NONOTESTEINDEXAÇÃO pdf

Revisão dos assuntos da Prova 3. Assuntos: Autovalores e autovetores de uma matriz, diagonalização de uma matriz (os assuntos considerados embaixo). Outros assuntos da Prova 3: Base de espaço-solução de um SEL homogêneo, critério de matriz inversa; transformações lineares - definição, núcleo, imagem, matriz nas bases canônicas. 3). Encontrar autovalores e autovetores para matriz A A = [ 1 -2 -2 0 3 0 -2 -1 4 ]. Resolução: O polinômio característico da A é Xₐ(t) = | A - tI₃ | = | 1-t -2 -2 | | 0 3-t 0 | = -(3-t)(-t)(-1) - (t⁺ᵉ² | 1-t -2 | | -2 -1 4-t | = | -2 4-t | = -(3+t)((1-t)(4-t) - 4) = -(3+t)(t² - 5t) = -t(3+t)(t-5), Xₚ(t) = -t(t+3)(t-5) = 0 <=> t₁ = 0, t₂ = -3, t₃ = 5 (<=> t ≠ 0, ou t ≠ 3, ou t ≠ 5)  são autovalores da A. Vamos encontrar autovetores para cada autovalor. t₁=0: (A - 0I) = A = | 1 -2 -2 | | 1 -2 -2 | | 0 3 0 | => | 0 3 0 | | -2 -1 4 | | 0 0 0 | x₃ é livre; x₂ = 0,  x₁ = 2x₂ + 2x₃ = 2x₃ Uma base do espaço-solução do SEL hom. = { ( 2, 0, 1 ) = q₁ }. Uma base do autovetores para autovalor 0 t₂ = -3; (A-(-3)I) = (A+3I) = | 4 -2 -2 | | 2 0 1 | | 0 0 0 | => | 0 1 0 | | -2 1 7 | | 0 0 0 | x₃ é livre (vamos ter só 1 vetor); x₂ = 3x₃,  x₁ = 2x₃; 2x₃ = -x₂ + 7x₃ = 9x₃; Uma base do espaço-solução do SEL hom. Uma base do autovetores espaço para autovalor -3 = { ( 2, 3, 1 ) = q₂ } t₃ = 5; (A - 5I) = | -4 -2 -2 | | 2 0 1 | | 0 -8 0 | => | 0 1 0 | | -2 -1 -1 | | 0 0 0 | x₃ é livre (vamos obter só 1 vetor); x₂ = 0,  x₁ = -1/2 x₃. Uma base do espaço-solução do SEL hom. = { ( -1/2 0 1 ) = q₃ }. Resposta: Autovetores para autovalor 0 são c₁•q₁ = c₁• (2,0,1) ∀ c₁∈ℝ, c₁≠0; autovetores para autovalor -3 são c₂•q₂ = c₂• (2,3,1), ∀c₂∈ℝ, c₂≠0; autovetores para autovalor 5 são c₃•q₃ = c₃•(-1/2,0,1), ∀c₃∈ℝ, c₃≠0. (Observação: Apresentando autovetores é importante mencionar autovalores deles ). 5). Para matriz A dada no questão 3) verificar se A é diagonalizável. Encontrar, se for possível, uma forma diagonalizada H da A e uma matriz P tais que P⁻¹AP=H. Resolução: Pela resposta dos questão 3), obtemos para A 3 autovetores l.i.; q₁, q₂, q₃ (a união dos bases de autovetores). Número de autovetores L.I. da A é 3 = dim V = = tamanho da matriz A. Logo, A é diagonalizável. (P é formado por autovetores L.I., colocados por colunas e H é formado por respectivos autovalores dos colunas da P, colocados no correspondente lugar no diagonal). = P = [ 2 -1/2 0 3 0 1 1 1 ],   q₁ q₂ q₃ H = [ 0 0 0 0 -3 0 0 0 5 ] ( Atenção: A ordem de autovalores no diagonal da H deve corresponder a ordem de autovetores na matriz P: 0 é autovalor do q₁ (1-a coluna da P); -3 é autovalor do q₂ (2-a coluna da P); 5 é autovalor do q₃ (3-a coluna da P)). 4). Verificar, se a matriz F é diagonalizável. Encontrar se for possível uma liquidada D de F e uma matriz G, tais que G⁻¹FG=D