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Universidade Federal de Ouro Preto — UFOP Escola de Minas — EM Departamento de Engenharia de Controle e Automação — DECAT Disciplina: CAT183 – Teoria de Controle II Professor: João Carlos Vilela de Castro email: joaocarlosvilela@gmail.com/jcvilela@em.ufop.br Lista de Exercícios #2 1. Obter a transformada z de (a) x(t) = \frac{1}{a}(1 - e^{-at}), sendo a uma constante; (b) t^2 e^{-at}; (c) x(k) = \sum_{m=0}^{k} a^m, sendo a uma constante; 2. Obter a transformada inversa de \( X(z) = \frac{5z^4 + 4z^3 + 3z^2 + 2z + 1}{z^4} \) Pelo método da divisão direta ou da equação de diferença. 3. Obter a transformada inversa de \frac{z}{(z-1)(z-0,5)} utilizando: (a) o método da expansão em frações parciais. (b) o método da integral de inversão. 4. Obter a transformada inversa de \( \frac{z^{-3}}{(1-z^{-1})(1-0.2z^{-1})} \) em uma forma fechada. 5. Calcular a transformada z inversa de \( G(z) = \frac{z}{(z-0.5)(z-1)^2} \) usando expansão em frações parciais. 6. Obter a transformada inversa de \( X(z) = \frac{z^{-1}(1-z^{-2})}{(1+z^{-2})^2} \) usando o método da divisão direta com k = 0,1,...,4. 7. Achar a solução para a seguinte equação de diferença: \( x(k+2) - 1.3x(k+1) + 0.4x(k) = u(k) \) onde x(0) = x(1) = 0 e x(k) = 0 para k < 0. Para a função de entrada u(k), considerar a função impulso unitário \( u(k) = \begin{cases} 1, & k = 0, \\ 0, & k \neq 0. \end{cases} \) Resolver o problema (a) analiticamente (b) e pelo método da eq. de diferença para k = 0,...,4. 8. Resolver a equação de diferença do item anterior, só que agora para uma entrada em degrau unitário, \( u(k) = \begin{cases} 1, & k = 0,1,... \\ 0, & k < 0 \end{cases} \) das seguintes maneiras: (a) analiticamente (solução fechada); (b) utilizando computador (Matlab ou Octave, por exemplo) para k = 0,1,...,100; (c) mostrar o gráfico da resposta temporal. Universidade Federal de Ouro Preto – UFOP — Escola de Minas – EM Departamento de Engenharia de Controle e Automa¸c˜ao – DECAT Disciplina: CAT183 – Teoria de Controle II Respostas da Lista de Exercícios #2 1 Respostas 1. ... 2. x(0) = 5 x(1) = 4 x(2) = 3 x(3) = 2 x(4) = 1 x(k) = 0 k ≥ 5 3. x(kT) = 2 − 2(0, 5)k, para k = 1, 2, 3, . . . 4. g(k) = 2k + 4 (0, 5)k − 4 5. ... 6. Método da divisão direta: x(0) = 0, x(1) = 1, x(2) = 0, x(3) = −3, x(4) = 0, 7. (a) Solução analítica (frações parciais): x(0) = 0 e x(k) = 3.33(0.8)k−1 − 3.33(0.5)k−1, para k = 1, 2, 3, . . . (b) ... 8. ... 2 ∫ \frac{x^2}{(1 + x)} dx
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