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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS Disciplina: Probabilidade e Estatística Profº Luis Ernesto Bueno Salasar Nome: Amanda Cristina Vizicato RA: 727573 16/11/2021 Para resolução do exercício será utilizado o seguinte conjunto de dados, nota- se que as duas populações contêm 50 indivíduos, ou seja, 𝑛𝑠𝑒𝑡 = 50 𝑒 𝑛𝑣𝑖𝑟𝑔 = 50. Sepal.Width Species Sepal.Width Species 3.5 setosa 3.3 virginica 3 setosa 2.7 virginica 3.2 setosa 3 virginica 3.1 setosa 2.9 virginica 3.6 setosa 3 virginica 3.9 setosa 3 virginica 3.4 setosa 2.5 virginica 3.4 setosa 2.9 virginica 2.9 setosa 2.5 virginica 3.1 setosa 3.6 virginica 3.7 setosa 3.2 virginica 3.4 setosa 2.7 virginica 3 setosa 3 virginica 3 setosa 2.5 virginica 4 setosa 2.8 virginica 4.4 setosa 3.2 virginica 3.9 setosa 3 virginica 3.5 setosa 3.8 virginica 3.8 setosa 2.6 virginica 3.8 setosa 2.2 virginica 3.4 setosa 3.2 virginica 3.7 setosa 2.8 virginica 3.6 setosa 2.8 virginica 3.3 setosa 2.7 virginica 3.4 setosa 3.3 virginica 3 setosa 3.2 virginica UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS Disciplina: Probabilidade e Estatística Profº Luis Ernesto Bueno Salasar 3.4 setosa 2.8 virginica 3.5 setosa 3 virginica 3.4 setosa 2.8 virginica 3.2 setosa 3 virginica 3.1 setosa 2.8 virginica 3.4 setosa 3.8 virginica 4.1 setosa 2.8 virginica 4.2 setosa 2.8 virginica 3.1 setosa 2.6 virginica 3.2 setosa 3 virginica 3.5 setosa 3.4 virginica 3.6 setosa 3.1 virginica 3 setosa 3 virginica 3.4 setosa 3.1 virginica 3.5 setosa 3.1 virginica 2.3 setosa 3.1 virginica 3.2 setosa 2.7 virginica 3.5 setosa 3.2 virginica 3.8 setosa 3.3 virginica 3 setosa 3 virginica 3.8 setosa 2.5 virginica 3.2 setosa 3 virginica 3.7 setosa 3.4 virginica 3.3 setosa 3 virginica A) Analisando primeiramente o conjunto das setosas, a média do conjunto e seu desvio padrão, se dá a partir das seguintes fórmulas: 𝑥𝑠𝑒𝑡 ̅̅̅̅̅ = ∑ 𝑥1 50 𝑖=1 𝑛𝑠𝑒𝑡 = 3,428 𝑠𝑠𝑒𝑡 = √ 1 𝑛 − 1 ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅)2 𝑛 𝑖=1 = √ 1 50 − 1 ∑(𝑥𝑖 − 3,428)2 50 𝑖=1 = 0,379064 Analisando o conjunto das virginicas, a média do conjunto e seu desvio padrão, se dá a partir das seguintes fórmulas: 𝑥𝑣𝑖𝑟𝑔 ̅̅̅̅̅̅̅ = ∑ 𝑥1 50 𝑖=1 𝑛𝑣𝑖𝑟𝑔 = 2,974 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS Disciplina: Probabilidade e Estatística Profº Luis Ernesto Bueno Salasar 𝑠𝑣𝑖𝑟𝑔 = √ 1 𝑛 − 1 ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅)2 𝑛 𝑖=1 = √ 1 50 − 1 ∑(𝑥𝑖 − 2,974)2 50 𝑖=1 = 0,322497 𝛼 = 0,01 { 𝐻0 = µ𝑠𝑒𝑡 − µ𝑣𝑖𝑟𝑔 = 0 𝐻1 = µ𝑠𝑒𝑡 − µ𝑣𝑖𝑟𝑔 ≠ 0 Como o enunciado diz para supor que a variância dos dois casos é igual, então o problema encaixa-se no método de resolução do caso normal, e vamos trabalhar sob a afirmação de que a hipótese 𝐻0 seja a verdadeira: 𝑧𝑂𝐵𝑆 = (𝑥𝑠𝑒𝑡 ̅̅̅̅̅ − 𝑥𝑣𝑖𝑟𝑔 ̅̅̅̅̅̅̅) − (µ𝑠𝑒𝑡 − µ𝑣𝑖𝑟𝑔) √𝜎𝑠𝑒𝑡 2 𝑛𝑠𝑒𝑡 + 𝜎𝑣𝑖𝑟𝑔 2 𝑛𝑣𝑖𝑟𝑔 𝑧𝑂𝐵𝑆 = (3,428 − 2,974) − 0 √0,3790642 50 + 0,3224972 50 𝑧𝑂𝐵𝑆 = 6,450349 Pela tabela temos que o z_crítico=3,27, então temos que: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS Disciplina: Probabilidade e Estatística Profº Luis Ernesto Bueno Salasar Ao nível de 1% de significância, há evidencias de que as médias desta variável são distintas para as espécies setosas e virgínicas, ou seja, rejeita-se a 𝐻0, consequentemente aceita-se 𝐻1. B) Nessa alternativa será analisado o seguinte conjunto de dados, um total de 50 indivíduos por conjunto (𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝 = 𝑛𝑙𝑎𝑟𝑔 = 50), é importante que ressaltar que para essa alternativa se trata de duas amostras dependentes, ou seja, duas amostras pareadas. 𝛼 = 0,04 { 𝐻0 = µ𝑙𝑎𝑟𝑔 − µ𝑐𝑜𝑚𝑝 = 0 𝐻1 = µ𝑙𝑎𝑟𝑔 − µ𝑐𝑜𝑚𝑝 ≠ 0 Species Sep_Largura Sep_Comp d (larg - comp) d^2 setosa 5.1 3.5 1.6 2.56 setosa 4.9 3 1.9 3.61 setosa 4.7 3.2 1.5 2.25 setosa 4.6 3.1 1.5 2.25 setosa 5 3.6 1.4 1.96 setosa 5.4 3.9 1.5 2.25 setosa 4.6 3.4 1.2 1.44 setosa 5 3.4 1.6 2.56 setosa 4.4 2.9 1.5 2.25 setosa 4.9 3.1 1.8 3.24 setosa 5.4 3.7 1.7 2.89 setosa 4.8 3.4 1.4 1.96 setosa 4.8 3 1.8 3.24 setosa 4.3 3 1.3 1.69 setosa 5.8 4 1.8 3.24 setosa 5.7 4.4 1.3 1.69 setosa 5.4 3.9 1.5 2.25 setosa 5.1 3.5 1.6 2.56 setosa 5.7 3.8 1.9 3.61 setosa 5.1 3.8 1.3 1.69 setosa 5.4 3.4 2 4 setosa 5.1 3.7 1.4 1.96 setosa 4.6 3.6 1 1 setosa 5.1 3.3 1.8 3.24 setosa 4.8 3.4 1.4 1.96 setosa 5 3 2 4 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS Disciplina: Probabilidade e Estatística Profº Luis Ernesto Bueno Salasar setosa 5 3.4 1.6 2.56 setosa 5.2 3.5 1.7 2.89 setosa 5.2 3.4 1.8 3.24 setosa 4.7 3.2 1.5 2.25 setosa 4.8 3.1 1.7 2.89 setosa 5.4 3.4 2 4 setosa 5.2 4.1 1.1 1.21 setosa 5.5 4.2 1.3 1.69 setosa 4.9 3.1 1.8 3.24 setosa 5 3.2 1.8 3.24 setosa 5.5 3.5 2 4 setosa 4.9 3.6 1.3 1.69 setosa 4.4 3 1.4 1.96 setosa 5.1 3.4 1.7 2.89 setosa 5 3.5 1.5 2.25 setosa 4.5 2.3 2.2 4.84 setosa 4.4 3.2 1.2 1.44 setosa 5 3.5 1.5 2.25 setosa 5.1 3.8 1.3 1.69 setosa 4.8 3 1.8 3.24 setosa 5.1 3.8 1.3 1.69 setosa 4.6 3.2 1.4 1.96 setosa 5.3 3.7 1.6 2.56 setosa 5 3.3 1.7 2.89 SOMA 78.90 127,91 Com os dados da tabela anterior de d e d^2, e tendo que esse conjunto apresenta 49 graus de liberdade, adotando que a primeira hipótese é verdadeira, calcula-se: 𝑑̅ = ∑ 𝑑𝑖 𝑛 = 78,9 50 = 1,578 𝑠𝑑 = √∑ 𝑑𝑖 2 − [(∑ 𝑑𝑖)2 𝑛 ] 𝑛 − 1 = √127,91 − [78,902 50 ] 50 − 1 = 0,263640 𝑡𝑂𝐵𝑆 = 𝑑̅ − (µ𝑙𝑎𝑟𝑔 − µ𝑐𝑜𝑚𝑝) 𝑠𝑑 √𝑛 = 1,578 − 0 0,263640 √50 = 42,323392 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS Disciplina: Probabilidade e Estatística Profº Luis Ernesto Bueno Salasar Pela Tabela T-Student para um grau de liberdade de 49 e a confiança de 4%, temos t = 2,109. Portanto, concluímos que como o 𝑡𝑂𝐵𝑆 está dentro da região crítica, devemos rejeitar a primeira hipótese, podendo afirmar então que existe diferença entre as médias da largura e do comprimento da sépala.