TESTEFEDERAL 1693607585081 Anéis-3 pdf

01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 1/54 Anéis Prof.ª Ana Lucia de Sousa Descrição Estudo da estrutura algébrica grupo, estrutura em anel. Propósito Construir a estrutura algébrica chamada anel a partir das propriedades que caracterizam os grupos, apresentar novas propriedades e realizar operações nos conjuntos é importante para que você conheça com clareza essa estrutura, seus resultados e a sua importância na compreensão de novos conteúdos. Objetivos Módulo 1 Anel Reconhecer as propriedades que caracterizam a estrutura chamada anel. Módulo 2 Tipos de anéis, propriedades, potências e múltiplos de anéis Reconhecer os tipos de anéis, propriedades, potências e múltiplos de anéis. 01/09/2023 19:26 Anéis Médulo 3 Subaneis e anéis de integridade Identificar subanel, anel de integridade e divisores de um anel. Médulo 4 Homomorfismo de aneis Analisar os homomorfismos de anéis. Ola! Antes de comecarmos, assista ao video e entenda os principais aspectos que serado abordados neste contetido. https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 2/54 01/09/2023 19:26 Anéis 1- Anel Ao final deste modulo, vocé sera capaz de reconhecer as propriedades que caracterizam a estrutura chamada anel. Vamos comecar! As propriedades que caracterizam a estrutura chamada anel Conhega a seguir as propriedades da estrutura chamada anel. https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 3/54 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 4/54 Anel Anel é uma estrutura algébrica - um conjunto não vazio - onde estão definidas duas composições internas: adição (+) e multiplicação (·). Devemos lembrar que o grupo possui apenas uma operação: As operações de adição e a multiplicação em um anel devem satisfazer propriedades bem-definidas. A adição e a multiplicação são funções de em Sendo assim, a operação de adição associa para cada par um único elemento A operação de multiplicação associa a cada par um único elemento Denotamos o anel com as operações de usuais de adição (+) e multiplicação (.), por ou simplesmente anel A estrutura algébrica é denominada anel se: I) é um grupo comutativo ou abeliano; II) é um semigrupo; III) valem as propriedades distributivas da multiplicação em relação à adição. Rotacione a tela.  (G, +). (+) (⋅) Atenção! Seja um conjunto não vazio, com as operações usuais de adição e multiplicação indicadas por:  A + : A × A → A (x, y) → x + y, ∀ x, y ∈ A e x + y ∈ A ∵A × A → A (x, y) → x ⋅ y, ∀ x, y ∈ A e x ⋅ y ∈ A A × A A. (x, y) ∈ A × A x + y ∈ A. (x, y) ∈ A × A x ⋅ y ∈ A. A (A, +, ⋅) A. Comentário Também podemos representar as operações do anel através de outros símbolos, por exemplo, * e Assim, teremos cuja primeira operação é chamada de adição e a segunda operação é a multiplicação.  A Δ. (A, ∗, Δ), ∗ Δ (A, +, )′ (A, +) (A, ⋅) x ⋅ (y + z) = (x ⋅ y) + (x ⋅ z), ∀ x, y, z ∈ A e (x + y) ⋅ z = (x ⋅ z) + (y ⋅ z), ∀ x, y, z ∈ A 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 5/54 Agora vamos entender melhor essas afirmaçőes. I) é um grupo comutativo ou abeliano, ou seja, devemos verificar as propriedades/os axiomas de grupo. A1: Propriedade associativa para a adição: Rotacione a tela.  A2: Existência do elemento neutro para a adição: Existe um elemento tal que para todo em Atenção: representa o elemento neutro do anel para a operação de adição. Ou seja, ele não necessariamente é o número zero. A3: Existência do elemento simétrico para a adição: Rotacione a tela.  A4: Propriedade comutativa para a adição: Rotacione a tela.  II) é um semigrupo, ou seja, devemos verificar a propriedade associativa para a multiplicação. Propriedade associativa para a multiplicação: Rotacione a tela.  III) Valem as propriedades distributivas da multiplicação em relação à adição. Rotacione a tela.  Se satisfaz essas condições, então dizemos que é um anel. (A, +) ∀ x, y, z ∈ A, tem-se (x + y) + z = x + (y + z) e = 0A ∈ A 0A + x = x = x + 0A x A. 0A ∀ x ∈ A, ∃(−x) ∈ A, tal que x + (−x) = 0A = (−x) + x ∀ x, y ∈ A, tem-se x + y = y + x (A, ⋅) ∀ x, y, z ∈ A, tem-se (x ⋅ y) ⋅ z = x ⋅ (y ⋅ z) x ⋅ (y + z) = (x ⋅ y) + (x ⋅ z), ∀ x, y, z ∈ A (x + y) ⋅ z = (x ⋅ z) + (y ⋅ z), ∀ x, y, z ∈ A (A, +, ⋅), (A, +, ⋅) 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 6/54 Exemplos de anéis a) anel dos números inteiros b) anel dos números reais c) anel dos números racionais d) anel dos números complexos e) anel formado pelos números múltiplos de em que é um número natural É importante reconhecer, a partir das propriedades (ou dos axiomas, como veremos a seguir), se determinado conjunto apresenta uma estrutura de anel com as operações usuais. Todas as propriedades devem ser verificadas. Solução: a) Propriedade associativa para a adição Comentário O elemento é chamado de elemento simétrico de Assim, se então e podemos efetuar a operação Chamamos de operação subtração em a operação que cada associa o elemento  (−x) x. x, y ∈ A, x − y ∈ A x + (−y) = x − y. A (x, y) ∈ A × A x − y ∈ A. (Z, +, ⋅) (R, +, ⋅) (Q, +, ⋅) (C, +, ⋅) (nZ, +, ⋅), n, n Exemplo Mostre que o conjunto dotado das leis de composição e a seguir definidas é um anel. Devemos verificar os seis axiomas já apresentados.  Z ⊕ ⊗ x ⊕ y = x + y + 1 x ⊗ y = x + y + xy ∀ x, y, z ∈ Z, tem-se (x + y) + z = x + (y + z) (x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z) (x + y + 1) ⊕ z = x ⊕ (y + z + 1) (x + y + 1) + z + 1 = x + (y + z + 1) + 1 x + y + z + 2 = x + y + z + 2 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 7/54 Rotacione a tela.  A propriedade associativa para a adição foi verificada. b) Existência do elemento neutro para a adição Rotacione a tela.  Existe um elemento tal que para todo em Veja: c) Existência do elemento simétrico para a adição: Rotacione a tela.  Veja: d) Propriedade comutativa para a adição Rotacione a tela.  A propriedade comutativa para a adição foi verificada. e) Propriedade associativa para a multiplicação: x ⊕ 0A = x = 0A ⊕ x x + 0A + 1 = x 0A + 1 = 0 0A = −1 (−1) ∈ Z x ⊕ (−1) = (−1) ⊕ x = x x Z x ⊕ (−1) = x + (−1) + 1 = x x ⊕ y = −1 = y ⊕ x x + y + 1 = −1 y = −2 − x ∀ x ∈ Z, ∃(−2 − x) ∈ Z, tal que x ⊕ (−2 − x) = −1 = (−2 − x) ⊕ x x ⊕ (−2 − x) = x + (−2 − x) + 1 = x − 2 − x + 1 = −1 ∀ x, y ∈ Z, tem-se x ⊕ y = y ⊕ x x ⊕ y = y ⊕ x x + y + 1 = y + x + 1 ∀ x, y, z ∈ Z, tem-se (x ⊗ y) ⊗ z = x ⊗ (y ⊗ z) (x ⊗ y) ⊗ z = x ⊗ (y ⊗ z) (x + y + xy) ⊗ z = x ⊗ (y + z + yz) x + y + xy + (x + y + xy)z = x + y + z + yz + x(y + z + yz) x + y + xy + xz + yz + xyz = x + y + z + yz + xy + xz + xyz 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 8/54 Rotacione a tela.  A propriedade associativa para a multiplicação foi verificada. f) Valem as propriedades distributivas da multiplicação em relação à adição: Rotacione a tela.  Conclusão: é um anel. Solução a) Propriedade associativa para a adição: x ⊗ (y ⊕ z) = (x ⊗ y) ⊕ (x ⊗ z), ∀ x, y, z ∈ Z e (x ⊕ y) ⊗ z = (x ⊗ z) ⊕ (y ⊗ z), ∀ x, y, z ∈ Z x ⊗ (y ⊕ z) = (x ⊗ y) ⊕ (x ⊗ z), ∀ x, y, z ∈ Z x ⊗ (y + z + 1) = (x + y + xy) ⊕ (x + z + xz) x + y + z + 1 + x(y + z + 1) = x + y + xy + x + z + xz + 1 x + y + z + 1 + xy + xz + x = x + y + xy + x + z + xz + 1 2x + y + z + xy + xz + 1 = 2x + y + z + xy + xz + 1 (x ⊕ y) ⊗ z = (x ⊗ z) ⊕ (y ⊗ z), ∀ x, y, z ∈ Z (x + y + 1) ⊗ z = (x + z + xz) ⊕ (y + z + yz), ∀ x, y, z ∈ Z x + y + 1 + z + (x + y + 1)z = x + z + xz + y + z + yz + 1 x + y + 1 + z + xz + yz + z = x + z + xz + y + z + yz + 1 x + y + 2z + xz + yz + 1 = x + y + 2z + xz + yz + 1 (Z, ⊕, ⊗) Exemplo Mostre que o conjunto dotado das leis de composição * e a seguir definidas é um anel.  Z Δ x ∗ y = xy xΔy = x + y 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 9/54 Rotacione a tela.  A propriedade associativa para a adição foi verificada. b) Existência do elemento neutro para a adição: Rotacione a tela.  Existe um elemento tal que para todo em Veja: c) Existência do elemento simétrico para a adição: Rotacione a tela.  Neste caso o conjunto com as operações dadas não é um anel, pois não é um grupo com a operação * , uma vez que não possui inverso. Logo, dotado das leis de composição * e não é um anel. Solução ∀ x, y, z ∈ Z, tem-se (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) (xy) ∗ z = x ∗ (yz) xyz = xyz x ∗ 0A = x = 0A ∗ x x0A = x 0A = 1 1 ∈ Z x ∗ 1 = 1 ∗ x = x x Z. x ∗ 1 = x ⋅ 1 = x x ∗ y = 1 = y ∗ x xy = 1 y = 1 x , x ≠ 0 Z Z Δ Exemplo Verifique se o conjunto dotado das leis de composição e a seguir definidas é um anel.  Z ∗ Δ x ∗ y = x − y xΔy = xy 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 10/54 Propriedade associativa para a adição: Rotacione a tela.  A propriedade associativa para a adição não foi verificada. Portanto, não é um anel. Anéis importantes Anel de funções Considere um conjunto não vazio e um anel. Denotamos por o conjunto de todas as funções de em ou seja, Dizemos que as funções e são iguais se possuem o mesmo domínio, a mesma imagem e o mesmo contradomínio. Sendo assim, se considerarmos essas funções em dizemos que a função é igual à função se, e somente se, para todo em Assim, definimos duas operaçôes: Adição e multiplicação em Para definimos e por: Rotacione a tela.  Veja que a cada par de funções associamos as funções Assim, a adição (+) e a multiplicação (.) são operações em ∀ x, y, z ∈ Z, tem-se (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) (x − y) ∗ z = x ∗ (y − z) x − y − z = x − (y − z) x − y − z ≠ x − y + z (Z, ∗, Δ) K (A, +, ⋅) AK K A, AK = {f : K → A}. f g AK, f g f(x) = g(x) x K. AK. f, g ∈ AK, f + g f. g f + g : K → A, (f + g)(x) = f(x) + g(x) f ⋅ g : K → A, (f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ g(x) f, g ∈ AK f + g, f ⋅ g ∈ AK. AK. Exemplo Seja o conjunto de todas as funções de em denotado por em que a soma e o produto de duas funções em são definidas a seguir:  Z Z, A = Z Z = {f : Z → Z}, f + g f ⋅ g A 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 11/54 a) Propriedade associativa para a adição: Rotacione a tela.  A propriedade associativa para a adição foi verificada. b) Existência do elemento neutro para a adição: Sendo a função nula Podemos escrever: Rotacione a tela.  c) Existência do elemento simétrico para a adição: a função definida por tal que Rotacione a tela.  d) Propriedade comutativa para a adição: tem-se Rotacione a tela.  A propriedade comutativa para a adição foi verificada. e) Propriedade associativa para a multiplicação: Rotacione a tela.  A propriedade associativa para a multiplicação foi verificada. Veja que essas duas operações satisfazem as propriedades que caracterizam o anel. f + g : Z → Z, (f + g)(x) = f(x) + g(x) f ⋅ g : Z → Z, (f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ g(x) ∀ f, g, h ∈ A, tem-se (f + g) + h = f + (g + h)[(f + g) + h](x) = (f + g)(x) + h(x) = [f(x) + g(x)] + h(x) = = f(x) + [g(x) + h(x)] = f(x) + (g + h)(x) = [f + (g + h)](x) O O : Z → Z, O(x) = 0. (f + O)(x) = f(x) + O(x) = f(x) + 0 = f(x), ∀ f ∈ A ∀ f ∈ A, (−f) ∈ A, (−f)(x) = −f(x), [f + (−f)](x) = f(x) + (−f)(x) = f(x) − f(x) = 0 = O(x). ∀ f, g ∈ A, f + g = g + f (f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x) ∀ f, g, h ∈ A, tem-se (f ⋅ g) ⋅ h = f ⋅ (g ⋅ h) [(f ⋅ g) ⋅ h](x) = (f ⋅ g)(x) ⋅ h(x) = [f(x) ⋅ g(x)] ⋅ h(x) = f(x) ⋅ [g(x) ⋅ h(x)] = = f(x) ⋅ (g ⋅ h)(x) = [f ⋅ (g ⋅ h)](x) 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 12/54 f) Valem as propriedades distributivas da multiplicação em relação à adição: Rotacione a tela.  O mesmo procedimento é realizado para Conclusão: é um anel de funções de em Temos também como anéis de funções os seguintes conjuntos: e Anel das matrizes Considere um anel e seja um elemento em em que Denotamos por o conjunto das matrizes quadradas de ordem com entradas em : Rotacione a tela.  Em Definimos as operações usuais de adição e multiplicação do seguinte modo: Vamos considerar uma matriz que podemos representar por A partir dessa matriz, podemos considerar uma matriz Tais matrizes estão em Assim, temos as operações a seguir: Rotacione a tela.  Rotacione a tela.  Com essas operações, podemos dizer que é um anel.Assim, são anéis os seguintes conjuntos de matrizes: f ⋅ (g + h) = (f ⋅ g) + (f ⋅ h), ∀ f, g, h ∈ A [f ⋅ (g + h)](x) = f(x) ⋅ (g + h)(x) = f(x) ⋅ [g(x) + h(x)] = f(x) ⋅ g(x) + f(x) ⋅ h(x) = = (f ⋅ g)(x) + (f ⋅ h)(x) = (f ⋅ g + f ⋅ h)(x) (f + g) ⋅ h = f ⋅ h + g ⋅ h. (A, +, ⋅) Z Z. (QQ, +, ⋅), (RR, +, ⋅) (C C, +⋅). A n N, n ≥ 1. Mn(A) n, A Mn(A) = /aij ∈ A ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎡ ⎢ ⎣ a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ an1 an2 … anm ⎤ ⎥ ⎦ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ Mn(A) X = ∈ Mn(A) ⎡ ⎢ ⎣ x11 x12 … x1n x21 x22 … x2n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ xn1 xn2 … xnm ⎤ ⎥ ⎦ X = [xij]. Y = [yij]. Mn(A). X + Y = [xij] + [yij] = [zij] = Z, onde zij = xij + yij X ⋅ Y = [xij] ⋅ [yij] = [zij] = Z, onde zij = n ∑ k=1 xikykj (Mn(A), +, ⋅) 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 13/54 Rotacione a tela.  Anel em (Anel das classes de restos módulo ) Considere o conjunto formado por classes em que cada classe é representada com uma barra na parte superior. Aqui, para facilitar o nosso trabalho, também podemos omitir a barra quando estamos trabalhando em Em definimos duas operações: adição e multiplicação. I) A adição em é definida de modo que dadas as duas classes e em temos: Rotacione a tela.  II) A multiplicação em é definida de modo que dadas as duas classes e em temos: Rotacione a tela.  A partir dessas operaçôes podemos dizer que é um anel. De fato, as propriedades que caracterizam um anel são verificadas. Propriedade associativa: Rotacione a tela.  Demonstração: Rotacione a tela.  Existência do elemento neutro: Rotacione a tela.  Existência do elemento simétrico: (Mn(Z), +, ⋅), (Mn(R), +, ⋅), (Mn(Q), +, ⋅), (Mn(C), +, ⋅) e (Mn(Zm), +, ⋅) Zm m Zm = {–0, –1, –2, … m − 1} – Zm. Zm, Zm ¯x ¯y Zm, ¯x + ¯y = x + y – Zm ¯x ¯y Zm, ¯x ⋅ ¯y = x ⋅ y – (Zm, +, ⋅) ¯a + (¯b + ¯c) = (¯a + ¯b) + ¯c, ∀ ¯a,¯b, ¯c ∈ Zm ¯a + (¯b + ¯c) = (¯a + ¯b) + ¯c, ∀ ¯a,¯b, ¯c ∈ Zm ¯a + (b + c) = (a + b) + ¯c ⇒ a + (b + c) = (a + b) + c – – – – . ¯a + –0 = ¯a = –0 + ¯a ∀ ¯a ∈ Zm, o elemento neutro do anel é –0 De fato, ¯a + –0 = a + 0 = ¯a – 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 14/54 Rotacione a tela.  Propriedade comutativa: Rotacione a tela.  Demonstração: Rotacione a tela.  Propriedade associativa da multiplicação: Rotacione a tela.  Demonstração: Rotacione a tela.  Propriedade distributiva: Rotacione a tela.  Demonstração: Rotacione a tela.  A outra igualdade é verificada de modo análogo. ¯a + a′ = –0 = a′ + ¯a ∀ ¯a ∈ Zm, o elemento neutro do anel é a′ = m − a De fato, ¯a + m − a = a + m − a = ¯m = –0. Logo, ¯a e m − a são simétricos. – – – – – – – ¯a + ¯b = ¯b + ¯a ∀ ¯a,¯b ∈ Zm ¯a + ¯b = ¯b + ¯a ∀ ¯a,¯b ∈ Zm a + b = b + a – – ¯a ⋅ (¯b ⋅ ¯c) = (¯a ⋅ ¯b) ⋅ ¯c, ∀ √a,¯b, ¯c ∈ Zm ¯a ⋅ (¯b ⋅ ¯c) = (¯a ⋅ ¯b) ⋅ ¯c, ∀ ¯a,¯b, ¯c ∈ Zm ¯a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ ¯c ⇒ a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c – – – – ¯a ⋅ (¯b + ¯c) = (¯a ⋅ ¯b) + (¯a, ¯c) ∀ ¯a,¯b, ¯c ∈ Zm ¯a ⋅ (¯b + ¯c) = (¯a ⋅ ¯b) + (¯a, ¯c) ∀ ¯a,¯b, ¯c ∈ Zm ¯a ⋅ (¯b + ¯c) = ¯a ⋅ (b + c) = a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c) – – – – – 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 15/54 Anel produto direto Dados os anéis e o produto cartesiano é um anel, pois podemos definir as operações de adição e multiplicação da seguinte forma: A adição em Rotacione a tela.  A multiplicação em Rotacione a tela.  Com essas operações podemos dizer que é um anel. Esse anel é chamado de anel produto direto ou produto cartesiano dos anéis e Por exemplo, se considerarmos temos um anel com as operações supracitadas. Anéis quadráticos Os anéis do tipo são chamados de anéis quadráticos. Também são chamados de anel adjunção Eles são escritos da seguinte forma: em que é um número inteiro, mas não é um quadrado perfeito. O mesmo ocorre com Temos, por exemplo, As operações de adição e multiplicação são definidas considerando dois elementos de : Comentário é um exemplo de um anel finito dado que o conjunto A é finito. Podemos construir as tábuas das operações do anel por exemplo.  (Zm, +. . ) Z4, A B, A × B A × B : (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) A × B : (x1, y1) ⋅ (x2, y2) = (x1 ⋅ x2, y1 ⋅ y2) (A × B, +, ⋅) A B. A = B = Z, (Z × Z, +, ⋅) Z[√d], Q[√d] Z √d. Z[√d] = {a + b√d : a, b ∈ Z}, d Q[√d] = {a + b√d : a, b ∈ Q}. Z[√2] = {a + b√2 : a, b ∈ Z}. Z[√d] 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 16/54 Rotacione a tela.  Vem que eu te explico! Os vídeos a seguir abordam os assuntos mais relevantes do conteúdo que você acabou de estudar. Módulo 1 - Vem que eu te explico! Propriedades dos anéis Módulo 1 - Vem que eu te explico! Exemplo sobre anel x = a1 + b1√d ∈ Z[√d] e y = a2 + b2√d ∈ Z[√d] x + y = a1 + b1√d + a2 + b2√d x + y = (a1 + a2) + (b1 + b2)√d x ⋅ y = (a1 + b1√d) ⋅ (a2 + b2√d) x ⋅ y = a1a2 + a1b2√d + a2b1√d + b1√d ⋅ b2√d x ⋅ y = (a1a2 + b1b2d) (+a1b2 + a2b1)√d Comentário O conjunto com as operações descritas é chamado de anel dos inteiros de Gauss.  Z[√−1] = {a + b√−1 : a, b ∈ Z}  01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 17/54 Questão 1 Sabemos que é um anel. Marque a alternativa a seguir que indica o elemento simétrico desse anel.  Vamos praticar alguns conceitos? Falta pouco para atingir seus objetivos. (Mn(A), +, . ) A X = [−xij] B −X = [xij] C −X = [−xij] D X E [xij] Responder 01/09/2023 19:26 Anéis Questao 2 Considere as operacdes x * y= 2+ y—2eaAy = zy — 2x — 2y+a,coma € Z. Para que valor de a(Z, *, A) 6 um anel? a=2 a=6 a=-2 a=1 a=3 2 - Tipos de aneis, propriedades, poténcias e multiplos de aneis Ao final deste modulo, vocé sera capaz de reconhecer os tipos de anéis, propriedades, poténcias e multiplos de anéis. https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 18/54 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 19/54 Vamos começar! Tipos de anéis, propriedades, potências e múltiplos de anéis Conheça mais sobre anéis no próximo vídeo. Tipos de anéis Anel comutativo Seja denominado de anel comutativo se a operação de multiplicação (.) for comutativa, ou seja, se Exemplo Mostre que o conjunto dotado das leis de composição e a seguir definidas é um anel comutativo. Rotacione a tela.   (A, +, ⋅) xy = yx, ∀ x, y ∈ A. Z ⊕ ⊗ x ⊕ y = x + y + 1 x ⊗ y = x + y + xy 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 20/54 é um anel, pois todas as propriedades que caracterizam um anel são verificadas. Agora vejamos se esse anel apresenta a propriedade comutativa em relação à operação de multiplicação. Para isso, basta analisarmos se Devemos usar a segunda operação: Rotacione a tela.  A propriedade foi verificada. Portanto, é um anel comutativo. Exemplos de anéis comutativos: e Vejamos: seja o anel das matrizes quadradas com números inteiros. Vamos considerar dois elementos desse anel: Rotacione a tela.  Podemos observar que Logo, o anel não é comutativo. Exemplo Verifique se é um anel comutativo: (Z, ⊕, ⊗) ∀ x, y ∈ Z, x ⊗ y = y ⊗ x. x ⊗ y = x + y + xy. ∀ x, y ∈ Z, x ⊗ y = y ⊗ x x ⊗ y = y ⊗ x x + y + xy = y + x + yx (Z, ⊕, ⊗) (Z, +, ⋅),(R, +, ⋅),(Q, +, ⋅),(C, +, ⋅),(RR, +, ⋅) (Zm, +, ⋅) Comentário Os anéis das matrizes não são anéis comutativos se  n ≥ 2. (M2×2(Z), +, ⋅) X = [ ] e Y = [ ] XY = [ ] [ ] = [ ] = [ ] Y X = [ ] [ ] = [ ] = [ ] −1 1 −2 0 2 0 5 2 −1 1 −2 0 2 0 5 2 −1.2 + 1.5 −1.0 + 1.2 −2.2 + 0.5 −2.0 + 0.2 3 2 −4 0 2 0 5 2 −1 1 −2 0 2. (−1) + 0. (−2) 2.1 + 0.0 5. (−1) + 2. (−2) 5.1 + 2.0 −2 2 −9 5 XY ≠ Y X. (M2×2(Z), +, ⋅) Z3 × M2(Z) Z3 × M2(Z) = {(¯x, [ ])/¯x ∈ Z3 e yij ∈ Z} não é comutativo, pois (–2, [ ]) (–2, [ ]) = (–1, [ ]) e (–2, [ ]) ( y11 y12 y21 y22 1 1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 0 1 0 1 0 2, [ ]) = ([ ]) 1 1 0 0 1 1 1 1 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 21/54 Rotacione a tela.  Anel com unidade Seja denominado anel com unidade ou anel unitário se existir tal que Em outras palavras, podemos dizer que um anel com unidade é um anel cuja operação de multiplicação possui um elemento neutro, que chamamos por ou simplesmente 1 . Ele é denominado a unidade do anel. Exemplo Mostre que anel dotado das leis de composição e a seguir definidas é um anel com unidade: Rotacione a tela.  Agora vamos verificar se esse anel possui unidade. Seja a unidade do anel: Rotacione a tela.  Usamos a segunda operação: Rotacione a tela.  Veja que existe o elemento unidade (elemento neutro do anel), que é o número zero, e De fato, veja que tal que Logo, esse anel tem unidade. Como verificamos que é um anel comutativo, podemos concluir que é um anel comutativo com unidade. Exemplos de anéis com unidade: a) b) anel é um anel com unidade e nesse caso a unidade desse anel é a classe Como ele é comutativo, dizemos que é um anel comutativo com unidade. (A, +, ⋅), 1A ∈ A, 1A ⋅ x = x ⋅ 1A = x, ∀ x ∈ A. 1A o Z ⊕ ⊗ x ⊕ y = x + y + 1 x ⊗ y = x + y + xy 1Z x ⋅ 1Z = 1Z ⋅ x = x, ∀ x ∈ A x ⊗ y = x + y + xy x ⊗ 1Z = 1Z ⊗ x = x x ⊗ 1Z = x x + 1Z + x1z = x 1Z + x1Z = 0 1Z(1 + x) = 0 1Z = 0 0 ∈ Z. ∃0 ∈ Z, x ⊗ 0 = x + 0 + x.0 = x (Z, ⊕, ⊗) (Z, +⋅),(R, +, ⋅),(Q, +⋅),(C, +, ⋅). O (Zm, +, ⋅) –1. (Zm, +, ⋅) 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 22/54 c) anel das matrizes é um anel com unidade, pois a unidade é a matriz identidade de ordem Rotacione a tela.  Exemplo Veja o anel das matrizes e um elemento desse anel. O anel possui elemento unidade Rotacione a tela.  d) Dados dois anéis e se eles são anéis com unidade, então também tem unidade. O mesmo ocorre se forem anéis comutativos. Por exemplo, o anel é um anel comutativo com unidade, pois e são anéis comutativos com unidade. Propriedades dos anéis Proposição Se é um anel e então: I) O zero é único. II) O simétrico é único. III) IV) V) VI) então VII) VIII) IX) X) XI) A equação tem solução única Demonstrações O (Mn×n(A), +, ⋅) n. In = ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 … 0 0 1 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … 1 ⎤ ⎥ ⎦ (M2×2(Z), +, ⋅) X = [ ] a b c d I2 = [ ]. 1 0 0 1 X. I2 = [ ] [ ] = [ ] = X I2. X = [ ] [ ] = [ ] = X a b c d 1 0 0 1 a b c d 1 0 0 1 a b c d a b c d (A, ∗, Δ) (B, +, ⋅), A × B Z × Z4 Z Z4 (A, +, ⋅) x, y, z ∈ A, x ⋅ 0 = 0 ⋅ x = 0. −(x + y) = (−x) + (−y). −(−x) = x. x + y = x + z y = z. −(xy) = (−x)y = x(−y). x(y − z) = xy − xz. (x − y)z = xz − yz. (−x)(−y) = xy. x + z = y x = y − z. 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 23/54 Exemplo I O zero é único. Queremos provar que tal que Suponhamos que é um anel. Pela propriedade do elemento neutro, tal que Suponhamos que exista outro zero em Rotacione a tela.  Daí podemos escrever: (1) (2) Pela igualdade de (1) e (2), podemos concluir que Logo, 0 é o único elemento neutro do anel Exemplo II O simétrico é único. Queremos provar que tal que Suponhamos que é um anel. Pela propriedade do elemento simétrico, tal que Suponhamos que exista outro elemento que chamaremos de em que também é simétrico de tal que tal que (1) Como: Rotacione a tela.  Logo, fica provado que tal que Exemplo III Elemento neutro. Pela propriedade do elemento neutro, podemos escrever ∃!0 ∈ A, ∀ x ∈ A x + 0 = 0 + x = x. (A, +, ⋅), ∃0 ∈ A, ∀ x ∈ A x + 0 = 0 + x = x. A. ∃0′ ∈ A, ∀ y ∈ A tal que y + 0′ = 0′ + y = y 0′ + 0 = 0′ 0′ + 0 = 0 0′ = 0. A. ∀ x ∈ A, ∃!(−x) ∈ A , x + (−x) = (−x) + x = 0 (A, +, ⋅), ∀ x ∈ A, ∃(−x) ∈ A, x + (−x) = (−x) + x = 0. b A, x ∀ x ∈ A. ∃b ∈ A x + b = b + x = 0 − x = (−x) + 0 − x = (−x) + (x + b)De(1)b + x = 0 − x = [(−x) + x] + b → Propriedade associativa − x = 0 + b → Propriedade do elemento simétrico − x = b → Propriedade do elemento neutro ∀ x ∈ A, ∃!(−x) ∈ A x + (−x) = (−x) + x = 0 x ⋅ 0 = 0 ⋅ x = 0 0 = 0 + 0(1). 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 24/54 Multiplicando (1) por à esquerda, temos Em (2) podemos aplicar a propriedade distributiva: Pela propriedade do elemento simétrico, existe um simétrico para Somando em (3), em ambos os lados da igualdade teremos: Rotacione a tela.  Usando em (4) a propriedade associativa: Rotacione a tela.  Usando em (5) o elemento simétrico: Rotacione a tela.  Usando em (6) o axioma do elemento neutro: Rotacione a tela.  Logo, fica provado que para todo em Exemplo IV Seja um anel. Suponhamos Pelo elemento simétrico temos: Rotacione a tela.  Rotacione a tela.  Somando (1) e (2): Aplicando a propriedade da associativa Aplicando a propriedade da associativa Elemento simétrico Elemento neutro x x ⋅ 0 = x ⋅ (0 + 0)(2). x ⋅ 0 = x ⋅ 0 + x ⋅ 0(3). −(x, 0) x ⋅ 0. −(x, 0) x ⋅ 0 + [−(x ⋅ 0)] = (x ⋅ 0 + x ⋅ 0) + [−(x ⋅ 0)](4) x ⋅ 0 + [−(x.0)] = x ⋅ 0 + (x ⋅ 0 + [−(x ⋅ 0)])(5) 0 = x ⋅ 0 + 0 0 = x ⋅ 0 x.0 = 0 x A. −(x + y) = (−x) + (−y) (A, +, ⋅), x, y ∈ A. ∀ x ∈ A, ∃(−x) ∈ A tal que x + (−x) = (−x) + x = 0 ∀ y ∈ A, ∃(−y) ∈ A tal que y + (−y) = (−y) + y = 0 (x + y) + (−x) + (−y) = 0 → [(x + y) + (−y)] + (−x) = 0 → (x + [y + (−y)]) + (−x) = 0 → (x + 0) + (−x) = 0 → 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 25/54 Logo, Portanto, Exemplo V Seja um anel. Suponhamos Rotacione a tela.  Como: Propriedade associativa Elemento simétrico Elemento neutro Portanto, para todo elemento em Exemplo VI então Seja um anel. Por hipótese, temos (1). Como é um anel, então: Rotacione a tela.  Somando em ambos os lados de (1), obtemos: Portanto, então (lei do cancelamento). Exemplo VII Devemos demonstrar que: x + (−x) = 0 (x + y) + [(−x) + (−y)] = 0. −(x + y) = (−x) + (−y). −(−x) = x (A, +, ⋅), x ∈ A. ∃(−x) ∈ A tal que x + (−x) = (−x) + x = 0 ∃ − (−x) ∈ A tal que x + [−(−x)] = [−(−x)] + x = 0 −(−x) = [−(−x)] + 0 = −(−x) + [(−x) + x] → = [−(−x) + (−x)] + x → = 0 + x → = x x A, −(−x) = x. x + y = x + z y = z (A, +, ⋅) x + y = x + z A ∀ x ∈ A, ∃(−x) ∈ A tal que x + (−x) = (−x) + x = 0 (−x) (−x) + x + y = (−x) + x + z → Propriedade associativa [(−x) + x] + y = [(−x) + x] + z → Elemento simétrico 0 + y = 0 + z → Elemento neutro y = z x + y = x + z y = z −(xy) = (−x)y = x(−y) 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 26/54 Rotacione a tela.  (a) Seja um anel. Como é um anel, então tal que Suponhamos Então podemos escrever: No entanto, usando a propriedade associativa, temos Usando o elemento simétrico e a propriedade temos Igualando (1) e temos: Logo, (b) Seja um anel. Como é um anel, então tal que Suponhamos Então, podemos escrever: Rotacione a tela.  No entanto, usando a propriedade associativa, temos Usando o elemento simétrico e a propriedade temos Igualando (1) e (2), temos: Logo, (c) Seja um anel. Como A é um anel, logo: Rotacione a tela.  Suponhamos Logo, podemos escrever: Eq. 1 (a) − (xy) = (−x)y (b) − (xy) = x(−y) (c)(−x)y = x(−y) (A, +, ⋅) A ∀ x ∈ A, ∃(−x) ∈ A x + (−x) = (−x) + x = 0. xy ∈ A. xy + [−(xy)] = 0(1). x(y + (−y)) = x.0 = 0. V, xy + x(−y) = 0(2). (2), xy + [−(xy)] = xy + x(−y) → Usando a propriedade VI. −(xy) = x(−y) (A, +, ⋅) A ∀ x ∈ A, ∃(−x) ∈ A x + (−x) = (−x) + x = 0. xy ∈ A. xy + [−(xy)] = 0 y(x + (−x)) = y ⋅ 0 = 0. V, yx + y(−x) = 0 → xy+ (−x)y = 0 (2). xy + [−(xy)] = xy + (−x)y → Usando a propriedade VI −(xy) = (−x)y (A, +, ⋅) ∀ x ∈ A, ∃(−x) ∈ A tal que x + (−x) = (−x) + x = 0 xy ∈ A. 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 27/54 Rotacione a tela.  No entanto, usando a distributividade, temos Rotacione a tela.  Usando o elemento simétrico e a propriedade temos: Eq. 2 Rotacione a tela.  Igualando (1) e (2), temos: Logo, Exemplo VIII Rotacione a tela.  Seja um anel e Temos: (distributividade). Pela propriedade VII, temos Portanto, Exemplo IX Rotacione a tela.  Seja um anel e Temos: (distributividade). Pela propriedade VII, temos Portanto, Exemplo X xy + x(−y) = 0 y(x + (−x)) = y ⋅ 0 = 0 V, yx + y(−x) = 0 → xy + (−x)y = 0 xy + x(−y) = xy + (−x)y → Usando a propriedade VI x(−y) = (−x)y x(y − z) = xy − xz (A, +, ⋅)′) x, y, z ∈ A. x(y − z) = x(y + (−z)) = xy + x(−z) xy + (−xz) = xy − xz. x(y − z) = xy − xz (x − y)z = xz − yz (A, +, ⋅), x, y, z ∈ A. (x − y)z = (x + (−y))z = xz + (−y)z xz + (−yz) = xz − yz. (x − y)z = xz − yz (−x)(−y) 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 28/54 Rotacione a tela.  Seja um anel e Pela propriedade VI, temos: Rotacione a tela.  Logo, pela propriedade Exemplo XI A equação tem solução única Seja um anel e Seja Podemos escrever: Rotacione a tela.  Substituindo (1) em encontramos: Logo, é solução da equação Potências e múltiplos de um anel Seja um anel. Dado um elemento do anel e definimos a ésima potência de um elemento de um anel denotado por da seguinte forma: Rotacione a tela.  Quando o anel possui unidade, também podemos definir Como consequência imediata, podemos definir a proposição de potências de um anel. Proposição (A, +, ⋅), x, y ∈ A. (−x)(−y) = −(x(−y)) = −(−(xy)) −(−(xy)) = xy, V. y + x = z x = z − y. ∣ (A, +⋅) x, y, z ∈ A. x = z − y. x = (−y) + z ⋅ (1) y + x = z, y + [(−y) + z] = [(−y) + y] + z → Elemento simétrico y + [(−y) + z] = 0 + z → Elemento simétrico y + [(−y) + z] = z → Elemento neutro [(−y) + y] + z = z → Associativa e elemento simétrico z = z x = (−y) + z y + x = z. (A, +, ⋅) a n ∈ N ∗, n ≠ 0, n− a A, an, a1 = a an = an−1 ⋅ a se n > 1 A a0 = 1. 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 29/54 Sejam um anel, Então: a) temos b) temos c) temos quando Vamos demonstrar por indução a proposição anterior. a) temos Por indução sobre verificamos que: Rotacione a tela.  A propriedade é válida para Agora vamos considerar verdadeiro para Vejamos que é válido para Rotacione a tela.  b) temos Por indução sobre verificamos que: Para temos Veja que a propriedade é válida para Agora vamos considerar verdadeiro para Rotacione a tela.  Vejamos que é válido para Rotacione a tela.  c) temos Por indução sobre verificamos que: Para temos A propriedade é válida para Agora vamos considerar verdadeiro para : (A, +, ⋅) a, b ∈ A e m, n ∈ N ∗. ∀ a ∈ A, ∀ m, n ∈ N ∗, am ⋅ an = am+n ∀ a ∈ A, ∀ m, n ∈ N ∗, (am)n = amn ∀ a ∈ A, ∀ m, n ∈ N ∗, (ab)n = anbn, ab = ba ∀ a ∈ A, ∀ m, n ∈ N ∗, am ⋅ an = am+n n, Para n = 1 temos am ⋅ an = am ⋅ a1 = am ⋅ a = am+1 n = 1. n = k ≥ 1. am ⋅ ak = am+k n = k + 1. am ⋅ ak+1 = am ⋅ (ak ⋅ a1) = (am ⋅ ak) ⋅ a1) = am+k ⋅ a1 = a(m+k)+1 = am+(k+1) ∀ a ∈ A, ∀ m, n ∈ N ∗, (am)n = amn n, n = 1 (am)n = (am)1 = am = am⋅1 n = 0. n = k ≥ 1. amk = (am)k = amk n = k + 1 (am)k+1 = (am)k(am)1 = amkam⋅1 = amk+m⋅1 = am(k+1) ∀ a ∈ A, ∀ m, n ∈ N ∗, (ab)n = anbn n, n = 1 (ab)n = (ab)1 = ab = a1b1 n = 1. n = k ≥ 1 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 30/54 Rotacione a tela.  Vejamos que é válido para : Rotacione a tela.  Múltiplo de um anel Seja um anel. Dado um elemento do anel e define-se o múltiplo de a com coeficiente denotado por como elemento de definido por recorrência do seguinte modo: Rotacione a tela.  Proposição Seja um anel, e temos: a) ; (ab)n = (ab)k = akbk quando ab = ba n = k + 1 (ab)k+1 = (ab)k(ab)1 = akbka1b1 = aka1bkb1 = ak+1bk+1 Comentário Se o anel possui unidade, a proposição anterior é válida para quaisquer elementos e em Veja que, se teremos: Além disso, podemos considerar que dado um elemento do anel existe um elemento e podemos definir Veja que é possível verificar para que Se e então  A m n N. n = 0, ama0 = am ⋅ 1 = am = am+0 (am)0 = 1 = a0 = am⋅0 (ab)0 = 1 = 1 ⋅ 1 = a0 ⋅ b0 a A, a−1 ∈ A n−n = (a−1) n, n ∈ N. m, n ∈ Z am ⋅ an = am+n (am)n = amn ab ∈ A ab = ba, (ab)n = anbn. (A, +, ⋅) a n ∈ Z, m, m ⋅ a, A 0 ⋅ m = 0 m ⋅ a = (m − 1) ⋅ a + a, s em ≥ 1 m ⋅ a = (−m)(−a), s em < 0 A a, b ∈ A ∀ m, n ∈ Z (m + n)a = ma + na 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 31/54 b) ; c) ; d) As demonstrações serão feitas por indução. Demonstrações a) Seja um anel, e Por indução sobre verificamos que: Para temos ou seja, a propriedade é verdadeira. Agora vamos considerar verdadeiro para Rotacione a tela.  Vejamos que é válido para Rotacione a tela.  b) Seja um anel, e Por indução sobre verificamos que: Para temos ou seja, a propriedade é verdadeira. Agora vamos considerar verdadeiro para : Rotacione a tela.  Vejamos que é válido para : Rotacione a tela.  c) Seja um anel, e Por indução sobre verificamos que: m(na) = (mn)a (−m)a = m(−a) = −(ma) m(a + b) = ma + mb. (m + n)a = ma + na A a ∈ A, m, n ∈ Z. n n = 1 (m + 1)a = ma + 1a, n = k ≥ 1. (m + k)a = ma + ka n = k + 1. (m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a m(na) = (mn)a A a ∈ A, m, n ∈ Z. n n = 1 m(1a) = (m1)a, n = k ≥ 1 m(ka) = (mk)a n = k + 1 m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k + 1))a (−m)a = m(−a) = −(ma) A a ∈ A, m ∈ Z. n 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 32/54 Rotacione a tela.  d) Seja um anel, e Por indução sobre verificamos que: Para temos ou seja, a propriedade é verdadeira. Agora vamos considerar verdadeiro para : Rotacione a tela.  Vejamos que é válido para : Rotacione a tela.  Unidades de um anel Definição Considerando o anel unitário e um elemento desse anel, podemos dizer que é um elemento inversível do anel se existe um elemento em tal que Nesse caso, dizemos que é inversível e é chamado de inverso de Lembramos que, como o inverso de um elemento inversível é único, vamos usar a notação para representar o inverso de A partir dessa definição, podemos indicar o conjunto dos elementos inversíveis do anel unitário que será denotado por (−m)a = (−1)ma = m(−1a) = m(−a) = (−a)m = (−1a)m = (−1)(am) = = (−1)(ma) = −(ma) m(a + b) = ma + mb A a, b ∈ A, m ∈ Z. m, m = 1 1(a + b) = 1a + 1b, m = k ≥ 1 k(a + b) = ka + kb m = k + 1 (k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b (A, +, ⋅) a a A b A, ab = ba = 1. a b a. a−1 a. (A, +, ⋅), U(A) = {a ∈ A; ∃ b ∈ A/ab = ba = 1}. Exemplo Em veja que De fato: pois e 9 dividido por 4 deixa resto 1  Z4 = {0, 1, 2, 3} U (Z4) = {1, 3} 3−1 = 3, 3.3 = 9 1−1 = 1 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 33/54 Quando estudamos as propriedades dos anéis, vimos que para todo em Vimos também que o elemento neutro da adição de um anel nunca é inversível. Agora, considerando 1, que é o elemento neutro da multiplicação, em que veja que ele é sempre inversível. O mesmo ocorre quando temos Assim, é inversível e Daí, se é inversível, podemos dizer que também será, ou seja, Vem que eu te explico! Os vídeos a seguir abordam os assuntos mais relevantes do conteúdo que você acabou de estudar. Módulo 2 - Vem que eu te explico! Tipos de anéis Módulo 2 - Vem que eu te explico! Unidades de um anel x.0 = 0, x A. 1.1 = 1, (−1)(−1) = 1.1 = 1. −1 (−1)−1 = −1. a a−1 (a−1) −1 = a.   01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 34/54 Questão 1 Considere as afirmações a seguir sobre anéis. I. Se é um anel comutativo, então, também é comutativo. II. Se e são anéis com unidade, então não tem unidade. III. O anel com as operações e não é um anel comutativo. Com relação as afirmações, podemos concluir que: Questão 2 Considerando o conjunto dos números inteiros pares: cuja soma e produto dos elementos formam um anel. Com relação a esse anel, marque a seguir a alternativa correta. Vamos praticar alguns conceitos? Falta pouco para atingir seus objetivos. (A, +, . ) (AK, +, . ) A B A × B (Z, ∗, Δ) x ∗ y = x + y xΔy = 0 A Somente a afirmativa I está correta. B Somente a afirmativa II está correta. C As afirmativas I e II estão corretas. D As afirmativas I e III estão corretas. E As afirmativas II e III estão corretas. Responder 2Z, A (2Z, +, ⋅), não é um anel comutativo. 01/09/2023 19:26 Anéis O elemento neutro do anel (2Z,+,-) €2. (2Z,+-) €éumanelcomunidade 12, = 1. (2Z,+;-) €um anel comutativo sem unidade. O simétrico do anel (2Z,+,-) 6 2x € 2Z. 5 - Subaneis e aneis de integridade Ao final deste modulo, vocé sera capaz de identificar subanel, anel de integridade e divisores de um anel. Vamos comecar! subaneis e aneis de integridade https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 35/54 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 36/54 Conheça os subanéis e os anéis de integridade. Subanéis No estudo de grupos, definimos uma estrutura menor, que preserva as propriedades do grupo, chamada de subgrupo. Agora, vamos definir uma estrutura chamada subanel. Você aprenderá a identificar essa nova estrutura, compreender sua importância dentro da teoria dos anéis e analisar seus principais resultados. Além disso, vamos entender o que é divisor de um anel e anel de integridade, também chamado do domínio de integridade, e seus principais resultados. Definição Seja um anel e um subconjunto não vazio de Dizemos que é um subanel de se ele é um anel com as operações do anel Isto é: I) é fechado para as operaçóes de adição e multiplicação; e II) é um anel. (A, +, ⋅), S ≠ ∅ A. (S, +, ⋅) A, A. S (S, +, ⋅) Comentário Todo anel possui pelo menos dois subanéis que são chamados de subanéis triviais. São eles o e o próprio anel  {0} A. 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 37/54 Veja que, de acordo com a definição, para ser um anel, teremos que verificar todas as propriedades que o caracterizam. Essa verificação é trabalhosa. Para minimizarmos esse trabalho, vamos apresentar uma proposição que será muito útil para determinar se um subconjunto é um subanel de um anel dado. Proposição 1 Seja um anel e um subconjunto não vazio de Dizemos que é um subanel de um anel se, e somente se, : Rotacione a tela.  Demonstração Inicialmente devemos mostrar que: Se é um subanel de um anel então: Rotacione a tela.  Por hipótese é um subanel de um anel Pela definição de anel, temos que Além disso, como o grupo está contido no grupo segue que: Rotacione a tela.  Logo: Rotacione a tela.  Por último, mostraremos que se: Rotacione a tela.  Então, é um subanel de um anel Temos por hipótese que e Como (S, +, ⋅) (A, +, ⋅), S A. (S, +, ⋅) A ∀ x, y ∈ S I) x − y ∈ S II) xy ∈ S (S, +, ⋅) A, x − y ∈ S e xy ∈ S, ∀ x, y ∈ S (S, +. . ) A. x − y ∈ S, ∀ x, y ∈ S. (S, +) (A, +), x − y ∈ S, ∀ x, y ∈ S x − y ∈ S e xy ∈ S, ∀ x, y ∈ S x − y ∈ S e xy ∈ S, ∀ x, y ∈ S (S, +, ⋅) A. . x − y ∈ S xy ∈ S, ∀ x, y ∈ S. x − y ∈ S, ∀ x, y ∈ S, 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 38/54 temos que é um subgrupo de Sendo assim, as propriedades de grupos são válidas. Como fica válido o fechamento da multiplicação. Agora temos que finalizar a demonstração verificando as propriedades do anel para a multiplicação. Propriedade associativa para a multiplicação: Rotacione a tela.  A associatividade da multiplicação em é herdada da associatividade de Valem as propriedades distributivas da multiplicação em relação à adição em Rotacione a tela.  Verificamos também que: Assim, é válido em Se for um anel comutativo, então também será. Isso significa que a comutatividade de é herdada de Se o anel não for comutativo, então também não será comutativo. Portanto, fica provada a proposição. Alguns exemplos de subanéis: 1. é um subanel de e 2. é um subanel de 3. é um subanel de e 4. é um subanel com unidade de 5. é um subanel com unidade de 6. é subanel de e 7. é subanel de 8. é subanel de e 9. é subanel de Exemplo O conjunto dos números inteiros pares é um subanel de pois dado o conjunto e Assim, temos e elementos de Usando a proposição 1, temos que: em que então em que então Portanto, é um subanel de (S, +) (A, +). xy ∈ S, ∀ x, y ∈ S, ∀ x, y, z ∈ S ⇒ x, y, z ∈ A, tem-se (x ⋅ y) ⋅ z = x ⋅ (y ⋅ z). S A. A. x ⋅ (y + z) = (x ⋅ y) + (x ⋅ z), ∀ x, y, z ∈ S ⇒ x, y, z ∈ A e (x + y) ⋅ z = (x ⋅ z) + (y ⋅ z), ∀ x, y, z ∈ S ⇒ x, y, z ∈ A ∀ x ∈ S ⇒ x ∈ A. A, a.1 = a. A S S A. A S (Z, +, ⋅) (Q, +, ⋅), (R, +, ⋅) (C, +, ⋅) (R, +, ⋅) (C, +, ⋅) (Q, +, ⋅) (R, +, ⋅) (C, +, ⋅) (Z, +, ⋅) (Q, +, ⋅) (Q, +, ⋅) (R, +, ⋅) (Mn (Z), +, . ) (Mn (Q), +, . ), (Mn (R), +, . ) (Mn (C), +, . ) (Mn (R), +, . ) (Mn (C), +, . ) (Mn (Q), +, . ), (Mn (R), +, . ) (Mn (C), +, . ) A = {–0, –2} ⊂ Z4, A Z4. 2Z Z, S = {2n; n ∈ Z}, ∀ x, y ∈ S ∀ m, n ∈ Z. x = 2n y = 2m S. x − y = 2n − 2m = 2(n − m), (n − m) ∈ Z, x − y ∈ S. xy = (2n)(2m) = 2(n2m), n2m ∈ Z, xy ∈ S. 2Z Z. 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 39/54 Exemplo O conjunto dos números ímpares não é um subanel de pois dado o conjunto veja que: e e Usando a proposição 1, temos que é um número par. Logo, Portanto, o conjunto dos números ímpares não é um subanel de ou seja, dado dois elementos de por exemplo, 1 e 3 , note que Exemplo O conjunto é um subanel de Veja que Usando a proposição 1, temos que: Rotacione a tela.  Exemplo Dado o conjunto observe que ele não é um subanel de pois dados dois elementos de por exemplo, 3 e 6, temos Exemplo Seja o conjunto Esse conjunto é denotado por Vamos verificar se ele é um subanel do anel Consideremos dois elementos do conjunto Z, S = {2n+ 1/n ∈ Z} ∀ x, y ∈ S ∀ m, n ∈ Z, temos x = 2n + 1 y = 2m + 1 x − y = 2n + 1 − (2m + 1) = 2n + 1 − 2m − 1 = 2n − 2m = 2(n − m) x − y ∉ S. Z, S, 3 − 1 = 2 ∉ S. –3Z6 Z6. –3Z6 = –3{0, 1, 2, 3, 4, 5} = {0, 3, 0, 3, 0, 3} = {0, 3}. 0 − 0 = 0 ∈ –3Z6 0.0 = 0 ∈ –3Z6 0 − 3 = 3 ∈ –3Z6 0.3 = 0 ∈ –3Z6 3 − 0 = 3 ∈ –3Z6 3.0 = 0 ∈ –3Z6 3 − 3 = 0 ∈ –3Z6 3.3 = 9 = 3 ∈ –3Z6 S = {0, –3, –6}, Z12, S, 3 − 6 = 3 + 6 = 9 ∉ S. S = {x + y√2/x, y ∈ Z}. Z[√2] = {x + y√2/x, y ∈ Z}. (R, +, ⋅). Z[√2]. 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 40/54 Rotacione a tela.  Logo, Portanto, é subanel de Exemplo O conjunto é um subanel de Considerando dois elementos do conjunto temos: em que Logo, é subanel de Exemplo a ∈ Z[√2] ⇒ a = x + y√2, ∀ x, y ∈ Z. b ∈ Z[√2] ⇒ b = z + w√2, ∀ z, w ∈ Z. a − b = (x + y√2) − (z + w√2) = x + y√2 − z − w√2 = (x − z ∈Z ) + (y − w ∈Z )√2 Logo, a − b ∈ Z[√2] ab = (x + y√2)(z + w√2) = xz + zy√2 + 2yw + xw√2 = = (xz + 2yw ∈Z ) + (xw + zy ∈Z )√2                   ab ∈ Z[√2]. Z[√2] (R, +, ⋅). Comentário é subanel de é subanel de é subanel de  Z Z[√p] Z[√p] Q[√p] Q[√p] P S = {[ ]/x, y ∈ R} x 0 y 0 M2(R). S : [ ]e [ ], x, y, z, w ∈ R, x 0 y 0 z 0 w 0 [ ] − [ ] ∈S = [ ] , x 0 y 0 z 0 w  0     x − z 0 y − w 0 (x − z) e (y − w) ∈ R [ ] [ ] ∈S = [ ] em que (xz) e (yz) ∈ R x 0 y 0 z 0 w  0     xz 0 yz 0 S M2(R). 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 41/54 O conjunto dos múltiplos de em que é um elemento do conjunto e é definido por é um subanel de Sejam em que e em que então em que então, Portanto, é um subanel do anel Exemplo Sejam e subanéis de um anel Prove que também é um subanel de Demonstração: Seja não vazio, pois Dados dois elementos temos que e Portanto: * portanto * portanto Logo, é subanel de Anel de integridade e divisores de um anel Antes da definição de anel de integridade vamos definir divisor de um anel. Divisores de um anel Definição Seja um anel comutativo com unidade, com as operações usuais de adição e multiplicação. Um elemento do anel é um divisor de zero se e existir um tal que Podemos dizer que e são divisores próprios de zero do anel. Exemplo Seja o anel Considerando dois elementos desse anel, por exemplo, 2 e 3, note que e 0 produto Portanto, 2 e 3 são divisores próprios de zero do anel. Exemplo Seja o anel Veja que 2 é um divisor próprio de zero do anel, pois e Exemplo Vejamos os divisores de zero no anel das matrizes de ordem anel das matrizes tem divisores de zero para todo n, n N n ≥ 2 nZ = {nk/k ∈ Z} Z. k1, k2 ∈ Z, a = nk1 b = nk2, ∀ a, b ∈ nZ. a − b = nk1 − nk2 = n (k1 − k2), (k1 − k2) ∈ Z, a − b ∈ nZ ab = (nk1) (nk2) = n (nk1k2), nk1k2 ∈ Z, ab ∈ nZ. nZ (Z, +, ⋅) R S (A, +, ⋅). R ∩ S A. R ∩ S 0 ∈ R ∩ S. a, b ∈ R ∩ S, a, b ∈ R a, b ∈ S. a − b ∈ R e a − b ∈ S, a − b ∈ R ∩ S. ab ∈ R e ab ∈ S, ab ∈ R ∩ S. R ∩ S A. A x A x ≠ 0A y ∈ A, y ≠ 0A, xy = 0A. x y Z6. 2 ≠ 0 3 ≠ 0. 2.3 = 6 = 0. Z4. 2.2 = 0 2 ≠ 0. M2(R). O (Mn(A), +. . ) n ≥ 2. 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 42/54 Vamos considerar dois elementos desse anel: Rotacione a tela.  Assim, e são divisores próprios de zero em Dessa forma, podemos dizer que se então são anéis com divisores de zero. Exemplo Seja o anel Considerando dois elementos desse anel, por exemplo, 2 e 3, note que e o produto Portanto, o anel não possui divisores próprios de zero. O mesmo ocorre com que também não possui divisores próprios de zero, pois dados dois elementos diferentes de zero o produto desses elementos também será diferente de zero. Exemplo Considere o anel Vamos verificar, por exemplo, se 36 é divisor de zero no anel Note que o ; portanto, 36 é divisor de zero no anel Isso significa que existe um elemento no anel que multiplicado por 36 dá zero. Vejamos: (lembrando que 108 dividido por 54 deixa resto 0 no anel ). Agora 35 não é divisor de zero no anel Veja que o Portanto, 35 não é divisor de zero no anel Anel de integridade ou domínio Um anel é dito anel de integridade ou domínio se ele é um anel comutativo com unidade e não possui divisores de zero: ( ) e ( ) ∈ M2(R) ( ) ⋅ ( ) = ( ) = 0M2(R) 0 3 0 0 0 −4 0 0 0 3 0 0 0 −4 0 0 0 0 0 0 ( ) 0 3 0 0 ( ) 0 −4 0 0 M2(R). n ≥ 2, (Mn(Z), +, ⋅), (Mn(R), +, ⋅), (Mn(Q), +, ⋅) Z7. 2 ≠ 0 3 ≠ 0. 2.3 = 6 ≠ 0. Z7 Z5, Comentário Observação sobre os divisores de zero no conjunto Também podemos verificar os divisores de zero no anel através do em que é um elemento de do seguinte modo: Seja um elemento de Podemos dizer que é um divisor de zero, se o  Zm Zm mdc(a, m), a Zm a Zm. a mdc(a, m) ≠ 1. Z54. Z54. mdc(36, 54) = 18 ≠ 1 Z54. Z54 36.3 = 108 = 0 Z54 Z54. mdc(35, 54) = 1. Z54. A 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 43/54 Rotacione a tela.  Exemplo Seja o anel Considerando dois elementos desse anel, por exemplo, 2 e 3, note que e O produto pois 2 e 3 são divisores próprios de zero do anel. Logo, não é um anel de integridade. Exemplo anel não é um anel de integridade, pois possui divisores de zero. Considerando dois elementos desse anel, por exemplo, 2 e 4, temos que e e Assim, 2 e 4 são divisores de zero em Exemplo Considere o conjunto dos números inteiros com as operações e Esse conjunto com essas operações, é um anel, já que todas os axiomas do anel são verificados. Além disso, é fácil verificar que é um anel comutativo sem unidade. Nesse caso, ele não é um anel de integridade. Exemplo anel é um anel de integridade, pois não possui divisores próprios de zero. Considerando dois elementos desse anel, por exemplo, 2 e 3, note que e 0 e Exemplo Quando é um anel de integridade e é um subanel com unidade, sempre temos ou seja como é anel de integridade, Isso mostra que um subanel com unidade de um anel de integridade é um subanel unitário. Exemplo Mostre que se é um anel de integridade e é um elemento de tal que então ou Solução Temos como hipótese que é um anel de integridade e Vamos somar nos dois lados da igualdade ∀ x, y ∈ A, xy = 0A ⇔ x = 0A ou y = 0A Z6. 2 ≠ 0 3 ≠ 0. 2.3 = 6 = 0, Z6 O Z8 2 ≠ 0 4 ≠ 0 2.4 = 8 = 0. Z8. Z x ∗ y = x + y xΔy = 0. (Z, ∗, Δ), (Z, ∗, Δ) Comentário a) é anel de integridade se, e somente se, for primo. b) A lei do cancelamento é verificada para a multiplicação: seja um domínio; se com então  Zm m A ab = ac a ≠ 0, b = c. O Z7 2 ≠ 0 3 ≠ 2.3 = 6 ≠ 0. A B 1A = 1B, 1B ≠ 0, A 1B (1B − 1A) = 1B − 1B = 0 → 1A − 1B = 0 → 1A = 1B. A x A x2 = 1, x = 1 x = −1. A x2 = 1. (−1) x2 = 1. 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 44/54 Rotacione a tela.  Como é um anel de integridade, temos ou Concluímos, então, que ou Vem que eu te explico! Os vídeos a seguir abordam os assuntos mais relevantes do conteúdo que você acabou de estudar. Módulo 3 - Vem que eu te explico! Subanéis Módulo 3 - Vem que eu te explico! Anel de integridade e divisores de um anel x2 + (−1) = 1 + (−1) x2 − 1 = 0 (x − 1)(x + 1) = 0 A a + 1 = 0 a − 1 = 0. a = −1 a = 1.  01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 45/54 Questão 1 Julgue as afirmativas a seguir e marque a alternativa correta. I. O conjunto é um subanel do conjunto dos racionais. II. é um subanel do anel III. é um subanel do anel  Vamos praticar alguns conceitos? Falta pouco para atingir seus objetivos. C = { a 2n ; a, n ∈ Z, n ≠ 0} S = {x ∈ Q; x ∉ Z} (Q, +, ⋅). A = 3Z (Q, +, ⋅). A As afirmativas II e III estão corretas. B Apenas a afirmativa II está correta. C As afirmativas I e III estão corretas. D Apenas a afirmativa III está correta. E Todas as afirmativas estão corretas. Responder 01/09/2023 19:26 Anéis Questao 2 Oanel Ze admite quantos divisores de zero? 1 2 3 A 5 4 - Homomorfismo de anéis Ao final deste modulo, vocé sera capaz de analisar os homomorfismos de anéis. https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 46/54 01/09/2023 19:26 Anéis Vamos comecar! Homomorfismo de aneis Conhega um pouco sobre homomorfismo de anéis. Homomorfismos de aneis Definigao Sejam (A,+,-) e (B,+4+,-) dois anéis,esejaafuncao f:A— B. Dizemos que jf éumhomomorfismo doanel (A no anel B) se,e somente se, as seguintes condigdes forem validas: a) f(x+y) = f(z) + fly) b) f(xy) = f(x) f(y) Exemplo Seja f:Z2xZ—4Z talque f(x,y) =a Vamos considerar dois elementos de Z x Z. https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 47/54 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 48/54 Rotacione a tela.  Logo, é um homomorfismo de anel. Exemplo Seja tal que Para temos: Rotacione a tela.  Logo, é um homomorfismo de anel. Exemplo Seja tal que Para temos: Rotacione a tela.  Logo, é um homomorfismo de anel. Exemplo Seja tal que Para temos: Rotacione a tela.  Logo, não é um homomorfismo de anel. (x, y), (a, b) ∈ ZxZ f((x, y) + (a, b)) = f(x + a, y + b) = x + a = f(x, y) + f(a, b) f((x, y) ⋅ (a, b)) = f(xa, xb) = xa = f(x, y) ⋅ f(a, b) f f : A → B f(a) = 0 a, b ∈ A, f(a + b) = f(a) + f(b) = 0 + 0 = 0 f(ab) = f(a) ⋅ f(b) = 0 ⋅ 0 = 0 f f : A → B f(a) = a a, b ∈ A, f(a + b) = f(a) + f(b) = a + b f(ab) = f(a) ⋅ f(b) = ab f f : Z → E f(x) = −x x, y ∈ Z, f(x + y) = −(x + y) = (−x) + (−y) = f(x) + f(y) f(xy) = −(xy) f(x) ⋅ f(y) = (−x) ⋅ (−y) = xy f(xy) ≠ f(x) ⋅ f(y) f 01/09/2023 19:26 Anéis Exemplo Seja f:(S,+,*) > (E,4+,-) talque f(r) = 22. nx y= 2ry Para x,y €S, temos: f(a +y) = 2(@ + y) = 2(x) + 2(y) = F(x) + fy) f(x *y) = 2(2ay) = dry = (2x)(2y) = f(x) f(y) Rotacione a tela. S Logo, f n&oéumhomomorfismo de anel. Exemplo Seja f: AB, onde A= Z[V2] e B= Z[V2], talque f(a+bV2) =a—bv2. Vamos considerar dois elementos do anel A: a+ bV/2 ect dvV2. f((a+ bV2) + (c+ dvV2)) = f(a + bV2) + f(c + dv2) = (a ~ by2) + (ce ~ dv2) =(a+c)—(b+d)Vv2 f((a + bV2)(c + dv2)) = f(a + bV2) f(c + dv2) = (a — bV2)(c — dV2) = ac — adV2 — bevV2 + 2bd = (ac + 2bd) — (ad + bc) V2 Rotacione a tela. S Logo, f n&oéumhomomorfismo de anel. Nucleo e imagem do homomorfismo de anéis Seja f:A— B umhomomorfismo de anéis. Definimos nucleo ou kernel do homomorfismo f que éformado pelos elementos de A cuja imagem por f éigual ao zerodoanel B. Lembrando que podemos indicar o nucleo por N(f) ou Ker(f). N(f) = Ker(f) = {@ € A/f() = 0} Rotacione a tela. S Seja f:A— B umhomomorfismo de anéis. A imagem do homomorfismo f éaimagemdafun¢ao f. https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 49/54 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 50/54 Rotacione a tela.  Exemplos 1. Seja um anel e uma função definida de em A, em que Neste caso, o e a 2. Seja um anel e uma função definida de A em A, em que Neste caso, o e a Exemplo Seja A um anel e f uma função definida de em em que Rotacione a tela.  Exemplo Seja a função definida de em que Como o elemento neutro é 0, podemos escrever que: Rotacione a tela.  Logo, Agora, com relação à imagem, tomando temos que Assim, mostrando que Segue que Exemplo Seja definida por Determine o núcleo da função Solução Isso significa que Logo, Im(f) = {f(x)/x ∈ A} A f A f(x) = x. N(f) = {0} Im(f) = A. A f f(a) = 0. N(f) = a Im(f) = {0}. A × A M2(A), f(x, y) = [ ]. x 0 0 y N(f) = [ ] = [ ] ⇒ x = y = 0. Assim, N(f) = {(0, 0)}. Im(f) = [[ ] ∈ M2(A)] x 0 0 y 0 0 0 0 x 0 0 y f : Z[√3] → Z[√3], f(a + b√3) = a − b√3. a + b√3 ∈ N(f), assim f(a + b√3) = 0 ⇔ a − b√3 = 0 ⇔ a = 0 ⇔ b = 0 N(f) = {0}. x + y√3 ∈ Z[√3], x − y√3 ∈ Z[√3]. f(x − y√3) = 0 ⇔ x + y√3, x + y√3 ∈ Im(f). Z[√3] ⊆ Im(f) & Im(f) = Z[√3]. f : Z → Z3 f(x) = ¯x. f. f(x) = 0 ⇔ x = 0emZ3 x ≡ 0( mod 3) ⇔ x = 3n, ∀ n ∈ Z. N(f) = {0, −3, 3, −6, 6, …} = 3Z.  01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 51/54 Vem que eu te explico! Os vídeos a seguir abordam os assuntos mais relevantes do conteúdo que você acabou de estudar. Módulo 4 - Vem que eu te explico! Homomorfismo de anéis Módulo 4 - Vem que eu te explico! Núcleo e imagem do homomorfismo de anéis Questão 1  Vamos praticar alguns conceitos? Falta pouco para atingir seus objetivos. 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 52/54 Seja um anel qualquer e em que Considerando que tem um homomorfismo de anel, determine o Questão 2 Seja a função definida de onde um homomorfismo de anéis. Marque a alternativa que indica a A f : A → A × {0}, f(x) = (x, 0). A N(f). A N(f) = {0} B N(f) = {1} C N(f) = {2} D N(f) = {3} E N(f) = {4} Responder f Z6 × Z6 → Z6 × Z6 (a, b) → (3a, 4b) Im(f). A Im(f) = {(0, 0), (0, 2), (0, 4)} B Im(f) = {(1, 0), (3, 0), (3, 2), (3, 4)} C Im(f) = {(0, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 4)} D Im(f) = {(0, 0), (1, 2), (1, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 4)} E Im(f) = {(0, 0), (0, 2), (0, 4), (3, 0), (3, 2), (3, 4)} 01/09/2023 19:26 Anéis Conhecemos uma nova estrutura chamada anel, dotada de propriedades importantes. Além das propriedades desse anel, vimos que 0 estudo dos grupos tem um papel importante na defini¢ao do anel e na andlise dos subanéis e dos homomorfismos de anéis. As propriedades dos homomorfismos de anéis apresentam duas condigoées para ser analisadas, tendo em vista que o anel possui duas operacées. Neste estudo, ficou evidente a importancia do homomorfismo de anéis em preservar as operagées e as propriedades de cada conjunto. > 00:00 1300 @) & 1x Explore + Indicamos aqui para vocé alguns artigos interessantes sobre a Algebra Abstrata: Breve historia da Algebra Abstrata, de César Polcino Milies. Estruturas algébricas, de Cicero Fernandes de Carvalho. Os diversos conflitos observados em alunos de licenciatura num curso de Algebra: identificagao e analise, de Hernando José Rocha Franco. DOMINGUES, Hygino H.; IEZZI, Gelson. Algebra moderna. 5. ed. Sao Paulo: Saraiva, 2018. https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 53/54 01/09/2023 19:26 Anéis https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03637/index.html# 54/54 GARCIA, Arnaldo. Álgebra: um curso de introdução. Rio de Janeiro: IMPA-Projeto Euclides, 2003. GONÇALVES, Adilson. Introdução à álgebra. 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2003. LANG, Serge. Álgebra para graduação. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda, 2008. MONTEIRO, L.H. Elementos de álgebra. Rio de Janeiro: Livro Técnicos Científicos, 1971. VIEIRA, Vandemberg Lopes. Álgebra abstrata para licenciatura. Campina Grande: EDUEPB, 2015. Material para download Clique no botão abaixo para fazer o download do conteúdo completo em formato PDF. 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