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E-Book - Apostila Tema 5 - Espaço Vetorial Dado E-Book - Apostila Esse arquivo é uma versão estática. Para melhor experiência, acesse esse conteúdo pela mídia interativa. E-Book - Apostila OBJETIVO Identificar o espaço de um vetorial dado Palavras-chave: Espaço Vetorial; adição, multiplicação, escalar, axiomas. Introdução Vamos iniciar o capítulo revendo a importância do estudo dos vetores. De acordo com Anton e Horres (2012) os engenheiros e físicos fazem distinção de dois tipos de quantidades físicas: as escalares, que podem ser descritas apenas com um valor numérico e os vetores que requerem não só um valor numérico, mas também uma direção e o sentido para sua descrição física completa. Por exemplo, quando se fala uma temperatura de 40°C , um comprimento de 20m, é possível uma compreensão dessas grandezas, mas ao mencionar que um navio segue numa direção de 45° no sentido nordeste, essas informações se tornam insuficientes para descrever essa grandeza. No estudo das Ciências, da Engenharia e da Matemática surge a noção de Espaço Vetorial. Este conceito consiste simplesmente em uma generalização do Rn construída de maneira cuidadosa. Ao estudar as propriedades e a estrutura de um espaço vetorial, podemos estudar não somente o Rn, mas vários outros espaços vetoriais importantes. (Kolman e Hill, 2013, p. 250) Nesta Unidade, além de definir a noção de espaço vetorial, aprenderemos a identificar um espaço vetorial dado. Definindo Espaço Vetorial Para darmos início ao nosso estudo, apresentaremos a definição de Anton e Horres (2012) sobre Espaço Vetorial: seja V um conjunto não vazio qualquer de objetos no qual estejam definidas duas operações, a adição e a multiplicação por escalares. Por adição entendemos uma regra que associa a cada par de objetos u e v em V um objeto u + v, denominado soma de u com v. A figura 1 apresenta a representação geométrica da adição em V. Figura 1 - Representação Geométrica da Adição em V 2 - 10 E-Book - Apostila Fonte: Adaptada de Caliolli et al.(1990) Em referência a multiplicação por escalar entendemos uma regra que associa a cada escalar a e a cada objeto u em v um objeto au denominado múltiplo escalar de u por a. A figura 2 demonstra a representação geométrica da multiplicação de um escalar em v. Figura 2 - Representação Geométrica da Multiplicação por um escalar 3 - 10 E-Book - Apostila Fonte: Adaptada de Caliolli et al.(1990) Apresentadas as definições acima, precisamos compreender que existe um espaço vetorial V e que nesse espaço existem objetos u, v e w. Há também escalares a e b, que satisfeitos por todos os objetos em V e quaisquer desses escalares, diremos que V é um espaço vetorial e os objetos de V são vetores. Dados então os elementos mencionados acima, Been e Kozakevich (2011) apresentam os axiomas (verdades evidentes por si mesmas e comuns a todos os campos de estudos, e sua demonstração não é necessária) que devem ser satisfeitos para identificar um espaço vetorial: Se u e v são objetos em V, então u + v é um objeto em V. u + v = v + u u + (v + w) = (u + v) + w Existe um 0 em V, denominado vetor nulo de V ou vetor zero, tal que 0 + u = u + 0 = 0, com qualquer u em V. Dado qualquer u em V, existe algum objeto -u, denominado negativo de u, tal que u + (-u) = (-u) + u = 0. Se a for qualquer escalar e u um objeto em V, então au é um objeto em V. a. (u + v) = au + av (a + b)u = au + bu a(bu) = (ab)u 1u = u E-Book - Apostila Sabemos então, até o momento que os elementos de V são chamados de vetores; os números reais são chamados de escalares. A operação da adição é chamada soma de vetores, e a operação da multiplicação são chamadas de multiplicação por escalar. O vetor 0 do axioma 4 é chamado vetor nulo. Já o vetor -u do axioma 5 é chamado de negativo de u. Ainda de acordo com Anton e Rorres (2012, p.172) a definição de um espaço vetorial não especifica nem a natureza dos vetores, nem das operações. Qualquer tipo de objeto pode ser um vetor, e as operações de adição e multiplicação por um escalar podem não ter relação alguma com as operações usuais em Rn. A única exigência é que os dez axiomas do espaço vetorial sejam satisfeitos. Para determinar se um conjunto com duas operações é um espaço vetorial seguiremos o passo a passo determinado por Anton e Rorres (2012, p.172), que apresentamos a seguir: Passo 1: Identifique o conjunto V de objetos que serão os vetores; Passo 2: Identifique as operações de adição e multiplicação por um escalar. Passo 3: Verifique a validade dos axiomas 1 e 6, ou seja, que a soma de dois vetores em V produz um vetor em V, e que a multiplicação de um vetor em V por um escalar, também produz um vetor em V. O axioma 1 é denominado fechamento na adição e o axioma 6, fechamento no produto escalar. Passo 4: Confirme que vale os axiomas 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 e 10. Da geometria analítica se sabe que um par ordenado (x1, x2) de números reais representa um ponto ou um vetor do plano R2, assim como uma terna (x1, x2, x3) representa um ponto ou um vetor no R3. Em geral, uma quádrupla (x1, x2, x3, x4) é um ponto ou um vetor de R4 e uma nê-pla (x1, x2, ... xn) é um ponto ou vetor de Rn. Vamos Testar? Caro estudante, conhecido dos procedimentos necessários, para identificar um espaço vetorial dado, veremos agora a aplicabilidade em alguns exemplos, apresentados por Anton e Rorres (2012) e Kolman e Hill (2013): 1 – Espaço vetorial nulo Seja V um conjunto que consiste em um único objeto que denotamos 0 e define-se 0 + 0 = 0 e a. 0 = 0 Quaisquer que sejam os valores de a, é fácil verificar que todos os axiomas necessários estão satisfeitos. Dizemos então, que o espaço vetorial é nulo. 2 - é um espaço vetorial Seja V = Rn e defina as operações do espaço vetorial em V como as operações conhecidas de adição e multiplicação por um escalar, por nê-pla (sequencia finita de n números naturais) da seguinte maneira: u + v = (u1, u2, ... un) + (v1, v2, ... vn) = (u1 + v1 + u2 + v2 + ... un + vn) Dessa forma, V = Rn é fechado na adição e na multiplicação por um escalar, pois como demonstrado acima, as operações apresentam nê-pla e essas operações satisfazem os demais axiomas. E-Book - Apostila 3 – Espaço Vetorial nas Matrizes 2 x 2 E dado V os conjuntos das matrizes 2 x 2 e tomemos por base as operações de adição e multiplicação por escalar. Os axiomas 3, 7, 8 e 9 podem ser satisfeitos pelo Teorema das Propriedades de aritmética matricial. Esse Teorema apresenta 12 regras de aritmética que apresentamos abaixo: A + B = B + A A(B + C) = (A + B) + C A(BC) = (AB)C A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC A(B – C) = AB – AC (B – C) A = AB + BC a(B + C) = aB + aC (a + b)C = aC + bC (a – b)C = aC – bC a(bC) = (ab)C a(BC) = (aB)C = b(aC) De acordo com Anton e Rorres (2012) para provar qualquer uma das igualdades, devemos mostrar que a matriz do lado esquerdo tem o mesmo tamanho da matriz do lado direito e que as entradas correspondentes dos dois lados são iguais. Iremos agora fazer apenas a demonstração do número iii com um exemplo, e as demais seguem a mesma proposta. Como exemplo da lei associatividade da multiplicação matricial, considere: Assim: De forma que A(BC) = (ABC), conforme garante o Teorema. Agora vamos voltar a situação inicial, onde falta agora os axiomas 4, 5 e 10. Para confirmar o axioma 4, devemos encontrar uma matriz 0 de tamanho 2 x 2, com o qual u + 0 = 0 + u = u. Assim temos: E-Book - Apostila KOLMAM, Bernard. HILL, David R. Introdução à Álgebra Linear com Aplicações; tradução Alessandra Bosquilha; revisão técnica Rafael José Lorio Júnior. [Reimpressão] - Rio de Janeiro: LTC, 2013. LIMA, Elon Lages. Álgebra Linear. 7ª Edição. Rio de Janeiro: IMPA, 2004. DÚVIDAS FREQUENTES 1. O que é Espaço Vetorial? Dizemos que um conjunto V ≠ 0 é um espaço vetorial, se e somente se, existe uma adição que atende a algumas propriedades e a uma multiplicação que atende a algumas propriedades. 2. O que são axiomas? São verdades evidentes por si mesmas e comuns a todos os campos de estudos, e sua demonstração não é necessária. 3. Quais são as propriedades importantes para a definição de espaço vetorial?Fechamento da adição (que corresponde ao axioma 1) e o Fechamento da Multiplicação (que corresponde ao axioma 6). 4. Se V é um conjunto e os objetos u e v que pertencem a este conjunto, é possível afirmar que V é um espaço vetorial? Por quê? Não. É preciso atender os axiomas para verificar se será um espaço vetorial 10 - 10