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E-Book - Apostila Tema 09 - Matriz de mudança de Base em \( \mathbb{R}^n \) E-Book - Apostila Esse arquivo é uma versão estática. Para melhor experiência, acesse esse conteúdo pela mídia interativa. E-Book - Apostila OBJETIVO • Definir bases de um subespaço. Palavras-chave: Vetor; identidade; transformação; linear; inversa Mudança de Base EM \( \mathbb{R}^n \) Um espaço vetorial pode estar contido em outro espaço vetorial, onde, por definição, um subconjunto \( W \) de um espaço vetorial \( Z \) é denominado subespaço de \( V \) se \( Z \) for um espaço vetorial por si só com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em \( Z \). Neste espaço vetorial \( Z \), temos uma base \( S \) de dimensão finita e \((v)S\), um vetor de coordenadas de \( v \) em relação a \( S \), ou seja, podemos dizer que é a aplicação de coordenadas de \( v \) em \( \mathbb{R}^n \). \[ S = v1, v2, . . . , vn \quad (v)S = (c1, c2, . . . , cn)v \rightarrow (v)S \] Há várias aplicações em que é necessário trabalhar com mais de um sistema de coordenadas, uma vez que uma base pode ser conveniente para um problema e não ser para outro. A mudança de base é uma relação da mudança de eixos coordenados em \( \mathbb{R}^2 \) e \( \mathbb{R}^3 \). Por isso é imprescindível sabermos relacionar as coordenadas de um vetor em relação a cada sistema utilizado no problema. Dentro deste contexto, há a transformação linear denominada Transformação identidade \( [Id] \), onde: \[ T:V→V,\quad \text{tal que } T(V)=V \] ou seja, o resultado da transformação linear é o próprio elemento que entrou. Por exemplo, \[ Id(1,2) = (1,2) \] \[ Id(x2+4x) = (x2+4x) \] É possível ver que o domínio é igual ao contradomínio. Matriz de transformação linear Seja \( T:U→V \). Esta transformação linear é representada por: \[ [T(u)]_\beta = [T]^\beta_\alpha \cdot [u]_\alpha \] 2 - 11 E-Book - Apostila A transformação representada por \( [T]^\beta_\alpha \), simboliza a matriz que levará os elementos do domínio escrito na base \( \alpha \) para os elementos do contradomínio escritos na base \( \beta \). Se utilizarmos a transformação linear identidade, temos: \[ [Id(u)]_\beta = [Id]^\beta_\alpha \cdot [u]_\alpha \] Temos a matriz de transformação linear multiplicando um elemento do domínio escrito na base \( \alpha \), resultando na transformação do elemento para a representação na base \( \beta \). Se \([Id(u)]_\beta\) é uma transformação identidade, então por definição, a transformação \( u \) é o próprio \( u \). \[ [Id(u)]_\beta = [Id]^\beta_\alpha \cdot [u]_\alpha \rightarrow [u]_\beta = [Id]^\beta_\alpha \cdot [u]_\alpha \] O que diferencia o elemento \( u \) são as bases com as quais estão representados, neste caso com a base \( \beta \) e o outro com a base \( \alpha \). E a matriz identidade, \( [Id]^\beta_\alpha \), é denominada de matriz de mudança de base, é utilizada para a conversão do vetor para diferentes bases, resultando em diferentes perspectivas na representação do mesmo vetor. Ocorre com o vetor o mesmo que está demonstrado na figura: “Diferentes percepções”, dependendo da base o vetor é representado de uma maneira diferente, como ocorre com o desenho: na percepção do boneco da esquerda ele vê número 6 e o boneco da direita o número 9. Figura 1 - Diferentes percepções 3 - 11 E-Book - Apostila Fonte: Shutterstock ID: 251668492 Ou seja, para encontrar o vetor u na base β, multiplica a matriz de mudança de base de α para β pelo vetor u escrito na base α. Sendo assim temos o seguinte teorema: Seja u um espaço vetorial e α e β duas bases de mesmo espaço vetorial u. Seja Id:U→U a transformação identidade Temos que [Id]βα é a matriz de mudança de base de α para β, ou, [Id]αβ é a matriz de mudança de base de β para α. [u]β = [Id]βα . [u]α [u]α = [Id]αβ . [u]β Encontrar matriz de mudança de base Para encontrarmos a matriz de mudança de base, vamos utilizar o exemplo a seguir: 4 - 11 E-Book - Apostila Exemplo 1 – Seja Id: R2→ R2 e as bases α={(0,-1),(1,0)} e β={(3,1),(2,0)}. Encontre a matriz de mudança de base de α para β. O primeiro passo para resolver este problema é escrever os elementos da base α para a base β. Para isso vamos encontrar as coordenadas de todos os elementos da base α de acordo com os elementos da base β. Começando pelo primeiro elemento da base α (0,-1), temos: [(0,-1)]β = (a,b) (0,-1) = a.(3,1) + b.(2,0) (0,-1) = (3.a,a) + (2.b,0) (0,-1) = (3.a + 2.b, a) 3.a + 2.b = 0 ➔ 3.(-1) + 2.b = 0 ➔ 2.b = 3 ➔ b = 3/2 a = -1 Portanto, [(0,-1)]β = (-1, 3/2), ou seja, o vetor (0,-1) representado na base α é representado pelo vetor (-1, 3/2) na base β. Vamos encontrar as coordenadas do segundo elemento da base α, o vetor (1,0) de acordo com os elementos da base β, temos: [(1,0)]β = (a,b) (1,0) = a.(3,1) + b.(2,0) (1,0) = (3.a + 2.b, a) 3.a + 2.b = 1 ➔ 3.(0) + 2.b = 1 ➔ 2.b = 1 ➔ b = 1/2 a = 0 Portanto, [(1,0)]β = (0, 1/2), ou seja, o vetor (1,0) representado na base α é representado pelo vetor (0, 1/2) na base β. Agora vamos escrever a matriz de mudança da base α para a base β. [Id]βα = [(0,-1)β , (1,0)β] [Id]βα = [-1 0] [3/2 1/2] Exemplo 2 – Seja Id: R2→ R2 e as bases α={(0,-1),(1,0)} e β={(3,1),(2,0)}. Encontre a matriz de mudança de base de β para α. Podemos calcular a matriz de mudança de base da mesma forma que calculamos no exemplo 1, porém como temos a matriz de mudança de base [Id]βα de um espaço vetorial R2, então [Id]αβ é inversível e a matriz de mudança de base de β para α, poderá ser encontrada através do cálculo da matriz inversa de [Id]βα. lj xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> [ 1 d ] α β = ( [ 1 d ] β α ) - 1 Há vários métodos de calcular a matriz inversa, vamos utilizar o método de escalonamento. Primeiramente vamos montar a matriz [Id]βα com a matriz identidade 2x2. ([Id]βα) -1 = [Id]αβ [ I ] 5 - 11 E-Book - Apostila [-1 0]^-1 = [-1 0] 1 0 [3/2 1/2] 1 [3/2 1/2] 0 1 Agora vamos escalonar até que a matriz da esquerda se torne a matriz identidade e a matriz do lado direito se torne a matriz inversa. 1º escalonamento: Linha 02 – 3/2 tem que ser igual a 0. L2 ➔ L2 + 3/2.L1 | -1 0 | 1 0 | | 3/2 ➔ 3/2.(-1) 1/2 ➔ 3/2.(0) 0 ➔ 3/2.(1) 1 ➔ 3/2.(0) | | = | |-1 0 | |0 1 | |0 1/2 | | | | |1 0 | 0 1 3/2 2º escalonamento: -1 e 1/2 tem que ser igual a 1. L1 ➔ L1 L2 ➔ 2.L2 Portanto, [Id]αβ = [-1 0] [3/2 1/2] Relação da Matriz de Mudança de Base e Vetores Vamos analisar a percepção de determinado vetor através da mudança de bases, para isto vamos calcular o próximo exemplo. Exemplo 3 – Seja a base α= {(1,3),(1,-2)} e a base β={(3,5),(1,2)} e o vetor Vα=(3,2), encontre Vβ. Temos as seguintes relações para relacionar percepções de um vetor com a matriz de mudança de base: [V]β = Mαβ . [V]α Mαβ = [β]^-1 [α] | α | [1 1 3] | = | | | 3 0 2| [β] = 3.|1 | | | 6 - 11 E-Book - Apostila Primeiro vamos calcular a matriz inversa de [β]. No exemplo 2, utilizamos o método de escalonamento, neste exemplo vamos utilizar algumas regras para encontrar a matriz inversa: Encontrar o det(β) Figura 2 - Cálculo do determinando do vetor Fonte: Shutterstock ID: 1742359640 [β] = [3 1 5 2] → det(β) = (3⋅2) - (1⋅5) → det(β) = 1 Inverter a diagonal principal [3 1 5 2] → [2 1 5 3] Trocar o sinal da diagonal secundária 7 - 11 E-Book - Apostila [2 1 5 3] → [2 -1 -5 3] Multiplicar por 1/det(β) [2 -1 -5 3] 1 1 1 1 [β]^-1 = [2 -1 -5 3] Vamos calcular [M]^α_β: [M]^α_β = [β]^-1⋅[α]→[M]^α_β[2 -1 1 1 -5 3 3 -2] [M]^α_β = [(2⋅1) + [3⋅(-1)] (2⋅1) + [(-2)⋅(-1)]] [(-5⋅1) + (3⋅3) (-5⋅1) + [3⋅(-2)]] [M]^α_β = [-1 4 4 -11] Vamos calcular Vβ: [Vβ] = [M]^α_β⋅[Vα]→[V]β=[-1 4 4 -11] [3 2] [Vβ] = [-3 + 8 12 - 22] Exemplo 04 – Considere a matriz de mudança da base M de α para β, de um espaço vetorial R3, e um elemento v ∈ R3 possui matriz de coordenada com relação à base α. Determine a matriz de coordenada de v com relação à base β. [M]^α_β = [1 1 1 1 0 0 1 1 -1] [v]α=[0 3 -1] [V]β = Mα_β ⋅ [V]α nn [V]β=[1 1 1 1 0 0 1 1 -1] [0 3 -1] [V]β = [2 0 4] A matriz de coordenada de v com relação à base β é [V]β = [2 0 4] Relação da Matriz de Mudança de Base, Vetores e Polinômios 8 - 11 E-Book - Apostila Vamos analisar a matriz de mudança de base quando relacionada a vetores e polinômios. Para isso, tem-se uma base β = {1+x, x2, 1-x}, no espaço P2, isto significa que os três elementos que formam esta base podem gerar todos os polinômios no espaço P2 (polinômios de grau 2), desde que submetidos a uma combinação linear. Sabendo disto, vamos calcular o exemplo a seguir: Exemplo 4 – Seja uma base β = {1+x , x2, 1-x} e α, no espaço P2, tal que: [I]^α_β = [-1 1 0 0 -1 1 2 1 2] Determine o polinômio p(x), tal que: [p(x)]α = [3 4 0] Temos as seguintes relações para relacionar polinômios com a matriz de mudança de base: [I]^α_β ⋅ [p(x)]α = [p(x)]β Primeiro vamos calcular o polinômio representado na base β: [p(x)]β=[-1 1 0 0 -1 1 2 1 2][3 4 0] [p(x)]β=[-3 + 4 + 0 0 - 4 + 0 6 + 4 + 0]→[p(x)]β=[1 -4 10] Vamos calcular o p(x): p(x) = 1.(1+x) - 4.(x2) + 10.(1-x) p(x) = 4x2 - 9x + 11 E assim é possível encontrar o polinômio através da matriz de mudança de base. SAIBA MAIS É importante que você saiba os principais conceitos e cálculos de matrizes. Por isso, vale relembrá-los. Assista o vídeo a seguir que mostra alguns cálculos de matriz inversa. Acessar em: https://www.youtube.com/watch?v=ebzZh07tlTo DICA DE LEITURA Para que você possa relembrar alguns conceitos e aprofundar mais sobre o assunto, é importante que você leia os sub-capítulos: 4.2 – Subespaços 4.3 – Independência linear Da referência a seguir: ANTON, H., RORRES, C. Álgebra Linear com aplicações. 10ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2012. 9 - 11 E-Book - Apostila FINALIZANDO A representação de vetores pode ser feita em diferentes bases, resultando em valores diferentes. Isto ocorre, pois, a percepção dos vetores em bases distintas ocorre alterações. Sendo assim, para que se possa calcular as diferentes percepções dos vetores e caracterizar polinômios em bases é importante obter a matriz de mudança de base [T]β α, que possibilite a alteração das bases. Para isso é imprescindível saber as definições e principais cálculos de matrizes. REFERÊNCIAS ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. 10ª ED. Porto Alegre: Bookman, 2012. BOLDRINI, J. L. Álgebra linear. 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1986. BRITO, F. R. M.; ALMEIDA, W. R. Geometria Analítica e Álgebra Linear para engenharias. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna. 2020. CALLIOLI, C. A.; COSTA, R. C. F.; DOMINGUES, H. H. Álgebra linear e aplicações. 6ª ed. São Paulo: atual, 1990. DÚVIDAS FREQUENTES 10 - 11 E-Book - Apostila 1. Há uma transformação linear denominada Transformação Identidade. Quais são as principais características que definem esta transformação? Na transformação identidade ocorre uma transformação linear onde o resultado é o próprio elemento que entrou para a transformação. O domínio e o contradomínio são iguais. T:V→V 2. Explique a representação da matriz: [T]α β Esta matriz simboliza que levará os elementos do domínio da base indica em cima, neste caso α, para os elementos do contradomínio escritos na base inferior, neste caso β. 3. Na expressão [u]β= [Id]β α .[u]α, o que diferencia o elemento u, que são iguais em ambos os membros? O que diferencia os dois elementos presentes na expressão, são as bases. Um está representado pela base α e o outro pela base β, ou seja, em cada um o vetor terá uma representação. 4. Tem-se: [Id]α β . É possível calcular a matriz [Id]β α ? Ou serão iguais? As matrizes serão diferentes. Para calcular a matriz [Id]β α , é possível calculando a matriz inversa de [Id]α β . 11 - 11