocidade escalar 𝑣 = 𝛽𝑐. Que comprimento este observador medirá para o tubo? Resp.: 1,53 cm. 6) Uma nave espacial, com um comprimento de repouso de 130 m, passa por uma estação de observação com a velocidade de 0,740c. a) Qual é o comprimento da nave medido pela estação? b) Qual é o intervalo de tempo registrado pelo monitor da estação entre a passagem da parte dianteira e a da parte traseira da nave? Resp.: a) 87,4 m. b) 394 ns. 7) Um avião, cujo o comprimento de repouso é de 40,0 m, está se movendo, em relação à Terra, com uma velocidade constante de 630 m/s. (a) Em que fração do seu comprimento de repouso parecerá encurtado para o observador na Terra? (b) Que tempo seria registrado pelos relógios da Terra, para um atraso de 1,00 s registrado nos relógios do avião? (Suponha que somente a relatividade restrita seja aplicável). Resp.: (a) 2,21 × 10-12 ; (b) 5,25 d. 8) A um certo evento, um observador 𝑆 atribui as seguintes coordenadas espaço-tempo 𝑥 = 100 km e 𝑡 = 200 s Quais são as coordenadas deste evento num referencial 𝑆′que se move, no sentido positivo do eixo x, com a velocidade de 0,950c? Suponha que 𝑥 = 𝑥′ para 𝑡 = 𝑡′ = 0. Resp.: 𝑥′ = 138 km e 𝑡′ = −374 s. 9) O referencial inercial S’ se move com a velocidade de 0,60 c em relação ao referencial S. Dois eventos são registrados. No referencial S, o evento 1 ocorre na origem em t = 0 e o evento 2 ocorre no eixo dos 𝑥 em 𝑥 = 3,0 km e 𝑡 = 4,0 s. Quais são os instantes de ocorrência registrados pelo observador S’ para estes mesmos eventos? Explique a diferença na ordem de tempo. Resp.: 𝑡1 = 0; 𝑡2 = −2,5 µs. 10) Um observador S vê um clarão de luz vermelha a 1.200 m da sua posição e um clarão de luz azul 720 m mais perto, sobre a mesma linha reta. Ele mede o intervalo de tempo entre os dois clarões e encontra 5,00 s, com o clarão vermelho ocorrendo primeiro. (a) Que velocidade relativa 𝑣 (módulo, direção e sentido) deve ter um segundo observador S’ para que possa registrar estes dois clarões como ocorrendo num mesmo local? (b) De acordo com S’, qual o clarão que ocorre primeiro? (c) Qual é o intervalo de tempo que S’ mediria entre eles? Resp.: (a) S’ se move para S, sobre o eixo comum, à velocidade de 0,480 c. (b) o clarão “vermelho”, como deslocamento Doppler. (c) 4,39 s. 11) Uma partícula se move ao longo de eixo 𝑥′de um referencial 𝑆′com a velocidade de 0,40 c. O referencial 𝑆′se move em relação ao referencial 𝑆 com velocidade de 0,60 c. Qual é a velocidade da partícula medida em 𝑆? Resp.: 0,81 c. 12) Pela medição do deslocamento para o vermelho, da luz emitida, conclui-se que um quasar Q1 se afasta de nós com a velocidade de 0,800 c. O quasar Q2, que está na mesma direção no espaço, porém mais próximo de nós, afasta-se com a velocidade de 0,400 c. Que velocidade seria medida para Q2 por um observador em Q1? Resp.: 0,588 c, recessão. 13) Para circular em torno da Terra, numa órbita baixa, um satélite deve ter uma velocidade de aproximadamente 27.353 km/h. Suponha que dois desses satélites orbitem a Terra em sentidos opostos. (a) Qual é a velocidade relativa, com que um passa pelo outro, de acordo com a equação de transformação de Galileu? (b) Que erro relativo foi cometido em (a) por não ter sido usada a equação (correta) de transformação relativística? Resp.: (a) 54.706 km/h. (b) 6,4 ×10-10. 14) Uma nave espacial, afastando-se da Terra com uma velocidade de 0,900 c, transmite sinais para a Terra numa frequência (medida no referencial da nave) de 100 MHz. Em que frequência os receptores na Terra devem ser sintonizados a fim de receber os sinais? Resp.: 22,9 MHz. 15) Calcule o deslocamento Doppler, 𝜆 − 𝜆0, se houver, para a linha D2 (589,00 nm) do sódio, emitida por uma fonte que se move em círculo com a velocidade escalar constante de 0,100c, que seria medido por um observador fixo no centro do círculo. Resp.: +2,97 nm. Fonte: Física Moderna – Autores: Paul A. Tipler e Ralph A. Llewellyn. 3ª ed. 16) Uma partícula está se movendo com velocidade 0,9c ao longo do eixo 𝑥´´ do referencial 𝑆´´, que está se movendo com velocidade 0,9c no sentido positivo do eixo 𝑥´ do referencial 𝑆´. O referencial 𝑆´está se movendo com velocidade 0,9c no sentido positivo do eixo 𝑥 do referencial 𝑆. (a) Determine a velocidade da partícula em relação ao referencial 𝑆´. (b) Determine a velocidade da partícula em relação ao referencial 𝑆. Resp.: (a) 0,995c; (b) 0,997c. 17) Uma espaçonave cujo comprimento próprio é 100 m passa por um observador em alta velocidade. O comprimento medido pelo observador é 85 m. Qual é a velocidade da espaçonave em relação ao observador? Resp.: 0,527c 18) Uma régua de um metro está em repouso no referencial 𝑆´, fazendo um ângulo de 30º com o eixo 𝑥´. Se 𝑆´está se movendo com 𝛽 = 0,8 em relação a 𝑆, qual o comprimento da régua em 𝑆 e que ângulo faz com o eixo dos 𝑥? Resp.: 0,721 m, 43,9º. 19) Uma galáxia distante está se afastando da Terra com uma velocidade de 1,85 × 107m/s. Calcule o desvio para o vermelho (𝜆′ − 𝜆0)/𝜆0 da galáxia. Resp.: 0,064 20) Uma amiga da sua idade viaja a uma velocidade de 0,999c para uma estrela situada a 15 anos-luz de distância. Ela passa 10 anos em um dos planetas da estrela e volta para casa a 0,999c. Quanto tempo sua amiga passou fora de casa (a) do seu ponto de vista ; (b) do ponto de vista dela? Resp.: (a) 40,03 anos; (b) 11,34 anos. PARTE 02 21) Um elétron se desloca-se a uma velocidade tal que poderia circunavegar a Terra, no equador, em 1,00 s. (a) Qual é a sua velocidade em termos da velocidade da luz? b) Qual é a sua energia cinética K? c) Qual é o erro percentual cometido se a energia cinética K for calculada pela fórmula clássica? Resp.: a) 0,134 c. b) 4,65 keV. c) 1,1 %. 22) Ache o parâmetro de velocidade 𝛽 e o fator de Lorentz 𝛾 de uma partícula cuja energia cinética seja 10,0 MeV, se a partícula for (a) um elétron, (b) um próton e (c) uma partícula alfa. Resp.: (a) 0,9988; 20,6. (b) 0,145; 1,01. (c) 0,073; 1,0027. 23) Admite-se que os quasares sejam os núcleos de galáxias ativas em estágios primitivos de formação. Um quasar típico irradia energia à taxa de 1041 W. A que taxa estará a massa de uma quasar sendo reduzida para fornecer esta energia? Expresse sua resposta em unidades de massa solar por ano, sabendo que uma unidade de massa solar é igual à massa do nosso Sol (1 ums = 2,0 ×1030 kg). Resp.: 18 ums/ano. 24) Qual é a velocidade de uma partícula (a) cuja energia cinética é igual ao dobro da sua energia de repouso e (b) cuja energia total é igual ao dobro da sua energia de repouso? Resp.: (a) 0,943 c. (b) 0,866 c. 25) Uma partícula de massa m tem um momento linear igual a mc. Quais são (a) o seu fator de Lorentz, (b) a sua velocidade e (c) a sua energia cinética? Resp.: (a) 1,41. (b) 0,707 c. (c) 0,414 mc2 26) (a) Se a energia cinética K e o momento linear p de uma partícula forem medidos, será possível determinarmos sua massa m e assim identificarmos a partícula. Mostre que (𝑝𝑐)2 − 𝐾2 𝑚 = 2𝐾𝑐2 (b) Mostre que esta expressão se reduz ao resultado esperado quando 𝑢⁄𝑐 → 0, onde u é a velocidade da partícula. (c) Ache a massa de uma partícula cuja energia cinética é de 55,0 MeV e cujo momento linear é de 121 MeV/c. Expresse este resultado em termos da massa do elétron. Resp.: (c) 207 𝑚𝑒; a partícula é um múon. 27) A vida média dos múons em repouso é 2,20 µs. Em medidas realizadas em laboratório, sobre o decaimento de múons altamente energéticos provenientes de um feixe que emerge de um acelerador de partículas, encontra-se para a vida-média 6,90 µs. (a) Qual é a velocidade destes múons no laboratório. (b) Qual é a energia cinética e (c) qual é o momento linear? A massa de um múon é 207 vezes a massa de um elétron. Resp.: (a) 0,948 c. (b) 226 MeV. (c) 314 MeV/c. Fonte: Física Moderna – Autores: Paul A. Tipler e Ralph A. Llewellyn. 3ª ed. 28) Qual a energia necessária para acelerar uma partícula de massa 𝑚 desde o repouso até uma velocidade igual a (a) 0,5c; (b) 0,9c; (c) 0,99c? Expresse as respostas como múltiplos da energia de repouso. Resp.: (a) 0,155 𝑚𝑐2; (b) 1,29 𝑚𝑐2; 6,09 𝑚𝑐2. 29) Um próton proveniente do espaço está se movendo tão depressa que é capaz de cobrir a distância da Terra à Lua em 1,5 s. (a) Qual a velocidade do próton, em unidades de c? (b) Qual é a energia cinética do próton? (c) Qual é a massa do próton no referencial da Terra? (d) Qual é o erro percentual cometido quando a energia cinética do próton é calculada usando-se a equação clássica? (A distância entre a Terra e a Lua é 3,8 × 105 km. Ignore a rotação da Terra.) Resp.: (a) 0,84c ; (b) 813 MeV; (c) 1,73 GeV/𝑐2; e (d) 59%. 30) A energia total de uma partícula é duas vezes maior que a energia de repouso. (a) Determine o valor de 𝑢/𝑐 para a partícula. (b) Mostre que o momento é dado por 𝑝 = 𝑚0𝑐√3. Resp.: (a) 0,866c. 31) Mostre que 𝐸𝑘 = ∫ 𝑢 𝑑(𝛾𝑚𝑢) = ∫ 𝑚 (1 − 𝑢2 𝑐2) −3 2 ⁄ 𝑢𝑑𝑢 𝑢 0 𝑢 0 É igual a 𝐸𝑘 = 𝑚𝑐2 ( 1 √1 − 𝑢2 𝑐2 ⁄ − 1)