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Curso: Engenharia Ambiental Data: 21/06/2021 Prof.: Frederico G. Paes Disc.: Cálculo Numérico Prova: 2º Atividade Aval. Nome: Nota: Caros alunos, os exercícios a seguir deverão ser resolvidos utilizando o programa que contém os algoritmos implementados. Boa sorte!!! Questão 1 [2,5 pts]: Para cada método abaixo, verifique o critério de convergência correspondente (condição suficiente) e, a seguir, resolva o seguinte sistema usando  = 0,001 e 𝑥(0) a sua escolha: a) Gauss – Jacobi b) Gauss – Seidel Questão 2 [2,5 pts]: Dado a tabela abaixo, encontre o polinômio de interpolação sobre quatro pontos utilizando as formas de Lagrange e Newton e calcule uma aproximação para cos(1.25). x 0,8 0,9 1 1,1 1,3 1,5 cos x 0,6967 0,6216 0,5403 0,4536 0,2675 0,0707 Questão 3 [2,5 pts]: Utilizando a regra dos Trapézios repetida, encontre uma aproximação para a integral abaixo com m = 10 intervalos ∫ 𝑒−𝑥 𝜋 2 0 cos(𝑥)𝑑𝑥 Compare com a regra de Simpson repetida com o mesmo número de intervalos. Em seguida, com o auxílio de um plotador gráfico para calcular o máximo das derivadas, estime o erro cometido em casa caso. Questão 4 [2,5 pts]: A regra 3/8 de Simpson é obtida ao aproximar a função 𝑓(𝑥) na integral ∫ 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 por um polinômio de grau 3 𝑝3(𝑥), obtido pela forma de Lagrange e que interpola f nos pontos 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2 e 𝑥3. Assim, sabendo-se que 𝑥1 = 𝑥0 + ℎ, 𝑥2 = 𝑥0 + 2ℎ e 𝑥3 = 𝑥0 + 3ℎ, temos: ∫ 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥0) (𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)(𝑥−𝑥3) (𝑥0−𝑥1)(𝑥0−𝑥2)(𝑥0−𝑥3) + 𝑓(𝑥1) (𝑥−𝑥0)(𝑥−𝑥2)(𝑥−𝑥3) (𝑥1−𝑥0)(𝑥1−𝑥2)(𝑥1−𝑥3) + 𝑓(𝑥2) (𝑥−𝑥0)(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥3) (𝑥2−𝑥0)(𝑥2−𝑥1)(𝑥2−𝑥3) + 𝑏=𝑥3 𝑎=𝑥0 𝑓(𝑥3) (𝑥−𝑥0)(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2) (𝑥3−𝑥0)(𝑥3−𝑥1)(𝑥3−𝑥2) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥0) ∫ (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3) (−ℎ)(−2ℎ)(−3ℎ) 𝑑𝑥 + 𝑥3 𝑥0 (1) 𝑓(𝑥1) ∫ (𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3) ℎ(−ℎ)(−2ℎ) 𝑥3 𝑥0 𝑑𝑥 + (2) 𝑓(𝑥2) ∫ (𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥3) 2ℎ. ℎ. (−ℎ) 𝑑𝑥 𝑥3 𝑥0 + (3) 𝑓(𝑥3) ∫ (𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) 3ℎ. 2ℎ. ℎ 𝑥3 𝑥0 𝑑𝑥 = ⋯ (4) = 3ℎ 8 [𝑓(𝑥0) + 3𝑓(𝑥1) + 3𝑓(𝑥2) + 𝑓(𝑥3)] (5) Usando as substituições vistas nos slides usadas nas integrais de 1/3 de Simpson, resolva as integrais de (1) a (4) e conclua que a soma acima é exatamente igual a (5). .