TESTEFEDERAL 1697547493470 lista polinomios pdf

LISTA DE EXERC´ICIOS DE ´ALGEBRA I An´eis de Polinˆomios Prof. Laerte Bemm 1. Use Teorema do Resto para determinar o resto da divis˜ao de f por x − u em A[x], onde (a) f = 2x3 + 3x2 + 4, u = 5 e A = Z11. (b) f = x3 + 3x + 2, u = √ 2 + 1 e A = R. 2. Encontre o quociente e o resto da divis˜ao de f por g em A[x] onde: (a) f = 2x5 + 4x2 − 2, g = 3x3 + 4 e A = Q. (b) f = 2x3 + 3x2 + 4, g = 3x2 + 1 e A = Z5. (c) f = 3x5 + 3x + 2, g = x2 + 1 e A = Z. 3. Seja K um corpo. Mostre que os ´unicos polinˆomios invert´ıveis em K[x] s˜ao os polinˆomios constantes n˜ao nulos. 4. Sejam D um dom´ınio de integridade e f ∈ D[x]. Mostre que f ´e invert´ıvel em D[x] se, e somente se, f = a0 para algum a0 ∈ U(D), onde U(D) = {a ∈ D | a ´e invert´ıvel em D}. 5. Determine todos os polinˆomios invert´ıveis em Z7[x]. 6. Determine todos os polinˆomios invert´ıveis em Z[x]. 7. Verifique que o polinˆomio x2 − 1 possui quatro ra´ızes em Z15. 8. i) Seja f = anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0 ∈ ZZ[x], com an, a0 ̸= 0 . Se p e q s˜ao inteiros com q ̸= 0 e mdc(p, q) = 1 e, ainda p q ´e uma raiz de f, mostre que q | an e p | a0. ii) Utilizando o item (i), encontre todas as ra´ızes em IQ dos seguintes polinˆomios: (a) f = x4 + 2x + 4 h = x3 + x2 − 4x − 4 (b) g = 2x3 − 3x + 3 h = x4 + x3 − 4x − 3 9. Seja I o ideal ⟨x2 + 1⟩ = {h(x2 + 1) | h ∈ R[x]}. Mostre que (a) Se f ∈ R[x], ent˜ao f + I = r + I, onde r ´e o resto da divis˜ao de f por x2 + 1 em R[x]. (b) R[x] ⟨x2+1⟩ = {a + bx + I : a, b ∈ R}. 1 (c)a+ba+I=c+dxr+TI se, e somente se, a=ceb=d. (d) ac + (ad + bc)x + bdx? + I = (ac — bd) + (ad + be)x + I, para todos a,b € R. (e) A aplicacgao ¢: C > mk. definida por ¢(a + bi) =a+bx+ I, é um isomorfismo de anéis. (f) Dado f = 5x* + 3x3 + 2, determine a,b € R tais que f +I =at+br+ I. 10. Seja K um corpo. Mostre que se f € K[z], f 4 0, entao mdc(f,0) = a'f, onde a é 0 coeficiente dominante de f. 11. Encontre mdc(f,g) em K[z], onde (a) f=22°+40?-2, g=a°+4 e K=Q. (b) f = 22° +32?+4, g=32?+1 e K=Zs. (c) f=3a°+3r+2, g=2?+1 e K=R. (d) f=a*-1, g=a2t+a?t+erH+l, K=Q. 12. Sejam K um corpo e f um polindmio sobre K tal que gr(f) = 2 ou 3. Prove que f é irredutivel sobre K se, e somente se, f nao tem raiz em K. E se gr(f) = 4? 13. Encontre todos os polindmios de grau 2 irredutiveis em Z[z]. 14. Considere 0 polindmio p = x? +2 +1 € Zs5|z]. Mostre que: (a) p é irredutivel sobre Zs (b) au = {agr* + a,x +ag+(p) | a2,a1,a0 € Zs}. Mais ainda, se agx” + a,x +a + (p) = boar” + bya + bo + (p) entao a; = b;, Vi = 0,1, 2. (c) au é um corpo contendo exatamente 125 elementos. (d) Encontre a,b,c € Zs tais que 32° + Ix? + 4+ (p) = ax? + br +c + (p). 15. Construa um corpo finito contendo exatamente 27 elementos. 16. Construa um corpo finito contendo exatamente 25 elementos. 17. Construa um corpo finito contendo exatamente 8 elementos. 2 18. Sejam K um corpo e p, f1, f2, . . . , fn polinˆomios sobre K. Mostre que se p ´e irredut´ıvel sobre K e p|f1f2 . . . fn, ent˜ao p|fi, para algum i ∈ {1, 2, . . . , n}. 19. Seja f ∈ R[x]. Mostre que (a) Se u = a + bi ∈ C ´e raiz de f, ent˜ao u = a − bi ´e tamb´em raiz de f. (b) Se u = a+bi ∈ C, com b ̸= 0, ´e uma raiz de f, ent˜ao (x−u)(x−u) = (x−a)2+b2 ∈ R[x] e f = ((x − a)2 + b2)q para algum q ∈ R[x], onde u = a − bi. (c) Se gr(f) ≥ 3, ent˜ao f ´e redut´ıvel sobre R. (d) f = ax2 + bx + c, com a ̸= 0, ´e irredut´ıvel sobre R se, e somente se, b2 − 4ac < 0. 20. Sejam K um corpo e f, g polinˆomios n˜ao constantes em K[x]. Mostre que (a) Se f ´e irredut´ıvel sobre K, e˜nt˜ao kf ´e irredut´ıvel sobre K, para todo k ∈ K, k ̸= 0. (b) Se k ∈ K, k ̸= 0 e kf ´e irredut´ıvel sobre K, ent˜ao f ´e irredut´ıvel sobre K. (c) Se f, g s˜ao mˆonicos, g ´e irredut´ıvel sobre K e f|g, ent˜ao f = g. 21. Verifique se os seguintes polinˆomios s˜ao irredut´ıveis sobre Q. (a) x7 + 2x4 + 6x + 10 (e) 3x4 + 15x + 1 (b) x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 (f) 2 5x1000 + 6 5x146 − 12 5 x7 + 6 (c) x3 − x + 1 (g) x3 + 6x2 + 5x + 25 (d) x3 − 2x2 + x + 15 (h) x4 + 10x3 + 20x2 + 30x + 22 3