SEXTOTESTEINDEXAÇÃO pdf

0 Apostila MECÂNICA DOS SÓLIDOS Prof. Marco Aurélio de Teixeira e Lima UFCG/CTRN/UAEC/ASECC Campina Grande - PB 2015 SUMÁRIO CAPÍTULO 1 03 1.1 – INTRODUÇÃO – CONCEITO DE TENSÃO 03 1.2 - REAÇÕES DE APOIO 04 1.3 - CLASSIFICAÇÃO GERAL DOS ESFORÇOS 04 1.4 - TENSÃO NORMAL 07 1.5 - TENSÃO DE CISALHAMENTO 07 1.6 - TENSÃO DE ESMAGAMENTO OU PRESSÃO DE CONTATO 08 CAPÍTULO 2 09 2.1 - DEFORMAÇÃO AXIAL - LEI DE HOOKE 09 2.2 - DIAGRAMA DE ENSAIO DE TRAÇÃO 10 2.3 - COEFICIENTE DE SEGURANÇA 12 2.4 - PEÇA SUBMETIDA AO PRÓPRIO PESO 13 2.5 - BARRAS HIPERESTÁTICAS, AXIALMENTE CARREGADAS. 13 2.6 - EFEITOS DA VARIAÇÃO DA TEMPERATURA 15 CAPÍTULO 3 16 3.1 - COEFICIENTE DE POISSON 16 3.2 - VARIAÇÃO VOLUMÉTRICA ESPECÍFICA 16 3.3 - ESTADO HIDROSTÁTICO DE TENSÕES 16 3.4 - MÓDULO DE ELASTICIDADE DE VOLUME 17 3.5 - LIMITES PARA OS VALORES DE  17 3.6 - DEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTO 17 3.7 - GENERALIZAÇÃO DA LEI DE HOOKE 17 3.8 - RELAÇÃO TENSÃO x DEFORMAÇÃO 18 CAPÍTULO 4 19 4.1 - TORÇÃO 19 4.2 – TORÇÃO EM SEÇÕES CIRCULARES 19 4.3 - TENSÃO DE CISALHAMENTO NA TORÇÃO 20 4.4 - ÂNGULO DE TORÇÃO 22 4.5 - BARRAS HIPERESTÁTICAS SUBMETIDAS A TORÇÃO 23 46 – TORÇÃO EM BARRAS MACIÇAS DE SEÇÃO NÃO CIRCULAR 24 *47 – BARRA DE SEÇÃO RETANGULAR DE PAREDES FINAS (sem entroncamentos) 26 *4.8 – BARRA DE SEÇÃO RETANGULAR DE PAREDES FINAS (com entroncamentos) 26 *4.9– BARRA DE SEÇÃO FECHADA DE PAREDES FINAS 28 CAPÍTULO 5 30 5.1 - FLEXÃO 30 5.2 - FLEXÃO PURA 30 5.3 - MÓDULO RESISTENTE 34 5.4 - DIMENSIONAMENTO 34 *5.5 - FLEXÃO EM VIGAS NÃO HOMOGÊNEAS 35 *5.6 - CONCRETO ARMADO 36 *5.7 – FLEXÃO COMPOSTA COM ESFORÇO NORMAL 38 *5.7.1 – Carga excêntrica num eixo de simetria 38 *5.8 – FLEXÃO OBLÍQUA 39 *5.9 – CASO GERAL DE CARGA EXCÊNTRICA 40 *5.10 – NÚCLEO CENTRAL DE INÉRCIA 41 *5.11 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA 42 CAPÍTULO 6 44 6.1 – CISALHAMENTO NA FLEXÃO 44 *6.2 - FLEXÃO SIMPLES EM VIGAS NÃO HOMOGÊNEAS 46 *6.2 a – CONCRETO ARMADO - TENSÃO DE CISALHAMENTO E ADERÊNCIA 47 *6.3 – SEÇÕES DE PAREDES FINAS 47 *6.4 – CISALHAMENTO NUMA SEÇÃO LONGITUDINAL QUALQUER 47 *6.4 – FLUXO DE CISALHAMENTO 48 *6.5 – FLUXO DE CISALHAMENTO NUMA SEÇÃO DE PAREDES FINAS 48 *6.6 – SEÇÕES SEM EIXO VERTICAL DE SIMETRIA 49 *6.7 – CENTRO DE TORÇÃO ou CENTRO DE CISALHAMENTO 50 CAPÍTULO 7 51 7.1 - ANÁLISE DAS TENSÕES 51 7.2 - DIREÇÕES PRINCIPAIS 53 7.3 - PLANOS DAS TENSÕES EXTREMAS DE CISALHAMENTO 54 7.4 - CIRCUNFERÊNCIA DE MOHR 54 7.5 - INVARIANTE DAS TENSÕES 55 7.6 - TRAÇADO DA CIRCUNFERÊNCIA DE MOHR 56 7.7 - TRAÇADO DA CIRCUNFERÊNCIA DE MOHR (OUTRA MANEIRA) 57 7.8 - MAIS LEITURAS NA CIRCUNFERÊNCIA DE MOHR 57 7.9 - CIRCUNFERÊNCIA DE MOHR X PEÇA (USO DO POLO) 58 7.10 – ESTADO PLANO DE TENSÕES NUM PONTO QUALQUER 59 7.11 – CÍRCULO DE MOHR PARA UM ESTADO GERAL DE TENSÕES 59 7.12– CRITÉRIOS DE ESCOAMENTO E DE FRATURA 60 7.12.1 – CRITÉRIOS DE ESCOAMENTO PARA MATERIAIS DÚCTEIS 60 7.12.1.1 – Critério da Máxima Tensão de Cisalhamento (Tresca) 60 7.12.1.2 – Critério da Máxima Energia de Distorção (von Mises) 61 7.12.2 – CRITÉRIOS DE FRATURA PARA MATERIAIS FRÁGEIS 62 7.12.2.1 – Critério da Máxima Tensão Normal (Rankine) 62 7.12.2.2 – Critério de Coulomb-Mohr 63 7.13 – VASOS DE PRESSÃO DE PAREDES FINAS 63 7.13.1 – VASOS CILÍNDRICOS 64 7.13.2 – VASOS ESFÉRICOS 64 CAPÍTULO 8 65 8.1 - DEFORMAÇÃO DE FLEXÃO 65 8.2 - EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA LINHA ELÁSTICA 65 8.3 - SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL 67 8.4 - FUNÇÕES DE SINGULARIDADE 71 CAPÍTULO 9 72 9.1 - FLAMBAGEM 72 9.2 - CARGA CRÍTICA 72 9.3 - TENSÃO DE FLAMBAGEM – PROJETO DE COLUNAS 74 *CAPÍTULO 10 77 10.1 - ENERGIA DE DEFORMAÇÃO 77 10.2 - ESTADO SIMPLES DE TENSÃO 77 10.3 - CISALHAMENTO PURO 77 10.4 - FLEXÃO PURA 78 10.5 - FLEXÃO SIMPLES 78 10.6 - TORÇÃO 79 10.7 - ENERGIA ESPECÍFICA DE DEFORMAÇÃO 79 10.8 - ESTADO TRIPLO DE TENSÕES 80 10.10 - ESTADO GERAL DE TENSÕES 80 ANEXOS 81 ANEXO A - PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE PERFIS ESTRUTURAIS 81 ANEXO B – CONCRETO ARMADO 83 ANEXO C – PROPRIEDADES DE ÁREAS 86 ANEXO D – CONFIGURAÇÕES BÁSICAS DE VIGAS - DIAGRAMAS 88 ANEXO E – LINHA ELASTICA DE VIGAS 89 ANEXO F – PROPRIEDADES MECÃNICAS DE MATERIAIS 90 BIBLIOGRAFIA 91 CAPÍTULO 1 1.1 – INTRODUÇÃO – CONCEITO DE TENSÃO ANÁLISE DAS FORÇAS INTERNAS Seja um corpo qualquer, no espaço, submetido a um sistema de forças em equilíbrio, F1, F2, .., Fi, .., Fn. Isto significa que =>  FX  0 ;  M X  0 ;  FY  0 ;  MY  0 ;  FZ  0 ;  MZ  0 . Seccionemos este corpo por um plano qualquer, retirando uma das partes. Figura 1.1 Figura 1.2 Para que o corpo seccionado se mantenha em equilíbrio, substituiremos o efeito da parte que foi retirada, pelos chamados Esforços Internos Solicitantes indicados abaixo, onde : Nx é o Esforço Normal, Vy é o Esforço Cortante na direção Y, Vz é o Esforço Cortante na direção Z, Mx é o Momento Torsor ou Torque T em torno do eixo X, My é o Momento Fletor em torno do eixo Y, e Mz é o Momento Fletor em torno do eixo Z. No caso de estruturas planas, como no exemplo da viga simplesmente apoiada abaixo, temos, o diagrama de corpo livre correspondente, onde os apoios são substituídos pelas reações que despertam. Figura 1.3 Seccionando o corpo numa seção qualquer, surgirão os esforços internos solicitantes: Figura 1.4 Onde N é o esforço normal, V é o esforço cortante e M é o momento fletor. 1.2 - REAÇÕES DE APOIO Os apoios despertam esforços externos reativos, na medida em que impedem o deslocamento da estrutura, no ponto onde estão apoiadas: Gênero Esquema Desloc. Horiz. Desloc. Vert. Rotação Reações 1º H  0 V = 0   0 2º H = 0 V = 0   0 3º H = 0 V = 0  = 0 Estes são os apoios mais comumente usados em estruturas planas. Na bibliografia encontramos outras condições de vinculação de uma estrutura ao sistema terra. 1.3 - CLASSIFICAÇÃO GERAL DOS ESFORÇOS Classificaremos os esforços pelo modo como atuam nas estruturas, conforme o esquema abaixo. O exemplo a seguir ilustra o uso deste esquema, para o diagrama de corpo livre da viga acima (figura 1.3): Figura 1.5 P : Esforço externo ativo Ha, Va e Vb: Esforços externos reativos N = Ha : Esforço interno solicitante (Normal) V = Va (trecho AC): Esforço interno solicitante (Esforço Cortante) V = - Vb (trecho CB): Esforço interno solicitante (Esforço Cortante) M(x) = Va .x (trecho AC): Esforço interno solicitante (Momento Fletor) M(x) = Va. x- P.sen  (x - a) (trecho CB): Esforço interno solicitante (Momento Fletor) O estudo dos esforços internos solicitantes é objeto da Mecânica Geral. Neste curso inicial de Mecânica dos Sólidos (Resistência dos Materiais), estudaremos os esforços internos resistentes, bem como as deformações que ocorrem em alguns tipos de estruturas. Para bem situar o leitor nos objetivos que queremos atingir no curso, vejamos o seguinte exemplo didático: Problema: Atravessar o riacho através de uma pinguela. Solução pela Mecânica Geral: Na solução pela Mecânica Geral, é suficiente que as reações verticais equilibrem o peso do homem e da pinguela, e que o atrito entre esta e o barranco, a impeça de tombar. Observamos que esta solução é insuficiente, ou apenas parcial, para resolver o problema. Figura 1.6 Com a Mecânica dos Sólidos, a solução deverá levar em conta não apenas o que foi determinado pela Mecânica Geral, mas também pela resposta a algumas questões adicionais: a) Que material será utilizado? b) Qual a seção transversal da peça? c) Em que posição deverá ser montada? d) Quais as deformações máximas que irão ocorrer? e) Estas deformações são compatíveis com a funcionalidade da peça? f) A solução é a mais econômica?...entre outras. No estudo da MECÂNICA DOS SÓLIDOS, tentaremos, para estruturas simples, responder a estas questões, pois são objetivos da disciplina: – OBJETIVOS GERAIS: Estudar e estabelecer as relações entre as cargas externas aplicadas e seus efeitos no interior dos sólidos, considerados deformáveis. Escolha do material e seu dimensionamento através das condições de resistência, segurança, rigidez e economia. – OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Desenvolver no estudante uma compreensão clara quanto às relações entre as cargas externas aplicadas numa estrutura, as tensões aí provocadas e as deformações resultantes, propiciando condições para dimensionamento e verificação da estabilidade. “O engenheiro seleciona o material e dimensiona corretamente de modo que a estrutura ou máquina trabalhe com a maior eficácia, economia e durabilidade possíveis.” (F. Beer) EXERCÍCIO Seja a estrutura ao lado submetida ao carregamento indicado e desejamos determinar os esforços internos solicitantes na seção D. Este carregamento é classificado como esforços externos ativos e é constituído por três cargas aplicadas no centro de gravidade da seção C, extremidade do segmento BC, nas direções x, y e z: Px = 600 N; Py = 200 N e Pz = 400 N, nos sentidos indicados. Vamos isolar o segmento BC e desenhar o diagrama de corpo livre deste segmento, fig. (a): Através das equações de equilíbrio da estática determinamos os esforços internos solicitantes na seção B, com os sentidos indicados na figura (b).  FX  0 => Vx = 600 N  FY  0 => Vy = 200 N  FZ  0 => Nz = 400 N  X  0 M => Mx = 120 N.m  Y  0 M => My = 360 N.m  Z  0 M => Mz = 0 Lembrando que “a toda ação corresponde uma reação de mesma intensidade e sentido contrário”, vejamos o efeito deste carregamento na seção B, fig. (c), agora no segmento AB e desenhemos o diagrama de corpo livre do trecho DB, fig. (d): Novamente através das equações de equilíbrio da estática determinamos os esforços internos solicitantes na seção D, com os sentidos indicados.  FX  0 => Nx = 600 N  FY  0 => Vy = 200 N  FZ  0 => Vz = 400 N  X  0 M => Mx = 120 N.m  Y  0 M => My = 680 N.m  Z  0 M => Mz = 160 N.m Podemos verificar o efeito do carregamento na seção do engaste. Observe que o engaste provoca no segmento AB, na seção A, os esforços externos reativos calculados através das equações de equilíbrio e indicados abaixo. 1.4 - TENSÃO NORMAL Seja o elemento abaixo, submetido ao sistema de forças em equilíbrio indicado. Figura 1.7 Definimos Tensão Normal ( Sigma) como a relação: A N A     lim 0  Para efeitos práticos, e sob certas circunstâncias, substituímos a fórmula acima, pela Tensão Normal Média A   N (1.1) Esta substituição será tanto mais próxima da realidade quanto forem obedecidas as seguintes hipóteses: 1) O material constituinte da barra é homogêneo e isotrópico. 2) A carga é aplicada no centro de gravidade da seção transversal. 3) A seção de exploração deverá ser suficientemente distante do ponto de aplicação da carga. ( Vide Princípio de Saint-Venant). 4) A barra é de eixo reto e de seção constante (prismática). 5) O carregamento é estático. A tensão normal acompanha o sinal do esforço normal que a gerou, ou seja: N >0 =>  > 0 => Tração N <0 =>  < 0 => Compressão 1.5 - TENSÃO DE CISALHAMENTO Sejam as duas chapas indicadas abaixo, unidas por um rebite: Figura 1.8 As duas chapas transmitem ao rebite as duas forças cortantes P, tangenciais à seção transversal do rebite. Definimos Tensão de Cisalhamento, como       A P 0 A lim Para efeitos práticos utilizamos a tensão de cisalhamento média dada por   P A (1.2) Observação: Diversamente da tensão normal, a tensão de cisalhamento não é uniforme praticamente em nenhum caso. A distribuição tende a ser uniforme quando a distância entre as forças cisalhantes, bem como a largura da seção de suporte, forem pequenas. Aproxima-se da uniformidade no limiar da plastificação completa da seção, no caso de materiais dúcteis. 1.6 - TENSÃO DE ESMAGAMENTO OU PRESSÃO DE CONTATO Associada à tensão de cisalhamento, surge, nas chapas, uma tensão de compressão provocada pelo contato do rebite e a chapa, com a tendência de esmagá-la, chamada tensão de esmagamento. A tensão média de esmagamento (ou pressão de contato) vem dada por C P t d    (1.3) Figura 1.9 Onde t.d é a área de projeção do rebite na seção transversal da chapa. A tensão de esmagamento, de compressão, não aparece como um esforço interno resistente, já que se desenvolve através das superfícies de contato entre dois corpos distintos. Temos como exemplos de tensão de esmagamento a pressão de uma coluna sobre o terreno ou fundação, a pressão exercida por arruelas, a pressão entre placas de ligação, etc. 1.7 - UNIDADES NO SISTEMA INTERNACIONAL A tensão quer normal, quer de cisalhamento, quer de contato, é medida em     F L2 , que no S.I. vêm dadas por N m2 ( Newton por metro quadrado), ou seja Pascal (Pa). Na maioria dos casos, utilizamos múltiplos desta unidade: 1 K Pa = 103 Pa = 103 N/m2 1 M Pa = 106 Pa = 106 N/m2 = 1 N/mm2 1 G Pa = 109 Pa = 109 N/m2 CAPÍTULO 2 2.1 - DEFORMAÇÃO AXIAL - LEI DE HOOKE Já tomamos contato anterior com a Lei de Hooke, quando do estudo de molas desenvolvido pela Mecânica Geral. Foi observado que, aplicando uma força de tração/compressão na extremidade de uma mola de peso desprezível (ver figura), esta se alonga/encurta proporcionalmente à força imposta. Temos, portanto, uma função linear entre a carga e o deslocamento da mola, onde a taxa de proporcionalidade é denominada constante elástica da mola (k). Figura 2.1 Generalizamos o estudo de molas para todos os materiais, desde que sejam obedecidas as hipóteses elencadas na definição de tensão normal média e que os alongamentos/encurtamentos sejam “pequenos” (de modo a garantir que o material esteja no regime elástico, definido no item a seguir). Definimos deformação específica pela relação:    L (2.1) onde δ é o alongamento/encurtamento da barra e L é seu comprimento inicial. Seja a equação que relaciona o deslocamento da extremidade livre da barra da figura acima, com a força P aplicada: P  k  (2.2) Se nesta equação dividirmos P pela área da seção reta da barra e  por seu comprimento inicial teremos outra forma de expressar a Lei de Hooke:    E  (2.3) onde o k foi substituído por E.A/L e a grandeza E é dita módulo de elasticidade longitudinal ou módulo de Young. Devemos observar que E será expresso nas mesmas unidades de , já que  é adimensional, vindo algumas vezes expresso em porcentagem. Podemos explicitar  da equação 2.1 combinada com as equações 2.2 e 2.3 e teremos assim:     P L A E (2.4) que será, como veremos adiante, muito útil na solução de problemas. 2.2 - DIAGRAMA DE ENSAIO DE TRAÇÃO Examinaremos o diagrama de ensaio de tração para um aço com baixo teor de carbono (aço doce), pois dele retiraremos informações sobre importantes propriedades úteis no estudo da mecânica dos sólidos. Seja o resultado de um ensaio realizado num corpo de prova (verificar na bibliografia a preparação do mesmo), de diâmetro inicial igual a 12,7mm. Rompido o corpo de prova, mediu-se o diâmetro da seção de ruptura e obteve-se 7,38mm. O comprimento de referência, de 50 mm, aumentou para 68,8mm: - Resultados do ensaio. CARGA (N) ALONG. (mm) TENSÃO MPa DEFOR. x10-2 CARGA (N) ALONG. (mm) TENSÃO MPa DEFOR. x10-2 0 0 0,00 0,00 30600 0,20 241,55 0,40 2700 0,005 21,31 0,01 30600 0,30 241,55 0,60 5450 0,010 43,02 0,02 30600 0,40 241,55 0,80 8150 0,015 64,34 0,03 30400 0,50 239,97 1,00 10550 0,020 83,28 0,04 30600 0,60 241,55 1,20 13450 0,025 106,17 0,05 30800 1,00 243,13 2,00 16000 0,030 126,30 0,06 34100 2,50 269,18 5,00 18700 0,035 147,62 0,07 41150 5,00 324,83 10,00 21350 0,040 168,53 0,08 43600 6,25 344,17 12,50 24000 0,045 189,45 0,09 44450 7,50 350,88 15,00 26650 0,050 210,37 0,10 44450 8,75 350,88 17,50 29500 0,055 232,87 0,11 43600 10,00 344,17 20,00 31900 0,060 251,82 0,12 41850 11,25 330,36 22,50 30400 0,100 239,97 0,20 39200 12,50 309,44 25,00 TENSÃO x DEFORMAÇÃO 0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 DEFORMAÇÃO (%) TENSÃO (MPa) Figura 2.2 Observamos que a parte inicial do gráfico é uma reta ligando o ponto O ao ponto A, dito trecho elástico ou zona elástica, onde a relação entre a tensão e a deformação obedece à Lei de Hooke. A tensão correspondente ao ponto A é dita tensão de proporcionalidade, limite de proporcionalidade ou limite elástico (p). O módulo de elasticidade é o coeficiente angular desta reta. No caso: E N m GPa           210 37 10 0 001 210 10 210 6 9 2 , , A partir do ponto A, o gráfico se encurva até atingir o ponto B. Neste ponto, sombreado na Tabela III, observa-se que, sem aumento de tensão, ocorre acentuada deformação, caracterizando o chamado escoamento do material. A tensão correspondente ao ponto B é dita tensão de escoamento ou limite de escoamento (e). Este processo continua até o ponto C, e o trecho BC é chamado patamar de escoamento. A partir do ponto C o material passa novamente a apresentar resistência até atingir o ponto D, chamado tensão última ou limite último (U). Após o ponto D o material apresenta uma queda de resistência até atingir o ponto E, dito tensão de ruptura ou limite de ruptura (R). O material que apresenta gráfico semelhante ao da figura 2.2 é dito dúctil, com patamar de escoamento. A parte AE do gráfico é chamada trecho plástico ou zona plástica, onde, se retirado o carregamento em qualquer desses pontos, o material apresentará deformação residual, ou seja, não recuperará seu comprimento inicial. O gráfico do descarregamento é um segmento de reta a partir do ponto inicial do descarregamento até o eixo das abcissas, paralelo ao segmento OA (figura 2.3.a). Este processo caracteriza uma deformação a frio além da zona elástica, tornando o material encruado. Caso seja submetido a um novo ensaio de tração, este material não mais apresenta patamar de escoamento, embora mantenha suas características de ductilidade, módulo de elasticidade e tensão de ruptura. Neste caso, usamos uma tensão de escoamento convencional, normalmente correspondente ao cruzamento de uma reta paralela a OA e a partir da deformação específica de 0,2%, até encontrar a curva de tensão x deformação (figura 2.3.b). Figura 2.3 O gráfico na figura 2.3.b é típico de um material dúctil sem patamar de escoamento. O material é dúctil quando apresenta grandes deformações antes da ruptura. Uma medida da ductilidade é o alongamento percentual, que é calculado como: Along L L L R O O .% , ,        100 68 8 50 50 100 37 6% Os materiais dúcteis também apresentam a estricção: uma brusca redução na área da seção transversal imediatamente antes da ruptura. Uma medida da estricção é a redução percentual de área, calculada como:   Re .% , , , , d A A A O R O         100 4 12 7 7 38 4 12 7 100 66 2% 2 2 2   Um material é dito frágil, quando apresenta pequenas deformações antes de romper. Um gráfico de tensão x deformação para um material frágil é mostrado ao lado. Figura 2.4 Nos ensaios de compressão, os materiais apresentam comportamento semelhante ao apresentado nos ensaios de tração. Figura 2.5 Os ensaios de cisalhamento ( x  ) nos fornecem gráficos com o mesmo aspecto que os de (  x  ), onde o material apresenta comportamento semelhante, porém com tensões mais reduzidas. 0 55 0 65 , ,    e e e   Figura 2.6 2.3 - COEFICIENTE DE SEGURANÇA Por mais hábil e experiente que seja um projetista, existe sempre um grau de incerteza em sua atividade. Para reduzir o efeito desta incerteza, devemos nos assegurar que a estrutura projetada atingirá o objetivo para o qual foi calculada, nas condições de serviço. Normalmente a tensão máxima é mantida abaixo do limite de proporcionalidade, e, portanto, dentro do regime elástico. Empregamos um coeficiente de segurança para determinarmos a tensão admissível, de serviço ou de projeto dentro deste regime. Definimos coeficiente de segurança como a relação entre uma tensão crítica e a tensão admissível para o material. Por tensão crítica entendemos a tensão pela qual o material muda seu comportamento e por tensão admissível a máxima tensão com a qual o material trabalha mantendo suas características. Denotaremos o coeficiente de segurança pela letra grega , e calcularemos como:     crit adm . (2.11) Quando trabalhamos com materiais dúcteis, desejosos de mantê-los em regime elástico, utilizaremos a tensão de escoamento, real ou convencional, como parâmetro crítico, já que a tensão de proporcionalidade é de difícil determinação. Algumas vezes utilizaremos a tensão última como parâmetro. No caso de materiais frágeis, utilizaremos, obviamente, a tensão de ruptura como parâmetro crítico. No dimensionamento de peças, estruturas ou elementos de máquinas, determinamos as dimensões da peça de modo que a tensão com a qual o material trabalhará não ultrapasse a sua tensão admissível, de forma a garantir que a peça venha a cumprir sua função de maneira segura e econômica. Exemplo: Sejam os dois gráficos abaixo, correspondentes a um material dúctil (a) e um material frágil (b). Figura 2.7 Se dividirmos a tensão crítica por, digamos 2, ou seja =2, teremos as situações indicadas: a) Para o material dúctil   adm e  2 , o que garante que o material trabalhará no regime elástico e distante do escoamento; b) Para o material frágil   adm R  2 , o que garante que o material trabalhará no regime elástico e distante da ruptura. O coeficiente de segurança é sempre maior que a unidade. Quanto maior for o grau de incerteza, maior o coeficiente de segurança e mais antieconômica será a peça. BEER [1] cita diversos fatores que influenciam na escolha dos coeficientes de segurança, tais como: 1) Modificações que ocorrem nas propriedades do material; 2) O número de vezes em que a carga é aplicada durante a vida da estrutura; 3) O tipo de carregamento para o qual se projeta, ou que poderá atuar futuramente; 4) O modo de ruptura que pode ocorrer; 5) Métodos aproximados de análise; 6) Deterioração que poderá ocorrer no futuro devido à falta de manutenção ou por causas naturais imprevisíveis; 7) A importância de um certo membro para a integridade de toda a estrutura. A Associação Brasileira de Normas Técnicas edita normas com especificações sobre os coeficientes de segurança para os diversos materiais, carregamentos e estruturas usadas em engenharia. 2.4 - PEÇA SUBMETIDA AO PRÓPRIO PESO Seja a barra prismática indicada abaixo, presa em sua extremidade superior e livre na inferior, submetida apenas ao seu próprio peso, onde são conhecidos os valores de A,L,E e  (peso específico). Tomaremos como origem a sua extremidade inferior e analisaremos uma fatia de seção de espessura dx, situa a uma distância x desta origem. Figura 2.8 A fatia estará solicitada por uma força igual ao peso da parte inferior da barra, dada por: Px Vx A x      Assim, tal fatia terá, pela lei de Hooke, um alongamento infinitesimal de: d Px   A E dx   Logo, a barra terá um alongamento total igual a:                        d Px A E dx A A E x dx E x dx E x L E o L L L L L . . . 0 0 0 2 0 2 2 2     L E 2 2 (2.12) Observar que tal alongamento é igual ao que se obteria caso carregássemos a barra com uma carga concentrada em sua extremidade inferior igual à metade do peso próprio. 2.5 - BARRAS HIPERESTÁTICAS, AXIALMENTE CARREGADAS. Seja determinar as tensões normais nos trechos AC e CB da barra prismática indicada na figura 2.9, sendo conhecidos os valores de E, A, a, b, e P (carga axial, aplicada em C). Figura 2.9 No diagrama de corpo livre, figura 2.9 (b), sendo P axial, não serão desenvolvidas, pelos apoios, as reações HA, HB, MA e MB. Resta o diagrama (c), onde teremos a equação de equilíbrio:   Y  0=> V V P A  B  (2.13) Temos, portanto, uma equação a duas incógnitas, não sendo possível calcular os valores das reações de apoio pelas equações da estática. A estrutura é HIPERESTÁTICA. Definimos estruturas hiperestáticas àquelas que possuem um número de vínculos maior que o estritamente necessário para se manterem em equilíbrio. Assim, a estrutura em estudo é uma vez hiperestática, já que para seu equilíbrio seria necessário apenas um dos apoios, o superior ou o inferior, que desenvolvesse uma reação do tipo VA ou VB. Por grau de hiperestaticidade (g) definimos a diferença entre o número de incógnitas envolvidas no problema e o número de equações da estática possíveis de utilização (linearmente independentes). Daí, g = ni – ne (2.14) No caso, g = 2-1 = 1 O grau de hiperestaticidade nos diz do número de equações adicionais que deveremos determinar, de modo a obtermos um sistema de equações determinável. Essas equações adicionais serão determinadas a partir das deformações da estrutura através das equações de compatibilidade de deslocamentos. No caso, considerando que os apoios A e B são fixos, e que o carregamento fará o ponto C se deslocar para baixo, podemos inferir que o alongamento do trecho AC deve ser igual ao encurtamento do trecho CB. Assim,   AC  CB  0 (2.15) V a A E V b A E A B . . . .   0 V a V b A B    (2.16) que juntamente com a equação (2.13), formam um sistema de duas equações à duas incógnitas, linearmente independentes. V V P V a V b A B A B       . . e que resolvido nos fornece: V P b L A  . e V P a L B  . Finalmente,  AC VA  A e CB VB   A Uma outra maneira de calcular rapidamente os valores das reações de apoio da equação (2.13) é através do esquema (c), (d), (e) da figura 2.9: 1) Transformamos a estrutura hiperestática numa estrutura isostática equivalente (d), onde aplicamos a carga P. 2) Desta forma, o ponto C e B se deslocariam de um valor  para baixo, onde   P a A E . . 3) Imaginamos , agora, que a carga VB, aplicada no ponto B pelo apoio, deverá impor à estrutura um deslocamento , neste ponto, de valor    V L A E B . . 4) Para que a estrutura dos casos (d) e (e) sejam equivalentes à estrutura (a), estes deslocamentos devem ser iguais e simétricos (compatibilidade de deformação) e sua soma, portanto, nula. Assim, L P a V E A L V E A a P B B . 0 . . . .     e, pela equação (2.13) => V P b L A  . Observar que o equilíbrio estático é mantido na superposição dos efeitos (c) = (d)+(e). 2.6 - EFEITOS DA VARIAÇÃO DA TEMPERATURA Seja a estrutura abaixo, onde são conhecidos os valores de L, E, A e  (coeficiente de dilatação térmica do material) e T (variação da temperatura ambiente). Figura 2.10 A peça então tende a aumentar de um comprimento:   T L T    (2.17) indicado na [fig.(b)], sendo impedida de fazê-lo devido a existência dos apoios rígidos em suas extremidades, que impedem este deslocamento com uma força tal, capaz de provocar na peça um encurtamento P PL  AE [fig. (c)] de mesma intensidade que o deslocamento provocado pela temperatura. Assim, teríamos como equação de compatibilidade de deslocamentos:   T  P  0 (2.18) já que os apoios são indeformáveis. Logo:                   L T P L A E P L T A E L T A E    . . 0 A peça fica submetida a uma tensão normal de compressão de valor   X    T E   (2.19) No caso de diminuição da temperatura ambiente, esta tensão, obviamente, seria de tração. CAPÍTULO 3 3.1 - COEFICIENTE DE POISSON Em 1811, Simeon D. Poisson observou que a uma deformação específica longitudinal estava associada uma deformação transversal, fazendo com que, se uma peça for tracionada longitudinalmente com consequente alongamento nesta dimensão, haveria uma contração na área da seção transversal. Figura 3.1 Definiu, então, a relação      transversal longitudinal dita coeficiente de Poisson. No ESTADO SIMPLES DE TENSÃO, com tensão normal na direção x, teríamos associada à deformação longitudinal x, as deformações transversais y e z:           x x y x x z x x E E E          (3.1) Podemos generalizar para o ESTADO TRIPLO DE TENSÕES PRINCIPAIS, utilizando o Princípio da Superposição dos Efeitos (Saint-Venant). Assim: 3.2 - VARIAÇÃO VOLUMÉTRICA ESPECÍFICA Definimos variação volumétrica específica como a relação: e V V E x y z x y z          0 1 2        ( ) ( ) (3.2) 3.3 - ESTADO HIDROSTÁTICO DE TENSÕES Denominamos estado hidrostático de tensões ao estado equivalente a uma compressão de mesma intensidade em três direções ortogonais:    x y z p     (3.3) 3.4 - MÓDULO DE ELASTICIDADE DE VOLUME No estado hidrostático de tensões temos: e E p   3 1 2 ( ) 3.4) Chamando k E  3 1 2 ( )  (3.5) temos e p   k (3.6) ‘Denominamos k Módulo de Elasticidade de Volume, uma característica mecânica do material, que representa sua rigidez à mudança de forma. 3.5 - LIMITES PARA OS VALORES DE  No estado hidrostático de tensões entendemos ser lógico que tenhamos uma contração no volume da peça : V  0 logo    3 1 2 0 ( )  E p 1 2 0    e   1 2 Por outro lado, se   0 implicaria no contrassenso de termos uma peça submetida à compressão sofrendo aumento de volume ou vice-versa. Assim, 0 1 2    3.6 - DEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTO Figura 3.2 No regime elástico, as tensões de cisalhamento () são diretamente proporcionais à distorção () do elemento. Assim, no estado triplo de tensões de cisalhamento puro, com    x y z    0 :       xy xy yz yz zx zx G G G       (3.7) onde G é o Módulo de Elasticidade ao Cisalhamento, também chamado Módulo de Elasticidade Transversal, que se relaciona com E e  através da equação G E  2 1(  )  (3.8) 3.7 - GENERALIZAÇÃO DA LEI DE HOOKE Uma vez que no regime elástico as tensões normais não têm nenhum efeito na distorção do elemento e que as tensões de cisalhamento igualmente não produzem variação nas deformações normais, obtemos por superposição dos efeitos, o grupo de equações a seguir que representa a Lei de Hooke de forma generalizada, para um material homogêneo e isotrópico sob a ação do estado triplo de tensões: Figura 3.3                         x x y z y x y z z x y z xy xy yz yz zx zx E E E E E E E E E G G G                (3.9) 3.8 - RELAÇÃO TENSÃO x DEFORMAÇÃO Em muitas situações de carregamento, a tensão normal numa certa direção é nula (Z = 0). Tal estado é conhecido como ESTADO PLANO DE TENSÕES e podemos, através das equações da Lei de Hooke generalizada, explicitando as tensõesx e y, verificar que, conhecidas as deformações específicas x e Y por via experimental, as tensões normais nestas direções serão dadas por :         x x y y y x E E       1 1 2 2 válidas também para quaisquer direções perpendiculares entre si. E que            G E 2 1 ( ) Obs.: Como exercício, o leitor pode demonstrar as fórmulas anteriores. CAPÍTULO 4 4.1 – TORÇÃO Dizemos que um elemento estrutural está submetido a torção quando se encontra sob a ação do esforço interno solicitante momento torsor, também chamado momento de torção, momento torcional ou torque. Neste curso estudaremos as tensões e deformações provocadas pela aplicação do torque em barras de seção circular maciça ou vazada, seção retangular, seção aberta de paredes finas e seção fechada de paredes finas. O torque, como grandeza vetorial, será representado conforme os esquemas abaixo. Figura 4.1 Quando uma peça é torcida, surge a tendência de uma seção escorregar em relação à seção vizinha, desenvolvendo entre estas, tensões de cisalhamento conforme mostra a figura abaixo. Figura 4.2 4.2 – TORÇÃO EM SEÇÕES CIRCULARES Na obtenção das relações entre o torque atuando numa barra e as tensões de cisalhamento desenvolvidas numa seção transversal, assumiremos as seguintes hipóteses: 1) O material é homogêneo, isotrópico e obedece à lei de Hooke. 2) As seções, inicialmente planas, permanecem planas e sem distorção após a torção. 3) As seções, inicialmente circulares, permanecem circulares após a torção. 4) A projeção, sobre a seção, de uma linha radial, permanece radial após a torção. 5) A barra é inicialmente reta e de seção constante. 6) O torque atua em planos perpendiculares ao eixo longitudinal da barra. 4.3 - TENSÃO DE CISALHAMENTO NA TORÇÃO Seja a barra da figura 4.3.a, de seção circular (raio R), comprimento L e Módulo de Elasticidade ao Cisalhamento G, engastada numa extremidade e livre na outra, onde se aplica o torque T. (a) (b) (c) Figura 4.3 Analisemos a porção da barra, de raio , concêntrica à barra original, cuja deformação se encontra ilustrada na figura 4.3.b, com o detalhe indicado na figura 4.3.c. Por  representamos a distorção dos elementos da linha AB após a aplicação do torque e  o ângulo de torção na extremidade livre. Temos o comprimento do arco AA’, dado por:      L e, portanto, a distorção na linha AB será      L (4.1) diretamente proporcional ao raio  , já que o ângulo de torção é fixo na seção extrema e o comprimento L é inalterado. A distorção é máxima quando o elemento se encontra na face externa da barra, ou seja, quando   R e vem dada por:   max R L   (4.2) Pela lei de Hooke (Item 3.6):    G e temos para a tensão de cisalhamento em qualquer elemento infinitesimal distante  do centro da seção o valor:       G L (4.3) que também é diretamente proporcional ao raio . Reconhecemos que a equação 4.3 não é uma fórmula prática para se calcular a tensão de cisalhamento. Vejamos uma maneira mais simples, através do equilíbrio da seção. EQUILÍBRIO DA SEÇÃO Um elemento infinitesimal de área dA, a uma distância  do centro da seção, está submetido a uma tensão de cisalhamento  dada pela equação 4.3. Esta tensão multiplicada por sua área de atuação resulta na força infinitesimal dF dA    Seja esta força de direção arbitrária conforme a figura 4.4.a. Podemos decompô-la em duas componentes: uma radial e outra tangencial à circunferência de raio . Um ponto diametralmente oposto estará submetido a uma força de iguais características. Assim, as componentes dFr  se anularão, restando a componente tangencial indicada na figura 4.4.b, ocorrendo em todo o perímetro da circunferência. (a) (b) Figura 4.4 Cada força infinitesimal dFt  provocará um torque resistente também infinitesimal dado por dT dFt     O torque resistente total será a contribuição dos torques resistentes infinitesimais calculados em toda a seção transversal e igual ao torque total solicitante aplicado T. Assim, T dT dF dA G L dA s s s s                 2 e, T G L dA s           2 (4.4) O termo entre parênteses é a característica geométrica da seção, chamada momento polar de inércia (J), J dA s   2  (4.5) E a equação 4.4 fica L J G T   ou J T L G   Substituindo este valor na equação 4.3 temos:     T J (4.6) DISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES DE CISALHAMENTO NA SEÇÃO Pela equação 4.6 vemos que a tensão de cisalhamento é proporcional à distância  do centro do círculo, já que o torque e o momento polar de inércia são constantes na seção. A tensão de cisalhamento atingirá o valor máximo quando  = R, assumindo o valor:  max T R J T D J     2 (4.7) onde D é o diâmetro da seção. Na figura 4.5 mostra-se a distribuição dessas tensões Seção cheia Seção vazada Figura 4.5 MOMENTO POLAR DE INÉRCIA Da Mecânica Geral, temos o valor do momento polar de inércia: Seção circular cheia J R D       4 4 2 32 Seção circular vazada J R r D d         ( ) ( ) 4 4 4 4 2 32 Figura 4.6 No caso de uma seção cheia, podemos reescrever a equação 4.7 na forma:   max T D    16 3 (4.8) 4.4 - ÂNGULO DE TORÇÃO Da equação 4.4 podemos explicitar o valor do ângulo de torção              T L G dA s 2 ou, de forma mais simples     T L J G (4.9) que é expresso em radianos. Observações: 1)  representa a diferença entre os ângulos de torção das duas extremidades da barra ou de trechos de barra, submetidos a torques constantes    i j i j /   2) (Figura 4.7) Quando a barra apresentar variação quer de material, quer de momento de inércia polar, o ângulo de torção total será      T L J G i i i i i n 1 onde n é o número de trechos considerados. Figura 4.7 3) (Figura 4.8) Quando a variação do momento polar de inércia é contínua, o ângulo total de torção será dado por     T J x G dx L ( ) 0 Figura 4.8 4.5 - BARRAS HIPERESTÁTICAS SUBMETIDAS A TORÇÃO Seja determinar as tensões de cisalhamento nos trechos AC e CB da barra de seção circular indicada na figura 4.9, sendo conhecidos os valores de G, J, a, b, e T (torque aplicado em C). (a) (b) Figura 4.9 No diagrama de corpo livre, figura 4.9(b), teremos a equação de equilíbrio:   T  0=> T T T a b   (4.10) Temos, portanto, uma equação a duas incógnitas, não podendo calcular os valores das reações Ta e Tb pelas equações da estática. A estrutura é HIPERESTÁTICA. Daí, o grau de hiperestaticidade será: g = 2-1 = 1 O grau de hiperestaticidade nos diz do número de equações adicionais que deveremos introduzir, de modo a obtermos um sistema de equações determinável. Essas equações adicionais serão determinadas a partir das deformações da estrutura através das equações de compatibilidade de deslocamentos. No caso, considerando que os apoios A e B são fixos, e que o carregamento fará um ponto em C girar no sentido do torque T, podemos inferir que o ângulo de torção do trecho AC deve ser igual ao ângulo de torção do trecho CB. Assim,   AC CB  Substituindo os valores temos: T a J G T b J G a b . .    T a T b a b    (4.11) que juntamente com a equação (4.10), formam um sistema de duas equações à duas incógnitas, linearmente independentes. T T T T a T b a b a b       . . e que resolvido nos fornece: T T b L a   e T T a L b   Finalmente podemos calcular as tensões de cisalhamento em qualquer ponto da barra através da equação 4.6, já que todos os valores foram determinados. Uma outra maneira de calcular rapidamente os valores das reações de apoio é através do esquema da figura 4.10 , abaixo: (a) (b) (c) Figura 4.10 1) Transformamos a estrutura hiperestática (a) numa estrutura isostática equivalente (b), onde aplicamos o torque T. 2) Desta forma, a seção B giraria de um ângulo  no sentido horário dado por b T a  J G   3) Um torque Tb, aplicado no ponto B pelo apoio, deverá impor à estrutura um deslocamento  neste ponto, de valor b Tb L   J G   onde o sinal negativo indica , aqui, um giro anti-horário. 4) Para que a estrutura dos casos (b) e (c) sejam equivalentes à estrutura original (a), estes ângulos devem ser iguais e simétricos (compatibilidade de deformação) e sua soma, portanto, nula. Assim, T a J G T L J G T T a L b b         0 Pela equação (4.10) => T T b L a   Observar que o equilíbrio estático é mantido na superposição dos efeitos (a) = (b) + (c). 4.6 – TORÇÃO EM BARRAS MACIÇAS DE SEÇÃO NÃO CIRCULAR Quando da demonstração da fórmula da tensão de torção no item 4.2, assumimos que as seções, inicialmente planas, permaneceriam planas e sem distorção após a torção. Para o caso de eixos prismáticos de seção não circular esta hipótese não se verifica. Ocorrem deformações fora do plano da seção transversal e o eixo sofre empenamento: ver figura abaixo, extraída do livro do Hibbeler. (a) (b) (c) Figura 4.11 Observa-se claramente que as seções não permanecem planas após a torção. Nas arestas os elementos estão livres de tensão e nos pontos médios do lado maior a tensão é máxima. A figura c mostra a distribuição das tensões de cisalhamento. Para o cálculo das tensões e deformações neste caso, utilizaremos alguns resultados da Teoria da Elasticidade para o caso de barras de eixo reto e seção constante. Com o argumento a/b, onde a é a maior dimensão da seção transversal, encontramos os valores C1 e C2 correspondentes na Tabela abaixo. Para valores intermediários da relação a/b, fazemos interpolações lineares para a obtenção de C1 e C2. a/b C1 C2  1,0 0,208 0,1406 1,000 1,2 0,219 0,1661 0,918 1,5 0,231 0,1958 0,859 1,75 0,239 0,2140 0,820 2,0 0,246 0,2290 0,795 2,5 0,258 0,2490 0,766 3,0 0,267 0,2630 0,753 4,0 0,282 0,2810 0,745 5,0 0,291 0,2910 0,744 6,0 0,299 0,2990 0,743 8,0 0,307 0,3070 0,742 10,0 0,312 0,3120 0,742  0,333 0,3333 0,742 A máxima tensão de cisalhamento é 2 1 max a b c T     (4.12). no ponto médio do lado maior e  max    no ponto médio do lado menor. O ângulo de torção entre dois pontos do eixo, distantes L, vale: G a b c L T      3 2  (4.13) Tensões máximas e ângulo de torção em seções específicas. Triângulo equilátero 3 max 20 a T   G a T L     4 46 2,  Elipse 2 max 2 b a T         G b a T L b a        3 3 2 2   4.7 – BARRA DE SEÇÃO RETANGULAR DE PAREDES FINAS (sem entroncamentos) Podemos notar na tabela para seções retangulares que se a relação a/b ≥ 5 => C1 = C2. BEER recomenda, nestes casos:          a b C C ,0 63 3 1 1 2 1 (4.14) No caso de barras de paredes finas sem entroncamentos, como por exemplo, chapas retas ou dobradas, utilizamos as mesmas fórmulas para seções retangulares, considerando a >> b, (a/b), o que faz os valores de C1 e C2 tenderem para 1/3. 2 max 3 b a T     (4.15) G b a L T      3 3  (4.16) SEÇÕES ABERTAS DE PAREDES FINAS Figura 4.12 4.8 – BARRA DE SEÇÃO RETANGULAR DE PAREDES FINAS (com entroncamentos) Temos como exemplo típico deste tipo de seção os perfis estruturais. Figura 4.13 Seja uma barra de comprimento L, de seção aberta de paredes finas, com n segmentos de comprimento ai e espessura ti submetida a um torque T, todos conhecidos. Desejamos determinar os torques a que ficam submetidos cada segmento, suas tensões de cisalhamento máximas e o ângulo de torção da barra. Constitui-se num problema hiperestático, tratado da seguinte forma => distribuímos o torque aplicado proporcionalmente por cada tramo conforme sua rigidez. Assim, 1) Equação de equilíbrio: n 2 1 T .... T T T     (1 equações a n incógnitas) 2) Equação de compatibilidade de deslocamentos:              n i 2 1 Que pode ser escrita como elementos de seção retangular unidos entre si. /3 a t G 1 L T /3 a t G 1 L T /3 a t G 1 L T /3 a t G 1 L T 3 n n n 3 i i i 3 2 2 2 3 1 1 1            Condição que nos fornece (n-1) equações linearmente independentes que, somadas à equação de equilíbrio, forma um sistema de n equações a n incógnitas. Colocando cada torque em função de Ti teremos: i i i n n n i i i i i i i i i t T a a t T t T a a t T t T a a t T 3 3 3 3 3 3 1 1 1 ; ; ;      Que somados resulta:   n 1 3 i i 3 i i i t a t a T T ou T t a a t T n 1 3 i i 3 i i i   , valor final do torque desenvolvido no segmento i. A máxima tensão de cisalhamento no tramo i será       n i i i i i n i i i i i i i i t a t T t a T t a t a t a T 1 3 2 1 3 3 2 3 1 3 1 3 1  O ângulo de torção ficará: /3 a t G 1 L T 3 i i i    Que colocando Ti em função do torque total T e simplificando vem: G a t 3 1 L T n 1 3 i i           Alguns autores consideram este denominador como Momento de Inércia à Torção:   n 1 3 aiti 3 1 J (4.17) Assim, a máxima tensão no tramo i => J t T i i    (4.18) E o ângulo de torção => G J L T     (4.19) Fórmulas que nos permitem resolver o problema diretamente, tal qual um problema "isostático". 4.9 – BARRA DE SEÇÃO FECHADA DE PAREDES FINAS TENSÕES DE CISALHAMENTO Seja um eixo prismático com seção transversal qualquer de paredes finas, de material homogêneo e isotrópico, de comprimento L e submetido a um torque T em suas extremidades. São conhecidas as dimensões da seção transversal, cujas espessuras não precisam ser constantes. Desejamos determinar as tensões de cisalhamento em qualquer ponto do eixo e o ângulo de torção entre suas extremidades. Figura 4.14 Tomemos um elemento infinitesimal delimitado pelas seções transversais 1 e 2 distantes dx e pelas seções longitudinais A e B distantes ds. Este elemento ficará submetido às tensões de cisalhamento como mostrado na figura. Tais tensões desenvolverão as forças horizontais Fa e Fb nas seções A e B, dadas por: Fa = τa.ta.dx e Fb = τb.tb.dx Ora, tomando o equilíbrio do elemento na direção x, temos que: Fa = Fb => τa.ta = τb.tb Como tomamos duas seções A e B arbitrárias, verificamos que o produto da tensão de cisalhamento pela espessura da seção no mesmo ponto é uma constante, que denominamos FLUXO DE CISALHAMENTO, e denotamos pela letra q. Assim, em qualquer ponto da seção transversal τ.t = q Determinemos esta tensão através da verificação do equilíbrio da seção. Figura 4.15 Um elemento infinitesimal de área dA= t.ds fica solicitado por uma força, também infinitesimal, dF igual a: dF = τ. dA ou dF = τ.t.ds Esta força produz um torque infinitesimal, relativo ao ponto O, de valor: dT = ρ.dF A soma de todos os torques desenvolvidos na seção deverá ser, por condição de equilíbrio, igual ao torque T aplicado. Assim,    dF T       t ds T        ds t T   Pela figura observa-se que ds d   2  1 @ ou 2 d @ ds     , daí:     @ 2 d q T . Figura 4.16 Considerando   @ @ d onde @ é a área média da seção conforme a figura temos a tensão de cisalhamento dada por: @ 2    t T  (4.20) ÂNGULO DE TORÇÃO Calculamos o ângulo de torção entre duas extremidades de um eixo reto de seção fechada de paredes finas, submetido a um torque em suas extremidades, igualando a energia de deformação externa à interna. I E U U A energia de deformação externa vale:   T U E 2 1 Determinemos a energia de deformação interna: Seja o elemento infinitesimal dx. ds submetido a tensões de cisalhamento conforme a figura: Figura 4.17 A energia de deformação acumulada no elemento infinitesimal vale   F dU I 2 1 Ora, t dx F        ds G    @ 2    t T  que substituindo na fórmula anterior resulta em t ds dx G t dx G ds ds t dx dU I                2 2 1 2 1 2 1      Assim, G ds dx t T dU I        2 2 2 4 @ 1 Para obtermos a energia de deformação interna acumulada em toda a peça integramos em todo o contorno da seção e novamente em todo o seu comprimento. G ds dx t T U L I            0 2 2 2 4 @ 1 Como o termo entre colchetes não depende de x, a expressão toma a forma:   dx t ds G t T U L I           0 2 2 2 4 @ 1 e que resulta em           ds t G L T U I 1 2 4 @ 1 2 2 Então, como I E U U :             ds t G L T T 1 2 4 @ 1 2 1 2 2  =>           ds t G L T 1 @ 4 2  (4.21) A integral     t ds 1 representa o perímetro médio da curva s pela espessura t em cada ponto. Para eixos de conformação mais simples, como o da figura abaixo, esta integral pode ser calculada como 4 4 3 3 2 2 1 1 1 t a t a t a t a t n a i i i i           (4.22) Figura 4.18 CAPÍTULO 5 5.1 - FLEXÃO Dizemos que um elemento estrutural está submetido à flexão quando se encontra sob a ação do esforço interno solicitante momento fletor. Classificamos a flexão em: a) PURA - quando está atuando apenas o momento fletor, num plano de simetria da seção. b) SIMPLES - quando, além do momento fletor, está presente o esforço cortante. c) COMPOSTA - quando, além do momento fletor, estão atuando o esforço normal e/ou momento torsor. d) OBLÍQUA - quando o momento fletor atua num plano oblíquo aos eixos de simetria da seção. e) ASSIMÉTRICA - quando a seção não apresenta eixo de simetria. 5.2 - FLEXÃO PURA Uma barra submetida a um momento fletor positivo irá encurvar-se, fletir, e tomará a forma indicada na figura 5.1.b. Portanto haverá um encurtamento na sua face superior e um alongamento na face inferior, o que indica que nestes pontos serão desenvolvidas tensões de compressão e tração, respectivamente. Na obtenção das relações entre o momento fletor atuando numa barra e as tensões normais desenvolvidas numa seção transversal, assumiremos as seguintes hipóteses: 1) As seções, inicialmente planas, permanecem planas após a flexão. 2) O material é homogêneo, isotrópico e obedece à lei de Hooke. 3) O módulo de elasticidade é igual quer à tração quer à compressão. 4) A barra é inicialmente reta e de seção constante. 5) O plano em que atua o momento fletor contém um dos eixos principais da seção transversal da barra. TENSÃO DE FLEXÃO Seja a barra de eixo reto e seção constante (hipótese 4) da figura 5.1.a, onde estão indicados os eixos orientados e duas seções vizinhas a-c e b-d, distantes dx uma da outra. Figura 5.1 Após a aplicação do momento fletor Mz, a barra toma a forma de um arco de circunferência (hipóteses 2 e 3), indicada na figura 5.1.b. Pela hipótese (1), as seções se deformam mantendo-se planas, o que aproxima os pontos a e b e afasta os pontos c e d proporcionalmente. O prolongamento das semirretas ca e db se encontram o ponto C, dito centro de curvatura. Entre os pontos c-a e d-b existe uma “fibra” que, embora encurvada, não apresenta modificação em seu comprimento e, portanto, está descarregada (com tensão nula). A interseção do plano horizontal (XZ) que contém esta fibra (superfície neutra) com o plano vertical (XY) é chamada linha neutra. A linha neutra descreve um arco de circunferência de raio . Ao traçarmos por f uma linha paralela a ca , encontraremos os pontos b’ e d’. Consideremos uma fibra genérica gh distante y da superfície neutra. Inicialmente os pontos h e i se confundem (fig. 5.1.a), mas com a deformação da barra, estes pontos se distanciam conforme a figura 5.1.b. Assim, a fibra gh passa a ter um comprimento final gi, sofrendo um alongamento hi. Pela Lei de Hooke:   x L hi gh hi ef    , já que ab’= ef = gh= cd’. Os ângulos eCf e hfi são congruentes e de valor d. Portanto :     x y d d    ou   x  y (5.1) e, como   x x  E temos que,   x E y       (5.2) Pela equação (5.2) vemos que a tensão normal é diretamente proporcional à distância da fibra à superfície neutra, o que nos dá a distribuição de tensões, ao longo da seção transversal, indicada na figura 5.2, já que o termo E/ é uma constante não nula para a barra. As tensões máximas e mínimas ocorrem nas Figura 5.2 fibras extremas da seção transversal. Desejamos obter uma relação entre a tensão normal e o momento fletor, o que não é fornecido diretamente pela equação 5.2. Para tanto, verificaremos o equilíbrio da seção mostrada na figura 5.3. Nesta seção, no ponto de coordenadas (z,y), atua uma força elementar dada por dF= x.dA. Figura 5.3 EQUILÍBRIO DA SEÇÃO:  X dF S      0 0   x S S dA E y dA        0 0 E y dA S      0 e como E   0 , y dA S     0 a superfície neutra, origem das ordenadas y, passa pelo centro de gravidade da seção. Y   0 é automaticamente satisfeita, pois não existe esforço cortante na direção Y.  Z  0 é automaticamente satisfeita, pois não existe esforço cortante na direção Z.  M X  0 é automaticamente satisfeita, pois não existe torque em torno do eixo X.  M dM Y Y S      0 0 z dF S    0 z dA x S      0 z E y dA S       0 E z y dA S       0 z y dA P S zy        0 0 O Produto de Inércia sendo nulo implica em que os eixos Z e Y são eixos principais de inércia da seção.  M M M z z r     0 -> O momento fletor é igual ao momento resistente. M dM z z S   M y dF z S    M y dA z x S      M y E y dA z S       M E y dA z S      2 O termo y dA S  2  é o momento centroidal de inércia da seção com relação ao eixo Z e assim: z z z z EI M ou E I M      1 Substituindo o valor de E y x    obtido da equação 5.2 resulta M y I z x z    e chegamos à Fórmula de Flexão:  x z z M y I   (5.3) Para um momento fletor positivo, as tensões são compressivas acima do eixo Z (y negativo) e trativas abaixo deste eixo (y positivo). Apresentamos, como exemplo, a distribuição das tensões normais de flexão para outros tipos de seções transversais: Figura 5.4 5.3 - MÓDULO RESISTENTE Seja uma seção qualquer, com um eixo de simetria vertical, submetida a um momento fletor positivo conforme a figura 5.5 e sejam c1 e c2 as ordenadas das fibras mais afastadas do centro de gravidade. Os índices 1 e 2 representam as fibras no topo e na base da seção, respectivamente. Pela equação 5.3 temos que as tensões extremas serão:  x  min z z M c I    1 (compressiva, no topo da seção) e  x  max z z M c I    2 (trativa, na base da seção) Figura 5.5 Designando módulo resistente pela letra W e definindo-o como a relação entre o momento de inércia e a ordenada da fibra mais afastada temos: Wz I c Wz I c z z 1 1 2 2   (5.4) As tensões extremas tomarão a forma:       x min z x max z M Wz M Wz     1 2 (5.5) Para as seções simétricas em relação ao eixo Z, c1 = c2 = c => Wz1 = Wz2 = Wz com Wz I c  z (5.6) e as tensões extremas terão o mesmo valor absoluto:       x max x min Mz Wz    (5.7) O módulo resistente também é chamado módulo de resistência, módulo da seção ou módulo de resistência à flexão e algumas vezes recebe a notação Z. Para seções retangulares com base b e altura h: I b h Z   3 12 e W b h Z   2 6 (5.8) Nas seções circulares, com diâmetro d, I d Z    4 64 e W d Z    3 32 (5.9) 5.4 - DIMENSIONAMENTO No dimensionamento, considerando apenas a flexão, procuramos as dimensões da seção de modo que a peça venha a trabalhar sem ultrapassar suas tensões admissíveis,   trab adm  (5.10) Assim,             x max adm traç x min adm comp   (5.11) Nas equações 5.11, podemos substituir os valores da tensões extremas em função de IZ ou de WZ, e encontramos uma relação entre as dimensões da seção. PERFÍS ESTRUTURAIS As indústrias de perfís estruturais produzem peças com as seções transversais indicadas abaixo: Perfil H Perfil I Perfil C ou U Perfil L - cantoneira Figura 5.6 que bem podem ser combinados, formando perfís mistos. Os fabricantes fornecem tabelas com as características geométricas das seções transversais, o que facilita sobremaneira o dimensionamento à flexão. adm Mz Wz   5.5 - FLEXÃO EM VIGAS NÃO HOMOGÊNEAS Seja uma viga composta de dois materiais distintos, solidários, submetida a um momento fletor positivo (ver figura abaixo) (a). (a) (b) (c) (d) Figura 5.7 Como as seções permanecem planas após a flexão, a viga apresentará uma única curvatura, o diagrama de deformações mostrado em (b) e o diagrama de tensões normais correspondentes em (c). As tensões nos dois materiais, à distancia y da linha neutra, serão:   y E x   1 1   y E x   2 2 A seção deve estar equilibrada na direção x e, portanto:  0  X        1 2 2 1 0 dA dA x x   A primeira integral calculada sobre a área correspondente ao material 1 e a segunda ao material 2. Esta equação pode ser escrita em função dos módulos de elasticidade que resulta em:       1 2 2 1 0 y dA E y dA E Equação que nos fornece a posição da linha neutra. A seção deve estar igualmente equilibrada em relação ao momento em torno do eixo z, assim:  0  Mz => R z M  M          1 2 2 1 0 y dA y dA M x x z          1 2 2 2 2 1 0 dA y E dA y E M z    2  2 1 1 1 z z z I E I E M       2  2 1 1 1 z z z I E I E M      E a tensão em cada material na cota y será:  2  2 1 1 1 1 z z z x I E I E y M E        (5.12) e  2  2 1 1 2 2 z z z x I E I E y M E        (5.13) Método da seção equivalente Podemos analisar a flexão atuando em vigas não homogêneas de maneira mais simples através do método das seções equivalentes. O método preconiza a transformação da seção não homogênea numa seção homogênea equivalente, (feita de apenas um material) e com a mesma capacidade resistente, mantendo inalterada a altura da seção original. O método segue os seguintes passos: 1) Determinação da razão modular: 1 2 E n  E 2) Escolha do material pelo qual a seção será homogeneizada – aqui pelo material 1, menor E. 3) Determinação da seção equivalente multiplicando a área 2 pela razão n sem, no entanto, mudar sua altura – é o que vemos na figura (d) acima; 4) Determinação do centro de gravidade, agora de uma seção homogênea; 5) Determinação do momento de inércia centroidal da seção homogeneizada (IH); 6) Cálculo das tensões 6.1 – Para o material 1 => H z x I M  y 1   (5.14) 6.2 – Para o material 2 => H z x I y n M   2   (5.15) Com as devidas adaptações podemos homogeneizar a seção pelo material de maior E e, evidentemente, obteremos os mesmos resultados. 5.6 - CONCRETO ARMADO Um caso particular de vigas compostas de vários materiais é o de vigas de concreto, armadas com barras de aço. Além das hipóteses vistas anteriormente para o caso de vigas compostas submetidas à flexão, no caso do concreto armado, a homogeneização é sempre feita pelo concreto e assumimos que este não apresenta resistência às tensões de tração, ficando a seção, abaixo da linha neutra, completamente fissurada, assumindo a configuração indicada na Figura 5.8 (b). Figura 5.8 Nesta figura e no desenvolvimento a seguir, usamos a seguinte convenção: h - altura total da seção b - largura da seção d - distância do centro de gravidade da armadura à face superior da viga e - recobrimento: distância do c.g. da armadura à face inferior da viga As - área da seção de aço Z - posição do eixo neutro – origem das tensões n - razão modular: n = Es/Ec n.As - área de concreto equivalente à armadura kd - distância do plano neutro à face superior da seção c - máxima tensão de compressão no concreto s - tensão de tração no aço C - resultante das forças de compressão no concreto T - resultante das forças de tração na armadura jd - braço de alavanca entre as resultantes de tração e compressão c - máxima deformação no concreto s - deformação da armadura no nível do seu c.g. Mz - Momento fletor MR - Momento resistente DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES NOS MATERIAIS Posição da Linha Neutra Consideramos a Linha Neutra, eixo Z, distante kd da face superior da seção. Igualando o momento estático da área resistente do concreto, acima do eixo, ao momento estático correspondente à área inferior da seção homogeneizada, figura (b), temos:      kd  nA d kd b s   2 2 (5.16)     0 d 2 n A kd 2 n A b kd s s 2          (5.16- a) Que constitui uma equação do 20 grau em kd e cuja solução nos dá a posição da L.N. A raiz negativa não nos interessa, pois indica a L.N. posicionada acima (fora) da seção, o que significaria a fissuração completa da seção. Momento de Inércia da Seção Homogeneizada Conhecendo a posição da linha neutra, calculamos o momento de inércia da seção com relação a essa linha, através do teorema dos eixos paralelos:    d A I I 2 =>  2 s 2 3 (kd) d nA b(kd) 2 kd) ( 12 b(kd) I          ou  2 s 3 (kd) d nA 3 b(kd) I    (5.17) Tensões nos Materiais Tensão máxima de compressão no concreto =>   I kd Mz c    (5.18) Tensão de tração na armadura =>     I kd d M n z s     (5.19) MOMENTO ADMISSÍVEL O momento admissível – o maior momento que pode ser aplicado à viga com a segurança especificada, pode ser calculado fazendo com que as tensões nas equações (5.19) e (5.19) não ultrapassem os valores admissíveis => c c    (5.20) e s s    (5.21) Obviamente o máximo valor do momento para a viga será aquele que satisfizer simultaneamente as expressões (5.20) e (5.21). VIGAS EM SEÇÃO T No caso de vigas em seção T, dois casos deverão ser observados: (a) A L.N. se encontra na aba da seção ou (b) A L.N. se encontra na alma, conforme a figura abaixo. Seção T (a) L.N. na aba (b) L.N. na alma Figura 5.10 a) A L.N. estando posicionada na aba, sua posição poderá ser determinada diretamente pela equação (5.17), fazendo b = bf e seguindo os passos já conhecidos. b) A L.N. estando posicionada na alma, não podemos usar diretamente a equação (5.17) e teremos que calcular o valor de kd igualando os momentos estáticos das áreas acima e abaixo do eixo Z. Seja y a distância da L.N. à face inferior da aba. Teremos então:    y  h n A d 2 y b 2 h y h b f s 2 w f f f               (5.25) que constitui uma equação do 20 grau em y. Na solução da equação (5.25), devemos interpretar os resultados obtidos para os valores de y: a) y < - hf => a L.N. passa acima da seção. Fissuração completa da seção. b) –hf < y < 0 => a L.N. atravessa a aba. Uso da equação (5.17) c) 0 < y < d => a L. N. atravessa a nervura. kd = hf + y d) y > d => seção sem fissuração. Viga em flexão composta. Tendo calculado o valor de y (caso c), o momento de inércia será calculado pelo teorema dos eixos paralelos como abaixo:    2 f s 3 w 3 w 2 f f f 3 f f y h n A d 4 y b 12 y b 2 h y h b 12 h b I                    (5.26) As tensões nos materiais serão calculadas pelas equações (5.18) e (5.19). 5.7 – FLEXÃO COMPOSTA COM ESFORÇO NORMAL 5.7.1 – Carga excêntrica num eixo de simetria Figura 5.11 O efeito estático equivalente à carga P com a excentricidade ey reduz-se a uma carga centrada e um momento aplicado à altura do centro de gravidade da seção, conforme a figura. Sendo válidas as hipóteses admitidas para a tração simples e para a flexão pura, podemos usar a superposição dos efeitos e teremos a tensão normal a uma distância y do c.g. dada por: z z x I y M A P     (5.27) Onde Mz = P. ey com o sinal que lhe é próprio. Figura 5.12 Para determinarmos a posição da linha neutra igualamos a fórmula geral da tensão normal a zero e encontramos a equação desta linha. z z x M A P I y       0  (5.28) Observar que a linha neutra, neste caso, é uma reta paralela ao eixo z e afastada y do c.g (fig. 5.13). Figura 5.13 5.8 – FLEXÃO OBLÍQUA Seja a seção submetida a um Momento Fletor oblíquo com relação aos eixos principais de inércia. Figura 5.14 Como momento é um vetor, podemos substitui-lo por suas componentes segundo os eixos principais. No caso,   sen cos     o y o z M M M M Usando a superposição dos efeitos, temos a tensão normal num pondo da seção de coordenadas (z;y) com relação ao c.g. dada por: y y z z x I z M I y M      (5.29) Figura 5.15 Para determinarmos a posição da linha neutra igualamos a fórmula geral da tensão normal a zero e encontramos a equação desta linha. z I M I M y y z z y x        0  (5.30) Observar que a linha neutra, neste caso, é uma reta inclinada que passa pelo c.g. da seção. 5.9 – CASO GERAL DE CARGA EXCÊNTRICA O efeito estático equivalente à carga P com a dupla excentricidade ey e ez reduz-se a uma carga centrada e dois momentos aplicados à altura do centro de gravidade da seção, conforme a figura. Figura 5.16 Usando a superposição dos efeitos, temos a tensão normal num pondo da seção de coordenadas (z;y) com relação ao c.g. dada por: y y z z x I z M I y M A P       (5.31) Com os momentos em z e y dados por: z y y z P e M P e M     (5.31- a) Assim, y z z y x I z e P I y e P A P         (5.31- b) Figura 5.17 Para determinarmos a posição da linha neutra igualamos a fórmula geral da tensão normal a zero e encontramos a equação desta linha. 1 0 2 2      r z e y r e y z z y  x (5.32) Observar que a linha neutra, neste caso, é uma reta inclinada que não passa pelo c.g. da seção. 5.10 – NÚCLEO CENTRAL DE INÉRCIA Mostraremos, por comodidade, a determinação do NÚCLEO CENTRAL para uma seção retangular, para depois generalizar para uma seção qualquer. Seja a peça abaixo, submetida a uma carga excêntrica de compressão. Figura 5.18 A tensão num ponto qualquer vem dada por: y z z y x I z e P I y e P A P          (5.33) onde A = bh ; Iz = bh3/12 e Iy = hb3/12 tomando a forma: /12 /12 3 3 hb z e P bh y e P bh P z y x          Seja determinar a posição da carga P de modo que a tensão no ponto A (yA = h/2 ; zA = b/2), seja nula (Linha Neutra passando por A). A expressão acima toma a forma: 0 12 / 2 / 12 / 2 / 3 3          hb b e P bh h e P bh P z y A x que após multiplicada por bh/P e simplificada fica: 1 /6 /6    b e h e z y Esta expressão define uma reta que divide o plano da seção em dois semiplanos, com as características: a) Estando uma carga de compressão no semiplano que contém o ponto A, este sofrerá compressão; b) Estando uma carga de compressão no outro semiplano, o ponto A sofrerá tração. A Figura 5.19 (a) indica este caso: (a) (b) (c) (d) Figura 5.19 Repetindo o procedimento para os pontos B, C e D teremos os casos (b), (c) e (d) da Figura 5.19. A interseção dos quatro casos define o NÚCLEO CENTRAL da seção, conforme a Figura 5.20 (losango central descolorido): Figura 5.20 NÚCLEO CENTRAL – porção do plano que contém a seção transversal, na qual uma carga de compressão, aí aplicada, não induz tensões de tração na peça. O núcleo central tem fundamental importância no estudo das fundações, muros de arrimo, barragens e peças compostas de materiais pouco resistentes às tensões de tração. CÁLCULO DO NÚCLEO CENTRAL Retomemos à equação (5.33). Multiplicando-a por A/P e igualando a zero temos: 1 / A I z e / A I y e y z z y      Os denominadores da equação representam os quadrados dos raios de giração da seção relativos aos seus eixos principais A I r e A I r y y z z   e obtemos a expressão abaixo que nos permite calcular os limites do núcleo central para qualquer seção 1 2 2      z y y z e r z e r y (5.34) sendo y e z as coordenadas dos pontos extremos (mais afastados do seu c.g.). 5.11 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA Consideramos flexão assimétrica à flexão oblíqua atuando numa seção na qual o eixo vertical ou o eixo horizontal, que passam no c.g., não são eixos de simetria. Figura 5.21 Considerando que as seções permanecem planas na flexão, podemos expressar a variação das tensões normais na forma: z k y k a x      2 1  (a) Verifiquemos o equilíbrio da seção: rz z z ry y Y S M M M M M M dF X              0 0 0 0    Daí,            S x z S x y S x dA y M dA z M dA    0 Substituindo os valores da equação (a), temos:                              S z S y S dA z k y k a y M dA z k y k a z M dA z k y k a 2 1 2 1 2 1 0 que fornece:                                 S S S z S S S y S S S zy dA dA k y k a y dA M dA z zy dA k k a z dA M z dA y dA k k dA a 2 2 1 2 2 1 2 1 0 Como os eixos z e y são centroidais:  0   S y dA ;  0   S z dA ;    S z dA y I 2 ;    S y dA z I 2 ;    S zy zy dA P E obtemos o conjunto de três equações abaixo: zy z z y zy y P k I k M I k P k M a          2 1 2 1 0 Cuja solução fornece 2 1 ) ( zy y z y z zy y P I I M I M P k     e 2 2 ) ( zy y z zy z z y P I I M P M I k    Substituindo os valores e a, k1 e k2 na equação (a) temos a tensão normal no ponto de coordenadas (z,y) em relação ao c.g. z P I I M P M I y P I I M I P M zy y z zy z z y zy y z y z zy y x                          2 2 ) ( ) (  (5.35) A linha neutra vem dada pela equação da reta: z M P M I y M I P M zy z z y y z y zy       ) ( ) ( (5.36) Que tem inclinação β tal que: y z zy y zy z z y M I P M M P I M dz dy tg      (5.37) Obs.: nas seções com ao menos um eixo de simetria, Pzy =0 e y y z z x I z M I y M      CAPÍTULO 6 6.1 – CISALHAMENTO NA FLEXÃO Veremos, neste item, a ocorrência de tensões de cisalhamento numa seção transversal, devido ao efeito do esforço cortante. Sejam duas seções vizinhas de um trecho de viga submetido a momento fletor e esforço cortante conforme a figura 6.1.a. Figura 6.1 Pela existência do esforço cortante, na seção 2 encontra-se um momento fletor acrescido de um incremento dM com relação à seção 1. Assim, a distribuição das tensões normais nesta seção fica igualmente incrementada de um valor d, conforme a figura 6.1.c. Analisemos o equilíbrio do prisma retangular limitado pelas seções 1 e 2 e pela fibra distante y1 abaixo da superfície neutra, indicado na figura 6.2.a. Figura 6.2 Para o cálculo da força normal resultante nas faces verticais do prisma, consideremos a força elementar atuando num elemento de área dA, distante y na superfície neutra. Figura 6.3          c y x c y x dA dF F dA dF t dy dA 1 1   Na seção 1, F M y I dA z z y c 1 1     Na seção 2,   F M dM y I dA z z z y c 2 1      Está claro que a força F2 é maior que a força F1. Logo, para que o prisma permaneça em equilíbrio segundo a direção X, uma força F3 é desenvolvida na face superior do prisma, conforme a figura 6.2.b. Assim:  X F F F      0 1 3 2 1 2 3 F F F       F M dM y I dA M y I dA F dM y I dA z z z y c z z y c z z y c 3 3 1 1 1              Mas, F t dx 3    e considerando que dM I z z é constante na seção, temos:      c y z z y dA I dM dx t 1  Dividindo ambos os termos por t.dx e fazendo dx tender a zero, resulta:     V Q I t (6.1) Onde: dx dM V V  y  é o esforço cortante na direção Y A y y dA Q c y      1 é o momento estático da área abaixo (ou acima) da fibra y1 com relação ao eixo Z I = Iz é o momento de inércia da seção com relação ao eixo Z t é o comprimento de transferência, largura da seção no nível da fibra y1.  = yx é a tensão de cisalhamento APLICAÇÃO PARA UMA SEÇÃO RETANGULAR Seja a seção retangular mostrada na figura 5.9. Assim,   Q y dA y t dy t y t c y y c y c y c                   1 1 1 2 2 1 2 2 2 e a tensão de cisalhamento na fibra y1 é         V I t t c y 2 2 1 2        V I c y 2 2 1 2 (6.2) que é a equação de uma parábola em função de y1. Para y1 = -c =>  = 0 ; Para y1 = 0 =>     V c I 2 2 e como   I t c t c      2 12 8 12 3 3 , resulta       V c t c 2 3 2 12 8      3 2 2 3 2 V t c V A ( ) (6.3) onde  = maz e A é a área da seção transversal. Para y1 = +c =>  = 0 Temos, então, a distribuição das tensões de cisalhamento ao longo da seção, indicada ao lado. Figura 6.4 Apresentamos, para outros tipos de seções transversais, a distribuição das tensões de cisalhamento, baseadas na equação 6.1: Seção I Seção T Figura 6.5 TENSÃO CORTANTE VERTICAL Toda tensão de cisalhamento horizontal vem acompanhada de outra vertical de mesmo valor. Assim, juntamente com a tensão de cisalhamento yx (perpendicular ao eixo Y e paralela ao eixo X), surge a tensão xy (perpendicular ao eixo X e paralela ao eixo Y). Figura 6.6 É esta tensão que, distribuída na seção transversal, equilibra o esforço cortante vertical:  Y V V y r     0 => O esforço cortante vertical é igual ao esforço cortante resistente V dA y xy s     (6.4) 6.2 - FLEXÃO SIMPLES EM VIGAS NÃO HOMOGÊNEAS Calculamos a tensão de cisalhamento em vigas transversalmente carregas a partir da diferença de forças desenvolvidas entre seções vizinhas. Estas forças foram calculadas através da equação vista anteriormente.    c y x dA F 1  No caso de vigas não homogêneas podemos calcular esta diferença de forças a partir da seção transformada (método da seção equivalente), ver item 5.5. Assim, podemos adaptar a fórmula dada na equação 6.1 considerando: QH – Momento estático na seção homogeneizada. IH – Momento de Inércia da seção homogeneizada. tR – Largura da seção real. R H H t I Q V     (6.2) 6.2 a – CONCRETO ARMADO - TENSÃO DE CISALHAMENTO E ADERÊNCIA Numa seção de concreto armado, duas tensões de cisalhamento são importantes: no nível da linha neutra (máxima tensão de cisalhamento no concreto) e em torno das barras de aço (tensão de aderência). Aplicando a equação 6.2 para o caso temos: a) Tensão no nível da L.N.   b kd nA d kd b b kd V t I Q V s R H H LN               2 3 2 ) ( 3 ) ( 2 ) .(  (6.3) b) Tensão de aderência       0 2 3 ) ( 3 ) (                 kd nA d kd b kd nA d V t I Q V s s R H H a (6.4) onde 0 representa a soma dos perímetros das barras de aço. Obs: No apêndice apresentamos uma forma mais simples de calcular estas tensões. 6.3 – SEÇÕES DE PAREDES FINAS Embora tenhamos considerado a tensão de cisalhamento constante num mesmo nível de seção transversal, (equação 6.1), isto não acontece. Segundo BEER, esta tensão apresenta uma variação parabólica com valores máximos nos pontos extremos no nível considerado e mínimo no ponto médio, como mostrado na figura abaixo. Seção larga Seção estreita Figura 6.7 b/h 0,25 0,5 1 2 4 6 10 20 50 maxmed 1,008 1,033 1,126 1,396 1,988 2,582 3,770 6,470 15,650 mínmed 0,996 0,983 0,940 0,856 0,805 0,800 0,800 0,800 0,800 *- BEER, F.P. & JONHSTON, E.R. JR - Resistência dos Materiais. Makron Books, 3. ed, São Paulo, 1995 Observa-se pela tabela acima que a tensão tende a ser uniforme em peças de paredes finas. Para seções deste tipo podemos, sem erros significativos, utilizar a equação 6.1. 6.4 – CISALHAMENTO NUMA SEÇÃO LONGITUDINAL QUALQUER Para um cortante vertical utilizamos normalmente a equação 6.1, considerando o comprimento de transferência t o segmento curvo conforme a figura 6.8. Figura 6.8 Dependendo da seção longitudinal escolhida necessitamos recorrer à notação vista na Figura 3.2, como mostrado na figura abaixo. Figura 6.9 6.4 – FLUXO DE CISALHAMENTO No estudo da torção definimos fluxo de cisalhamento como o produto da tensão de cisalhamento pela espessura da seção, item 4.9. Aplicando no caso da equação 6.1, temos o fluxo como: I V Q q t q      (6.5) Um uso prático do fluxo de cisalhamento é o caso de peças parafusadas ou pregadas como a viga abaixo, onde são conhecidas as dimensões das peças, o cortante vertical V = P e desejamos calcular a força desenvolvida em cada prego, espaçados longitudinalmente num comprimento s. Figura 6.10 Solução: Os pregos serão cisalhados no nível a-a. Calculamos o fluxo através da equação 6.5, com o momento estático Q relativo à área hachurada. Consideramos que cada conjunto de pregos (no caso np = 2) é responsável por resistir ao fluxo desenvolvido em sua área de influência (s.t) onde t é a largura da seção. Assim, p p n q s F   (6.6) 6.5 – FLUXO DE CISALHAMENTO NUMA SEÇÃO DE PAREDES FINAS SEÇÃO ABERTA DE PAREDES FINAS Seja o caso do perfil abaixo submetido a um cortante vertical aplicado num plano de simetria da seção, figura 6.11. Para um elemento na alma temos os fluxos qxy e qyx não nulos e os fluxos qxz e qzx nulos devido à proximidade das duas superfícies livres, tal qual as tensões de cisalhamento correspondentes. De modo similar, para um elemento nas abas temos os fluxos qxz e qzx não nulos e os fluxos qxy e qyx nulos também pela proximidade das duas superfícies livres, tal qual as tensões de cisalhamento correspondentes. A figura 6.11 (c) indica os fluxos desenvolvidos nas abas e na nervura. (a) (b) (c) Figura 6.11 Para o cálculo do fluxo teríamos pela equação 6.5, aplicada conforme esquema na figura 6.12: (a) (b) (c) (d) (e) Figura 6.12 a) Para a aba 2 s h t I V q f z aba     Fig. 6.12 (b) b) Para a nervura                     y h y h t b h t I V q w f z nervura 2 2 1 2 2 Fig. 6.12 (c) Na figura 6.12 (d) temos a distribuição rebatida do fluxo e na (e) o esquema em perspectiva. SEÇÃO FECHADA DE PAREDES FINAS No caso da seção caixão abaixo, o fluxo será calculado segundo os esquemas: a) Na aba conforme a figura 6.13 (b) com o fluxo nulo no ponto A; b) Nas nervuras conforme a figura 6.13 (b). Na figura 6.13 (d) temos a distribuição rebatida do fluxo e na (e) o esquema em perspectiva. (a) (b) (c) (d) (e) Figura 6.13 6.6 – SEÇÕES SEM EIXO VERTICAL DE SIMETRIA Até agora calculamos o fluxo de cisalhamento em vigas de paredes finas devido ao cortante atuando no eixo vertical de simetria. Vejamos o caso em que a seção não admite tal eixo. Seja o perfil canal da figura abaixo, de espessura constante, submetido a um cortante vertical atuando no seu centro de gravidade e desejamos calcular a distribuição do fluxo de cisalhamento nele desenvolvido. (a) (b) (c) (d) (e) Figura 6.14 Calculando da maneira costumeira (equação 6.5) teríamos a distribuição do fluxo conforme a figura 6.14 (d). Ora, vimos no item 6.4 que um fluxo constante q atuando num comprimento s geraria uma força F dada por q s F   . Em se tratando de um fluxo variável teríamos as forças:    q ds F (6.7) a) Na aba F ds h t s I V F b z aba            2 0 b) Na nervura dy y h y h t t b h I V F h h z nervura                       2 / / 2 2 2 1 2 2 Que resolvendo resulta:       3 2 4 2 h b I Vth F z nervura Mas                      3 2 4 2 2 12 12 2 2 3 3 h b th bt h bt th Iz , pois desprezamos o termo 12 bt 3 em presença dos demais por se tratar de uma seção de paredes finas. Substituindo este valor na equação anterior encontramos Fnervura V o que já era esperado, verificando o equilíbrio em y da seção conforme a figura 6.14 (d). Contudo, verificamos que  0      F h V z Tcg e a seção também está submetida a um torque que, como sabemos, também produz tensões e fluxo de cisalhamento. Assim a tensão de cisalhamento levará em consideração os dois efeitos T V      O leitor deve observar que a tensão de cisalhamento máxima, neste caso, se dará no nível do centro de gravidade. 6.7 – CENTRO DE TORÇÃO ou CENTRO DE CISALHAMENTO Vejamos a figura 6.14 (e) reproduzida abaixo. (a) (b) (c) Figura 6.15 Se pudermos mover o esforço cortante para a direita o torque tenderia a aumentar, aumentando assim a tensão de cisalhamento devida a este esforço. Porém, se o movermos para a esquerda o torque tende a diminuir. Definimos CENTRO DE TORÇÃO ou CENTRO DE CISALHAMENTO a localização do ponto O no qual o cortante aí aplicado anula o torque, ou seja, calculamos a distância e do ponto O ao centro da nervura: V F h e F h V e T          0 (6.8) Quando desenhamos o corpo livre da seção, para a determinação do centro de torção, podemos usar indistintamente os esquemas apresentados abaixo conforme a posição do observador, procurando em cada caso manter o equilíbrio vertical da seção: Cortante para baixo implica o fluxo na nervura para cima e vice-versa. Figura 6.16 CAPÍTULO 7 7.1 - ANÁLISE DAS TENSÕES Definimos ESTADO PLANO DE TENSÕES a um caso particular do estado geral de tensões visto na figura 3.3, no qual: z = zy = zx = 0 Seja um elemento infinitesimal de uma região de um corpo submetido a um estado plano de tensões, conforme a figura 7.1. Figura 7.1 É nosso objetivo determinar os valores da tensão normal e de cisalhamento de um plano qualquer no elemento, paralelo ao eixo z, definido pelo ângulo  de sua normal com a orientação x. Retiramos do elemento, um prisma de espessura constante (Fig. 7.2.a), com sua face inclinada, de área A, orientada na direção . Tal elemento fica, assim, submetido ao estado de tensões indicado na figura 6.2.b. Figura 7.2 Ao multiplicarmos cada tensão no elemento por sua área de atuação, obtemos o sistema de forças indicado na figura 7.3.a. Figura 7.3 Verifiquemos o equilíbrio do prisma através do esquema indicado na figura 7.3.b. Equilíbrio segundo a direção N N A A A A A xy x y yx             0 0 : cos sen cos cos sen sen sen cos               Como xy yx    , podemos simplificar a equação acima que se torna :             x y xy cos sen sen cos 2 2 2 (7.1) Considerando as relações trigonométricas abaixo, cos cos 2 1 2 2     , sen cos 2 1 2 2     e sen cos sen     1 2 2 podemos escrever a equação 7.1 na forma,         2 cos2 2 2 sen xy y x y x      (7.2) Equilíbrio segundo a direção T T A A A A A yx xy x y             0 0 : sen sen cos cos cos sen sen cos               que simplificando, torna-se :           x y xy 2 2 2 sen cos (7.3) CONCLUSÃO: Conhecido o estado plano de tensões da figura 7.1, podemos, através das equações 7.1 ou 7.2 e 7.3, determinar as tensões normais e de cisalhamento no elemento girado de um ângulo θ. 7.2 - DIREÇÕES PRINCIPAIS Por direções principais entendemos os valores do ângulo θ para os quais as tensões normais atingem seu valor máximo e mínimo. Derivando a expressão 7.2 com relação a  e igualando a zero temos:                      0 2 2 2 2 2 0 x y xy sen cos sen cos 2 2 2         xy x y assim, tg p xy x y 2 2        (7.4) onde p é a direção do plano principal. Por plano principal entendemos aquele de tensão normal máxima ou mínima. No cálculo do p obtemos dois valores defasados em 90o, correspondentes aos planos de maior e menor tensão normal. Substituindo os valores de p, calculados em 7.4 nas equações 7.1 e/ou 7.2, determinamos as tensões principais. No item 7.4 apresentaremos outra forma mais simples para esta determinação. 7.3 - PLANOS DAS TENSÕES EXTREMAS DE CISALHAMENTO Derivando a expressão 7.3 com relação a  e igualando a zero temos:                   0 2 2 2 2 2 0 x y xy cos sen sen cos 2 2 2       x  y xy e, tg s x y xy 2 2       (7.5) onde s é a direção do plano de cisalhamento máximo ou mínimo. No cálculo do s obtemos, igualmente, dois valores defasados em 90o, correspondentes aos planos de maior e menor tensão de cisalhamento. Substituindo os valores de s, calculados em 7.5 na equação 7.3, determinamos as tensões extremas de cisalhamento. No item 7.4 apresentaremos outra forma mais simples para esta determinação. 7.4 - CIRCUNFERÊNCIA DE MOHR As expressões 7.2 e 7.3 são as equações paramétricas de uma circunferência (Fig.7.4), dita circunferência de Mohr, de centro C e raio R (ver demonstração no Anexo B), Figura 7.4 dados pelas seguintes equações: C x y     2 (7.6) R x y xy           2 2 2 (7.7) Analisando a figura 7.4, podemos facilmente determinar os valores das tensões principais, indicadas pelos pontos (1;0), tensão normal máxima e (2;0), tensão normal mínima.   1 2     C R C R (7.8) Assim,               1 2 2 2 2 2 2 2 2 2                     max x y x y xy min x y x y xy O ponto correspondente à máxima tensão de cisalhamento (m;máx) pode ser facilmente determinado, pois a abscissa m (tensão normal média) equivale ao centro da circunferência e a ordenada máx ao seu raio.    m x y   2 (7.9)     max min x y xy ,           2 2 2 (7.10) 7.5 - INVARIANTE DAS TENSÕES Para planos defasados em 90°, que correspondem na circunferência de Mohr a pontos diametralmente opostos, a soma das tensões normais é um invariante, senão vejamos : A tensão normal para um plano qualquer de direção  é, pela eq. (7.2)               x y x y xy 2 2 2 2 cos sen (a) Para um plano perpendicular à direção , ou seja, +90° teremos:                    90 2 2 2 90 2 90 x y x y xy cos ( ) sen ( ) Ou,                    90 2 2 2 180 2 180 x y x y xy cos( ) sen( ) Mas, sen( ) sen cos( ) cos 2 90 2 2 90 2             e assim,                90 2 2 2 2 x y x y xy cos sen (b) Finalmente, somando membro a membro as expressões (a) e (b), temos           90 x y Generalizando para os planos das tensões principais e de cisalhamento máximo e mínimo temos :                90 1 2 0 2 x y m (7.11) 7.6 - TRAÇADO DA CIRCUNFERÊNCIA DE MOHR Iniciaremos o traçado a partir do estado de tensões da figura 7.1, assumindo serem conhecidos os valores de x, y e xy. Num plano com um sistema de eixos cartesianos, marcamos as tensões normais no eixo horizontal e as tensões de cisalhamento no eixo vertical. Através das equações 7.6 e 7.7, determinamos o centro e o raio da circunferência. Numa escala conveniente, marcamos o centro C e com um compasso, com abertura igual ao raio R, traçamos a circunferência. Com o par (x;xy), determinamos o ponto X na circunferência. A direção CX corresponde à direção X na peça. De forma semelhante, com o par (y;yx), determinamos o ponto Y na circunferência. A direção CY corresponde à direção Y na peça. Nesta fase, estamos com a circunferência perfeitamente orientada. Para encontrarmos, o ponto que representa o estado de tensão de um plano cuja normal forma um ângulo  com a orientação X na peça, centramos o transferidor no ponto Y na circunferência e marcamos, a partir da direção YX , uma semi-reta com inclinação . Onde esta semi- reta interceptar a circunferência, temos o ponto (A) de coordenadas (;), correspondente ao estado de tensão desejado. Observações : - Cada volta na circunferência implica em meia volta na peça. - O ângulo XCA  é o dobro do ângulo  e assim podemos encontrar o ponto A centrando o transferidor no ponto C e marcando a semi-reta CA a partir de C com a inclinação de 2 em relação a CX. 7.7 - TRAÇADO DA CIRCUNFERÊNCIA DE MOHR (OUTRA MANEIRA) No plano cartesiano, marcamos os ponto X e Y de coordenadas (x;xy) e (y;yx) respectivamente. Ligando o ponto X ao ponto Y, interceptamos o eixo das abscissas no ponto C, centro da circunferência. Com o compasso centrado em C e abertura CX ou CY, traçamos a circunferência. As etapas seguintes foram tratadas no item anterior, quando da determinação do estado de tensão num plano qualquer. 7.8 - MAIS LEITURAS NA CIRCUNFERÊNCIA DE MOHR a) PLANO QUALQUER - Marcamos na peça, a orientação de um plano qualquer em relação à direção X, no mesmo sentido que na circunferência. b) PLANOS PRINCIPAIS - A circunferência intercepta o eixo das abscissas nos pontos 1 e 2, pontos de tensão normal máxima (1) e tensão normal mínima (2), respectivamente. Também estão indicados, na figura, os ângulos correspondentes às direções principais. Observar que nos planos principais as tensões de cisalhamento são nulas. c) TENSÕES EXTREMAS DE CISALHAMENTO - Uma vertical traçada pelo centro da circunferência a intercepta nos pontos correspondentes às tensões extremas de cisalhamento. 7.9 - CIRCUNFERÊNCIA DE MOHR X PEÇA (USO DO POLO) Definimos POLO como o lugar geométrico para onde convergem todos os planos representados na circunferência de Mohr. Determinação: A partir do ponto X, traçamos uma vertical até interceptar a circunferência. Aí se localiza o polo P. Utilização: Seja um ponto qualquer A da circunferência, representado por suas coordenadas (;). Ligando este ponto ao polo, temos a representação do plano com sua orientação bem definida. 7.10 – ESTADO PLANO DE TENSÕES NUM PONTO QUALQUER Seja a estrutura mostrada no EXERCÍCIO (pág. 04) com os esforços internos solicitantes atuando na seção D: N, T, Vy, Vz, Mx e My. Suponhamos serem conhecidas as dimensões da seção e, portanto, suas características geométricas. Seja, também na seção, escolhidos os pontos H e K nas faces lateral e superior da seção e interceptados pelos eixos Z e Y. Podemos, então, calcular as tensões normais e de cisalhamento que atuam nestes pontos, definindo os estado planos a eles correspondentes. Ponto H: Tensão Normal: y y z z x I z M I y M A N       (Eq. 5.31) Tensão de Cisalhamento: 2 1 a b c T t I Q V T V xy            (Eq. 6.1 e 4.12) Ponto K: Tensão Normal: y y z z x I z M I y M A N       (Eq. 5.31) Tensão de Cisalhamento: 2 1 a b c T t I Q V T V xy              (Eq. 6.1 e 4.12) Obs: A orientação dos elementos H e K é distinta da orientação da seção. 7.11 – CÍRCULO DE MOHR PARA UM ESTADO GERAL DE TENSÕES Vimos anteriormente (Fig. 3.3) que um elemento pode estar submetido a um geral de tensões Podemos verificar que o estado triplo de tensões é composto por três estados planos de tensão conforme o observador esteja posicionado sobre os eixos X, Y, ou Z. Cada um dos estados acima podem ser “girados” no ângulo θp respectivo surgindo três estados planos de tensões principais que, compostos, resultaria num estado triplo de tensões principais. Qualquer orientação do elemento estará na área sombreada no círculo de Mohr, apresentando valores máximos na fronteira externa do circulo. Assim, os estados planos de tensões com z = zy = zx = 0 tem círculos de Mohr conforme a figura: Figura 7.5 7.12 – CRITÉRIOS DE ESCOAMENTO E DE FRATURA Quando do dimensionamento de peças submetidas a carregamentos axiais ou torção pura, comparávamos as tensões máximas devidas aos esforços internos solicitantes com as tensões admissíveis dos materiais, estas determinadas através de ensaios de tração simples, compressão simples ou cisalhamento direto / torção pura: O comportamento das peças em serviço com relação ao escoamento e à fratura podiam ser previstos com razoável grau de precisão. Para um estado mais complexo de tensões, mesmo no estado plano, devido à combinação de carregamentos do tipo mostrado no exercício da página 04, é importante estabelecer critérios que prevejam a possibilidade de ocorrência do escoamento ou fratura. As peças apresentariam pontos com um dos estados planos de tensões retratados na figura 7.5, muito diferentes dos estados que ocorrem nos ensaios. 7.12.1 – CRITÉRIOS DE ESCOAMENTO PARA MATERIAIS DÚCTEIS 7.12.1.1 – Critério da Máxima Tensão de Cisalhamento (Tresca) Por este critério a peça é segura se a máxima tensão de cisalhamento atuante for menor que a máxima tensão de cisalhamento presente no ensaio de tração/compressão: ensaio máx abs máx    a) Tensões principais de mesmo sinal e e       2 1 (7.12) b) Tensões principais de sinais contrários e     2 1 (7.13) Estes resultados podem ser plotados num gráfico com os eixos correspondentes às tensões principais: O gráfico indica que qualquer estado de tensão no qual o par ordenado (1;2) cair dentro do hexágono a peça é segura. 7.12.1.2 – Critério da Máxima Energia de Distorção (von Mises) Por este critério a peça é segura se a máxima energia de distorção atuante for menor que a máxima energia de distorção presente no ensaio de tração/compressão: ensaio máx abs máx U distorção U distorção ) ( ) (  Este critério parte do princípio de que a energia de deformação elástica acumulada nas peças, por unidade de volume, é dividida em duas partes: uma parte associada à mudança de volume do elemento (tensões normais) e outra parte associada à sua distorção (tensões de cisalhamento). No estado triplo de tensões a energia total acumulada na peça por unidade de volume é (consultar a bibliografia):      2  2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 zx yz xy x z z y y x z y x tot G E U                       Para o caso do estado triplo de tensões principais, com xy = zy = zx = 0, temos:  3  2 3 1 2 1 2 3 2 2 2 1 ) ( 2 1                 E E Utot Esta equação pode ser escrita:   2 3 2 2 1 3 2 2 1 2 3 2 1 ) ( ) ( ) ( 12 1 ) ( 6 2 1                       E E U U U dist vol tot A parcela da distorção é:   2 3 2 2 1 3 2 2 1 ) ( ) ( ) ( 12 1             E Udist No estado plano de tensões com σz = 0 esta equação fica:   2 2 2 1 2 1 6 1        E Udist No ensaio: E U e dist 6   2 Assim, a peça é segura se : 2 2 2 2 1 2 1 e        (7.14) Estes resultados podem ser plotados num gráfico com os eixos correspondentes às tensões principais: O gráfico indica que qualquer estado de tensão no qual o par ordenado (1;2) cair dentro da elipse a peça é segura. Comparando-se os dois critérios observa-se que o Critério de Tresca é mais conservador que o de von Mises: 7.12.2 – CRITÉRIOS DE FRATURA PARA MATERIAIS FRÁGEIS 7.12.2.1 – Critério da Máxima Tensão Normal (Rankine) Por este critério a peça é segura se a tensão máxima atuante for menor que a máxima tensão presente no ensaio de tração/compressão: ensaio máx abs máx    Assim, RC RT       2 1 (7.15) Estes resultados podem ser plotados num gráfico com os eixos correspondentes às tensões principais: O gráfico indica que qualquer estado de tensão no qual o par ordenado (1;2) cair dentro da elipse a peça é segura. 7.12.2.2 – Critério de Coulomb-Mohr Este critério leva em consideração a diferença dos valores das tensões de ruptura do material à tração e compressão Para tanto traçamos o círculo de Mohr correspondente aos ensaios. Traçando duas tangentes aos círculos do ensaio definimos o “envelope de tensões” delimitando uma área na qual estando o círculo de mohr correspondente à peça dentro desta área, não ocorrerá fratura. A peça é segura. a) Tensões principais de mesmo sinal RC RT       2 1 (7.16) b) Tensões principais de sinais contrários O círculo correspondente à peça em serviço deverá ficar dentro do envelope e, para que isto aconteça:   sen sen '  Para isto, 1 2 1   RT RT     (7.17) 7.13 – VASOS DE PRESSÃO DE PAREDES FINAS Vasos de pressão são estruturas usadas como reservatórios ou tubulação sob pressão. Estudaremos o caso de vasos de paredes finas. Para os vasos de paredes grossas, consultar a bibliografia. Hipótese: a) Como as paredes do vaso têm pequena espessura, oferecem pequena resistência à flexão, e consideramos que os esforços internos que atuam em certa porção da parede são tangentes à superfície do vaso. b) Vasos de paredes finas => Raio > 10 x Espessura 7.13.1 – VASOS CILÍNDRICOS Seja o vaso cilíndrico da figura de raios interno r e espessura da parede t contendo um fluido sob pressão. Desejamos determinar as tensões que se exercem num pequeno elemento da parede, de lados paralelos e perpendiculares ao eixo do cilindro. Nenhuma tensão de cisalhamento é desenvolvida neste elemento. Figura 7.6 Sejam três cortes realizados no cilindro: dois cortes transversais distantes dx e um corte longitudinal passando por seu eixo longitudinal. Desenhamos, assim, o diagrama de corpo livre da porção do cilindro com o efeito da pressão interna p e as tensões tangenciais desenvolvidas nas paredes. r dx p t dx Z T           2 2 0   Assim, t d p t r p T 2      Seja agora um corte transversal ao eixo do cilindro. Temos o diagrama de corpo livre da porção do cilindro com o efeito da pressão interna p e as tensões longitudinais desenvolvidas nas paredes. 2 2 0 r p r t X L               Assim, t d p t r p L 4 2      Como não existem tensões de cisalhamento nos planos do elemento, as tensões calculadas são tensões principais e daí: t d p t r p t d p t r p T T 4 2 2 1 1               (7.18) Temos, portanto, o círculo de Mohr correspondente: 7.13.2 – VASOS ESFÉRICOS Consideremos um vaso de pressão esférico com raio interno r e espessura de parede t. Por razões de simetria, as tensões que se desenvolvem nos quatro lados do elemento são iguais. Fazendo um corte arbitrário, mas passando pelo centro da esfera, temos o diagrama de corpo livre da figura. Temos assim que t d p t r p L 4 2 2 1          (7.19) Portanto o círculo de mohr se reduz a um ponto e a máxima tensão de cisalhamento desenvolvida no elemento é metade da tensão principal. CAPÍTULO 8 8.1 - DEFORMAÇÃO DE FLEXÃO Definimos, anteriormente, Linha Elástica como a posição dos centros de gravidade das seções transversais de uma barra após a flexão. Por deformação de flexão entendemos : - flecha - ordenada da curva assumida pela linha elástica. Também é chamada afundamento ou deflexão e é a distância entre um ponto da linha elástica e o eixo original (indeformado) da barra, medida perpendicularmente a este eixo. - rotação - ângulo formado pela tangente traçada por qualquer ponto da linha elástica e seu eixo original. Figura 8.1 8.2 - EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA LINHA ELÁSTICA Seja a figura 8.2 que representa uma barra submetida à flexão: Pelo ponto A, origem do sistema, orientamos a barra com os eixos x horizontal e y vertical. Por dois pontos quaisquer m e n , distantes dx, traçamos duas perpendiculares às tangentes à linha elástica nesses pontos, que se encontrarão no centro de curvatura O, formando o ângulo d. As duas tangentes traçadas por esses dois pontos (m e n), formarão igualmente um ângulo d. (a) (b) Figura 8.2 Vimos anteriormente que a curvatura de uma barra submetida à flexão 1       Mz EI z , era diretamente proporcional ao momento fletor atuante e inversamente proporcional ao produto do modulo de elasticidade pelo momento de inércia. Uma vez que consideramos positivas as flechas dirigidas para baixo (ver a posição do eixo y na figura 8.2.a), definiremos o sinal da curvatura como indicado na figura 8.3, ao lado. Figura 8.3 Assim, na figura 8.2.a temos que 1    Mz EIz O comprimento do arco ds vale => ds d    e considerando ser a linha elástica uma curva muito abatida, aproximamos ds  dx e tg dy dx     Obtemos então dx d    ou d dx    1 e 1       d dy dx dx 1 2 2   d y dx (8.1) Finalmente, d y dx Mz EIz 2 2   (8.2) Trataremos de casos em que a barra é constituída de um mesmo material e que possui seção transversal constante, o que torna o produto EIz (módulo de rigidez à flexão) igualmente uma constante. O momento Mz, nos casos gerais é uma função de x e desta forma, a equação 8.2 passa a ser escrita   EI d y dx Mz x z 2 2   (8.3) OBSERVAÇÃO : A curvatura de uma curva plana num ponto qualquer (x,y) , segundo o cálculo elementar, é dada por 1 1 2 2 2 3 2                d y dx dy dx (8.4) Note que esta expressão equivale à equação 8.1 no caso em que dy dx     2 seja pequeno em presença da unidade. Para barras de grande curvatura, devemos utilizar a equação 8.4 ao invés da equação 8.1, o que foge ao escopo deste trabalho. 8.3 - SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL Resolvemos a equação 8.3, integrando-a duas vezes. Assim,   d y dx Mz x EIz 2 2   (I)   dy dx Mz x EI dx C z     1 , equação da rotação   dy dx (II)   y Mz x EI dx C dx C z           1 2 , equação da linha elástica. As constantes de integração C1 e C2 são determinadas através das condições de contorno do problema : valores conhecidos das curvas de rotação e/ou da linha elástica, em pontos específicos da estrutura. Vejamos alguns exemplos: - Apoios do 1º e 2º gêneros impedem movimento na vertical e, nestes pontos, a flecha é nula - Engastes impedem movimento na vertical e giro e, nestes pontos, a rotação e a flecha são nulas EXERCÍCIO RESOLVIDO 1 Determinar a equação da rotação e da flecha para uma viga simplesmente apoiada, com carga uniformemente distribuída por todo o vão, em função de EIz. Solução: Diagrama de corpo livre Equação de momento fletor Mz x qL x q x ( )   2 2 2 Equação diferencial da linha elástica EI d y dx qL x q x z 2 2 2 2 2    Integrando , temos (I) EI dy dx qL x q x C z     4 6 2 3 1 Integrando novamente, temos (II) EI y qL x q x C x C z       12 24 3 4 1 2 Cálculo das constantes: Condições de contorno Na equação (II) temos: para x = 0 => y(0) = 0 => C2= 0 para x = L => y(L) = 0 => C qL 1 3  24 Temos portanto: Equação da rotação : EI dy dx qL x q x qL z     4 6 24 2 3 3 ou ( ) x EI qL x q x qL z           1 4 6 24 2 3 3 Equação da linha elástica y x EI qL x q x qL x z ( )            1 12 24 24 3 4 3 Observações: 1) A rotação no apoio da esquerda vale ( )0 24 3   qL EIz e no apoio da direita ( ) L qL EIz   3 24 2) Devido à simetria do carregamento e das condições geométricas da viga, a rotação é nula no meio do vão e poderíamos usar esta condição como de contorno. Teríamos, assim,    L EI qL L q L C z / 2 1 4 2 6 2 0 2 3 1                    o que resultaria em C qL 1 3  24 como anteriormente. 3) Lembrando que   dy dx , temos no ponto de rotação nula a ordenada máxima da linha elástica :   y L y qL EI max z / 2 5 384 4    Neste exercício a equação de momentos fletores é válida (única) por todo o vão da viga. Vejamos um caso em que tal não acontece. EXERCÍCIO RESOLVIDO 2 Determinar a equação da rotação e da flecha, em função de EIz, para uma viga simplesmente apoiada, com uma carga concentrada P como indicado. Solução: Diagrama de corpo livre e reações de apoio Equação de momento fletor : Trecho A-C Mz x Pb 1( )  L x Trecho C-B Mz x Pb L x P x a 2 ( ) ( )    Teremos , portanto, duas equações diferenciais da linha elástica: EI d y dx Pb L x z 2 1 2   EI d y dx Pb L x P x a z 2 2 2    (  ) Integrando as equações diferenciais temos: EI dy dx Pb L x C z 1 2 1   2  EI y Pb L x C x C z 1 3 1 2   6    EI dy dx Pb L x P x a C z 2 2 2 3 2 2      ( ) EI y Pb L x P x a C x C z 2 3 3 3 4 6 6        ( ) Observe que temos quatro equações a quatro incógnitas. Cálculo das constantes: Condições de contorno para x = 0 => y1(0) = 0 => C2 = 0 para x = L => y2(L) = 0 => C L C Pb L b 3 4 2 2 6    ( ) O que ainda é insuficiente para resolvermos o problema. Recorremos, então, à duas condições subsidiárias : no ponto C, a rotação e a flecha são iguais, pelas duas equações, respectivamente. Assim, para x = a 1(a) = 2(a) =>      Pb L a C Pb L a C 2 2 2 1 2 3 => C C 1 3  y1(a) = y2(a) =>          Pb L a C a C Pb L a C a C 6 6 3 1 2 3 3 4 => C C 2 4  Resumindo :  C C Pb L L b 1 3 2 2 6    ( ) C C 2 4  = 0 E chegamos às equações: da rotação : 1 2 2 2 1 6 3 ( ) ( ) x EI Pb L x L b z         (trecho AC) 2 2 2 2 2 1 6 3 3 ( ) ( ) ( ) x EI Pb L x L b x a L b z             (trecho CB) e da linha elástica: y x EI Pbx L x L b z 1 2 2 2 1 6 ( ) ( )         (trecho AC) y x EI Pb L x L b x a L b x z 2 3 3 2 2 1 6 ( ) ( ) ( )             (trecho CB) Exemplo: Rotação em A :   1 2 2 0 1 6 ( )       EI Pb L L b z Flecha em C : y a EI Pa b L z 1 2 2 1 3 ( )        ou y a EI Pa b L z 2 2 2 1 3 ( )        EXERCÍCIO RESOLVIDO 2 (VERSÃO SIMPLIFICADA) Vejamos uma maneira simplificada de resolver o mesmo problema. Podemos observar que a equação de momento fletor do trecho AC se repete na do trecho CB. Tomemos, então, a equação de momento deste trecho, colocando um sinal, no termo entre parênteses, para indicar que este termo é nulo para um valor de x < a. A esta equação chamaremos equação geral de momento fletor. Mz x Pb L x P x a ( )    Teremos , portanto, uma única equação diferencial da linha elástica: EI d y dx Pb L x P x a z 2 2     Integrando duplamente temos: EI dy dx Pb L x P x a C z      2 2 2 2 1 EI y Pb L x P x a C x C z        6 6 3 3 1 2 Cálculo das constantes: Condições de contorno para x = 0 => y(0) = 0 => C2=0 , pois x  a  0 para x = L => y(L) = 0 => C Pb L L b 1 2 2  6  ( ) E chegamos às equações: da rotação : ( ) ( ) x EI Pb L x L b x a L b z                 1 6 3 3 2 2 2 2 da linha elástica: y x EI Pb L x L b x a L b x z ( ) ( )             1 6 3 3 2 2 Observação : No uso destas equações, desprezamos os termos em que x<a. Exemplo: Rotação em A :   ( ) 0 1 6 2 2       EI Pb L L b z Flecha em C : y a EI Pa b L z ( )        1 3 2 2 8.4 - FUNÇÕES DE SINGULARIDADE Chamamos funções de singularidade as expressões x  a , x  a 2 e x  a 3 utilizadas na versão simplificada do exercício resolvido 2, e definimos : x  a n   x a n  0 para x  a para x  a Na utilização das funções singulares, temos as seguintes situações: a) x  a 0   1 0 para x  a para x  a b) x a dx n x a n n       1 1 1 para x  a e n  -1 c) d dx x a n x a n n    1 para x  a Apresentaremos alguns casos básicos de carregamento e as expressões correspondentes das funções de singularidade na tabela a seguir:. Tabela IV - FUNÇÕES DE SINGULARIDADE CARREGAMENTO MOMENTO FLETOR M Mo x a    0 M P x a    1 M q x a    2 2 M q x a x    6 2 M q x a x    12 2 M q n n x a x      ( )( ) 1 2 2 CAPÍTULO 9 9.1 - FLAMBAGEM Consideramos flambagem o processo de instabilidade que pode ocorrer em barras prismáticas submetidas a cargas axiais de compressão: brusca mudança em sua configuração inicial. Denominamos coluna ao elemento estrutural submetido a compressão, no qual o comprimento é muito grande em relação às dimensões da seção transversal. Alguns autores estimam esta relação em aproximadamente 10 vezes. Classificamos as colunas pelo seu comportamento no regime de rutura em: - LONGAS - falham por flexão lateral ou flambagem - CURTAS - falham por esmagamento (material frágil) ou escoamento (material dúctil) - INTERMEDIÁRIAS - falham num processo misto, combinação de esmagamento (ou escoamento) e flambagem Por carga crítica de flambagem ou simplesmente carga crítica, entendemos a maior carga de compressão centrada que se pode aplicar à coluna sem provocar instabilidade lateral. 9.2 - CARGA CRÍTICA Seja uma coluna vertical, articulada em suas extremidades. Apliquemos uma força horizontal H em seu ponto médio, de modo que produza flexão segundo seu eixo de menor inércia. Como as tensões de flexão são proporcionais à flecha, não apresentam qualquer variação se adicionarmos uma força P axial em cada extremo, fazendo com que H diminua simultaneamente, de modo que a flecha central  não varie. Assim, o momento fletor no centro da coluna vale: M H L P     2 2  E quando H se anula, M  Pcr  onde Pcr é a carga necessária para manter a coluna fletida sem empuxo lateral. Figura 9.1 Um pequeno incremento em P sobre o valor crítico fará com que aumente , o que aumentará M, que aumentará  e assim sucessivamente até que a coluna entre num processo de instabilidade e rompa devido à flambagem. CARGA DE EULER Determinaremos a carga crítica através da equação diferencial da linha elástica, considerando a coluna indicada na figura 9.1 c. Tomando a origem numa das extremidades, temos: EI d y dx M x P y 2 2   ( )    (9.1) ou, d y dx P EI y 2 2 0    (9.2) uma equação diferencial linear de coeficientes constantes, pois estamos considerando colunas prismáticas (mesma seção transversal ao longo de seu comprimento) e que tem como solução geral a equação: y c kx c kx   1 2 sen cos (9.3) Sendo, k P EI  (9.4) Determinação das constantes de integração através das condições de contorno do problema: Na equação (9.3), para x = 0 => y = 0 => c2 = 0 para x = L => y = 0 => c L P EI 1 0         sen Nesta equação, se c1 = 0, como c2 = 0 => y = 0 e não teríamos flexão, logo: sen L P EI        0 o que acontece quando L P EI  n  para valores de n = 0,1,2, 3... e portanto, P n EI L cr  2 2 2  (9.5) Para diversos valores de n, a coluna apresentaria a forma da elástica indicada a abaixo: Figura 9.2 Para n = 0 teríamos a solução trivial, o que fisicamente não nos interessa, já que implicaria em P nulo. Com o valor seguinte, n = 1 temos: P EI L cr  2 2 (9.6) dita carga crítica de Euler. Para diversas condições de apoio nas extremidades da coluna temos outros valores para a carga crítica, determinadas da mesma forma que na presente seção. Vejamos os exemplos mais comuns. Tabela V Vinculação Engaste e extremo livre Engaste e engaste Engaste e articulação Elástica Carga Crítica P EI L cr  2 2 4 P EI L cr  4 2 2  P EI L cr  2 2 2  Comprimento efetivo L L e  2 L L e  2 L L e  2 Para as condições de vinculação acima, podemos calcular a carga crítica diretamente através da fórmula de Euler, equação 9.6, substituindo L por Le (comprimento equivalente ou efetivo de flambagem). P EI L cr e  2 2 (9.7) Observações: 1) Uma coluna tende a flambar sempre com relação ao eixo de menor inércia da seção transversal. 2) A carga crítica não depende da resistência do material e sim das dimensões da seção transversal e do módulo de elasticidade. 9.3 - TENSÃO DE FLAMBAGEM – PROJETO DE COLUNAS Calculamos a tensão crítica de flambagem pela equação: fl Pcr  A (9.8) Lembrando que I = Imin e que r I A min min 2  a equação anterior pode ser escrita como:     fl e E L r  2 2 (9.9) Definindo o índice de esbeltez, ·, como a razão entre o comprimento efetivo e o raio de giração   L r e (9.10) a equação 9.9 toma a forma    fl E  2 2 (9.11) Podemos construir o gráfico da tensão de compressão na coluna versus o índice de esbeltez, que apresentamos abaixo: Figura 9.3 Dependendo do valor de , a flambagem pode ser elástica ou inelástica. Denominamos esbeltez limite ao valor de  correspondente à tensão limite de proporcionalidade (fl = p) Para valores de  acima deste limite a flambagem é elástica e podemos usar a fórmula de Euler. A peça tende a falhar por excessiva deformação lateral e a coluna é considerada longa, figura 9,3 (a) Para valores de  abaixo deste limite a flambagem é inelástica e não podemos aplicar a fórmula de Euler. Nesta faixa de valores, figura 9.3 (b), podemos distinguir duas regiões correspondentes a: Colunas curtas - a peça tende a ser esmagada sem apresentar flexão lateral Colunas intermediárias - a peça tende a ser esmagada apresentando flexão lateral. O processo de ruptura de colunas intermediárias é muito complexo para ser tratado neste curso introdutório. Os códigos de construção nos fornecem equações empíricas que representam a tensão de flambagem para colunas consideradas curtas ou intermediárias como veremos a seguir. PARA ESTRUTURAS METÁLICAS O Instituto Americano de Construções Metálicas (AISC) utiliza a curva peculiar de flambagem mostrada na figura abaixo: Curva de Flambagem (AISC) Esbeltez Limite => e lim 2E     Tensão Admissível => fl cr adm     Para 0 ≤  ≤ lim           2 lim 2 e cr 2 1 3 lim lim fl 8 1 8 3 3 5               Para lim ≤  ≤ 200 2 2 cr E     ,192 12 23 fl    PARA ESTRUTURAS DE MADEIRA O Instituto Americano de Construções em Madeira) (AITC) utiliza a curva peculiar de flambagem mostrada na figura abaixo, já incluído o coeficiente de segurança: Madeira (AITC) – (Tensão admissível) Seção Retangular Curtas 0<Le/d<11 c fl    Valor de K c 2 c E ,0 671 K K E 3,0 3 2      Médias 11<Le/d<K                   4 e c fl K /d L 3 1 1 Longas K<Le/d   2 e 2 2 cr fl /d L E 3,0 74 ,2 E ,2 74         Seção Qualquer Curtas 0<<38 c fl    Valor de K` c E ,2 324 K    Médias 38<<K`                     4 c fl 3 K 1 1 Longas K`<<173 2 2 fl 74 ,2 E      CAPÍTULO 10 10.1 - ENERGIA DE DEFORMAÇÃO Uma barra se deforma quando carregada estaticamente e, se o material obedece à lei de Hooke, o diagrama de carga-deformação é linear. Durante o carregamento, a força executa um trabalho que é convertido em energia potencial ou energia de deformação e armazenada na barra. Se a carga é retirada, esta retoma suas dimensões originais. Durante o descarregamento a energia armazenada pode ser recuperada na forma de trabalho. 10.2 - ESTADO SIMPLES DE TENSÃO Consideremos uma barra de seção constante na qual se aplica gradualmente uma carga axial , que vai aumentando de zero até seu valor final, atingindo assim seu deslocamento total externo . A todo momento, a força externa é equilibrada pelas forças internas. O trabalho realizado pela força externa é armazenado no sólido em forma de energia potencial elástica de deformação (Teorema de Clapeyron), e corresponde à área sob a curva P x . Figura 10.1 A energia de deformação será: U P d      0 (10.1) Pela equação 2.4         P L A E podemos escrever d dP L   A E   A expressão 10.1 se torna U P dP L A E P      0 ou U P L AE  1  2 2 (10.2) e mais simplesmente, U P    1 2  (10.3) que substituindo o valor retirado de 2.4 resulta U EA L   2 2 (10.4) A energia de deformação é uma quantidade escalar positiva e será sempre a soma aritmética das energias envolvidas num determinado sistema. No sistema internacional a energia (trabalho) de deformação vem dada em Joules (N.m) . 10.3 - CISALHAMENTO PURO Seja um cubo elementar submetido a forças de cisalhamento nas quatro faces. Usaremos o processo utilizado no caso da tração simples para calcular a energia de deformação acumulada no cubo. Figura 10.2 Por analogia com a expressão 10.3 temos: U V    1 2  (10.5) Lembrando que     L  G (fig. 3.2) e   V A (eq. 1.2) e substituindo na equação 10.5 temos U V L AG  1  2 2 (10.6) ou U GA L   2 2 (10.7) 10.4 - FLEXÃO PURA Na flexão pura a viga se deforma formando um arco de círculo de curvatura 1   M EI e o ângulo correspondente a este arco é   ML EI . A relação entre  e M é linear conforme a figura 10.3. Figura 10.3 A energia armazenada na viga vale U M    1 2  (10.8) Assim, substituindo o valor de  temos: U M L EI  2 2 (10.9) ou U EI L   2 2 (10.10) 10.5 - FLEXÃO SIMPLES No caso do momento variar ao longo da viga, consideramos um elemento de comprimento dx e integramos a expressão. Pela equação diferencial da linha elástica, d y dx M EI 2 2   d y dx dx M EI dx d 2 2     a energia dU armazenada no elemento é dU M dx EI  2 2 ou dU EI d y dx dx        2 2 2 2 e a energia total acumulada na viga é, integrando por todo seu comprimento, U M EI dx L   2 0 2 (10.11) ou U EI d y dx dx L         2 2 2 2 0 (10.12) Observações: 1) M representa a equação de momentos fletores; 2) Se a equação de momentos não for contínua ao longo da viga, integraremos cada trecho contínuo e depois superpomos os efeitos. 3) O mesmo será feito quando a inércia da peça é variável I(x). 4) A funções de singularidade também podem ser utilizadas. 5) Na flexão simples temos a ocorrência do esforço cortante que tende igualmente a armazenar energia de deformação na viga. Na maioria dos casos, esta energia é desprezível em comparação à de flexão, e não trataremos, aqui, deste caso. 10.6 - TORÇÃO Seja uma barra submetida a um torque como indicado. Usaremos o processo utilizado no caso da tração simples para calcular a energia de deformação acumulada na barra. Figura 10.4 Por analogia com a expressão 10.3 temos: U T    1 2  (10.13) Lembrando que   TL JG e substituindo na equação 10.13 temos U T L JG  1  2 2 (10.14) ou U GJ L  2 2 (10.15) 10.7 - ENERGIA ESPECÍFICA DE DEFORMAÇÃO As expressões da energia de deformação estudadas dependem das dimensões das barras. Para que esta grandeza represente apenas as características do material, definimos u, trabalho específico de deformação, ou energia específica de deformação como: V u  U No caso do estado simples de tensão, u P L AE AL E    1 2 1 1 2 2 2  (10.16) ou mais simplesmente, u E E        1 2 1 2 1 2 2    (10.17) A energia específica de deformação tem grande importância na caracterização de algumas propriedades dos materiais, tais como os módulos de resiliência e tenacidade. - Módulo de resiliência: energia que o corpo armazena, por unidade de volume, até o limite de proporcionalidade (região elástica). - Módulo de tenacidade: energia que o corpo armazena, por unidade de volume, até o limite de rutura. Módulo de resiliência Módulo de tenacidade ou de dureza Figura 10.5 No sistema internacional a energia específica de deformação vem dada em N.m/m3 ou J/m3 (Joules por metro cúbico) 10.8 - ESTADO TRIPLO DE TENSÕES Para um sistema de tensões principais triaxial, podemos generalizar a equação 10.17 para a determinação da energia específica de deformação: u x x y y z z    1 2 1 2 1 2       (10.18) Substituindo os valores de x, y e z constantes da equação 3.9, resulta:     u E x y z x y y z z x       1 2 2 2 2 2           (10.19) 10.9 - ESTADO TRIPLO DE CISALHAMENTO PURO Para um estado triplo de cisalhamento puro, com u  1   2   , temos: u xy xy yz yz zx zx    1 2 1 2 1 2       (10.20) ou substituindo os valores de  constante da equação 3.9, vem   u G xy yz zx    1 2 2 2 2    (10.21) 10.10 - ESTADO GERAL DE TENSÕES Para um estado geral de tensões, em que x, y e z não são tensões principais, a energia específica de deformação total será a superposição dos efeitos indicados nas equações 10.18 e 10.20   u x x y y z z xy xy yz yz zx zx       1 2             (10.22) ou pelas equações 10.19 e 10.21       u E G x y z x y y z z x xy yz zx          1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2              (10.23) ANEXO A PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE PERFIS ESTRUTURAIS Seções de abas largas ou perfis em W Área Altura Espessura Aba eixo z-z eixo y-y Descrição A d talma baba lenta largura espessura l W r W r mm² kg/m mm mm mm mm 10⁶ mm⁴ 10³ mm³ mm 10⁶ mm⁴ 10³ mm³ mm W410 x 85 11.800 417 10,90 181,0 18,2 315 1.510 171 181,0 199 40,8 W410 x 74 9.510 413 9,65 180,0 16,0 275 1.330 170 15,6 173 40,5 W410 x 67 8.560 410 8,76 179,0 14,4 245 1.200 169 13,8 154 40,2 W410 x 53 6.820 403 7,49 177,0 10,9 186 923 165 10,1 114 38,5 W410 x 46 5.890 403 6,99 140,0 11,2 156 774 163 5,14 73,4 29,5 W410 x 39 4.960 399 6,35 140,0 8,8 126 632 159 4,02 57,4 28,5 W360 x 79 10.100 354 9,40 205,0 16,8 227 1.280 150 24,2 236 48,9 W360 x 64 8.150 347 7,75 203,0 13,5 179 1.030 148 18,8 185 38,5 W360 x 57 7.200 358 7,87 172,0 13,1 160 894 149 11,1 129 39,3 W360 x 51 6.450 355 7,24 171,0 11,6 141 794 148 9,68 113 38,8 W360 x 45 5.710 352 6,86 171,0 9,8 121 688 146 8,16 95,4 37,8 W360 x 39 4.960 353 6,48 128,0 10,7 102 578 143 3,75 58,6 27,5 W360 x 33 4.190 349 5,84 127,0 8,5 82,9 475 141 2,91 45,8 26,4 W310 x 129 16.500 318 13,10 308,0 20,6 308 1.940 137 100 649 77,8 W310 x 74 9.480 310 9,40 205,0 16,3 165 1.060 132 23,4 228 49,7 W310 x 67 8.530 306 8,51 204,0 14,6 145 948 130 20,7 203 49,3 W310 x 39 4.930 310 5,84 165,0 9,7 84,8 547 131 7,23 87,6 38,3 W310 x 33 4.180 313 5,60 102,0 10,8 65,0 415 125 1,92 37,6 21,4 W310 x 24 3.040 305 5,59 101,0 6,7 42,8 281 119 1,16 23,0 19,5 W310 x 21 2.680 303 5,08 101,0 5,7 37,0 244 117 0,986 19,5 19,2 W250 x 149 19.000 282 17,30 263,0 28,4 259 1.840 117 86,2 656 67,4 W250 x 80 10.200 256 9,40 255,0 15,6 126 984 111 41,3 335 65,0 W250 x 67 8.560 257 8,89 204,0 15,7 104 809 110 22,2 218 50,9 W250 x 58 7.400 252 8,20 203,0 13,5 87,3 693 109 19,8 185 50,4 W250 x 45 5.700 266 7,62 148,0 13,0 71,1 535 112 7,03 95 35,1 W250 x 28 3.620 260 6,35 102,0 10,0 39,0 307 105 1,78 34,9 32,7 W250 x 22 2.850 254 5,84 102,0 6,9 28,8 227 101 1,22 23,9 20,7 W250 x 18 2.280 251 4,83 101,0 5,3 22,5 179 99,3 0,919 18,2 20,1 W200 x 100 12.700 229 14,50 210,0 23,7 113 987 94,3 36,6 349 53,7 W200 x 86 11.000 222 13,00 209,0 20,6 94,7 853 92,8 31,4 300 53,4 W200 x 71 9.100 216 10,20 206,0 17,4 76,6 709 91,7 25,4 247 52,8 W200 x 59 7.580 210 9,14 205,0 14,2 61,2 583 89,9 20,4 199 51,9 W200 x 46 5.890 203 7,24 203,0 11,0 45,5 448 87,9 15,3 151 51,0 W200 x 36 4.570 201 6,22 165,0 10,2 34,4 342 86,8 7,64 92,6 40,9 W200 x 22 2.860 206 6,22 102,0 8,0 20,0 194 83,6 1,42 27,8 22,3 W150 x 37 4.730 162 8,13 154,0 11,6 22,2 274 68,5 7,07 91,8 38,7 W150 x 30 3.790 157 6,60 153,0 9,3 17,1 218 67,2 5,54 72,4 38,2 W150 x 22 2.860 152 5,84 152,0 6,6 12,1 159 65,0 3,87 50,9 36,8 W150 x 24 3.060 160 6,60 102,0 10,3 13,4 168 66,2 1,83 35,9 24,5 W150 x 18 2.290 153 5,84 102,0 7,1 9,19 120 63,3 1,26 24,7 23,5 W150 x 14 1.730 150 4,32 100,0 5,5 6,84 91,2 62,9 0,912 18,2 23,0 z d y talma z taba y baba ANEXO B CONCRETO ARMADO FÓRMULAS AUXILIARES Forças Resultantes e Braço de Alavanca A resultante das forças de compressão no concreto, corresponde ao volume do prisma de tensões sendo determinada por:  kd b 2 1 C c     (1) Esta força está posicionada no terço superior do triângulo de tensões, o que conduz ao cálculo do braço de alavanca 3 kd d jd   (2) A resultante das forças de tração na armadura é determinada pela expressão: s As T    (3) MOMENTO ADMISSÍVEL O momento admissível – o maior momento que pode ser aplicado à viga com a segurança especificada, será calculado fazendo com que: c c    e s s    Através das forças resultantes e braço de alavanca temos: O momento máximo para a seção em função da tensão admissível do concreto será calculado por:      jd kd b 2 1 jd C M c c        (4) O momento máximo para a seção em função da tensão admissível do aço será calculado por:    jd A jd T M s s s       (5) Obviamente o máximo valor do momento para a viga será aquele que satisfizer simultaneamente as expressões (4) e (5) ou o menor dos valores calculados nas expressões (10) e (11). Observação: As fórmulas (4) e (5) agora podem ser escritas de forma mais simples como:    jd kd b M 2 c      (6)  jd A M s s    (7) DIMENSIONAMENTO No dimensionamento das seções em concreto armado desejamos determinar as dimensões da seção e a área necessária da armadura, conhecidos o momento solicitante, as tensões admissíveis dos materiais e a razão modular. Utilizamos o princípio da seção balanceada, ou seja, procuramos dimensionar a seção de modo que ambos os materiais atinjam simultaneamente suas tensões admissíveis, o que leva a um projeto de máxima economia. Seja o diagrama de tensões na seção homogeneizada indicado abaixo. Dos triângulos semelhantes ABC e ADE temos a relação: c s c n d kd      (8) Simplificando a expressão (10) podemos explicitar o valor de k, c s c n k      (9) que indicará a fração de d onde se localiza a linha neutra. Considerando j também como uma fração de d, podemos modificar a expressão (6) para 3 k 1 j   (10) Substituindo os valores de k e j na equação (10) e reorganizando os termos, explicitamos o valor de bd2 c z 2 j k 2 M bd     (11) Por tentativas podemos determinar os valores de b e d na equação anterior. Quanto maior for a altura útil d da viga maior será o braço de alavanca e menores as forças C e T , bem como a largura b. SINGER sugere uma altura útil entre 1,5b a 2b e afirma que para a maioria das vigas retangulares k  3/8 e j  7/8 A norma brasileira para concreto armado exige que, para uma viga com altura a partir de 60 cm, seja usada uma armadura de pele, cuja determinação será vista em disciplinas posteriores. Determinados os valores de b e d, passamos a calcular a área de aço necessária, adaptando a expressão (7), jd M A s s    (12) Para auxiliar na determinação do número de barras em bitola comercial, podemos utilizar a tabela abaixo: Estribos Armadura longitudinal  (mm) 5.0 6.3 7.0 8.0 10.0 12.5 16 20 22.2 25 (Pol) 3/16 1/4 5/16 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1 mm2 19,6 31,2 38,5 50,3 78,5 122,7 201,1 314,2 387,1 490,9 MOMENTO DE INÉRCIA – SEÇÕES RETANGULARES Vejamos outra maneira de determinar o momento de inércia para seções retangulares. Igualando as equações (5.19)     I kd d M n z s     e (7)  jd A M s s    temos:      jd A M I kd d M n s z z     Dividindo ambos os membros por Mz e explicitando o valor de I, temos:      jd kd d n A I s      (13) Ora, os três primeiros fatores do segundo membro representam o momento estático da parte não fissurada da seção com relação ao eixo neutro (Vide equação (1)      kd  nA d kd b s   2 2 ). Assim, ) ( 2 ) ( 2 jd I  b kd (14) Considerando k e j como fração de d, temos finalmente que: 3 2 2 1 d j k b I      (15) TENSÃO DE CISALHAMENTO E ADERÊNCIA a) Tensão no nível da L.N. b jd kd b b kd V t I Q V R H H LN      ) ( 2 ) ( 2 ) .( . 2 2  que, simplificada, fica: b jd V LN   ) (  (16) b) Tensão de aderência           0            jd kd d A n kd n A d V t I Q V s s R H H a onde 0 representa a soma dos perímetros das barras de aço, e que, simplificada, fica:    0  jd V  a (17) ANEXO C Propriedades de Áreas ANEXO D CONFIGURAÇÕES BÁSICAS DE VIGAS - LINHAS DE ESTADO 89 ANEXO E - LINHA ELÁSTICA DE VIGAS ANEXO F Propriedades Mecânicas de Alguns Materiais de Engenharia * (Unidades no SI) Material Massa Específica Mg/m3 Limite de Resistência MPa Resistência ao Escoamento++ MPa Módulo de Elasticidade GPa Módulo de Elasticidade ao Cisalhamento GPa Coeficiente de Dilatação Térmica 10-6/°C Ductilidade Alongamento Percentual em 50 mm Tração Compr.+ Cisalham. Tração Cisalham. Aço Estrutural, ASTM-A36 7,86 400 250 145 200 79 11,7 30 Alta resistência, ASTM-A242 7,86 480 345 210 200 79 11,7 21 Inoxidável (302), laminado a frio 7,92 860 520 190 73 17,3 12 Ferro fundido Cinzento, ASTM A-48 7,2 170 650 240 70 28 12,1 0,5 Maleável, ASTM A-47 7,3 340 620 330 230 165 64 12,1 10 Alumínio Liga 2014-T6 2,8 480 290 410 220 72 28 23 13 Liga 6061-T6 2,71 300 185 260 140 70 26 23,6 17 Liga 7075-T6 2,80 570 330 500 72 28 23,6 11 Latão, amarelo Laminado a frio 8,47 540 300 435 250 105 39 20 8 Recozido 8,47 330 220 105 65 105 39 20 60 Cobre Recozido 8,91 220 150 70 120 44 16,9 4,5 Estirado a frio 8,91 390 200 265 120 44 16,9 4 Bronze, laminado a frio (510) 8,86 560 520 275 110 41 17,8 10 Magnésio 1,8 140-340 165 80-280 45 17 27 2-20 Liga AZ80 1,8 345 160 250 45 16 25,2 6 Liga AZ31 1,77 255 130 200 45 16 25,2 12 Concreto Média resistência 2,32 28 24 10 Alta resistência 2,32 40 30 10 Madeira selecionada§ (seca a ar) Abeto (Douglas fir) 0,54 55 7,6 12 4 Pinheiro (Southern pine) 0,58 60 10 11 4 Vidro, 98% de sílica 2,19 50 65 28 80 Borracha 0,91 14 162 600 Vinil, PVC rígido 1,44 40 70 45 3,1 135 40 *As propriedades podem variar significativamente com modificações na composição, tratamentos térmicos e processos de fabricação. +Para metais dúcteis as resistências à compressão e à tração são admitidas como idênticas. ++Deformação permanente de 0,2% §Carregada paralelamente à fibra. Fonte: Mecânica dos Materiais, A. C. Ugural BIBLIOGRAFIA 1 - BEER, F.P. & JONHSTON, E.R. JR - Resistência dos Materiais. Makron Books, 3ª ed, São Paulo, 1995. 2 - FERDINAND P. BEER, E. RUSSEL JOHNSTON, JR., JOHN T. DEWOLF & DAVID F. MAZUREK-Mecânica dos Materiais. Mc Graw Hill Brasil, 5ª ed, 2011. 3 - HIBBELER, R, C, - Resistência dos Materiais, Pearson Prentice Hall, São Paulo, 7ª ed., 2010. 4 - GRAIG, R, R, Jr - Mecânica dos Materiais, LTC Editora, Rio de Janeiro, 2ª ed.,2003. 5 - GERE, J.M. Mecânica dos Materiais. Editora Pioneira Thomson Learning, São Paulo, 2003. 6 - RILEY, WILLIAM F., - Mecânica dos Materiais, LTC Editora, Rio de Janeiro, 5ª ed., 2003. 7 - UGURAL, A.C. - Mecânica dos Materiais. LTC- Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. Rio de Janeiro, 1ª ed, 2009. 8 -HIGDON, A e outros - Mecânica dos Materiais. Ed. Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 3ª ed, 1981. 9 - NASH, W.A. - Resistência dos Materiais. McGraw-Hill do Brasil, Coleção Schaum, 3. ed. São Paulo, 1990. 10 - TIMOSHENKO, S.P. & GERE, J.E. - Mecânica dos Sólidos, 2 v. Livros Técnicos e Científicos, Rio de Janeiro, 1982. 11 - POPOV, E. P. - Resistência dos Materiais. Prentice-Hall do Brasil, Rio de Janeiro, 1978. 12 - MIROLIÚBOV, I e outros - Problemas de Resistencia de Materiales, Editorial Mir, Moscou, 1978. 13 - SCHIEL, F. - Introdução à Resistência dos Materiais. Harper & Row do Brasil, São Paulo, 1984. 14 - SHAMES, I.H. - Introdução à Mecânica dos Sólidos. Prentice-Hall do Brasil, Rio de Janeiro, 1983. 15 - SINGER, F.L. - Resistencia de Materiales. Ediciones del Castillo , Madrid, 1971.