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E-Book - Apostila Tema 1 - Tipos de Matrizes E-Book - Apostila Esse arquivo é uma versão estática. Para melhor experiência, acesse esse conteúdo pela mídia interativa. E-Book - Apostila OBJETIVO Identificar os principais tipos de matrizes. Palavras-chave: Equações lineares; sistemas de equações; matrizes; equações matriciais; álgebra matricial. Introdução A matemática é uma ciência que está presente nas ações diárias da sociedade. Quando você acorda e vai à padaria comprar seu pãozinho para tomar café da manhã, quando você está traçando a rota da sua casa ao seu trabalho, quando você verifica se a meta do dia em seu trabalho foi alcançada, quando você chega em casa e vai preparar aquela janta deliciosa para encerrar o dia e descansar, dentre tantas outras atividades cotidianas, é possível observar a matemática coexistindo com as nossas ações do dia-a-dia (Figura 1). Cada uma dessas ações pode ser traduzida matematicamente em uma simples equação linear, porém, quando há necessidade de analisar todas elas em conjunto, temos um sistema de equações e solucioná-lo é, provavelmente, o problema mais importante na matemática. A grande maioria dos problemas de matemática encontrados em aplicações científicas e industriais envolve a resolução de um sistema de equações lineares. Figura 1 - A beleza da matemática e suas fórmulas 2 - 8 E-Book - Apostila Fonte:https://www.shutterstock.com/image-vector/math-chalkboard-vector-illustration-physics-solving-1398586361 Observe o seguinte problema e a sua resolução: João iniciou uma dieta restritiva alimentar à base de proteínas. Seu nutricionista recomendou que ele prepare apenas frango e carne em suas refeições principais. Para isso, João foi até ao açougue mais próximo de sua casa e verificou que o quilograma do frango custa R$6,00 e o de filé-mignon, R$15,00. Assim sendo, João comprou x quilos de frango e y quilos de filé-mignon, gastando R$99,00. Sabe-se que x e y são números inteiros. Uma equação linear é representada matematicamente da seguinte forma: a1x1 + a2x2 + a3x3 + ⋯ + anxn = b, onde a1, a2, a3,⋯, an e b são números reais e x1, x2, x3, ⋯, xn são variáveis. A partir da problemática citada acima, vamos escrever uma equação linear relacionando as incógnitas x e y. Se x é relacionado ao frango e o quilograma custa R$6,00; o y é relacionado ao filé-mignon e custa R$15,00; e comprando uma quantidade específica dos dois João pagou R$99,00, temos: 6x + 15y = 99. Será que é possível ao João ter comprado, nessa situação, 6Kg de filé-mignon? Para verificar essa questão, vamos substituir a incógnita referente ao filé-mignon por 6Kg. Fazendo essa substituição, observamos que só para o filé-mignon ficará um custo de R$90,00, uma vez que 6x15=90. Foi informado que a quantidade comprada por João corresponde a números inteiros, portanto se ele comprar 1Kg de frango, o total da compra será R$96,00 e se ele comprar 2Kg de frango, o total será R$102,00. Dessa forma, podemos concluir que o João não comprou 6Ks de filé-mignon. 3 - 8 E-Book - Apostila Será que é possível ao João ter comprado, nessa situação, 5Kg de filé-mignon? Seguindo o mesmo raciocínio anterior, podemos verificar que ao comprar 5Kg de filé-mignon, o João poderá comprar 4Kg de frango. Então, é possível que ele tenha comprado 5Kg de filé-mignon. Se for somada a esta problemática outras situações, poderemos encontrar novas equações lineares para ela. Dessa forma, chegaremos a um sistema de equações lineares, que se trata de um conjunto de equações lineares de m equações e n incógnitas. Por exemplo: a_1\,x_1 + a_2\,x_2 + \cdots + a_n\,x_n = b_1 a_2\,x_1 + a_2\,x_2 + \cdots + a_2\,x_n = b_2 . . . a_m\,x_1 + a_m\,x_2 + \cdots + a_m\,x_n = b_m Para que um sistema linear possa ser facilmente resolvido é importante que a quantidade de equações seja a mesma de incógnitas, por exemplo: \begin{cases} x_1 + 2x_2 = 5 \ 2x_1 + 3x_2 = 8 \end{cases} Este sistema pode ser facilmente resolvido quando identificado um par ordenado que satisfaz todas as equações. Neste caso o par (1,2) satisfaz ambas as equações. Agora veja um sistema em que a quantidade de equações não é a mesma de incógnitas: \begin{cases} x_1 - x_2 + x_3 = 2 \ 2x_1 + x_2 - x_3 = 4 \end{cases} Neste caso, pode haver diversas soluções, onde o terno ordenado (2, a, a) é capaz de satisfazer esse sistema. Agora observe um sistema que não tem nenhuma solução viável: \begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \ x_1 - x_2 = 1 \ x_1 = 4 \end{cases} Pela terceira equação segue-se que a ordenada x1 tem valor igual à 4. Porém, utilizando este valor nas outras equações é possível perceber que este sistema não trará uma solução viável. Quando um sistema linear não tem solução, é dito que este é um sistema inconsistente. Já nos dois casos anteriores, em que há solução, temos um sistema consistente. À medida que o número de equações e incógnitas aumenta em um sistema linear, a complexidade algébrica também se eleva. Com isso, uma forma de simplificar a escrita desse sistema é por meio de uma matriz, que consiste na denotação de uma coleção retangular de números. Temos um sistema 3x3, 3 equações e 3 incógnitas, observe: \begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_3 = 3 \ 3x_1 - x_2 - 3x_3 = -1 \ 2x_1 + 3x_2 + x_3 = 4 \end{cases} Este sistema pode ser reescrito em formato matricial, onde temos uma matriz com m colunas e n linhas. Neste caso, é uma matriz quadrada, pois m é igual à n. \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & -3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} E-Book - Apostila E a matriz aumentada deste exemplo é: \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 3 & -1 & -3 & | -1 \\ 2 & 3 & 1 & | 4 \end{array}\right) Existem três formatos especiais e principais de matrizes que serão apresentados aqui, são: matrizes diagonais, triangulares e simétricas. As matrizes diagonais são matrizes quadradas em que todas as entradas fora da diagonal principal são representadas pelo número zero. Veja os exemplos: \left(\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & -5 \end{array}\right) \quad \left(\begin{array}{cc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{array}\right) Antes de darmos continuidade, vamos entender do que se trata a diagonal principal de uma matriz. A diagonal principal de uma matriz consiste nas entradas em que i é igual a j. Veja o exemplo abaixo, em que é apresentada uma matriz genérica indicando a diagonal principal (em vermelho) e a diagonal secundária (em azul). A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} A diagonal secundária, por sua vez, corresponde à i + j = n + 1. Na Figura 1 é possível observar esta relação. Veja que a matriz A da Figura 1 possui 3 linhas, portanto, n + 1 é igual à 4. Assim sendo, os elementos a13, a22 e a31, pertencem a diagonal secundária, pois i + j em todos estas entradas são iguais à 4. As matrizes triangulares são matrizes quadradas que podem apresentar características de matrizes triangulares superiores ou inferiores. As matrizes triangulares superiores são aquelas que têm todas entradas acima da diagonal principal representadas pelo número zero e o inverso para as matrizes triangulares inferiores. Veja os exemplos: \left(\begin{array}{cc} 2 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & 7 & 7 \end{array}\right) \quad \left(\begin{array}{cc} 2 & 8 & 5 \\ 0 & -1 & -6 \\ 0 & 0 & 7 \end{array}\right) Por fim, as matrizes simétricas são matrizes quadradas que podem satisfazer a seguinte condição: A = A^T, onde A é a matriz quadrada e A^T é a sua matriz transposta. E-Book - Apostila A matriz transposta consiste na inversão das colunas e linhas da matriz original. O que era coluna na matriz original vira linha na matriz transposta. Veja o exemplo: \left(\begin{array}{ccc} 1 & 5 \\ 9 & 3 \\ 7 & 2 \end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{ccc} 1 & 9 & 7 \\ 5 & 3 & 2 \end{array}\right) Consequentemente uma matriz simétrica pode ser conforme demonstrada abaixo: A = \begin{bmatrix} 5 & 1 & 2 \\ 1 & 6 & 3 \\ 2 & 3 & 8 \end{bmatrix} = A^T = \begin{bmatrix} 5 & 1 & 2 \\ 1 & 6 & 3 \\ 2 & 3 & 8 \end{bmatrix} SAIBA MAIS Para entender melhor sobre os tipos de matrizes, assista a um vídeo publicado no canal do Youtube “Me Salva”, que trata sobre os principais tipos de matrizes, incluindo os que foram apresentados nesta nossa aula. O vídeo está disponibilizado em: https://www.youtube.com/watch?v=hNp3e7w8YaY DICA DE LEITURA Para expandir seu conhecimento acerca do assunto, leia a seção 1.1 “Introdução aos Sistemas de equações lineares” do livro Álgebra Linear com Aplicações dos autores Howard Anton e Chris Rorres. A partir desta leitura você poderá aprender a resolver um sistema de equação linear pelo método denominado operações elementares com linhas de uma matriz. Na página 7 do livro, os autores descrevem passo-a-passo como realizar este método e na sequência apresentam a resolução de um sistema linear de forma detalhada. FINALIZANDO Transformar os problemas do dia-a-dia em equações matemáticas e buscar soluções viáveis é um dos principais alicerces da matemática na sociedade. Saber formular matematicamente um problema e obter a melhor solução são recursos essenciais para diversas áreas profissionais, como economia, engenharia, negócios, demografia, eletrônica, física, entre outras. Por isso, é crucial o conhecimento sobre as equações lineares e os sistemas lineares, permitindo que a transformação de dados qualitativos seja traduzida em formulações matemáticas. Além disso, instruir-se sobre as diversas técnicas que existem para a resolução das problemáticas de forma cada vez mais moderada e viável, é substancial para o encontro de resultados paulatinamente mais aperfeiçoados. À vista disso, conhecer matrizes e seus tipos é basilar para o alcance do sucesso no processo de solução de problemas. REFERÊNCIAS E-Book - Apostila ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012. KOLMAN, B.; HILL, D.R. Introdução à Álgebra Linear: com aplicações. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018. LAY, D.C.; LAY, S.R.; McDONALD, J.J. Álgebra Linear e suas aplicações. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018. LEON, S.J. Álgebra Linear com Aplicações. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018. LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M.L. Álgebra Linear. 4. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011. DÚVIDAS FREQUENTES E-Book - Apostila 1. Qual a diferença entre equações lineares e sistemas de equações lineares? As equações lineares são equações simples compostas por números e incógnitas, por exemplo: ax + by − cz = d, onde a, b, c são números pertencentes aos Reais e x, y e z são incógnitas, ou seja, são desconhecidas na equação. Já os sistemas de equações lineares se referem a um conjunto de várias equações lineares, por exemplo: \(\begin{cases} ax + by + cz = d \\ fx − gy − hz = i \\ jy + kz = m \end{cases}\), onde a, b, c, d, f, g, h, i, j, k e m são números pertencentes aos Reais e x, y e z são as incógnitas. Neste caso, esse sistema é composto por três equações lineares diferentes. 2. O que é uma matriz quadrada? Matriz quadrada é um tipo de matriz, e ela possui o número de linhas igual ao número de \[\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\], onde a_{11} significa que aquele local é referente à linha 1 e coluna 1 (de modo geral - \(a_{ij}\) - onde i se refere à linha e j se refere à coluna). 3. O que é a diagonal principal de uma matriz? A diagonal principal de uma matriz consiste nas entradas (números que estão na matriz) em que i é igual a j, ou seja, é a diagonal da matriz formada pelas entradas \(a_{11}, a_{22}, a_{33}, ..., a_{nn}\). Por exemplo: \(\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\). 4. O que é uma matriz simétrica? As matrizes simétricas consistem nas matrizes que são iguais às suas matrizes transpostas. Por exemplo: Matriz A = \(\begin{pmatrix} 1 & −2 & 4 \\ −2 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & 3 \end{pmatrix}\), transposta da Matriz A é obtida transformando a linha em coluna e vice-versa \(A^t = \begin{pmatrix} 1 & −2 & 4 \\ −2 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & 3 \end{pmatrix}\). Como pode observar elas são iguais, então A = A^t, sendo assim, a matriz A é uma matriz simétrica.