TESTEFEDERAL 1693607588935 Corpos ideais de um anel e elementos de um anel-4 pdf

01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 1/50 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel Prof.ª Ana Lucia de Sousa Descrição Estudar a estrutura algébrica chamada corpo, ideais de um anel e elementos de um anel. Propósito A construção da estrutura algébrica chamada corpo, a partir das propriedades dos anéis e de seus elementos, nos permite ampliar as operações nos conjuntos. Esses são importantes conhecimentos que o aluno deve adquirir, ao longo da graduação, a fim de ampliar seu repertório matemático. Objetivos Módulo 1 Corpo e subcorpo Reconhecer as propriedades que caracterizam a estrutura chamada corpo e subcorpo. 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 2/50 Módulo 2 Ideais de um anel e suas operações Reconhecer os ideais de um anel e suas operações. Módulo 3 Anel quociente e Elementos de um Anel Identificar os elementos de um anel e os anéis quocientes. Introdução Assista ao vídeo a seguir e compreenda os conceitos de corpos, ideais de um anel e elementos de um anel.  01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel ili 1- Corpo e subcorpo Ao final deste mddulo, vocé sera capaz de reconhecer as propriedades que caracterizam a estrutura chamada corpo e subcorpo. Vamos comecar! Propriedades que caracterizam a estrutura chamada corpo Assista ao video a seguir para conhecer os principais pontos que serao abordados neste modulo. https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 3/50 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 4/50 Corpo Veja que, em um anel , podemos considerar um conjunto formado por todos os elementos de que possuem inverso multiplicativo. Esse conjunto é denotado por . Vamos considerar o conjunto dos números inteiros . Nesse conjunto, os únicos elementos que possuem inverso são e . O inverso do é o e o inverso de é o próprio , logo Dessa forma, podemos dizer que os anéis e são tais que: (A, +, A U(A) Z −1 1 −1 −1 1 1 U(Z) = {−1, 1} Q, R C Q U(Q) = Q − {0} R U(R) = R − {0} 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel E a partir dessa informacdo que vamos definir a estrutura chamada corpo. Um corpo é um anel comutativo com unidade que chamaremos de (KK, +, -). Esse anel 6 denominado corpo se todo elemento nao nulo de (K’, +, -) possuir inverso multiplicativo, ou seja: SeVace K,x #0 entiotx cK talquer-x !=1 Rotacione a tela. S$ Podemos concluir entao que um corpo é um anel unitario e comutativo no qual todo elemento diferente de zero possui inverso. Com essa definigdo, podemos dizer que todo corpo (K’, +, ) éum anel. Vale lembrar que se (KX, +, . ) 6 um corpo, entao: ¢ (K, +) éum grupo abeliano. ° E valida a propriedade associativa com a operacdo de multiplicacdo. e E valida a propriedade distributiva da multiplicacdo sobre a adicdo. ¢ E valida a propriedade comutativa com a operacdo de multiplicacdo. e 1x 60 elemento neutro de K. © Va2eK,x¢ 4 0entiotxz te Ktalquer-x2 !=1. Comentario Usaremos a notagao z - y como z dividido por y. Assim, dizemos que um corpo é um conjunto fechado em relagao a operacao de adicao, multiplicagao e divisdo. Sao exemplos classicos de corpos os seguintes conjuntos numéricos: https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 5/50 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 6/50 : o conjunto dos números reais é um anel comutativo com unidade. Veja que o conjunto dos números reais é: um grupo abeliano para a operação de adição; associativo para a operação de multiplicação; distributivo em relação à adição; comutativo em relação à multiplicação; possui elemento neutro para a operação de multiplicação (unidade). : o conjunto dos números racionais é um anel comutativo com unidade. Veja que o conjunto dos números racionais é: um grupo abeliano para a operação de adição; associativo para a operação de multiplicação; distributivo em relação à adição; comutativo em relação à multiplicação; possui elemento neutro para a operação de multiplicação (unidade). R (R, +, . ) Exemplo Dado , então , ou seja, todo elemento não nulo tem inverso.  x ∈ R, x ≠ 0, 1 x ∈ R e x ⋅ 1 x = 1 Q (Q, +, . ) Exemplo Seja e são elementos de e .  a = x y ∈ Q, x y Z y ≠ 0 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 7/50 : o conjunto dos números complexos : o conjunto das classes de equivalência, que será visto mais adiante. : o conjunto das classes de equivalência módulo p, onde p é um número ímpar. Essa condição é necessária, pois um corpo não possui divisores próprios de zero. Exemplos de conjuntos que não são corpos Exemplo 1 Veja que o conjunto dos números inteiros não são corpos. Vamos considerar um elemento desse conjunto, por exemplo . Veja que . Exemplo 2 Seja o conjunto . Vamos considerar um elemento desse conjunto, por exemplo, . Note que não existe inverso multiplicativo de no conjunto , pois: Veja que não encontramos como resultado a unidade , que é a unidade do anel. Exemplo 3 O anel das funções não é um corpo, pois ele não é um anel de integridade. Exemplo 4 No conjunto das matrizes , mesmo que o conjunto seja um corpo, temos que não é um anel de integridade para . Então, . Ou seja, todo elemento não nulo possui inverso. a−1 = y x ∈ Q, e x y ⋅ y x = 1 C Z2 Zp (Z) 3 ∈ Z 3−1 = 1 3 ∉ Z Z4 –2 ∈ Z4 –2 Z4 2 ⋅ 0 = 0 2 ⋅ 2 = 4 = 0 2 ⋅ 1 = 2 2 ⋅ 3 = 6 = 2 –1 RR Mn(A) A Mn(A) n ≥ 2 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel | Se K écorpo, entao K é anel de integridade. Demonstracao Seja K um corpo e x e y elementos de K, tal que ry = 0. Se K €um corpo, entéo K é um anel comutativo com unidade. Assim, para provar que K é um anel de integridade, basta verificarmos que K nao tem divisores de zero, isto é, basta verificar que, se x, y so dois elementos do anel A, e xy = 0, entéo x = 0 ou y = 0. Podemos provar por absurdo. Veja: Por hipdtese, temos x e y elemento de K e xy = 0. Suponhamos, por absurdo, que z # Oey # 0. Noentanto, sex 4 Dey # 0, entdo zy ¥ 0. Isso contradiz a hipdtese. Portanto, x = Oouy = 0. Logo, K nao tem divisores proprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade. Essa proposicao fica clara com o exemplo a seguir: Exemplo Veja que o anel (Z, +, . ) 6 um anel de integridade, mas nado é um corpo. Se ele é um anel de integridade, tem como elemento neutro o zero; como elemento simétrico 0 - 7; e como unidade o numero 1. Porém, ele nado é um corpo, pois, como ja foi apresentado antes, se considerarmos um elemento desse conjunto, por exemplo, 2 , observamos que nao existe 7 em Z, tal que 22 = 1 Conclusao Todo corpo é um anel de integridade, mas quando perguntamos se todo anel de integridade é um corpo, a resposta é nado. Com relagao ao conjunto dos numeros reais, veja que (R, +, . ) € um anel de integridade, pois nao possui divisores proprios de zero. Agora, vamos verificar, por meio de um exemplo, se o conjunto dos racionais com uma determinada operagao apresenta uma estrutura de corpo. Exemplo Seja A = (Q, +, . ), onde a operagdo de adigdo é a operagao usual e * é definida por: https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 8/50 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 9/50 Rotacione a tela.  Mostre que é um corpo. Solução Como a adição (+) é uma operação usual, temos que é um grupo comutativo. Sendo assim: O elemento neutro é O elemento oposto de é . A multiplicação é associativa, comutativa, de elemento neutro . A multiplicação em é distributiva em relação à adição. A seguir, veremos cada um desses pontos detalhadamente: , temos que mostrar que . De fato, temos: . , temos que mostrar que . a ∗ b = ab 3 A (Q, +) 0. a b − a b 1Q = 1 1 Q Dica Nesse caso, basta verificarmos a operação *. Devemos verificar se a operação * é distributiva em relação à adição, se é associativa, se é comutativa, se tem elemento neutro e se todo elemento diferente de zero tem inverso com relação a essa operação.  Propriedade distributiva  ∀ a, b, c ∈ Q a ∗ (b + c) = (a ∗ b) + (a ∗ c) a ∗ (b + c) = a(b+c) 3 = ab+ac 3 = ab 3 + ac 3 = (a ∗ b) + (a ∗ c) Propriedade associatividade  ∀ a, b, c ∈ Q a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 10/50 De fato, temos: Assim, . , temos que mostrar que . De fato, temos: . , temos que mostrar que tal que . De fato, temos: . , temos que mostrar que tal que . De fato, temos: Com em . Logo, é o inverso de a, pois . Portanto, é um corpo. Exemplos a ∗ (b ∗ c) = a ∗ ( bc 3 ) = a bc 3 3 = abc 3 3 = abc 9 (a ∗ b) ∗ c = ( ab 3 ) ∗ c = ab 3 c 3 = abc 3 3 = abc 9 a ∗ (b ∗ c) = abc 9 = (a ∗ b) ∗ c Propriedade comutatividade  ∀ a, b, c ∈ Q a ∗ b = b ∗ a a ∗ b = ab 3 = ba 3 = b ∗ a Existência do elemento neutro  ∀ a ∈ Q ∃e ∈ Q a ∗ e = e ∗ a = a a ∗ e = a ae 3 = a e = 3 Existência do elemento inverso  ∀ a ∈ Q ∃e ∈ Q a ∗ a′ = e. a ∗ a′ = e aa′ 3 = 3 aa′ = 9 a′ = 9 a a ≠ 0 Q 9 a a ∗ 9 a = 3 A = (Q, +, ∗) 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 11/50 Exemplo 1 é um anel comutativo com unidade, em que as operações são definidas como: Rotacione a tela.  Nesse anel, o elemento neutro para a operação de adição é dado por , e o elemento neutro para a operação de multiplicação é dado por . Vamos verificar primeiro que o anel é domínio de integridade e, por último, verificaremos se é ele é um corpo. Para verificar se é domínio de integridade , com , temos que resolver a equação . Rotacione a tela.  Note que é um domínio de integridade, pois temos dois elementos e , onde fica verificado que . Lembre-se de que todo domínio de integridade não possui divisores de zero. Agora, vamos verificar se é um corpo. , devemos determinar tal que . Os elementos do anel têm inverso multiplicativo, pois: Rotacione a tela.  Rotacione a tela.  A = (Q, ∗, Δ) a ∗ b = a + b − 2 e aΔb = a + b − ab 2 OA = 2 1A = 0 A = (Q, ∗, Δ) ∀a, b ∈ Q b ≠ 2 aΔb = OA ⇒ aΔb = 2 aΔb = 2 ⇒ a + b − ab 2 = 2 ⇒ 2a + 2b − ab = 4 ⇒ a(2 − b) = 4 − 2b ⇒ ⇒ a(2 − b) = 2(2 − b) ⇒ a = 2 b ≠ 2 a = 2 aΔb = OA ⇒ aΔb = 2 A = (Q, ∗, Δ) ∀a ∈ Q com a ≠ 2 a−1 ∈ Q aΔa−1 = 1A ⇒ aΔa−1 = 0 aΔa−1 = 1A ⇒ aΔa−1 = 0 a + a−1 − a ⋅ a−1 2 = 0 ⇒ 2a + 2a−1 − a ⋅ a−1 = 0 ⇒ a−1 = − 2a 2 − a 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 12/50 Ou seja, todos os elementos têm inverso com a operação . Logo, é um corpo. Exemplo 2 Determine no corpo a solução da equação . Solução Note que o inverso de é , pois . Como queremos isolar o , vamos multiplicar os dois lados da equação por . Rotacione a tela.  Exemplo 3 Considerando o corpo , resolva o sistema de equações: Rotacione a tela.  Solução Para facilitar o trabalho, vamos omitir as barras. Podemos multiplicar a primeira equação por 2 e a segunda equação por 3, pois, assim, será possível somar as equações e eliminar uma variável. Devemos ter em mente que estamos resolvendo o sistema em . Rotacione a tela.  Veja que: em . Isso significa que 7 é o inverso multiplicativo de 8. Vamos multiplicar a igualdade por Δ (Q, ∗, Δ) Z7 –4 ⋅ x = –5 –4 –2 –4. –2 = –8 = –1 x –2 –4 ⋅ x = –5 ⇒ –2 ⋅ –4 ⋅ x = –2 ⋅ –5 ⇒ –8 ⋅ x = 10 ⇒ –1 ⋅ x = –3 ⇒ x = –3 – Z11 { –2x + –3y = –1 –5x − –2y = –8 Z11 { ⇒ { ⇒ 19x = 26 ⇒ 8x = 4 –2x + –3y = –1 –5x − –2y = –8 4x + 6y = 2 15x − 6y = 24 8 ⋅ 7 = 56 = 1 Z11 7. 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel 7-8@=7-4> 562 = 28>1-c7=6>5>2=6 Rotacione a tela. S$ Agora, basta escolher uma das equacées e substituir 2 = 6 para encontrar o valor de y. Escolhendo a primeira equag¢ao: 22+ 3y=1>2-64+3y=15124+3y=-1Sy=3'!-0Sy=0 Rotacione a tela. S$ Portanto, a solugdo do sistema de equagdes € x = 6e y= 0. Seja (K, +,.) um corpo e S um subconjunto nao vazio de K’. Dizemos que S é um subcorpo de K se (S,+..) também é um corpo. Veja os seguintes conjuntos que sao corpos: R E o conjunto dos nimeros reais. https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 13/50 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 14/50 É o conjunto dos números racionais. É o conjunto dos números complexos. Então, . Segue que é um subcorpo de , que por sua vez é um subcorpo de . Você deve ter percebido que verificar se um determinado conjunto dotado de uma operação é um corpo é muito trabalhoso, pois temos que verificar muitas propriedades. Com a proposição a seguir, o trabalho será bem menor. Proposição 2 Seja um corpo e . Então, é um subcorpo de se, e somente se: . Se , então . Se e , então . Exemplo: Seja um corpo o conjunto dos números com a forma , onde e são números racionais e é a unidade imaginária. Vamos verificar se é um corpo facilmente por meio da proposição 2. Note que, de acordo com a proposição, um subcorpo nada mais é do que um corpo contido em outro corpo. Dessa forma, podemos mostrar que é um subcorpo do corpo . Isso é possível, pois se é um subcorpo de , pela definição de subcorpo, isso implica que é um corpo. Demonstração Seja um conjunto não vazio. Agora, vamos verificar as condições dadas pela proposição 2. Condição 1 Seja e . Podemos escrever e . Então, e . Condição 2 C Q ⊂ R ⊂ C Q R C (K, +, . ) S ≠ ∅, com S ⊂ K S K 0K, 1K ∈ S x, y ∈ S x − y ∈ S x, y ∈ S y ≠ 0 xy−1 ∈ S K x + yi x y i K K C K C K K = {x + yi; x, y ∈ Q} ⊂ C, K 0C = 0 1C = 1 0 + 0i 1 + 0i = 1 0C = 0 ∈ K 1C = 1 ∈ K 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 15/50 Seja , onde e , com . Temos, então: , pois e . Condição 3 Sendo , temos que é tal que Multiplicando pelo conjugado, temos: Segue, que: Então, temos: Fazendo a distributiva: Veja que: Rotacione a tela.  Logo, . Concluímos que será um subcorpo de , se ele for um subcorpo de . Por definição, também é um corpo. a, b ∈ K a = x + yi b = z + wi a, y, z, w ∈ Q a − b = x + yi − (z + wi) = (x − z) + (y − w)i ∈ K (x − z) ∈ Q (y − w) ∈ Q b ≠ 0 b−1 bb−1 = 1 ⇒ b−1 = 1 b = 1 z+wi b−1 = 1 z+wi ⋅ z−wi z−wi = z−wi z2−(wi)2 = z−wi z2−w2⋅i2 = z−wi z2−w2⋅(−1) = z−wi z2+w2 b−1 = z z2+w2 − w z2+w2 i ab−1 = (x + yi) ⋅ ( z z2+w2 − w z2+w2 i) ab−1 = xz z2+w2 − xw z2+w2 i + yz z2+w2 i + yw z2+w2 ab−1 = xz+yw z2+w2 + yz−xw z2+w2 i ∈ K xz + yw z2 + w2 ∈ Q yz − xw z2 + w2 ∈ Q ab−1 ∈ K K C C K Saiba mais - Anéis Quadráticos O anel não é um corpo, pois .  Z[√d] = {a + b√d : a, b ∈ Z} 1 2 ∉ Z[√d] 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 16/50 Agora, podemos concluir o nosso estudo sobre os corpos, apresentando o corpo das frações. Chamamos o elemento de fração , e de numerador e de denominador da fração. Sendo assim, podemos dar a uma estrutura de corpo, em que temos as operações de adição e multiplicação definidas por: Rotacione a tela.  A partir dessas operações, segue a proposição 3. Proposição 3 Considere elementos de um corpo . Tendo e , temos que: se, e somente se, ; ; ; ; Se , então . Vem que eu te explico! Os vídeos a seguir abordam os assuntos mais relevantes do conteúdo que você acabou de estudar. O anel é um corpo, pois dados dois elementos de , temos: Com . Q[√d] = {a + b√d : a, b ∈ Q} x, y ∈ Q[√d], x ≠ 0, y ≠ 0 1 x+y√d ⋅ x−y√d x−y√d = x−y√d x2−y2d x2 − y2d ≠ 0 a b ∈ K (b ≠ 0) a b K a b + c d = ad + bc bd e a b ⋅ c d = ac bd a, b, c, d K b ≠ 0 d ≠ 0 a b = c d ad = bc a b ± c d = ad±bc bd a b ⋅ c d = ac bd − a b + −a b b, a ≠ 0 ( a b ) −1 = b a  01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 17/50  Vamos praticar alguns conceitos? Falta pouco para atingir seus objetivos. Questão 1 Considerando o corpo determine o conjunto solução da equação . Z11 x3 − x = 0 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 18/50 A S = {0, 1, 10} B S = {0, 1} C S = {0, −1} D S = {0, 1, −1} E S = {−1, 1} Responder Questão 2 Considerando os subconjuntos dos números reais, marque a alternativa que indica os subcorpos de . I) II) III) IV) R A = {0, 1} B = {a√2; a ∈ Q} C = {a + b√2; a, b ∈ Q} D = {a√2 + b√3; a, b ∈ Q} A I e II. B I, II e III. 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel = am 2 - |\deais de um anel e suas operacoes Ao final deste médulo, vocé sera capaz de reconhecer os ideais de um anel e suas operacoes. Vamos comecar! https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 19/50 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel Assista ao video a seguir para conhecer os principais pontos que serado abordados neste modulo. O estudo sobre os ideais de um anel foi apresentado pelo matematico Richard Dedekind (1831-1916), no final do século XIX. O interesse dele no desenvolvimento dessa teoria foi simplesmente para responder alguns questionamentos na Teoria dos Numeros. Comentario https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 20/50 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel Vamos construir 0 anel quociente por meio do estudo dos ideais. Definimos ideal de um anel do seguinte modo: Seja um anel A e um subconjunto nado vazio B do anel A. De acordo com o nosso estudo sobre os subanéis, B sera um subanel de A se forem satisfeitas as seguintes condicées: Va,y€B, temos x«x—-yEeB Rotacione a tela. © Va,y€e€B, temos ryEeB Rotacione a tela. © Os ideais sao subconjuntos de um anel que satisfazem as condi¢gdes acima. Portanto, podemos dizer que eles sao subanéis. Também é importante verificar se o ideal de um anel esta a direita ou a esquerda de A. Veja: Definigao de Ideal a esquerda Seja o anel (A, +, .) e J um subconjunto nao vazio de A. Dizemos que I é um ideal a esquerda de A quando: aVa,yelsa-yel bac A e «xE€ITsSarel x Definicgao de Ideal a direita Seja o anel (A, +, .) e J um subconjunto nao vazio de A. Dizemos que I é um ideal a direita de A quando: aVa,yelsa-yel bac A e xEITSuaacl https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 21/50 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 22/50 Logo, dado um anel e um subconjunto não vazio de . Dizemos que é um ideal de quando é ideal à esquerda e à direita de . Portanto, para verificarmos se um subanel é um ideal de um anel, é necessário verificar se é ideal à direita e à esquerda. Quando o anel é comutativo, basta analisar: Rotacione a tela.  Rotacione a tela.  Para todo anel , temos que e são ideais de . Eles são chamados de ideais triviais de um anel. Exemplos de ideias de um anel Exemplo 1 Considere um anel e (conjunto dos números pares). Veja que é um anel comutativo. Assim, dado dois elementos de da seguinte forma: e , onde e são elementos de . Agora, temos que: Rotacione a tela.  Se então Rotacione a tela.  Logo, fica verificado que é um ideal no anel . Exemplo 2 (A, +, . ) I A I A I A ∀ x, y ∈ I ⇒ x − y ∈ I a ∈ A e x ∈ I ⇒ ax ∈ I A A {0} A (Z, +, . ) I = 2Z Z x, y ∈ I I x = 2m y = 2n m n Z x − y = 2m − 2n = 2(m − n) ∈ I a ∈ A ax = a(2m) = 2(am) ∈ I 2Z Z 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 23/50 Considere um anel e . Veja que não é um ideal do anel , pois se considerarmos um elemento de , por exemplo, e um elemento de , por exemplo . Observe que: Rotacione a tela.  Logo, fica verificado que não é um ideal no anel , mesmo considerando é um subanel Exemplo 3 Seja e I Vamos verificar se é um ideal do anel . Solução: Vamos verificar se é ideal à direita e à esquerda de . Dados dois elementos e de da forma e . Rotacione a tela.  Verificando se é um ideal à direita de . Vamos considerar um elemento e um elemento de . Rotacione a tela.  (Q, +, . ) I = Z I (Q, +, . ) I x = 1 (Q, +, . ) a = 1 3 ∈ Q ax = 1 3 ⋅ 1 = 1 3 ∉ I Z Q Z de Q A = M2(R) = {( ) ∈ M2(R)}. a b 0 0 I A ∣ I A X Y I X = ( ) a b 0 0 Y = ( ) c d 0 0 x − y = ( ) − ( ) = ( ) ∈ I ⇒ x − y ∈ I a b 0 0 c d 0 0 a − c b − d 0 0 I A N ∈ A X I X = ( ) a b 0 0 N = ( ) x y z w 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 24/50 Rotacione a tela.  Rotacione a tela.  Logo, é um ideal à direita de . Verificando se é um ideal à esquerda de . Rotacione a tela.  Rotacione a tela.  Rotacione a tela.  Veja que não é um ideal à esquerda de , pois e . Portanto, não é um ideal do anel . Exemplo 4 (Adaptado) Seja e . Vamos verificar se é um ideal do anel . Considere, por exemplo, as seguintes funções: e . Temos: XN = ( ) ( ) = ( ) ∈ I a b 0 0 x y z w ax + bz ay + bw 0 0 I A I A X = ( ) a b 0 0 N = ( ) x y z w NX = ( ) ( ) = ( ) ∉ I x y z w a b 0 0 xa xb za zb I A za ≠ 0 zb ≠ 0 I A I = {f : R → R/f(1) + f(3) = 0} (RR, +, . ) I (RR, +, . ) f(x) = −x + 2 h(x) = x 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 25/50 Rotacione a tela.  Rotacione a tela.  , então é um elemento de . Seja a função definida por: Rotacione a tela.  Rotacione a tela.  . Logo, não é um elemento de . Concluímos que não é um ideal do anel . A seguir, podemos verificar que há anéis que possuem apenas ideais triviais. Proposição 1 Seja um ideal do anel com unidade. Se contém um elemento inversível de , então . Demonstração Por hipótese, temos que é um ideal do anel com unidade. contém um elemento inversível de . Vamos considerar que é um ideal à direita de . Por definição, . Seja um elemento de . Pela hipótese, existe um elemento em , tal que está em . Como é ideal à direita de , temos e . Logo, pode ser escrito como . Portanto, pela teoria dos conjuntos, temos que . De e , concluímos que . f(1) = −(1) + 2 = 1 f(3) = −(3) + 2 = −1 f(1) + f(3) = 1 + (−1) = 0 f(x) I g(x) g(x) = h(x) ⋅ f(x) = x ⋅ (−x + 2) = −x2 + 2x g(1) = −(1)2 + 2(1) = −1 + 2 = 1 g(3) = −(3)2 + 2(3) = −9 + 6 = −3 g(1) + g(3) = 1 + (−3) = −2 ≠ 0 g(x) I I (RR, +, . ) I A I A I = A I A I A I A I ⊆ A (∗) x A y I y−1 A I A y ∈ I y−1x ∈ A x x = y (y−1x) ∈ I A ⊆ I (∗∗) (∗) (∗∗) I = A 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel Exemplo A partir desse resultado, podemos dizer que um corpo so possui ideais triviais. Considerando J um ideal do corpo K, entaéo existe um elemento 2 em I. Mas K é um corpo, entao x! é um elemento de K. Logo, I possui um elemento inversivel de K. Assim, I = K. |sso nos leva a concluir que K possui apenas ideais triviais, J = K eI = {0}. Se A éum anel e x um elemento de A, entdo: Ideal 4 esquerda de A Az = {az/a€ A} Ideal a direita de A rA = {ra/a € A} Essa proposi¢ao sinaliza que podemos gerar ideais de qualquer anel. Isso ocorre quando consideramos os multiplos de um elemento fixado no anel. A partir da proposi¢ao 2, podemos apresentar a proxima definicado que fala sobre ideal principal. Seja A um anel comutativo com unidade e x um elemento de A. Podemos definir: Ideal 4 esquerda de Ax E chamado ideal principal 4 esquerda de A gerado por z. https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 26/50 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 27/50 Ideal à direita de É chamado de ideal principal à direita de gerado por . Podemos usar a notação , chamado de ideal principal gerado por . Exemplos de ideal principal Exemplo 1 O conjunto dos números pares é um ideal principal de gerado pelo elemento 2,1 e . Elemento 2 Elemento 1 Elemento -1 Exemplo 2 Vamos considerar o anel . Determine os ideais do anel . Solução xA A x I = ⟨a⟩ = {ax/x ∈ A} a ∈ A Z −1 I = ⟨2⟩ = {2x/x ∈ Z} = 2Z I = ⟨1⟩ = {1x/x ∈ Z} = Z I = ⟨−1⟩ = {(−1)x/x ∈ Z} = Z Z4 Z4 Z4 = {0, 1, 2, 3} 0 ⋅ Z4 = 0. {0, 1, 2, 3} = {0} 1 ⋅ Z4 = 1 ⋅ {0, 1, 2, 3} = {0, 1, 2, 3} 2 ⋅ Z4 = 2 ⋅ {0, 1, 2, 3} = {0, 2} 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 28/50 Todos são ideais do anel . Esses ideais são todos principais. Assim, podemos dizer que é um anel principal. Exemplo 3 Vamos considerar o anel . Verifique se é um ideal do anel . Solução Rotacione a tela.  Rotacione a tela.  Rotacione a tela.  Rotacione a tela.  Portanto, é um ideal do anel . 3 ⋅ Z4 = 3 ⋅ {0, 1, 2, 3} = {0, 1, 2, 3} Z4 Z4 Z4 I = {0, 2} Z4 ∀x ∈ I, e∀a ∈ Z4, x ⋅ a ∈ I Z4 = {0, 1, 2, 3} I = {0, 2} 0 ⋅ {0, 1, 2, 3} = {0} ∈ I 2 ⋅ {0, 1, 2, 3} = {0, 2} ∈ I I = {0, 2} Z4 Saiba mais 1) Um anel de integridade, no qual todos os ideais são principais, é denominado anel principal. O conjunto dos números inteiros, , é um anel principal.  Z 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 29/50 Exemplo 4 O conjunto dos números pares é um ideal principal de gerado pelo elemento 2. Dessa forma, podemos dizer que, em geral, é um ideal principal de e , ou seja, é gerado por A proposição a seguir apresenta operações com ideais. Proposição 3 Se e são ideais de um anel A, então: é um ideal de Rotacione a tela.  é um ideal de e Rotacione a tela.  Demonstração 1 Veja os itens 1 e 2, a seguir: Item 1 Dados . Temos: e . Considerando que I e J são ideais, temos e . Portanto, . Item 2 Considerando e um elemento . Considerando que I e J são ideais, temos . 2) O anel comutativo é anel principal quando todo ideal de é ideal principal. A A Z I = nZ Z I = [n] I n. I J I ∩ J A, I ∩ J = {x ∈ A/χ ∈ I e x ∈ J} I + J A, I + J = {x + y ∈ A/x ∈ I y ∈ J} x, y ∈ I ∩ J x, y ∈ I x, y ∈ J (x + y) ∈ I (x + y) ∈ J x + y ∈ I ∩ J x ∈ I ∩ J a ∈ A (xa) ∈ Ie(xa) ∈ J 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 30/50 Portanto, . Dos itens 1 e 2, concluímos que é um ideal do anel . Demonstração 2 Veja os itens 1 e 2, a seguir: Item 1 Dados . Temos: e . Podemos escrever: e . Definimos a soma . Considerando que I e J são ideais, temos e . Portanto, . Item 2 Considerando , onde e e . Dado um elemento . Temos . Considerando que I e J são ideais, temos e . Portanto, . Dos itens 1 e 2, concluímos que é um ideal do anel . Exemplo 1 Seja e e Determine Solução Temos . A operação encontrada não é ideal de , pois ele não é ideal nem à direita nem à esquerda de . xa ∈ I ∩ J I ∩ J A x, y ∈ I + J x1, x2 ∈ I y1, y2 ∈ J x = x1 + x2 y = y1 + y2 x + y = (x1 + x2) + (y1 + y2) = (x1 + y1) + (x2 + y2) (x1 + y1) ∈ I (x2 + y2) ∈ J x + y ∈ I + J x ∈ I + J x = x1 + x2 x1 ∈ I x2 ∈ J a ∈ A x ⋅ a = (x1 + x2)a = x1a + x2a (x1a) ∈ I (x2a) ∈ J xa ∈ I + J I + J A A = M2(R) I = {( ) ∈ M2(R)} a b 0 0 J = {( ) ∈ M2(R)}. a 0 b 0 I ∩ J. I ∩ J = {( ) ∈ M2(R)} a 0 0 0 I ∩ J A A 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 31/50 Exemplo 2 Seja e e . Agora, veja que . A operação não é ideal de , pois não é ideal nem à direita nem à esquerda de . De fato: Sejam não é um ideal em . Veja: Rotacione a tela.  Rotacione a tela.  Exemplo 3 Dados dois ideais: e . Temos , pois um elemento de é múltiplo de 6 e todo elemento de é múltiplo de 2 e A = M2(R) I = {( ) ∈ M2(R)} a b 0 0 J = {( ) ∈ M2(R)} a 0 b 0 Relembrando Como já foi visto, I é um ideal à direita de , mas não é ideal à esquerda de J é ideal à esquerda e não é ideal à direita de  A A. A. I + J = {( ) ∈ M2(R)} a b b 0 I + J A A X = ( ) ∈ I + J e N = ( ) ∈ A. 1 1 1 0 1 1 1 1 I + J A NX = ( ) ( ) = ( ) ∉ I + J 1 1 1 1 1 1 1 0 2 1 2 1 XN = ( ) ( ) = ( ) ∉ I + J 1 1 1 0 1 1 1 1 2 2 1 1 2Z 3Z 2Z ∩ 3Z = 6Z 2Z ∩ 3Z 6Z 3. 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel Na operagdo de unido, isso nao é valido. Considere dois ideais: 27 e 3Z. Seja2 € 2Ze3 © 3Z. Vejaque2 + 3 =5 € 27 U 3Z, 5 nao é miultiplo 2 e 3 . Logo, a unido nao é um ideal de um anel. Exemplo 4 Dados dois ideais: 27 e 3Z. Temos: 2Z 4+ 3Z = Z. Neste caso, usamos a seguinte proposic¢ao: Proposicao 5 Sejam m en elementos do conjunto dos numeros naturais. Entéo, mZ + nZ = dZ se, e somente se, mdc(m, n) =d. Proposicao 5 Em relagao ao exemplo onde foram dados ideais 2Z e 3Z, veja que o mdc(2, 3) = 1. Logo, 27 + 3Z = Z. Seja o anel comutativo A e P um ideal de A. Podemos dizer que P é ideal primo de A quando: PA#AeVaz,yEA, rye PS>xEP ou yEP Exemplo 1 Vamos analisar o anel Z. Considere P = 3Z. Usando a definigado dada, temos que: Va,yeZ, «ryeP, entio rye3Z>3\(ry)>3\e ou 3)yS>uxeEP ouyeP Portanto, P é um ideal primo. Exemplo 2 Agora, veja que o ideal I = 6Z nao é um ideal primo, pois considerando x = 2 e y = 3, dois elementos de Z notamos que xy = 2.3 = 6 que 6 um elemento de I, mas 2 e 3 nao sao elementos de I. Assim, podemos dizer que pZ é um ideal primo de Z se, e somente se, p é primo. https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 32/50 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 33/50 Vem que eu te explico! Os vídeos a seguir abordam os assuntos mais relevantes do conteúdo que você acabou de estudar.   01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 34/50 Vamos praticar alguns conceitos? Falta pouco para atingir seus objetivos. Questão 1 Indique o ideal principal em gerados por . Z6 [2] A {0, 2} B {0, 1, 4} C {2, 3, 4} D {0} E {0, 2, 4} Responder Questão 2 Dados os ideais e , marque a alternativa que indica o resultado da soma . 360Z 540Z 360Z + 540Z 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel — am —— 5 - Anel quociente e elementos de um anel Ao final deste modulo, vocé sera capaz de identificar os elementos de um anel e os anéis quocientes. https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 35/50 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel Vamos comecar! Qs elementos de um anel e os anéis quocientes Assista ao video a seguir para conhecer os principais pontos que serado abordados neste modulo. Anel quociente Veremos que cada ideal de um anel A define uma relacdo de equivaléncia em A. Chamaremos 0 conjunto das classes de equivaléncia do anel de anel quociente. Denotamos 0 conjunto formado por todas as classes de equivaléncia da relagdo por A/T . Agora, vejamos algumas definigdes importantes. Classe de equivaléncia em um anel Definicao https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 36/50 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel Dado I um ideal de um anel A e b um elemento de A. Definimos as classes de equivaléncia de b como sendo 0 conjunto b=b4+1={b4+2;2 € I}, pois x € 8, entao: x—-be€Il=S>x2-—b=y _ (elementodoideal)>2x2=b+y . Rotacione a tela. S$ Seja I um ideal de um anel comutativo A. O anel quociente de A por I é 0 conjunto A/I = {x + I/x éum elemento de A}, com as operagées de adigdo e multiplicagao definidas por: Adicao (c+ JI)+(y+J1) = («+ y)4+ LI paratodozeyem A. Multiplicagao (c+ I)- (y+ JI) = (xy) + I, para todo x eyem A. Podemos afirmar que A/I é um anel, (A/JI, +, .) e todas as propriedades que caracterizam o anel sdo validas. Veja: Propriedade 1 (A/I,+,.) €um grupo abeliano, pois verificada para a adicdo a propriedade associativa, o elemento neutro é 0 + J, 0 inverso do elemento a + I é0 elemento (—a) + I. A propriedade comutativa é verificada. Propriedade 2 Com relagdo a operagao de multiplicagdo (A/I, +, . ), é verificada a propriedade associativa. Propriedade 3 A propriedade distributiva da multiplicagao em relagao a adigdo também é valida. https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 37/50 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 38/50 Chamamos o anel de anel quociente. Exemplo de operações de soma e de multiplicação no ideal do anel Vejamos um exemplo de como efetuar as operações de soma e multiplicação, a partir de uma tábua de operação. Exemplo Seja o anel e um ideal do anel. Veja como é o conjunto quociente desse anel. Rotacione a tela.  De fato: A partir de , voltamos para . Veja como fica a tábua de operação de : Usando a operação de soma para construir a tábua da operação soma. Por exemplo: (a + I) ⋅ [(b + I) + (c + I)] [(a + I) + (b + I)] ⋅ (c + I) (A/I, +, . ) (Z, +, . ) I = 4Z Z/I = {0 + I, 1 + I, 2 + I, 3 + I} 0 + I = {0 + y; y ∈ I} = {0 + 0, 0 + 4, 0 − 4, 0 + 8, 0 − 8, …} = {0, 4, −4, 8, −8, …} 1 + I = {1 + y; y ∈ I} = {1 + 0, 1 + 4, 1 − 4, 1 + 8, 1 − 8, …} = {1, 5, −3, 9, −7, …} 2 + I = {2 + y; y ∈ I} = {2 + 0, 2 + 4, 2 − 4, 2 + 8, 2 − 8, …} = {2, 6, −2, 10, −6, …} 3 + I = {3 + y; y ∈ I} = {3 + 0, 3 + 4, 3 − 4, 3 + 8, 3 − 8, …} = {3, 7, −1, 12, −5, …} 4 + I 0 + I Z/I = {0 + I, 1 + I, 2 + I, 3 + I} Operação de soma  (I) + (1 + I) = (1) + I = 1 + I (1 + I) + (1 + I) = (1 + 1) + I = 2 + I (1 + I) + (3 + I) = (1 + 3) + I = 4 + I = 0 + I = I (3 + I) + (2 + I) = (3 + 2) + I = 5 + I = 1 + I 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel ser peer] [tat ar Usando a operagao de multiplicagao para construir a tabua da operagao produto. Por exemplo: (14+7)-(14+ND=(1.1)4+7=141 (14+7)-(34+/) =(1.3)+7=341 (2+ 7)-(34+ J) = (2.3)4+7=64+7=241 Ppt per [eet at per Elementos de um anel Vamos reconhecer alguns elementos importantes relacionados as operag6es com os anéis. Definicoes Dado o anel unitario (A, +,. ) eum elemento a desse anel, podemos dizer que a é um elemento inversivel do anel A, se existe um elemento 6 em A tal que ab = ba = 1. Nesse caso, dizemos que a é inversivel e b é chamado de inverso de a. Lembramos que o inverso de um elemento inversivel é unico, assim vamos usar a notacao b para representar o inverso de a. A partir dessa definigao, podemos dizer que 0 conjunto dos elementos inversiveis do anel unitario (A, +, . ) sera denotado por: U(A) = {a € A; 5b € A/ab = ba = 1} https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 39/50 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 40/50 Rotacione a tela.  Exemplos Exemplo 1 Em , temos que . De fato: . , pois e 25 dividido por 12 deixa resto 1. , pois e 49 dividido por 12 deixa resto 1. , pois e 121 dividido por 12 deixa resto 1. Exemplo 2 Em , todos os elementos não nulos são inversíveis. De fato: Propriedades de operações com anéis Seja um anel com as operações usuais de adição e multiplicação. Dizemos que, para em , temos: Isso ocorre quando e existe em tal que ou . Notação: o conjunto dos divisores de zero do anel . Ocorre quando e não é divisor de zero. Isso significa que não existe em tal que ou . Também podemos dizer que, se é um elemento de , e , ele é regular quando e . Z12 U (Z12) = {1, 5, 7, 11} – 1−1 = 1 5−1 = 5 5 ⋅ 5 = 25 7−1 = 7 7 ⋅ 7 = 49 11−1 = 11 11 ⋅ 11 = 121 Z7 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} 1−1 = 1 2−1 = 4 3−1 = 5 A x A Divisor de zero  x ≠ 0 y A − {0} xy = 0 yx = 0 Ddz(A) A Regular  x ≠ 0 x y A, y ≠ 0 xy = 0 yx = 0 x A x ≠ 0 xy ≠ 0 yx ≠ 0 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 41/50 Notação: os conjuntos dos elementos regulares do anel . Quando um elemento do anel . Notação: os conjuntos dos elementos idempotentes do anel . Exemplo: Seja o anel Temos: Logo, . Quando existe um número natural , tal que . Notação: os conjuntos dos elementos nilpotentes do anel . Exemplos de operações com anéis Exemplo 1 Seja o anel Temos: Logo, . Exemplo 2 Reg(A) A Idempotente  x A, x2 = x Idemp(A) A Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} (1)2 = 1 (3)2 = 3 (4)2 = 4 Idemp (Z6) = {1, 3, 4} Nilpotente  n, N − {0} xn = 0 Nilp(A) A Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} (0)2 = 0 (2)3 = 0 (4)2 = 0 (6)2 = 0 Nilp (Z8) = {0, 2, 4, 6} 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 42/50 Considerando o anel , temos que: Proposições de operações com anéis Proposição 1 Se é um domínio, então temos: 1. 2. 3. 4. Essa proposição diz que nenhum elemento de pode ser divisor de zero, ou seja, se considerarmos dois elementos e de , temos que e estão em . Considerando (1), podemos dizer que em (2): Rotacione a tela.  Em (3), temos que 0 e 1 são idempotentes, pois dado , podemos escrever: Rotacione a tela.  Logo, eles são os únicos elementos idempotentes de . Em (4), temos que 0 é nilpotente. Z4 Z4 = {0, 1, 2, 3} U (Z4) = {1, 3} Ddz (Z4) = {2} Reg (Z4) = {1, 3} Idemp (Z4) = {0, 1} Nilp (Z4) = {0, 2} D Ddz(D) = ∅ Reg(D) = D − {0} Idemp(D) = {0, 1} Nilp(D) = {0} D x y D x y D − {0} Reg(D) = D − (Ddz(D)U{0}) = D − (∅U{0}) == D − {0} x2 = x x2 − x = 0 → x(x − 1) = 0 → x = 0 ou x − 1 = 0 → x = 0 ou x = 1 D 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 43/50 A partir desta proposição, temos uma outra proposição, que fala sobre os elementos e o corpo . Proposição 2 Considerando um corpo temos: 1. 2. 3. 4. 5. Exemplo Seja um corpo. Temos: 1. 2. 3. 4. 5. Proposição 3 Seja um número natural, . São equivalentes: Essa proposição mostra que nos anéis vale a igualdade . Exemplo Calcule Nesse caso, de acordo com a proposição, basta considerarmos as classes dos elementos que são primos. Assim, teremos: K K, U(K) = K − {0} Ddz(K) = ∅ Reg(K) = K − {0} Idemp(K) = {0, 1} Nilp(K) = {0} (Q, +, . ) U(Q) = Q − {0} Ddz(Q) = ∅ Reg(Q) = Q − {0} Idemp(Q) = {0, 1} Nilp(Q) = {0} n n ≥ 0 x ∈ U (Zm) x ∈ Reg (Zm) mdc(x, m) = 1 Zm U (Zm) = Reg (Zm) U (Z6). U (Z6) = {1, 5}. 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel Definicao Sejam A um anel e a, b elementos de A. Dizemos que a divide b em A quando existe um elemento c em A tal que ac = 6.0 elemento c é chamado quociente de divisdo de b por a. Também podemos dizer que o elemento a é um divisor de b, ou que b é um multiplo de a, ou que b é divisivel por a. | Notagao: a | b Exemplo Em Z, temos que: 4|12, pois 12 = 3-4. 4 | 11? Nao, pois nao existe cem Z tal que 11 = c- 4. Agora vamos considerar 0 anel Zs. Veja que 2 divide 6, pois 2 - 3 = 6, mas podemos observar que 0 mesmo ocorre com 2-7 = 14 =6. Notamos que 2 divide 6 com dois quocientes. Agora, observe o resultado a seguir. Proposigao Seja A um anel de integridade e considere a e b elementos de A, sendo a ¥ 0. Sea | b, ent&o 0 quociente é unico. Propriedades da divisibilidade em aneis de integridade Seja A um anel de integridade e a, b, c, d, x, y elementos de A. * Sea| beb|centéoa | bc. ° 14| a. * Sea| beb|centdoa | (bx + cy). ¢ Sea| bec| dentaoac | bd. * Sea| bentadoa| bz. * Sea| beb| dentdoa| d. * Seu éum elemento de U(A) entao ua | a. https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 44/50 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel Definicao Seja D um dominio e a e b elementos de D. Podemos dizer que a e b sao associados quando a | be b | a Essa defini¢ao diz que dois elementos de um anel de integridade sao chamados de elementos associados se existir um elemento invertivel u em A tal que b = u-a. Exemplos Exemplo 1 Determinar os elementos associados a 2 em Z. U(Z) = {1,—-1} Rotacione a tela. S$ Assim, os elementos associados a 2 so 2 e —2, pois 2 = 2- le —-2 = 2- (—1). Exemplo 2 Determinar os elementos associados a 2 em Zg. U (Z¢) = {1,5} Rotacione a tela. S$ Assim, os elementos associados a 2 séo2e4,pois2 = 2-1le2-5=10=4. => Os videos a seguir abordam os assuntos mais relevantes do conteudo que vocé acabou de estudar. https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 45/50 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 46/50  Vamos praticar alguns conceitos? Falta pouco para atingir seus objetivos. Questão 1 Marque a alternativa que indica os elementos do anel quociente , onde . A/I A = 2Z/8Z 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 47/50 A {8Z, 1 + 8Z, 2 + 8Z, 3 + 8Z} B {8Z, 2 + 8Z, 4 + 8Z, 6 + 8Z} C {2Z, 2 + 2Z, 4 + 2Z, 6 + 2Z} D {2 + 8Z, 4 + 8Z} E {8Z, 2 + 8Z, 6 + 8Z} Responder Questão 2 Considerando o anel , determine o conjunto . Z10 Reg (Z10) A {0, 1, 2, 4, 5, 7, 9} B {0, 1, 3, 7, 9} C {0, 2, 4, 6, 8} 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel Chegamos ao fim deste contetdo conhecendo uma nova estrutura chamada corpo, dotada de propriedades importantes. Além dela, estudamos os ideais de um anel e sua importancia na construcdo dos anéis quocientes. Por fim, conhecemos mais sobre os anéis por meio dos elementos que estado presentes neles. Apesar de esses assuntos serem mais abstratos, daridos, na maioria das vezes, eles nado tém uma aplicagao direta, mas sao teorias importantes para outras ciéncias e sao aprofundadas em estudos mais avangados dentro da matematica. Todas as teorias apresentadas pela algebra vém de longos anos de estudos e trabalho arduo de varios matematicos ao longo da historia. Assim, o conteUdo pode despertar o interesse em conhecer outras teorias da algebra e se aprofundar mais nas teorias estudadas. Agora, 0 especialista encerra o estudo falando sobre os principais topicos abordados. 00:00 00:00 @) TY 4, 1x https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 48/50 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 49/50 01/09/2023 19:27 Corpos, ideais de um anel e elementos de um anel https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03638/index.html# 50/50