TESTEFEDERAL 1693607591766 Estruturas algébricas_ teoria dos grupos-1 pdf

01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos Estruturas algebricas: teoria dos grupos Prof.? Ana Lucia de Sousa Descricao A estrutura algébrica chamada grupo e sua construgao a partir de suas propriedades. Propésito Conhecer as estruturas algébricas, bem como a sua importancia na caracterizagao dos conjuntos numéricos, é imprescindivel ao aluno. As estruturas algébricas estao presentes nos conteudos estudados ao longo da graduagao e na sua pratica como docente. Objetivos Médulo 1 Operacgoes binarias, grupos e suas propriedades Reconhecer quando determinada estrutura munida de uma operacao é um grupo. Médulo 2 Tabua de Cayley para grupos finitos e operagoes em Z,,, Identificar um grupo finito a partir da tabua de Cayley. Médulo 3 Poténcias de um elemento do grupo, subgrupos e grupos ciclicos https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 1/49 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos Analisar a existéncia de subgrupos e grupos ciclicos. Introducao No video a seguir, vocé entendera os conceitos iniciais sobre grupos. Para assistir a um video > sobre o assunto, acesse a ° versdo online deste contetido. —0— Y a ee ie ee 1 i es aes) € N l rc 0 = Bt) Ti =i eee SOT mari) , ea ¢(8) = 1—2)-¢ » ae ial (ee) 1- Operacoes binarias, grupos e suas propriedades Ao final deste modulo, vocé sera capaz de reconhecer quando determinada estrutura munida de uma operacgao é um grupo. Vamos comecar! Qperacoes binarias, grupos e suas propriedades Assista ao video a seguir para conhecer os principais pontos que serao abordados neste mddulo. https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 2/49 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos Para assistir a um video > sobre o assunto, acesse a ° vers&o online deste conteudo. —0— Dado um conjunto A no vazio (A # @), dizemos que uma operagao binaria interna em A é definida como uma aplicacdo f : A x A> Aem A. Quando realizamos uma operagdo no conjunto A estamos associando um par ordenado (x, y) a um Unico elemento f(x, y) que pertence a A. Podemos usar outros simbolos para representar uma operacdo f— por exemplo, *, +,-, A, 0, x. Dica O enunciado informa o tipo de operagao que sera utilizada. Vamos considerar, por exemplo, a operacao * (asterisco). Podemos escrever: *:AxAoA (z,y) + ay Rotacione a tela. S Note que: ¢ Os elementos de A x A sdo pares ordenados; ¢ Dizemos que * (asterisco) 6 uma operac4o interna em A; * Sendo * uma operacdo em A, temos que para cada par ordenado (a, y) € A, a imagem sera dada por *(x, y) = x * y; ° x * y (lé-se" x operado com y” ). Sobre a operacdo de adigdo no conjunto dos numeros naturais (NV), nesse conjunto, todos os nimeros sAo positivos: +:NxNON (a,b) > a+b +:NxNON (1,4) > +(1,4) =14+4=5 Veja que a imagem do par (1,4) € N x N, coma operagdo de soma (++), é um elemento que pertence ao conjunto dos numeros naturais. Ou seja, a operagao de soma ou adigao é uma interna no conjunto dos numeros naturais, pois dados dois elementos quaisquer do conjunto com a operacao de soma encontramos como resultado um elemento que pertence ao conjunto dos numeros naturais. Isso também ocorre com a operagao de multiplicagdo ou produto (-). Ou seja, a multiplicagao é uma operagao interna no conjunto dos numeros naturais. O mesmo ocorre com os conjuntos dos numeros inteiros (Z), numeros racionais (Q), numeros reais (2) e numeros complexos (C). https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 3/49 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 4/49 Atenção! A operação de subtração e divisão não são bem-definidas no conjunto dos números naturais. Entenda o motivo da subtração e divisão não serem bem definidas no conjunto dos números naturais a seguir. Subtração Considere dois elementos quaisquer do conjunto dos números naturais, por exemplo, 1 e 4. A subtração não é uma operação interna no conjunto dos números naturais, pois Divisão A divisão entre dois números naturais, e (podemos escrever ), é definida no conjunto dos números naturais quando e for múltiplo de Ou seja, se considerando e com a operação de divisão, encontraremos O mesmo ocorre no conjunto dos números inteiros. A seguir, veja alguns exemplos de operações interna, binária e aditiva. Exemplo de operação interna Considere em a operação * definida por: Rotacione a tela.  Seja e dois elementos de Vamos verificar se temos uma operação interna em Exemplo de operação binária Seja operação binária * definida por: Rotacione a tela.  Calcule − : N × N → N (1, 4) → −(1, 4) = 1 − 4 = −3 1 − 4 ∉ N x y x y y ≠ 0 x y. x = 1 y = 4 1 4 ∉ N. Z ∗ : Z × Z → Z (x, y) → x ∗ y = 2x + y − 5 x = 1 y = −3, Z. Z. Solução  ∗ : Z × Z → Z (x, y) → x ∗ y = resto da divisão de x + y por 5 15 ∗ (−4). 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 5/49 Exemplo de operação aditiva Seja o conjunto das matrizes de ordem 2. Considerando um subconjunto desse conjunto definido por verifique se é fechado com relação à operação de adição de matrizes. Algumas propriedades de uma operação Uma operação binária possui algumas propriedades: propriedade comutativa; propriedade associativa; existência de elemento neutro; existência de elemento simetrizável; propriedade distributiva em relação a uma outra operação. Veremos cada uma dessas propriedades de forma detalhada: Propriedade comutativa Dado um conjunto munido da operação * e sejam e dois elementos desse conjunto, a operação * é comutativa quando Exemplo Vamos verificar se a operação definida por é comutativa sobre Propriedade associativa Dado um conjunto munido da operação * e sejam e três elementos desse conjunto, a operação * é associativa quando Exemplo Vamos verificar se a operação definida por é associativa sobre Solução  M2(R) A = {( ) : x, y ∈ R}, −x y y x A Solução  A x y x ∗ y = y ∗ x. Δ xΔy = 2x Z, ∀x, y ∈ Z. Solução  A x, y z (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z). ∗ x ∗ y = x + y − 1 Z, ∀x, y, z ∈ Z 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 6/49 Atenção! É importante verificar o lado direito e o lado esquerdo da igualdade. Quando a operação é comutativa, basta verificar apenas um dos lados. A seguir, veja dois exemplos de operação: Rotacione a tela.  Operação 1 Rotacione a tela.  Operação 2 Como as operações 1 e 2 são iguais, a propriedade associativa em com a operação * é verificada. Dica As operações usuais de adição e multiplicação em e são associativas e comutativas. Existência do elemento neutro Seja um conjunto munido da operação Dizemos que a operação * admite elemento neutro quando e para todo em Aqui também devemos verificar a existência de elemento neutro à direita e à esquerda da operação Comentário Vamos usar a notação " " para designar o elemento neutro. A operação significa que o elemento neutro operado com um elemento do conjunto pode ter como resultado o próprio elemento Por exemplo, Aqui a operação é de soma e nesse caso o elemento neutro é Exemplo Considerando o conjunto munido da operação definida por existe elemento neutro? Antes de avançarmos, é necessário observarmos duas coisas importantes sobre as operações de adição e multiplicação: Solução  (x ∗ y) ∗ z = (x + y − 1) ∗ z = (x + y − 1) + z − 1 = x + y + z − 2 x ∗ (y ∗ z) = x ∗ (y + z − 1) = x + (y + z − 1) − 1 = x + y + z − 2 Z R, N, Q Z A ∗. e ∈ A e ∗ x = x x ∗ e = x x A. ∗. e e ∗ x = x (e) (x) A (x). 0 + 2 = 2. (+) e = 0. Z ∗ x ∗ y = x + y + 1, Solução  01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 7/49 Operação de adição Se a operação * é indicada pela notação (adição), o elemento neutro é denotado por 0 (zero), para todo em isto é, e Operação de multiplicação Se a operação * é indicada pela notação (multiplicação), o elemento neutro é denotado por 1 (unidade), para todo em isto é, e Existência de elementos simetrizáveis/invertíveis Considerando um conjunto e a operação Dizemos que a operação admite elemento simetrizável quando e para todo em A, onde representa o inverso/simétrico de com a operação Comentário No nosso estudo, vamos usar a notação para designar o elemento simétrico. Veja duas observações importantes sobre as operações de adição e multiplicação: Operação de adição Se a operação * é indicada pela notação + (adição), é o elemento oposto/ou elemento inverso de isto é, Operação de multiplicação Se a operação é indicada pela notação (multiplicação), é chamado de inverso de isto é, Exemplo Seja um conjunto com a operação definida por Existem elementos simetrizáveis? Podemos considerar uma notação que representa o conjunto dos elementos simetrizáveis de com relação à operação *. Por exemplo, pois todos os elementos do conjunto dos números inteiros são simetrizáveis com relação à operação de adição. Considere o elemento do conjunto dos números inteiros com a operação de adição. Três é um elemento simetrizável, pois o seu simétrico é Onde, 0 é o elemento neutro da adição Rotacione a tela.  O mesmo ocorre com os conjuntos e com relação à operação de adição. Propriedade distributiva + x A, 0 + x = x x + 0 = x. x A, 1 ⋅ x = x x ⋅ 1 = x. A ∗. ∗ ∃x′ ∈ A, x ∗ x′ = e x′ ∗ x = e, x x′ x ∗. x′ (−x) x, (−x) + x = 0 = x + (−x). ∗ ⋅ x−1 x, x−1 ⋅ x = 1 = x ⋅ x−1. Z ∗ x ∗ y = x + y + 1. Solução  U∗(A) A U+(Z) = Z, (3) (Z) −3. 3 + (−3) = 0 Q, R C 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 8/49 Vamos considerar um conjunto munido de duas operações: e Dizemos que a operação binária é distributiva à esquerda em relação à operação binária * quando: Rotacione a tela.  Dizemos que a operação binária é distributiva à direita em relação à operação binária * quando: Rotacione a tela.  Dica Podemos dizer que é distributiva sobre quando é verificada à direita e à esquerda de Exemplo Considere duas operações definidas por: e em Verifique se é distributiva em relação à operação *. Dica Nos conjuntos e a operação de multiplicação é distributiva sobre a operação de adição. Agora que estudamos operações binária, podemos definir uma estrutura algébrica. Considere um conjunto não vazio Dizemos que um conjunto tem uma estrutura algébrica quando definimos em uma ou mais operações. Inicialmente, vamos considerar apenas uma operação *, cuja notação é As estruturas algébricas são munidas de algumas ou todas as propriedades que analisamos anteriormente e podem ser classificadas por: semigrupos, monoides, grupos, anéis e corpos. Veja a definição de alguns deles a seguir. Semigrupos Dizemos que é um semigrupo se a operação binária admite a propriedade associativa. Monoides Dizemos que é um monoide se a operação binária * admite a propriedade associativa e a existência do elemento neutro. Grupos Dizemos que é um grupo se a operação binária * admite a propriedade associativa, a existência de elemento neutro e possui elemento simétrico para cada elemento do conjunto com a operação *. Nesse estudo, vamos abordar a estrutura algébrica chamada de grupo. A ∗ ∇. ∇ x∇(y ∗ z) = (x∇y) ∗ (x∇z), ∀x, y, z ∈ A ∇ (y ∗ z)∇x = (y∇x) ∗ (z∇x), ∀x, y, z ∈ A ∇ ∗ ∗. x∇y = x + 2y x ∗ y = x + y Z. ∇ Solução  N, Z, Q R A (A ≠ ∅). A A (A, ∗). (A, ∗) ∗ (A, ∗) (A, ∗) A 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos Estrutura de grupo Definicao Seja G um conjunto nao vazio munido de uma operagao * . *:GxGoG (t,y) 9 axy ,Ve,yeG e xwxyeG Rotacione a tela. S Notagao (G, x) Dizemos que a operacao * define uma estrutura de grupo sobre 0 conjunto G se, e somente se, sao validas as seguintes propriedades: G1: Propriedade associativa Va,y, z © G, tem-se (x * y) * z= 2 * (y* 2). G2: Existéncia do elemento neutro Existe um elemento e € G talquee * x = © = x * ee paratodoxemG. G3: Existéncia do elemento simétrico para cada elemento de G Va € G,dv' € G,talquer*xa2’ =e=2' «er Portanto, (G‘, «) € um grupo. Quando fixamos a operagdo « em G, podemos dizer "seja G' um grupo" ou "consideremos um grupo G ". Fica subentendida a operagao * ea verificagao das propriedades G1, G2 e G3. Além disso, também podemos escrever x * y OU apenas ry. Dependendo do tipo de operagao, teremos um tipo de grupo diferente, veja: Grupo aditivo Se a operacao for de adicdo, dizemos que temos um grupo aditivo (G, +). Grupo multiplicativo Se a operaco for de multiplicagao, dizemos que temos um grupo multiplicativo (G, -). Grupo finito https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 9/49 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos Se o conjunto G é finito, dizemos que o grupo ¢ finito. Grupo infinito Se o conjunto G é infinito, dizemos que o grupo 6 infinito. Exemplos Exemplo 1 Verifique se Z é dotado da operagao * tal que x * y= x + y— 46um grupo. Exemplo 2 Verifique se Z com a operacdo * definida por x * y = x” + yéum grupo. Exemplo 3 (Vieira, 2015, p. 173) Seja A um conjunto nao vazio e R“ 0 conjunto das aplicagdes de A em R. Por exemplo, vamos considerar A = R. Temos R®, conjunto das fungées de R. R’={f:R—-R, _ funcdes } Rotacione a tela. S Note que considerando as fungées f e g definidas de R + R podemos definir a operagdo da soma f + g: R > R, onde: (f + 9)() = f(z) + 9(@), f,ge R®exeR O conjunto das fungdes também é um grupo. Vamos verificar se sao validas as propriedades G1, G2 e G3. Exemplo 4 Verifique se R? = {(x, y)/x,y € R} dotado da operacdo (+), tal que (x, y) + (a,b) = (w@ + a, y + b) éum grupo. https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 10/49 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 11/49 Grupos comutativos ou abelianos Seja um grupo. Se a operação * satisfaz a propriedade comutativa, então dizemos que é um grupo comutativo ou abeliano (em homenagem ao matemático Niels Henrik Abel). G4: Propriedade comutativa tem-se Portanto, se uma estrutura de grupo admite também a propriedade comutativa, dizemos que esse grupo é comutativo ou abeliano. Exemplos Exemplo 1 O conjunto dotado da operação tal que é um grupo, pois são válidas as propriedades G1, G2 e G3. Agora vamos verificar se a propriedade comutativa é válida. Exemplo 2 dotado da operação tal que é um grupo, pois são válidas as propriedades G1, G2 e G3. Agora vamos verificar se a propriedade comutativa é válida. Alguns exemplos de grupos Veja alguns exemplos de grupos a seguir: são grupos comutativos. são grupos comutativos. racionais positivos é um grupo comutativo. Conjunto das classes residuais do módulo com a operação de soma é um grupo comutativo. Grupo aditivo de matrizes grupo linear de grau 2 sobre Ele representa o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 inversíveis com elementos em . Grupo grupo produto direto de e Solução  (G, ∗) G ∀x, y ∈ G, x ∗ y = y ∗ x Z ∗ x ∗ y = x + y − 4 Solução  R2 = {(x, y)/x, y ∈ R} (+), (x, y) + (a, b) = (x + a, y + b) Solução  (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +) (Q∗, ⋅), (R∗, ⋅), (C ∗, ⋅) (Q+, ), Q+ = { } Zm = {–0, –1, –2, … , m − 1}, (Zm, +) – m Mm×n(Z), Mm×n(Q), Mm×n(R), Mm×n(C). G = GL2(R) R. R GL2(R) = {( )/a, b, c, d ∈ a b c d R e ad − bc ≠ 0}. (G1 × G2)− G1 G2. 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 12/49 Resultados sobre a estrutura de grupos Agora seguem alguns resultados sobre a estrutura dos grupos e suas propriedades. Proposição: Considerando um grupo, temos que: O elemento neutro é único Demonstração: Sejam e elementos de (1) (2) Em(1), tomando (3) Em(2), tomando (4) Veja que de (3) e (4) temos Assim, fica provado que o elemento neutro é único. O inverso de cada elemento é único Demonstração: Seja um elemento de e sejam e inversos de (1) (2) Considerando (2) Substituindo (1) em (2) Propriedade associativa Propriedade elemento neutro para todo a em G. Comentário Na literatura, podemos encontrar essa proposição com a seguinte notação: Demonstração: Sabemos que é o inverso de Então Pela propriedade (II), temos que é inverso de Então Comentário (G, ∗) e1 e2 G a ∗ e1 = e1 ∗ a = a, ∀a ∈ G a ∗ e2 = e2 ∗ a = a, ∀a ∈ G a = e2 ⇒ e2 ∗ e1 = e1 ∗ e2 = e2, a = e1 ⇒ e1 ∗ e2 = e2 ∗ e1 = e1, e1 = e2. a G a′ 1 a′ 2 a. a ∗ a′ 1 = a′ 1 ∗ a = e, ∀a ∈ G a ∗ a′ 2 = a′ 2 ∗ a = e, ∀a ∈ G a′ 2 = a′ 2 ∗ e a′ 2 = a′ 2 ∗ (a ∗ a′ 1) a′ 2 = (a′ 2 ∗ a) ∗ a′ 1 a′ 2 = e ∗ a′ 1 a′ 2 = a′ 1. (a′)′ = a, (a−1) −1 = a a′ a. a ∗ a′ 1 = a′ 1 ∗ a = e. a a′ 1. (a′)′ = a. (a ∗ b)′ = b′ ∗ a′ 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 13/49 Na literatura, podemos encontrar essa proposição com a seguinte notação: Quando é um grupo comutativo, temos Demonstração: Note que: (1) (2) De (1) e (2) temos que é o inverso de Como o inverso é único, podemos concluir que Lei do cancelamento Seja um grupo. Então: Demonstração “1”: Seja um grupo. 1. hipótese 2. propriedade do elemento inverso 3. 2 em 1 - operando dos dois lados da igualdade 4. Em 3 - propriedade associativa 5. 2 em 4 - propriedade do elemento inverso 6. 5 - propriedade do elemento neutro VI) Quaisquer que sejam e em existe um único elemento de tal que e admite uma única solução em Demonstração “2”: e são soluções de e respectivamente. Segue que e Agora vamos mostrar que a solução é única. Vamos considerar e soluções de Então e implica que pela propriedade do cancelamento. Podemos concluir que a solução para é única. O mesmo se verifica com a solução para Exemplo Seja um elemento do grupo com a operação * e elemento neutro Determine a solução da equação (Observe que neste exercício aparece a notação em vez de ) (a ∗ b)−1 = b−1 ∗ a−1 (G, ∗) (a ∗ b)−1 = a−1 ∗ b−1. (a ∗ b) = b′ ∗ a′ = a ∗ (b ∗ b′) ∗ a′ = a ∗ e ∗ a′ = a ∗ a′ = e (b′ ∗ a′)(a ∗ b) = b′ ∗ (a′ ∗ a) ∗ b = b′ ∗ e ∗ b = b′ ∗ b = e b′ ∗ a′ a ∗ b. (a ∗ b)′ = b′ ∗ a′. (G, ∗) a ∗ b = a ∗ c ⇒ b = c e b ∗ a = c ∗ a ⇒ b = c (G, ∗) a ∗ b = a ∗ c ∃a′ ∈ G, a′ ∗ a = e a′ ∗ (a ∗ b) = a′ ∗ (a ∗ c) a′ (a′ ∗ a) ∗ b = (a′ ∗ a) ∗ c e ∗ b = e ∗ c b = c a b G x G a ∗ x = b x ∗ a = b, G. x = a′ ∗ b x = b ∗ a′ a ∗ x = b x ∗ a = b, a ∗ (a′ ∗ b) = (a ∗ a′) ∗ b = e ∗ b = b (b ∗ a′) ∗ a = b ∗ (a′ ∗ a) = b ∗ e = b x1 x2 a ∗ x = b. a ∗ x1 = b a ∗ x2 = b a ∗ x1 = a ∗ x2 ⇒ x1 = x2, x = a′ ∗ b a ∗ x = b x = b ∗ a′ x ∗ a = b. b G e. b−1 ∗ x ∗ b = e. b−1 b′. 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 14/49 Falta pouco para atingir seus objetivos. Vamos praticar alguns conceitos? Solução  Questão 1 Considerando a operação binária sobre , definida por , marque a alternativa que indica o elemento neutro dessa operação. ∗ R+ x ∗ y = √x2 + y2 A e = 0 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 15/49 Parabéns! A alternativa A está correta. %0A%3Cp%20class%3D'c- paragraph'%3EExiste%20um%20elemento%20%5C(e%20%5Cin%20R%20_%7B%2B%7D%5C)tal%20que%20%5C(e%20*%20x%3Dx%3Dx%20*%20e%5C) paragraph'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%26e%20*%20x%3Dx%20%5CRightarrow%20%5Csqrt%7Be paragraph'%3EAssim%2C%20fica%20verificado%20que%20%5C(%5Cexists%20e%3D0%20%5Cin%20R%20_%7B%2B%7D%2C%20%5Cforall%20x%20% B e = 1 C e = 2 D e = 3 E e = 4 Questão 2 Seja um grupo com a operação de multiplicação definida por Marque a alternativa que indica o simétrico de . G = (Q − { 1 2 }, ∗) x ⋅ y = x+ y − 2xy. 2 3 A 0 B 1 C 2 D − 2 3 E 3 2 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos Parabéns! A alternativa C esta correta. WOA%3CP%20class%3D'c- paragraph%3EDevemos%20verificar%20quem%20%C3%AI%200%20elemento%20sim%C3%AItrico%20com%20a%20o0pera%C3%A7%C3%A30%20dac paragraph'%3EExiste%20um%20elemento%20%5C(e%20%5Cin%20G%5C) %20tal%20que%20%5C(e%20*%20x%3Dx%3Dx%20*%20e%5C)%20para%20t paragraph%20c-table%20my-4'%3E%5C(x%20%5Ccdot%20y%3Dx%2By-2%20x%20y%5C)%3C%2Fp%3E%0A%3Cp%20class%3D'c-paragraph%20c- table%20my-4'%3E%5C(x%20*%20e%3Dx%20%5CRightarrow%20x%2Be-2%20x%20e%3Dx%20%5CRightarrow%20e-2%20x%20e%3Dx- xX%20%5CRightarrow%20e-2%20x%20e%3D0%20%5CRightarrow%20e%3D0%5C)%3C%2Fp%3E%0A%3Cp%20class%3D'c- paragraph'%3EVamos%20verificar%20se%20%3C%2Fp%3E%0A%3Cp%20class%3D'c-paragraph%20u-text-medium%20c-table%20my- A'%3E%5C(%5Cexists%20x%5E%7B%5Cprime%7D%20%5Cin%20G%2C%20x%20*%20x%5E%7B%5Cprime%7D%3De%3Dx%5E%7B%5Cprime%7D%20*% paragraph%20c-table%20my-4'%3E%5C(x%5E% 7B%5Cprime%7D%20*%20x%3De%5C)%3C%2Fp%3E%0A%3Cp%20class%3D'c-paragraph%20c- table%20my-4'%3E%5C(x%5E%7B%5Cprime%7D%2Bx-2%20x%5E%7B%5Cprime%7D%20x%3D0%20%5CRightarrow%20x%5E%7B%5Cprime%7D- 2%20x%5E%7B%5Cprime%7D%20x%3D-x%20%5CRightarrow%20x%5E%7B%5Cprime%7D%20%5Ccdot(1-2%20x)%3D- x%20%5CRightarrow%20x%5E%7B%5Cprime%7D%3D%5Cfrac%7B-x%7D%7B1-2%20x%7D%5C) %3C%2Fp%3E%0A%3Cp%20class%3D'c- paragraph%20c-table%20my-4'%3E%5C(%5Cleft(%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cright) %5E% 7B%5Cprime%7D%3D%5Cfrac%7B- %5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%7D%7B1-2%5Cleft(%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cright)%7D%3D%5Cfrac%7B-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%7D%7B- %5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7D%3D2%5C)%3C%2Fp%3E%0A PTT TT Lear TI wae ma ari eta Pim Mmipge cer: nee" ae OAT AA dike ae a pease ear iceceesea— EE to ‘arial t ae ip Tr 1 Zz Ht Aart 1 ee i all apie |__| | Bai aa na zai | 2024 2a 2 - Tabua de Cayley para grupos finitos e operacoes em Z,, Ao final deste mddulo, vocé sera capaz de identificar um grupo finito através da tabua de Cayley. Vamos comecar! Tabua de Cayley para grupos finitos Assista ao video a seguir para conhecer os principais pontos que serao abordados neste mddulo. Para assistir a um video >, sobre o assunto, acesse a ° vers&o online deste conteudo. La https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 16/49 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos O matematico Arthur Cayley (1821-1899) foi o primeiro a fazer uso da tabua para representar os grupos finitos. Na tabua de Cayley, podemos verificar as propriedades que caracterizam a existéncia do grupo (associatividade, existéncia do elemento neutro e existéncia do elemento simétrico) de forma mais simples. Vamos considerar um grupo G com um numero finito de elementos. Um grupo pode ter um numero finito ou infinito de elementos. Neste momento, vamos trabalhar com um grupo G finito com uma operacgdo *. Essa tabua é chamada tdbua do grupo G. Seja G = {x1,22,23,...,£,} uM conjunto com n elementos, onde n > 1. Considere uma operac4o * sobre G. *:GxGoG (a;,2;) +a, *a,= 2, Vi,j € {1,2,...,n} Rotacione a tela. S O elemento «;; pode ser representado numa tabua de dupla entrada, como mostra a imagem a seguir. operagao po jt | pe] Pa | | pa | | tf | | Eft Pe] tT | ft | tH ft os | | tT | | Pt Veja que a construgao da tabua é simples. Inicialmente devemos colocar os elementos do conjunto G na primeira linha da tabua, chamada de linha fundamental, e depois colocar esses mesmos elementos também na coluna, chamada de coluna fundamental. O elemento x;; é encontrado pela intersegao da i-ésima linha com a j-ésima coluna, ou seja, na linha pegamos um elemento a; e na coluna um elemento x,. L,*L;, = Xi; Rotacione a tela. S O preenchimento da tabua depende da operacao solicitada. Veremos que a partir da tabua/tabela fica mais facil identificar as propriedades que caracterizam um grupo. Vejamos agora um exemplo simples da construgao da tabua com a operagdo de MMC (minimo multiplo comum). Construa a tabua da operac4o x * y = mmc(z, y) sobre o conjunto G = {1,5, 15, 25}. https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 17/49 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos pes Tee Veja como preencher a tabua. Primeira linha: x*ey = mmc(z, y) 1*1=mmec(1,1) =1 1*5 = mmece(1,5) =5 1*15 = mmce(1,15) = 15 1 * 25 = mmce(1, 25) = 25 Segunda linha: x*ey = mmec(z, y) 5*1=mmc(5,1) =5 5*5 = mmc(5,5) =5 5 * 15 = mmece(5,15) = 15 5 * 25 = mmce(5, 25) = 25 O procedimento é o mesmo para preencher as outras linhas. Construgao da tabua de Cayley para grupos finitos Exemplo de construcao da tabua de operacao Exercicio adaptado de Domingues (2018, p. 128). Construa a tabua da operacgdo o (composicao) sobre o conjunto das fungées reais: 1 1 G = {fhi, fo, fs, fa}, onde fi = —, fo = -2, f=- fi = 2. Rotacione a tela. S Considerando a definicado anteriormente citada, vamos agora analisar as propriedades que caracterizam um grupo a partir da tabua de operacao. Seja G = {x1,22,23,...,£,} um grupo finito de ordem n e a operagdo *. Nesse caso, a tabua com a operacao * é chamada de tabua do grupo G Vamos verificar se as propriedades G1 (propriedade associativa), G2 (existéncia do elemento neutro) e G3 (existéncia do elemento simétrico para cada elemento de G) sao satisfeitas. A G4 (propriedade comutativa) também pode ser verificada via tabua de operacao. G1: Propriedade associativa https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 18/49 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 19/49 tem-se Rotacione a tela.  Na tábua, deve-se verificar todos os compostos de três elementos, ou seja, determinar compostos, onde é o número de elementos do conjunto dado. Exemplo Para um conjunto com três elementos, teremos que calcular compostos com 3 elementos cada um. Exemplo Vamos considerar a tábua a seguir: Para verificarmos a propriedade associativa, devemos analisar todos os compostos de 3 elementos. Por exemplo: Veja que essa verificação é muito trabalhosa, pois teríamos que analisar compostos, ou seja, para temos compostos. Outro modo mais simples de verificarmos essa propriedade é considerando um conjunto munido de uma operação que seja asso|ciativa tal que exista uma aplicação com as seguintes propriedades: a função é bijetora e Ou seja, e é uma função bijetora. Rotacione a tela.  G2: Existência do elemento neutro tal que Rotacione a tela  ∀x, y, z ∈ G (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) 2n3 n n = 3, 2 ⋅ (3)3 = 54 (f2 ∘ f3) ∘ f1 = f2 ∘ (f3 ∘ f1) f1 ∘ f1 = f2 ∘ f2 f4 = f4 2n3 n = 4, 2(4)3 = 128 H ∇ f : G → H f f(x ∗ y) = f(x)∇f(y), ∀x, y ∈ G ∀x, y, x ∈ G, x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z f f(x∗(y ∗ z)) = f(x)∇f(y ∗ z) = f(x)∇(f(y)∇f(z)) = (f(x)∇f(y))∇f(z) = f(x ∗ y)∇f(z) = f((x ∗ y) ∗ z) ∃e ∈ G e ∗ x = x = x ∗ e, ∀x ∈ G 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 20/49 Rotacione a tela.  A operação * possui neutro, quando existe um elemento cujas linha e coluna são respectivamente iguais à linha e à coluna fundamentais. Exemplo Veja a existência do elemento neutro na seguinte tábua: Observe que a quarta linha é igual à primeira linha fundamental e a quarta coluna é igual à primeira coluna fundamental. Portanto, é o elemento neutro. Agora observe que na próxima tábua não temos o elemento neutro. Nessa tábua identificamos apenas a linha do elemento neutro 1 igual à primeira linha (fundamental). Não encontramos nenhuma coluna igual à coluna fundamental. Veja que o elemento neutro ocorre apenas do lado esquerdo. Elemento neutro à esquerda f4 f1 ∘ f4 = f4 ∘ f1 = f1 f2 ∘ f4 = f4 ∘ f2 = f2 f3 ∘ f4 = f4 ∘ f3 = f3 f4 ∘ f4 = f4 ∘ f4 = f4 1 ∗ 1 = 1 1 ∗ 2 = 2 1 ∗ 3 = 3  01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos Nao foi verificado elemento neutro a direita Tel=1 2*1=3 3*1=2 G3: Existéncia de elementos simetrizaveis VaeG,dae’€G talquer*xa’ =e=2' «2 Rotacione a tela. S Um elemento x; € G é simetrizavel para a operagdo *, com elemento neutro e, quando 4x; € G, tal que x; * z; = e = x; * Z;. Ou seja, 0 elemento neutro aparece em posicgdes simétricas em relagao a diagonal principal. Exemplo Vamos considerar a tabua posterior com uma operacao * . ee ee Em que: ¢ Elemento neutro: f4; ¢ Elementos simetrizaveis: f,, fo, f3, fa; Por qué? fiofi = fa frofs = fa frofs = fa frofe = fs Rotacione a tela. S Entao, f1, fo, fs, f4, pois o elemento neutro| aparece uma Unica vez em cada linha e cada coluna da tabua. Além disso, suas posigdes sao simétricas em relacdo a diagonal principal. Portanto, cada elemento de G é simetrizavel. Exemplo de elemento simetrizavel Considere a tabua a seguir. https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 21/49 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 22/49 Em que: Elemento neutro: 5; Elementos simetrizáveis: 2, 3, 5; Rotacione a tela.  G4: Propriedade comutativa tem-se Rotacione a tela.  Na tábua, verificamos se, ou seja, basta verificar se os elementos e que estão em posição simétrica em relação à diagonal principal são iguais. Seja a tábua a seguir com uma operação Diagonal principal 2 ∗ 3 = 5 3 ∗ 2 = 5 5 ∗ 5 = 5 ∀x, y ∈ G x ∗ y = y ∗ x xi ∗ xj = xj ∗ xi, ∀i, j ∈ {1, 2, … , n}, xij xji ∗. 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 23/49 A operação * é comutativa, pois a tábua é simétrica em relação à diagonal principal. Além disso, podemos verificar que: 0 1 2 3 Na próxima tábua, a propriedade comutativa não é verificada. Rotacione a tela.  Sobre o conjunto das funções reais onde , , , podemos concluir que o conjunto com a operação dada é um grupo. 0 ∗ 0 = 0 0 ∗ 1 = 1 = 1 ∗ 0 0 ∗ 2 = 2 = 2 ∗ 0 0 ∗ 3 = 3 = 3 ∗ 0 1 ∗ 1 = 2 1 ∗ 2 = 3 = 2 ∗ 1 1 ∗ 3 = 0 = 3 ∗ 1 2 ∗ 2 = 0 2 ∗ 3 = 1 = 3 ∗ 2 3 ∗ 3 = 2 1 ∗ 1 = 2 1 ∗ 2 = 1 = 2 ∗ 1 1 ∗ 3 = 3 e 3 ∗ 1 = 1, 1 ∗ 3 ≠ 3 ∗ 1 G = {f1, f2, f3, f4}, f1 = 1 x f2 = −x f3 = − 1 x f4 = x, G (G, o) 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 24/49 A propriedade associativa, como foi dito anteriormente, é válida. Exemplo Sejam e funções em Verifica-se que: Veja como fica essa propriedade com o composto a seguir: Rotacione a tela.  Elemento neutro: pois a quarta linha é igual à primeira linha fundamental, e a quarta coluna é igual à primeira coluna fundamental. Elementos simetrizáveis: - todos os elementos são simetrizáveis. o elemento neutro aparece uma única vez em cada linha e cada coluna da tábua e suas posições são simétricas em relação à diagonal principal. Todas as propriedades foram verificadas, logo é um grupo. Como a propriedade comutativa também é verificada, dizemos que é um grupo abeliano ou comutativo. Exemplo Construa a tábua da operação composição de funções em considerando e e verifique se é um grupo. Essa notação indica que: f, g h G. (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h) ((f ∘ g) ∘ h)(x) = (f ∘ g)(h(x)) = f(g(h(x))) (f ∘ (g ∘ h))(x) = f((g ∘ h)(x)) = f(g(h(x))) (f2 ∘ f3) ∘ f1 = f2 ∘ (f3 ∘ f1) f1 ∘ f1 = f2 ∘ f2 f4 = f4 f4, f1, f2, f3, f4 (G, ∘) (G, ∘) G = {f1, f2, f3, f4, f5, f6}, f1 = ( ), a b c a b c f2 = ( ), a b c b c a f3 = ( ), a b c c b a f4 = ( ), a b c c a b f5 = ( ) a b c b a c f6 = ( ), a b c a c b (G, o) 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 25/49 Agora observe como calculamos cada composto. Em a imagem do elemento é Em a imagem do elemento é Eis a tábua da operação construída: f2 = {(a, b), (b, c), (c, a)} f3 a c. f2 c a. 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 26/49 A propriedade associativa é válida, pois sejam e funções em Verifica-se que: Rotacione a tela.  Elemento neutro: pois a primeira linha da tabela é igual à primeira linha fundamental, e a primeira coluna da tabela é igual à primeira coluna fundamental. Elementos simetrizáveis: Todos os elementos são simetrizáveis. O elemento neutro aparece uma única vez em cada linha e cada coluna da tábua. As três propriedades que caracterizam um grupo foram verificadas, portanto é um grupo. não é um grupo comutativo, pois e Aplicação das propriedades Exemplo de aplicação das propriedades Os livros de matemática utilizados na educação básica apresentam as propriedades que são válidas para cada conjunto numérico. Sem citar a tábua de Cayley, você propôs ao seus alunos do 1º ano do ensino médio, como uma forma de explorar essas propriedades, o preenchimento da tabela a seguir, obedecendo a algumas regras que você apresentou. Apresente a tabela preenchida pelos alunos. Cada número deve aparecer somente uma vez em cada linha e coluna da tabela; f1of1 = ( ) = f1 f1of2 = ( ) = f2 f1of3 = ( ) = f3 f1of4 = ( ) = f4 f1of5 = ( ) = f5 f1of6 = ( ) = f6 f2of1 = ( ) = f2 f3of1 = ( ) = f3 f4of1 = ( ) = f4 f5of1 = ( ) = f5 f6of1 = ( ) = f6 f2of2 = ( ) = f4 f2of3 = ( ) = f6 f2of4 = ( ) = f1 f2of5 = ( ) = f3 f2of6 = ( ) = f5 f3of2 = ( ) = f5 f3of3 = ( ) = f1 a b c a b c a b c b c a a b c c b a a b c c a b a b c b a c a b c a c b a b c b c a a b c c b a a b c c a b a b c b a c a b c a c b a b c c a b a b c a c b a b c a b c a b c c b a a b c b a c a b c b a c a b c a b c f3of4 = ( ) = f6 f3of5 = ( ) = f2 f3of6 = ( ) = f4 f4of2 = ( ) = f1 f4of3 = ( ) = f5 f4of4 = ( ) = f2 f4of5 = ( ) = f6 f4of6 = ( ) = f3 f5of2 = ( ) = f6 f5of3 = ( ) = f4 f5of4 = ( ) = f3 f5of5 = ( ) = f1 f5of6 = ( ) = f2 f6of2 = ( ) = f3 f6of3 = ( ) = f2 f6of4 = ( ) = f5 f6of5 = ( ) = f4 f6of6 = ( ) = f1 a b c a c b a b c b c a a b c c a b a b c a b c a b c b a c a b c b c a a b c a c b a b c c b a a b c a c b a b c c a b a b c c b a a b c a c b a b c b c a a b c c b a a b c b c a a b c b a c a b c c a b a b c a b c f, g h G. (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h) ((f ∘ g) ∘ h)(x) = (f ∘ g)(h(x)) = f(g(h(x))) (f ∘ (g ∘ h))(x) = f((g ∘ h)(x)) = f(g(h(x))) f1, f1, f2, f3, f4, f5 e f6 (G, ∘) (G, ∘) f3 ∘ f2 = f5, f2 ∘ f3 = f6 f3 ∘ f2 ≠ f2 ∘ f3. 2 ∗ 6 = 3 ∗ 5 = 1 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 27/49 Operações no conjunto O conjunto de classes residuais módulo ou simplesmente conjunto das classes de restos possui duas operações, adição e multiplicação. Ele é definido como sendo Rotacione a tela.  Esse conjunto é formado por classes e cada classe é representada com uma barra na parte superior. Também podemos omitir a barra quando estamos trabalhando em Exemplo de classes e operações Observe os dois conjuntos a seguir: Veja que esse conjunto possui três classes: e Note que temos 5 classes de resto, pois os possíveis restos na divisão por 5 são: 0, 1, 2, 3 e 4. Agora podemos verificar as duas operações presentes nesse conjunto. Em definimos duas operações: adição e multiplicação. A soma em é definida do seguinte modo: Sejam e duas classes em 2 ∗ 5 = 3 ∗ 4 = 6 2 ∗ 4 = 3 ∗ 3 = 5 4 ∗ 5 = 2 Solução  Zm Zm m (m > 1) Zm = {–0, –1, –2, … m − 1} – Zm. Z3 Z3 = {–0, –1, –2} –0, –1 –2. Z5 Z5 = {–0, –1, –2, –3, –4} Zm Zm ¯x ¯y Zm. ¯x + ¯y = x + y – 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 28/49 Rotacione a tela.  Exemplo de operação aditiva Determine a soma no conjunto Note que 83 dividido por 10 deixa resto 3. A multiplicação em é definida do seguinte modo: Sejam e duas classes em Rotacione a tela.  Exemplo de operação multiplicativa Determine a soma no conjunto 345 dividido por 10 deixa resto Exemplo comentado Considere o conjunto Determine a solução da equação Essa equação não é resolvida de forma usual, pois estamos em Lembre-se que trabalhamos apenas com duas operações (soma e multiplicação). Somar dos dois lados da igualdade, pois 7 dividido por 7 deixa resto 0 12 dividido por 7 deixa resto 5 Portanto, a solução da equação em é Propriedades do conjunto com a operação de adição e sua representação na tábua/tabela de operação Em com a operação de soma são verificadas as propriedades que caracterizam um grupo aditivo. 25 + 58 – – Z10. 25 + 58 = 25 + 58 = 83 = –3 – – – – Zm ¯x ¯y Zm. ¯x ⋅ ¯y = x ⋅ y – 15 ⋅ 23 – – Z10. 15 ⋅ 23 = 15 ⋅ 23 = 345 = –5 – – – – 5. (Z7, +). x + –6 = 11. – Z7. x + –6 = 11 – –1 –6 + –1 = –7 = –0 x + –6 + –1 = 11 + –1 – x + –7 = 12 – x + –0 = –5 Z7 x = –5. Zm Zm ¯x + ¯y = x + y, ∀¯x, ¯y ∈ Zm – Propriedade associativa ∀¯ ¯ ¯ Z t (¯ + ¯) + ¯ ¯ + (¯ + ¯) 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 29/49 Representação do grupo na tábua de operação Construir a tábua de com a operação de soma é muito simples. Vamos considerar onde Segue a construção nas próximas tabelas. Agora basta somar normalmente os elementos em cada quadrado. Agora fique atento ao conjunto dado, nesse caso Veja: ∀x, y, z ∈ Zm temos(x + y) + z = x + (y + z) Existência de elemento neutro da adição ∀¯x ∈ Zm, ∃–0 ∈ Zm tal que ¯x + –0 = ¯x Existência do inverso aditivo ∀¯x ∈ Zm, ∃¯y ∈ Zm tal que ¯x + ¯y = –0 Propriedade comutativa ¯x + ¯y = ¯y + ¯x, ∀¯x, ¯y ∈ Zm (Zm, +) Zm (Z4, +), Z4 = {–0, –1, –2, –3}. Z4. 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 30/49 deixa resto 0 na divisão por 4 deixa resto 1 na divisão por 4 deixa resto 2 na divisão por 4 Segue a tábua final de com a operação de adição. Observe que: Elemento neutro: Elementos simetrizáveis: O inverso aditivo de é pois e o inverso aditivo de é A propriedade associativa é válida. A propriedade comutativa é verificada, pois é um grupo comutativo. Propriedades do conjunto com a operação de multiplicação e sua representação na tábua/tabela de operação Em com a operação de multiplicação são verificadas as seguintes propriedades: –4 –5 –6 Z4 –0 –0, –1, –2, –3 –1 –3, –1 + –3 = –4 = –0 –3 –1. (Z4, +) Zm Zm ¯x ⋅ ¯y = x ⋅ y, ∀¯x, ¯y ∈ Zm – Propriedade associativa ∀¯x, ¯y, ¯z ∈ Zm temos (¯x ⋅ ¯y) ⋅ ¯z = ¯x ⋅ (¯y ⋅ ¯z) Existência de elemento neutro da multiplicação temos é o elemento neutro da multiplicação em ∀¯x ∈ Zm, ¯x ⋅ –1 = ¯x, –1 (Zm, ⋅) Existência do inverso multiplicativo tal que se, e somente se, o ∀¯x ∈ Zm, ∃¯y ∈ Zm ¯x ⋅ ¯y = –1 mdc (x, m) = 1 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 31/49 Representação de na tábua de operação Construir a tábua de com a operação de soma é muito simples. Vamos considerar onde Segue a construção nas próximas tábuas. Agora basta multiplicar os elementos em cada quadrado. Fique atento ao conjunto dado - nesse caso Veja: deixa resto 0 na divisão por 4 deixa resto 2 na divisão por 4 deixa resto 1 na divisão por 4 Segue a tábua final de com a operação de multiplicação. Propriedade comutativa ¯x ⋅ ¯y = ¯y ⋅ ¯x, ∀¯x, ¯y ∈ Zm Propriedade distributiva da multiplicação com relação à adição ¯x ⋅ (¯y + ¯z) = ¯x ⋅ ¯y + ¯x ⋅ ¯z, ∀¯x, ¯y, ¯z ∈ Zm (Zm, ⋅), Zm (Z4, ⋅), Z4 = {–0, –1, –2, –3}. Z4. –4 –6 –9 Z4 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 32/49 Veja que o elemento neutro é e os elementos simetrizáveis são: e pois e não é um grupo multiplicativo, pois o elemento zero não tem inverso multiplicativo. Observação não é um grupo, pois, excluindo o elemento de não temos como garantir que o conjunto restante seja um grupo multiplicativo. Isso pode acontecer se a proposição a seguir for verificada: é um grupo se, e somente se, for um número primo Rotacione a tela.  Essa proposição sinaliza que, quando é um número primo, a multiplicação módulo faz com que ele seja um grupo. Basta verificar que para todo elemento de ocorre que não é múltiplo de e Como não é nulo, admite simétrico multiplicativo em Dessa forma, podemos definir o subconjunto de por Veja alguns exemplos: Exemplos Exemplo 1 Tábua de com a operação de multiplicação onde Analisando a tábua, temos: Elemento neutro: –1 –1 –3, –1 ⋅ –1 = –1 –3. –3 = –1. (Z4, ⋅) ¯x ⋅ ¯y = x ⋅ y, ∀¯x, ¯y ∈ Zm – –0 Zm, (Z ∗ m, ⋅) m (m > 1) m m ¯x Z ∗ m x m mdc(x, m) = 1. ¯x Z ∗ m. Zm U (Zm) = {–1, –2, ⋯ , m − 1} – U (Z7) = {–1, –2, –3, –4, –5, –6} U (Z4) = {–1, –3} U (Z5) = {–1, –2, –3, –4} U (Z7) U (Z7) = {–1, –2, –3, –4, –5, –6} –1 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 33/49 Elementos simetrizáveis: Propriedade associativa válida é um grupo multiplicativo Exemplo 2 Resolva em o sistema de equações: Rotacione a tela.  Falta pouco para atingir seus objetivos. –1, –2, –3, –4, –5, –6 (Z ∗ 7, ⋅), Z18 { –5x + –2y = –1 x + 11y = –7 – Solução  01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 34/49 Vamos praticar alguns conceitos? Parabéns! A alternativa E está correta. %0A%3Cp%20class%3D%22c- paragraph%22%3EVamos%20analisar%20cada%20alternativa%20de%20acordo%20com%20as%20informa%C3%A7%C3%B5es%20da%20t%C3%A1bu paragraph%22%3EA)%20%5C((%5Cunderbrace%7B%5C%7Bb%5C%7D%20*%5C%7Ba%5C%7D%7D_%7B%5C%7Ba%2C%20b%5C%7D%7D)%20*%5C%7 paragraph%22%3EFalso%3C%2Fp%3E%0A%3Cp%20class%3D%22c-paragraph%22%3EB)%20%5C(%5C%7Bb%5C%7D%20* (%5Cunderbrace%7B%5C%7Ba%2C%20b%5C%7D%20*%5C%7Ba%5C%7D%7D_%7B%5C%7Bb%5C%7D%7D)%3D%5Cemptyset%5C)%3C%2Fp%3E%0A% paragraph%22%3EFalso%3C%2Fp%3E%0A%3Cp%20class%3D%22c- paragraph%22%3EC)%20%5C(%5B%5Cunderbrace%7B%5C%7Ba%2C%20b%5C%7D%20* (%5Cunderbrace%7B%5C%7Bb%5C%7D%20*%5C%7Bb%5C%7D%7D_%7B%5Cemptyset%7D)%7D_%7B%5C%7Ba%2C%20b%5C%7D%7D%5D%20*%5C% paragraph%22%3EFalso%3C%2Fp%3E%0A%3Cp%20class%3D%22c- paragraph%22%3ED)%20%5C(%5Cunderbrace%7B(%5Cunderbrace%7B%5C%7Ba%2C%20b%5C%7D%20*%5C%7Bb%5C%7D%7D_%7B%5C%7Ba%5C%7 Questão 1 Considerando a tábua de uma operação sobre o conjunto foi encontrado como resultado de um composto. Marque a alternativa que indica corretamente esse composto. ∗ E = {∅, {a}, {b}, {a, b}} {a, b} A ({b} ∗ {a}) ∗ {b} B {b} ∗ ({a, b} ∗ {a}) C [{a, b} ∗ ({b} ∗ {b})] ∗ {a} D ({a, b} ∗ {b}) ∗ ({b} ∗ {a, b}) E ({a, b} ∗ {b}) ∗ {b} 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 35/49 (%5Cunderbrace%7B%5C%7Bb%5C%7D%20*%5C%7Ba%2C%20b%5C%7D%7D_%7B%5C%7Ba%5C%7D%7D)%7D_%7B%5Cemptyset%7D%3D%5Cempty paragraph%22%3EE)%20%5C((%5Cunderbrace%7B%5C%7Ba%2C%20b%5C%7D%20*%5C%7Bb%5C%7D%7D_%7B%5C%7Ba%5C%7D%7D)%20*%5C%7 Parabéns! A alternativa C está correta. %0A%3Cp%20class%3D'c- paragraph'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%26%20Z%20_%7B2%7D%3D%5C%7B%5Coverline%7B0%7 image%20src%3D%22img%2F24.png%22%20alt%3D%22%22%20title%3D%22Ana%20Lucia%20de%20Sousa%22%20loading%3D%22lazy%22%3E%0A% image%3E%0A%3Cp%20class%3D'c- paragraph'%3EComo%20estamos%20trabalhando%20no%20conjunto%20%5C(Z%20_%7B2%7D%5C)%2C%20lembre- se%20que%20%5C(%5Coverline%7B2%7D%5C)%20deixa%20resto%200%20na%20divis%C3%A3o%20por%202.%20Logo%2C%20a%20t%C3%A1bua%2 image%20src%3D%22img%2F25.png%22%20alt%3D%22%22%20title%3D%22Ana%20Lucia%20de%20Sousa%22%20loading%3D%22lazy%22%3E%0A% image%3E%0A Questão 2 Marque a alternativa que indica a tábua de operação do grupo aditivo . Observação: por questões práticas, as barras foram omitidas. Z2 × Z2 A Tábua 1 B Tábua 2 C Tábua 3 D Tábua 4 E Tábua 5 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos 35 - Poténcias de um elemento do grupo, subgrupos e grupos ciclicos Ao final deste mddulo, vocé sera capaz de analisar a existéncia de subgrupos e grupos ciclicos. Vamos comecar! Poténcias de um elemento do grupo, subgrupos e grupos ciclicos Assista ao video a seguir para conhecer os principais pontos que serao abordados neste mddulo. P isti id sobre o assunto, acess 8 ; DB | versdo online deste contetido. =i") Poténcias de um elemento do grupo Definicao Seja (G, *) um grupo e x um elemento de G. As poténcias do elemento x, com n € Z, s&o definidas por: sen = 0 xz" =e sen > 0 LS LEU KR KD https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 36/49 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 37/49 se Sendo um grupo finito com elemento neutro temos: Exemplos Exemplo 1 Seja um grupo multiplicativo. Veja como é simples determinar as potências de um elemento desse grupo. Vamos determinar, por exemplo, as quatro primeiras potências do elemento Exemplo 2 a) Considere o grupo e um elemento do grupo. Determine b) Considere o grupo e um elemento do grupo. Determine Exemplo 3 Considere no grupo multiplicativo o elemento Determine algumas potências de Exemplo 4 n < 0 xn = (x−n) −1 (G, ∗) e, x1 = x0 ∗ x = e ∗ x = x x2 = x1 ∗ x = x ∗ x x3 = x2 ∗ x = (x ∗ x) ∗ x x−2 = (x2) −1 = (x ∗ x)−1 = x−1 ∗ x−1 x−3 = x−1 ∗ x−1 ∗ x−1 U (Z5) = {–1, –2, –3, –4} –3. Solução  (Z, +) x = 4 x2. Solução  (Z6, +) x = –4 x2. Solução  U (Z7) = {–1, –2, –3, –4, –5, –6} a = –2. a. Solução  01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos 5 4 Seja o grupo GL,(R), considerando 0 elemento a = ( 1 :) EG. Podemos ter as seguintes poténcias do elemento a: 1 0 0 a= EG (; ) Rotacione a tela. S 1 0 5 4 5 4 a’ =a '-a=a’-a= . = 0 1 —1 -1 -1 -l Rotacione a tela. S Como consequéncia imediata da defini¢ao, podemos definir as seguintes propriedades de poténcias de elemento em um grupo G: °VreG, Vm,neZ, temos 2”-e? =a °VzEG, Ym,neZ, temos(x2™)" = 2” -VeeG, VYmeZ, temos «™=(x£")) = (at)™ subgrupo Definicao Seja G um grupo e H um subconjunto nao vazio de G. Dizemos que H é um subgrupo de G, quando a operagao de G, restritaa H, também é um grupo. Notacao de subgrupo: H <G Veja que, de acordo com a definicao, devemos verificar no subconjunto se sao validas as propriedades do grupo. A proposicao a seguir apresenta apenas duas condicées a verificar. Proposicao 1 Seja H um subconjunto nao vazio de um grupo G'. H é um subgrupo de G se, e somente se, forem satisfeitas as seguintes propriedades: ¢ Vhi, hy € H, temos hh, € H ¢ Vh € H,Sh' € H,talqueh’ «¢ H Podemos fazer algumas observagées sobre essas propriedades, veja: ¢ Podemos usar simplesmente h, hz em vez de hy * hy. * O elemento neutro e, € H deve ser igual ao elemento neutro de G. * Oelemento simétrico deh € H é0mesmodehemG. * O grupo G admite pelo menos dois subgrupos chamados de subgrupos triviais G que séo: H, = Ge H, = {e}. ¢ H échamado de subgrupo préprio de G quando é diferente dos subgrupos triviais. https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 38/49 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 39/49 Exemplos Exemplo 1 Sabemos que é um grupo. Agora vamos considerar o conjunto de todos os inteiros pares. Temos que é um subgrupo de pois a soma de dois inteiros pares é par. Além disso, todo inteiro par tem o seu simétrico ; portanto, também pertence a Seja um subconjunto do grupo O elemento neutro pode ser escrito como Agora vamos considerar dois elementos e de com e Verificando o condição (1) da proposição, temos: temos assim onde Verificando a condição (2) da proposição, temos: Consideramos um elemento de da forma Teremos pois Portanto, (H é um subgrupo de O mesmo ocorre com onde é um número inteiro. Exemplo 2 Seja um grupo onde a operação é definida por Nessa operação, o elemento neutro e o elemento simétrico para todo inteiro Considere o subconjunto Vamos verificar se é um subgrupo de a partir das condições apresentadas pela proposição Verificando o condição (1) da proposição: Vamos considerar e dois elementos de onde e Logo, Verificando o condição (2) da proposição: Seja um elemento de onde Portanto, é um subgrupo de (Z, +) 2Z 2Z Z, 2n −2n = 2(−n) 2Z. H = {2n/n ∈ Z} (Z, +). e = 0 e = 2. (0) = 0, 0 ∈ Z. h1 h2 H, h1 = 2n h2 = 2m, m, n ∈ Z. ∀h1, h2 ∈ H, h1h2 ∈ H, h1 + h2 = 2n + 2m = 2(n + m), n + m = q ∈ Z. H h = 2n, n ∈ Z. h + h′ = e ⇒ 2n + h′ = 0 ⇒ h′ = −2n ⇒ h′ = 2(−n), h′ ∈ H, −n ∈ Z. H ≤ G G). (nZ, +), n (Z, ∗) ∗ a ∗ b = a + b − 3. e = 3 a′ = 6 − a, a. 3ZZ{3x/x ∈ Z}. (3Z, ∗) (Z, ∗) 1. 3Z ⊂ Z e = 3 ∈ 3Z t u 3Z, t = 3x u = 3y. t ∗ u = (3x) ∗ (3y) = 3x + 3y − 3 = 3(x + y − 1 ∈Z  )     t ∗ u ∈ 3Z t 3Z, t = 3x. t−1 = 6 − t = 6 − 3x = 3(2 − x ∈Z  ). log, t−1 ∈ 3Z.     (3Z, ∗) (Z, ∗). 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 40/49 Exemplo 3 Seja um grupo. Verifique se é um subgrupo de Exemplo 4 Seja um grupo e um subconjunto de Verifique se é um subgrupo de Exemplo 5 Verifique se é um subgrupo de Exemplo 6 é subgrupo de e é subgrupo de é subgrupo de é subgrupo de é subgrupo de é subgrupo de é subgrupo de Proposição 2 Seja um grupo. Se e são subgrupos de então é um subgrupo de Demonstração Pela hipótese, é um grupo e e são subgrupos de Da hipótese, temos que e contêm o elemento neutro de ou seja, e Portanto, Isso mostra que . Além disso, pois Dados dois elementos pela teoria dos conjuntos temos que Da hipótese, temos que (Z6, +) H = {–0, –2, –3, –4} (Z6, +). Solução  (Z12, +) H = {–0, –2, –4, –6, –8, 10} – (Z12, +). H (Z12, +). Solução  H = {7x/x ∈ Z} G = (Z, +). Solução  (Z, +) (Q, +) (R, +) (Q, +) (R, +) (Q∗; ) (R∗; ) (R∗; ) (C ∗; ) (Mm×n(Z), +) (Mm×n(Q), +) (Mm×n(Q), +) (Mm×n(R), +) (Mm×n(R), +) (Mm×n(C), +) (G, ∗) R S G R ∩ S G. G R S G. R S G, e ∈ R e ∈ S. e ∈ R ∩ S. R ∩ S ≠ ∅ R ∩ S ⊂ G, R ⊂ G e S ⊂ G. x, y ∈ R ∩ S, x, y ∈ R e x, y ∈ S. xy ∈ R e xy ∈ S ⇒ xy ∈ R ∩ S. 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 41/49 Agora, considerando um elemento temos que e pela hipótese Portanto, é um subgrupo de Atenção! Não é verdade que se e são subgrupos do grupo então U é subgrupo de Proposição 3 Seja um grupo. Um subconjunto não vazio de é um subgrupo de se, e somente se, para qualquer Dica Com essa proposição, também podemos verificar a existência de subgrupo. Exemplo Vamos considerar o exercício 18 do livro de Domingues e Iezzi (2018, p. 164). Verifique se é subgrupo de Vamos considerar e dois elementos do conjunto onde e são positivos. Usando a proposição, temos: e é positivo. Portanto, é subgrupo de Subgrupo gerado por um elemento do grupo Agora observe todas as potências do elemento no conjunto Em que x ∈ R ∩ S, x ∈ R e x ∈ S, x′ ∈ R e x′ ∈ S ⇒ x′ ∈ R ∩ S. R ∩ S G. R S G, R S G. G H G G h1, h2 ∈ H, h1h−1 2 ∈ H. A = {x ∈ Q : x > 0} (Q∗, ⋅). x y A, x, y ∈ Q x ⋅ y−1 = x ⋅ 1 y = x y ∈ Q x ⋅ y−1 ∈ A A = {x ∈ Q : x > 0} (Q∗, ⋅). –2 (Z8, +). a = 2 21 21 = 2 22 22 = 2 + 2 = 4 23 23 = 22 + 2 = 4 + 2 = 6 24 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos 2*=2?4+2=-64+2=8=0 9° 2 =2*4+2=-042=2 Observe que voltamos ao primeiro valor encontrado na primeira poténcia. Podemos escrever: 2” = {2, 4, 6, 0}, onde n € 0 expoente. Veja que {2, 4, 6, 0} 6 um subconjunto de Zs obtido a partir das poténcias de 2. Vamos chamé-lo de H = {2, 4,6, 0}. Assim, podemos dizer que H éum subgrupo gerado pelo elemento 2. Denotamos por H = [2] ou H = (2). Agora podemos definir subgrupos gerados por elementos de um grupo. Definicao Seja G um grupo e 2 um elemento de G.. Denominamos subgrupo gerado por x 0 conjunto de todas as poténcias inteiras de x, isto é: (x) ={...,0°,27,2°,2',2,...} Rotacione a tela. S Onde: ¢ 2° = &g (elemento neutro do grupo G para cada elemento x de G ); * (zx) ou [a]— representa o subgrupo gerado por x e x é dito gerador do subgrupo. Exemplo Considere o grupo (Z19, +). Vamos procurar um subgrupo gerado pelo elemento 5. Devemos determinar todas as poténcias de 5. Proposicao 4 SjammeEN, m>1 e «é€ Z,,.Entéo Z,, = [z] = mdc(z,m) =1 Exemplos Exemplo 1 Considere o grupo (Zs, +). Podemos verificar de maneira mais simples que os elementos le5dde Ze geram o conjunto Zs. Nesse caso, basta verificarmos o mdc(1,6) e o mdc(5, 6). 1gera Z; mdc(1,6) = 1 5 gera Z, = mdc(5,6) = 1 Portanto, [1] = Z, e [5] = Z, https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 42/49 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos Exemplo 2 Vamos considerar 0 exercicio 81 do livro de Domingues e lezzi (2018, p. 190). A tabua a seguir com a operagao * sobre o conjunto G = {1, 2,3, 4,5, 6} apresenta uma estrutura de grupo. Determine o subgrupo gerado pelo elemento 3 e resolva a equacao 3*2*4=—5 1 VreG Rotacione a tela. S -* {1 [2 |3 [4 [5 [6 | Grupo ciclico Definicao Seja G um grupo. Dizemos que G é um grupo ciclico se existe um elemento a de G, tal que o grupo G coincide como subgrupo gerado pelos elementos de a Se G é grupo ciclico entéo da € G, tal queG = {a”;m € Z} Podemos também usar as seguintes notagées: G = [a] ou G = (a) Veja alguns exemplos de grupos ciclicos a seguir: Exemplo 1 O grupo multiplicative G = {1, —1} éciclico, pois [—1] = {(—1)"/m € Z} = {1,-1} =G. Exemplo 2 O grupo G = {1,7, —1,7} € um grupo ciclico, onde i e —1 s&o os geradores do grupo G. Proposicao 5 Se x € G éum gerador do grupo ciclico G, entdo seu simétrico x’ ou x | é também gerador de G. https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 43/49 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos Exemplo Determine os geradores do grupo (Zs, +). [7] = [1] =43,= {0, 1, 2,3, 4, 5, 6, 7}. Dica Um grupo ciclico pode ter mais de um gerador. Proposicao 6 Todo grupo ciclico é abeliano. Demonstracao Seja (G, *) um grupo ciclico. Pela definigao de grupo ciclico podemos considerar dois elementos de G. Sejam x e y elementos de G em en elementos de Z tal quez = a“ ey =a". rey=a"xa* =a" =a" =a" xa" =y*e Definicao Dado um elemento x de um grupo G, ele pode ter ordem finita ou infinita dependendo do caso, veja: Elemento x tem ordem finita Se existir um menor inteiro positivo n tal que x” = e, onde e é o elemento neutro de G, entao n é denominado a ordem (ou periodo) do elemento x. Nesse caso, dizemos que 0 elemento z tem ordem finita. Elemento x tem ordem infinita Se nao existir um inteiro positivo menor, tal que x” = e, entaéo podemos dizer que x tem ordem infinita, o(@) = co. Usamos a notacao o(2) ou ord(z) para denotar a ordem de um elemento do grupo G. Exemplos Exemplo 1 Vamos considerar 0 grupo (Z,, +). Seja 3 um elemento de Z,. Determine a ordem do elemento 3. https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 44/49 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 45/49 Exemplo 2 Sabemos que Assim definimos como o grupo dos elementos invertíveis de Determine Exemplo 3 Determine o subgrupo de gerado pelo conjunto Exemplo 4 Temos o grupo com a operação de multiplicação e um elemento desse conjunto. Determine a ordem do elemento Solução  U (Zn) = {¯x ∈ Zn : mdc(x, n) = 1}. U (Z15) = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14} Z15. o(–7). Solução  (Z8, +) {–2, –4}. Solução  Gl2(R) a = [ ], 1 1 0 1 a. Solução  01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 46/49 Falta pouco para atingir seus objetivos. Vamos praticar alguns conceitos? Parabéns! A alternativa E está correta. %0A%3Cp%20class%3D'c- paragraph'%3EDevemos%20determinar%20todas%20as%20pot%C3%AAncias%20de%20%5C(%5Coverline%7B3%7D%5C).%0A%3C%2Fp%3E%0A%3Cp paragraph'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%263%5E%7B1%7D%3D3%20%5C%5C%0A%20%20%20%2 paragraph'%3EVeja%20que%20conseguimos%20gerar%20todo%20o%20conjunto%20%5C(Z%20_%7B10%7D%3D%5C%7B%5Coverline%7B0%7D%2C% paragraph%20c-table%20my- 4'%3E%5C(%5B%5Coverline%7B3%7D%5D%3D%20Z%20_%7B10%7D%5C).%20O%20elemento%20%5C(%5Coverline%7B3%7D%5C)%20gera%20o%20p Questão 1 Considere o grupo (Z10, +). Determine um subgrupo gerado pelo elemento . –3 A [–3] = {–0, –1, –2} B [–3] = {–0, –1, –2, –3, –4} C [–3] = {–0, –1, –2, –3, –4, –5} D [–3] = {–0, –1, –2, –3, –4, –5, –6, –7, –8} E [–3] = Z10 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos Parabéns! A alternativa D esta correta. WOA%3CP%20class%3D'c- paragraph'%3E%24%24%0A%20%20%20%20Z%20_%7B12%7D%3D%5C%7 B%5Coverline%7B0%7D%2C%20%5Coverline%7B1%7D%2C%20%5Coverlines paragraph'%3ES%C3%A30%20geradores%20de%20%5C(Z%20_%7B12%7D%5C)%20%3A%0A%3C%2FP%3E%0A%3Cp%20class%3D'c- paragraph'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%5B%5Coverline%7B1%7D%5D%2C%5B%5Coverline%7B11%7D%5D%2C%5B%5Coverline%7B5%7D%5D% paragraph'%3EDe%20acordo%20com%20proposi%C3%A7%C3%A30%204%2C%20Se%20%5C(x%20%5CiN%20G%5C)%20%C3%AI%20UM%20gerador% Consideracoes finais Concluimos 0 nosso estudo sobre a primeira estrutura algébrica chamada grupo. Como vimos, a chamada algebra abstrata é diferente da algebra que conhecemos na educagao basica, mas esta presente a partir dos conceitos e resultados. Ela traz muitas informag6ées importantes e necessarias na formacgao do matematico. Assim, 0 principal objetivo deste estudo foi apresentar alguns dos conteudos importantes sobre grupos e despertar no aluno de licenciatura e bacharelado em Matematica 0 desejo de conhecer mais sobre grupos. https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 47/49 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 48/49 Agora, a especialista Ana Lucia de Sousa encerra o tema falando sobre os principais tópicos abordados. 01/09/2023 19:21 Estruturas algébricas: teoria dos grupos https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03635/index.html# 49/49