SEXTOTESTEINDEXAÇÃO pdf

2- Em cada um dos itens abaixo, faça um esboço da região R a) R: 1 ≤ x ≤ 2, 1 - x ≤ y ≤ 1 + x b) R: 1, x ≥ y ≥ x ≤ 1 + y, 0 ≤ y, ≤ 1 3- Calcule a integral dupla a) ∬_B (x-y) dxdy , onde B: x ≥ 1, x² + y² ≤ 1, x ≥ 0 b) ∬_B (cos(x-y) dxdy) / sen(x+y) onde B: trapézio 1 ≤ x+y ≤ 2, x ≥ 0, e y ≥ 0 Solução: inicialmente, vamos desenhar B para isso: 1: x+y e 2: x+y = 2 Em cada um dos itens abaixo, faça um esboço da região R a) R: 1 ≤ x ≤ 2, 1 - x ≤ y ≤ 1 + x b) R: 1 ≤ x² ≤ 1 + y, 0 ≤ y ≤ 1 Calcule a integral dupla a) ∬_B (x-y) dxdy , onde B: x ≥ 1, x² + y² ≤ 1, x ≥ 0 ℕ∈ inyalmentă, fibonamescníosçoplasdaresq 𝋕|x-y u = x-y ←→ u = x + y v = x+y v = xy c) ∭_B x sen(xy) dx dy d) ∬_B x² dx dy B: 0 ≤ x ≤ cos y, 0 ≤ y ≤ π/2 Exemplo: Deja B o paralelogramo de vértice (0, 0) (1,1) (2,1) (1,1) mediante a transformação u = x-y, v = x+y Calcule ∬_B (2 - x² - y²) dx dy Solução: inicialmente temos desenhar onda a paralelogramo Exercício 1: Calcule as integrais, a) ∫_0^π/2 ∫_0^senx (2 + 4y) dy dx b) ∫_2^4 ∫_0^√x (x+y) dy dx c) ∫_3^1 ∫_0^x e^(x+y) dy dx d) ∫_1^3 1/(x+y) dy dx Pelo estudo feito calculamos inicialmente na variável y, ou seja, ∫[2, 3] x y^2 dy = 2 y^3 |[2, 3] - x x^3 | = = 19 x / 3 agora, ∫[0, 3] 19 x dx = 19 x^2 / 6 |[0, 1] = 19 / 6 Observação: Sendo f positiva no retângulo R = [a,b] X [c,d], então A(x) é a área plana limitada pelo gráfico de f e o eixo horizontal entre as retas y = c e y = d. Analogamente, ∫[c, d] ∫[a, b] f (x) dx dy Exemplo: Calcule as integrais iteradas a) ∫[0, 3] ∫[0, 2] (3x + 4y)^2 dy dx b) ∫[0, 3] ∫[0, 1] x y^2 dx dy integral iteradas para regiões mais gerais Sejam g(x) e h(x) funções contínuas no intervalo [a,b] tais que 'g(x) ≤ h(x) em [a,b]'. Podemos calcular a integral A(x) = ∫[g(x), h(x)] f(x,y) dy logo, ∫[a, b] A(x) dx. Assim, ∫[a, b] ∫[g(x), h(x)] f(x,y) dy dx Exemplo: Calcule a seguinte integral iterada ∫[1, x^2] ∫[x^3, x^2] x y dy dx Solução Pelo estudo feito, calculamos inicialmente na variável y, ou seja, ∫[x^3, x^2] x y dy = x y^2/2 |[x^3, x^2] = x x^4/2 - x x^6/2 = x^5 - x^7 / 2 Daí, ∫_0^1 (x^5 - x^7) dx = x^6/6 - x^8/8 |_0^1 = 1/6 - 1/8 Exemplo: Calcule a seguinte integral iterada ∫_0^1 ∫_0^(1-x) (x^2 + 2y^3) dy dx integral dupla Considere a função contínua f: B ⊂ ℝ² → ℝ, com B limitado. Considere o retângulo R = {(x,y) ∈ ℝ² , a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}. tal que B ⊂ R Seja P : {x_i,y_j} ; i=1,...,n j:=1,...,m dum a partição do retângulo R. Essa partição P de R determina n*m retângulos. R_ij : {(x,y) ∈ ℝ², x_(i-1) ≤ x ≤ x_i, y_(j-1) ≤ y ≤ y_j} para cada par de índice (i,j) escolhemos arbi-trariamente no retângulo R_ij um ponto x_ij, y_ij [imagem] ∞ o número Σ_(i=1)^n Σ_(j=1)^m f(x_ij)Δσ_iΔy_j - quando f(x_ij) ≥ 0, para x_ij ∈ B, denomina-se soma de Riemann de f relativo à partição P e seus pontos x_ij. Observação: Se f(x_ij) ≥ 0, então f(x_ij) Δσ_i Δy_j é o volume do paralelepípedo de altura f(x_ij) base o retângulo R_ij : [x_(i-1), x_i] * [y_(j-1), y_j] Definição: Deixe f(x,y) uma função definida na conjuto limitada B, e L um número real. Dizemos que a soma de Riemann Σ_(i=1)^n Σ_(j=1)^m f(x_ij) Δσ_i Δy_j = L Tende a L, quando S tende a zero escrevemos lim (Δ→0) Σ_(i=1)^n Σ_(j=1)^m f(x_ij) Δσ_i Δy_j = L Se para todo ε>0 existe S>0 (S>0 depende de ε) tal que |Σ...(f(x_ij) Δσ_i Δy_j - L)| ≤ ε Para toda partição P, com S ≤ δ Observação: O número L determina se integral dupla de f sobre B indicado por ∬_B f(x,y)dσdy = lim (Δ→0) Σ_(i=1)^n Σ_(j=1)^m f(x_ij, y_ij) Δσ_i Δy_j Exemplo: Calcule a integral dupla da função f(x,y)=k no retângulo [a,b] x [c,d] Solução: Vamos relebrar da definição ∬ f(x,y)dσdy = lim (Δ→0) Σ_(i=1)^n Σ_(j=1)^m f(x_ij, y_ij) Δσ_i Δy_j onde Δσ_i = x_i - x_(i-1), comprimento [x_(j-1), y_j] Da mesma forma Δy_j = y_j - y_(j-1) Seja P uma partição qualquer retângulo P P: x_ij, i=1,...,n, y_j, j=1,...,m Para cada R_ij : x_(i-1) ≤ x ≤ x_i, y_(j-1) ≤ y ≤ y_j Tomamos arbitrariamente x_ij, y_ij f(x_ij, y_ij) : k, f(...) Agora vamos avaliar soma de Riemann Σ Σ f(x_ij, y_ij) Δσ_i Δy_j : k (Δσ_1 Δy_1 + Δσ_1 Δy_2 ... + Δσ_2 Δy_2 + Δσ_3 Δy_3 ... ) sem Δy_1 + Δy_2 + Δy_3 ... ocorre algumas manipulações algébricas Σ Σ f(x_ij, y_ij) Δσ_i Δy_j = k ((Δσ_1 + Δσ_2 + ... + Δσ_n) * (Δy_1 + Δy_2 + ... + Δy_m)) = k (b-a)(d-c) Mesma fórmula Δy_j = y_j - y_(j-1) ∫_{π/4}^{π/3} ∫_{π/4}^{π/7} x \cos y \, dx \, dy = ∫_{π/4}^{π/3} \cos y \, dy \cdot \frac{1}{3} \, \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}\left[ \sin \frac{\pi}{4} - \sin \left(- \frac{\pi}{3}\right) \right] \cdot \frac{1}{2} \left[ \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right] = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{4} Exemplo: Calcule a integral ∬_B^{} xy \, dx \, dy onde \quad B : \lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2, \, 0 \leq x \leq 1, \;, 0 \leq y \leq x^2 \rbrace Solução Como não temos uma ferramenta específica então faremos uma adaptação. Considere F(x,y) definida em [0,1] \times [0,1] {\begin{cases}(x,y), \; (x,y) \in B \\ 0, \; (x,y) \notin B\end{cases}} ∬_B^{} xy \, dy \, dx Antes, ∫_0^1 ∫_0^{x^2} xy \, dy \, dx = ∫_0^1 x \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{x^2} \, dx = ∫_0^1 \frac{x^5}{2} \, dx = \frac{x^6}{12}\bigg|_0^1 = \frac{1}{12} Voltando, ∬_B^{} xy \, dx \, dy = ∫_0^1 x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} \bigg|_0^1 = \frac{1}{4} Teorema: (teorema de fubini) avançado Seja f contínua em uma região R (1) Se R for definida por a \leq x \leq b \; e \; g_1(x) \leq y \leq g_2(x) com g_1, g_2 contínuas em [a,b], então ∬_R f(x,y) \, dx \, dy = ∫_a^b ∫_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) \, dy \, dx (2) Se R for definida por c \leq y \leq d \; e \; h_1(y) \leq x \leq h_2(y) com h_1, h_2 contínuas em [c,d], então ∬_R f(x,y) \, dx \, dy = ∫_c^d ∫_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y) \, dx \, dy Exemplo: Calcule a integral ∬_B (3-x - y) \, dx \, dy onde B : 0 \leq x \leq 1, \; 0 \leq y \leq x Exemplo: Calcule ∫_B \frac{\sin x}{x} \, dx \, dy onde B : 0 \leq x \leq \pi, \; 0 \leq y \leq x Vamos relembrar o teorema de mudança de variável para uma função de uma variável. Corredor f : [a,b] \to \mathbb{R} uma função contínua. Seja g : [c,d] \to [a,b] uma função de classe C^1[c,d] com g(c) = a \; e \; g(d) = b. Então, ∫_a^b f(x) \, dx = ∫_c^d f(g(u)) g'(u) \, du Definição: Dado a transformação u = u(x,y) e v = v(x,y) onde u \; e \; v são funções de classe C^1 de x \; e \; y J_{expressao} = \begin{bmatrix}\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)} \end{bmatrix} = \begin{vmatrix}\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}\end{vmatrix} \frac{24u}{2ux} \; \frac{24}{2ux} \; \frac{24uv - 24v}{2x} \; \frac{24v}{2x} Chamamos determinantes jacobianos e relação a x, y y Exemplo: Sendo x: r cos θ e y: r sen θ calcule 2(x,y) 2(r,θ) Solução 2(x,y) cos θ -r sin θ sin θ r cos θ = r cos θ + r sen θ^2, v cos θ + sen^2 θ = r Teorema: Seja f: B ⊂ ℝ^2→ℝ uma função contínua e B limitada e suave. Deixa φ: ⊂ ℂ^2→ℝ tal que é dados por (x,y) φ(u,v) onde x = x(u,v), y = y(u,v) Seja B_st ⊂ ℝ suave em B: φ(B_us) Diferenciável (inversível) e 2(x,y) 2(u,v) ≠ 0 estas condições ∫∫_B f (right in x, y) dx dy = ∫∫_B_st f(φ(u,v)) 2(x,y) du dv dv Exemplo: Diga f(x,y): x no região B: x^2 + y^2 = a^2, calcule ∫_B f(x,y) dx dy Solução: Vamos utilizam a mudança de variável: x = r cos θ, y = r sen θ temos 2(x,y) = r 2(r,θ) ∫∫_B f(x,y) dx dy = ∫∫ r dr dθ ∫∫ x^2 0 dθ 0 ∫ a 0 2π = (a^2 / 2) ∫ 0^2π do = a^2/2 (π) = πa^2 Exemplo: Calcule ∫∫_B x y dx dy onde B: limitado pela reta x + y = -1, Taremos u = x + y e v = x - y temos g B_1 -1≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1 (1) ∫∫_B x^2 dy dx B: limitado pelas retas 2x + 3y = 6, 2x + 2y = 9 -2x + y = 6 e 2x + y = 1 (a) ∫∫_B √(x^2+y^2) dz dy B: Semicírculo de raio 5, centro na origem (b) ∫∫_B (x^2+y^2) dx dy B: limitado pelas curvas x^2, y^2 = 1, x = 2, y = 2 x, y = 1 e x, y = 4 (a) ∫∫_B cos(x-y) dx dy B: trapézio 1 ≤ x + y ≤ 2, x ≥ 0 e y ≥ 0 (b) ∫∫_B |cos(x^2+y^2)| dx dy B: Semicírculo x, y ≤ x^2 ≤ 1, y ≥ 0 (B1) ∫∫_B e^(-x^2) dy dx, onde B: triângulo de vértices (0,0), (1,1) e (0,1) (c) ∫∫_B e^(-x^2+y^2) dx dy B: Primeiro quadrante e é limitado pela exponencial x + y^2 = 0 e pelo eixo x, com eixo 0 tende a 4, quando A tende a zero escrevemos lim A→0 Σ Σ Σ f(xijk) Δxi Δyk Δzk = L i=1 j=1 k=1 se para todo E >0 existe S >0 tal que Σ Σ Σ f(xijk) Δxi Δyk Δzk - L <= E i=1 j=1 k=1 para toda partição P tal que A <= S Observação: O número L depende apenas de E e não de xi,j,k. Este número L denominamos integral tripla de f sobre o B indicado por: ∫∫∫ f(x,y,z) dx dy dz = lim Σ Σ Σ f(xijk) Δxi Δyk Δzk * * * Δ→0 i=1 j=1 k=1 Exemplo: Calcule a integral tripla da função f(x,y,z)=k no bloco D = [a,b] x [c,d] x [p,q] Observação: valem as mesmas propriedades da integral dupla Teorema (teorema de fubini) Seja f(x,y,z) contínua no bloco retangular D: [a,b] x [c,d] x [p,q] Suponhamos que ∫ f(x,y,z) dx exista , para toda (y,z) € [c,d] x [p,q] a ∫ f(x,y,z) dy exista , para toda (x,z) € [a,b] x [p,q] c ∫ f(x,y,z) dz exista , para toda (x,y) € [a,b] x [c,d] p então é ∫∫∫ f(x,y,z) dx dy dz = ∫ ∫ ( ∫ (x,y,z) dx) dy dz D p q = ∫ ∫∫ f(x,y,z) dx dy dz a c = ∫ ∫∫ f(x,y,z) dz dx dy e p Exemplo: Calcule a integral ∫∫∫ x * y * z dx dy dz 0 onde D = [a,b] x [0,1] x [0,1] Exemplo: Calcule a integral ∫∫∫ (x e^x*y - z x^2) dx dy dz b onde D = [0,1] x [4,9] x [1,2] Solucão: sucessivamente ∫ x e^x dy = e^x*y | , e^x , e^x - e^x * (2 - \sqrt{5}) \frac{1}{2} dv = \frac{(2-\sqrt{5})}{2} \ln 2 \text{Voltamos} \int_{D}\int \int \frac{\sin (x+y-z)}{x+2y+z} dx\, dy\, dz = \ln 2 \frac{(2-\sqrt{5})}{2} \int \frac{1}{2} dv \ln \frac{2-\sqrt{5}}{2} \text{Coordenadas} \text{Cilíndricas} \text{Dado um ponto } P(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \text{Definimos coordenadas cilíndricas as relações:} x = r \cos \theta y = r \sin \theta z = z \text{Exemplo: Seja } f(x,y,z): \mathbb{R} \text{ Calcule} \int_{D}\int \int f(x,y,z) dx \, dy \, dz \text{Geometracamente} \theta \ r \ z y \text{cons } z=v, \text{z= a} v \text{varia} \text{onde D é o sólido limitado} \text{pela superfície das funções} z=x^2+y^2, z=2-x^2-y^2 \text{Solução:} z=x^2+y^2 z=2-x^2-y^2 \text{Vamos utilizar coordenadas cilíndricas, para isso} z_1=r^2, z_2=2-r^2 daí, z_1=z_2\Rightarrow z=1 \text{nosso domínio de integração} 0 \le r \le 1, 0 \le \theta \le 2\pi, r^2 \le z \le 2-r^2 \text{nosso domínio de integração} 0 \le r \le 1, 0 \le \theta \le 2\pi, r^2 \le z \le 2-r^2 \int_{D} \int \int k \, dx \, dy \, dz = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \int_{r^2}^{2-r^2} k \, r \, dz \, d\theta \, dr \text{Coordenadas Esféricas} \text{Dado um ponto } P(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \text{ definimos as} \text{coordenadas esféricas pelas seguintes relações} \rho: \text{ é a distância de P a origem} \phi: \text{ é o ângulo ''\text{OP}'' forma com o eixo z} \text{positivo } (0 \le \phi \le \pi) \theta: \text{ é o ângulo das coordenadas cilíndricas} \text{temos:} x = \rho \sin \phi \cos \theta y = \rho \sin \phi \sin \theta z = \rho \cos \phi \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\theta, \phi, \rho)}: \rho^2 \sin \phi \text{Exemplo: Encontre uma equação em coordenadas} \text{esféricas para a esfera} x^2 + y^2 + (z-1)^2 = 1 Continuação: Calcule ∫∫∫(x^2 + y^2) dx dy dz 0 onde D é o segmento do casquinho recortado da esfera sólido c ≤ 1, pelo como é: y ≤ 3 Solução: Vamos utilizar coordenadas esféricas Veja, x^2 + y^2 = c^2 sen^2Θ Os limites de integração: c ≤ c ≤ 1, 0 ≤ Θ ≤ π/3 e 0 ≤ φ ≤ 2π ∫∫∫(x^2 + y^2) dx dy dz = ∫∫∫ c^2 sen^2Θ c sen Θ d 0 0 0 π/3 2π 0