TESTEELETROCARDIOGRAMA 1704320886581 Lista de Cálculo 2 - p2 pdf

AULA 7 3. Você viu que a operação retirar um ponto divide a reta em dois pedaços distintos, mas não causa o mesmo estrago ao plano. Considere, agora, a operação retirar uma reta aplicada ao plano e ao espaço tridimensional. Compare os resultados com a situação anterior. Finalmente, que tipo de operação deveríamos usar para dividir o espaço tridimensional? 4. Calcule os seguintes limites: a. lim_(x,y)->(1,1/4) 3 sen xy. b. lim_(x,y)->(0,0) x² + y²/sen x² + y². c. lim_(x,y)->(0,0) x³/x² + 4y². d. lim_(x,y)->(1,0) (x - 1)y/√((x - 1)² + y²). CEDER ículo III | Limites e Continuidade 5. Use limites sobre curvas, como foi feito no Exemplo 7.7, para mostrar que a função f(x,y) = x² + y²/x² - 4y² não admite limite quando (x,y) tende a (0,0). 6. Mostre que se (a,b) é ponto de acumulação de A ∩ B, então (a,b) é ponto de acumulação de A e ponto de acumulação de B. AULA 8 1. Calcule os seguintes limites. a. lim_(x,y)->(-1,1) e^x -y². b. lim_(x,y)->(-1,2) 4 - x²/5 + xy. c. lim_(x,y)->(0,0) ln(1+xy) sen xy/xy. d. lim_(x,y)->(1,0) 1 - cos y/xy². e. lim_(x,y,z)->(1,1,1) x² + y² + z²/2 + x + y + z. f. lim_(x,y)->(0,0) (sen 2y) (tg xy)/x²y. g. lim_(x,y,z)->(0,0,0) x²z/x² + y² + 2z². h. lim_(x,y)->(0,0) x² - y²/√(x² + y²). Dica: a resposta do item (h) é zero. 2. Seja f(x,y) = (x + 1)^3/(x + 1)^2 + y^6. a. Determine o domínio de f. b. Considere α(t) = (at - 1, bt), com a² + b² > 0. Mostre que CÁLCULO III | Limites e Continuidade lim_(t->0) f(α(t)) = 0. O que isso quer dizer? c. O que podemos dizer a respeito de lim_(x,y)->(-1,0) f(x,y)? CEDERJ 129 3. Calcule os seguintes limites ou mostre quando a função não admite tal limite. a. lim_(x,y)->(0,0) √(x² + y²). b. lim_(x,y)->(0,0) x² + y²/xy + 2. c. lim_(x,y,z)->(0,0,0) x² + y² + z²/x² + y² + z². d. lim_(x,y)->(2,0) 1/x + y. e. lim_(x,y)->(0,0) x(y - 1)/x² + y². f. lim_(x,y)->(0,1) (x + 1) + (y - 1)²/(x² + y²). g. lim_(x,y)->(0,0) x(x + 1) + (y - 1)²/x² + (y - 1)². h. lim_(x,y)->(0,0) x³/(x² + y²)^(3/2). 4. Determine o valor de c para o qual a função f(x,y) = { 2x²y - 3x - (y - 1)²/x² + (y - 1)², se (x,y) ≠ (0,1) c, se (x,y) = (0,1) seja contínua. 5. Determine qual das seguintes funções é contínua. Para as que não forem contínuas, determine o maior subconjunto do domínio no qual a função é contínua. a. f(x,y) = \frac{e^{xy} - 2}{x^2 + 2y^2}. b. g(x,y) = \frac{\sqrt{x^2 - 4y^2}}{x^2 + y^2}. c. h(x,y) = \begin{cases} \frac{2x^3 + y^2}{y^2 + x^2}, & \text{se } (x,y) \neq (0,0), \\ 0, & \text{se } (x,y) = (0,0). \end{cases} d. k(x,y) = \begin{cases} \frac{x + 2y}{x^2 + y^2}, & \text{se } (x,y) \neq (0,0), \\ c, & \text{se } (x,y) = (0,0). \end{cases} 6. Seja D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \leq 1\} e f : D \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua, tal que f(0,0) = 1. a. Mostre que existe um número r > 0, tal que, se x^2 + y^2 < r^2, então f(x,y) > 0. b. Sabendo que f(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}) < 0 e f(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) > 0, mostre que existe um número a tal que f(a,a) = 0. (Considere a(t) = (t,t)). AULA 9 2. Em cada um dos seguintes exercícios, calcule a derivada parcial indicada. a. f(x,y) = 2xy + y^2; \quad \frac{\partial f}{\partial x}(x,y), \frac{\partial f}{\partial y}(x,y). b. f(x,y,x) = 2xy(1 - 3xz^2); \quad \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}. c. z = \ln(y + x); \quad \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}. d. x = \sqrt{1 + x^2 + y^2 + z^2}; \quad w_x, w_y, w_z(0,0,0). e. f(u,v) = uv - u^2 + v^3; \quad \dot{f}(0, -1). f. g(r,θ) = r \cosθ + r \senθ ; \quad \frac{\partial g}{\partial r}, \frac{\partial g}{\partial θ}. g. z = \operatorname{arctg} \frac{x}{y}; \quad \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}. h. f(x,y,z) = (x+y)e^{-x^2}; \quad \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}. i. f(u,v) = u^2 \ln(v); \quad \frac{\partial f}{\partial u}, \frac{\partial f}{\partial v}. 3. Seja f(x,y) = \ln\sqrt{x^2 + y^3}. a. Mostre que Dom(f) é um conjunto aberto. b. Determine a curva de nível 0. c. Verifique que x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = 1. CÁLCULO III | Derivadas Parciais 4. Seja f(x,y,z) = \frac{y}{x^2 + y^2 + z^2}. Verifique que x\dot{f} + y\dot{f} + z\dot{f} = -f. CEDERJ 143 5. Seja f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^3y}{x^3+y^3}, & \text{se } (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & \text{se } (x,y) = (0,0) \end{cases} Calcule \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) (Veja que você deverá usar as regras de derivação para calcular \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) e \frac{\partial f}{\partial y}(x,y), no caso de (x,y) \neq (0,0), e a definição de derivada parcial num ponto específico para calcular \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)). As derivadas parciais são usadas para expressar um par de equações muito importantes, na teoria das funções de variável complexa, chamadas Equações de Cauchy-Riemann. Um par de funções u(x,y) e v(x,y) que satisfazem as equações \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \hspace{2cm} \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} são, respectivamente, a parte real e a parte complexa de uma função diferenciável (num sentido complexo) de uma variável complexa. 6. Mostre que cada par de funções de duas variáveis a seguir satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann. a. u(x,y) = x^2 - y^2; \quad v(x,y) = 2xy. b. u(x,y) = e^x\cos y; \quad v(x,y) = e^x\sen y. c. u(x, y) = x^3 - y^3 + 3xy^2; \quad v(x,y) = 3x^2y + 2y^3 - y^3. d. u(x,y) = \frac{x}{x^2 + y^2}; \quad v(x,y) = \frac{y}{x^2 + y^2}. e. u(x,y) = \frac{1}{2}\ln(x^2 + y^2); \quad v(x,y) = \operatorname{arctg}\frac{x}{y}. AULA 10 Cálculo III | Aula de Exercícios Exercício 10.1. 1. Determine o domínio e faça um esboço dele, ou de seu complementar, dependendo do caso, das seguintes funções: a. f(x,y) = \frac{x}{y} b. g(x,y,z) = \frac{1}{1+x+y^{2}} c. h(x,y) = \sqrt{y} d. f(x,y,z) = \frac{1}{4x^{2}-9z^{4}+1} e. k(x,y) = \frac{x^{3}}{\sqrt{-x^{2}+y^{2}}} f. l(x,y)= \frac{4}{\sqrt{3+1-y}} g. m(x,y) = \ln |xy| + \frac{1}{x-y} 2. Determine o domínio, a imagem e faça um esboço das curvas de nível das funções a seguir: a. f(x,y) = y^{4} - y^{2} b. g(x,y) = x+y^{2} c. h(x,y) = \sin(x^{+y^{2}}) d. j(x,y) = \frac{y}{x} 3. Determine o domínio e faça um esboço das superfícies de nível das seguintes funções: a. f(x,y,z) = \frac{x}{z-y} b. g(x,y,z)= \frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} c. h(x,y,z) = z^{4}+4x^{2}-z^{'} d. j(x,y,z) = \ln \biggl(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{'}^{}}{36} \biggr) 4. Calcule o limite ou mostre que ele não existe. a. \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} b. \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{3}}{x^{3}+3y^{3}} c. \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{(x+y)^{2}} d. \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x \sin{y}} {x^{2}+y^{2}} e. \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{(x-1)^{2}}{(x-1)^{2}+y^{2}} f. \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{1-\cos{x}y^{2}}{tg{x^{2}+y^{2}}} g. \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x+y-x-y^{2}} h. \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{1-\cos\sqrt y}{y} 5. Seja f(x,y) = (x-y)e^{x}. Verifique que f satisfaz a seguinte equação, envolvendo suas derivadas parciais: \frac{\partial f }{\partial x} + \frac{\partial f }{\partial y} =f(x,y). 6. Verifique que as funções f(x,y) = \frac{x}{x+y} e g(x,y) = \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} são funções homogêneas e satisfazem a seguinte equação, envolvendo suas derivadas parciais: \frac{x}{\partial x} + \frac{y}{\partial y} = 0. AULA 11 Exercício 11.2. 1. Use a melhor aproximação afim da função f(x) = \sqrt{x}, em torno do ponto x = 1 para aproximar o valor de \sqrt{1.02} e 0.99. Use uma calculadora comum para avaliar a aproximação obtida. 2. Mostre que a função f(x,y) = x^{2} - x^{2} é diferenciável no ponto (1, -2) e use a melhor aproximação afim, nesse ponto, para aproximar o valor de f(1.02, -1.97). Exercício 12.5. Determine o domínio de continuidade e o domínio de diferenciabilidade da função f(x,y) = \sqrt{9-x^{2}-x^{3}}. AULA 12