SEXTOTESTEINDEXAÇÃO pdf

CAPITULO V – ESTIMAÇÃO Métodos de Estimação Análise Estatística I UERJ-IME-Deptº.V Profª Fernanda S Costa 1 Na primeira parte deste capítulo vimos como verificar se uma estatística é um bom estimador para um determinado parâmetro, através das propriedades desejáveis para um bom estimador. Na segunda parte do capítulo Estimação veremos alguns Métodos de Estimação. CAPITULO V – ESTIMAÇÃO Métodos de Estimação Método da Máxima Verossimilhança Análise Estatística I UERJ-IME-Deptº.V Profª Fernanda S Costa 2 Este método faz uso da função de Verossimilhança Amostral, L(*| x1, x2, ..., xn), que representa a probabilidade de ocorrer * dado (conhecida) uma amostra x1, x2, ..., xn. Suponhamos que estamos interessados no parâmetro  da distribuição de probabilidades de X. Então, podemos escrever a distribuição conjunta de uma amostra aleatória x1, x2, ..., xn da forma: fX1,X2,..., Xn(x1, x2, ..., xn |θ) = f(x1|θ) . f(x2 |θ) . f(x3 |θ) ... f(xn |θ) (1) Essa é a distribuição conjunta de X conhecido o parâmetro θ, que fornece a probabilidade de ocorrer x1, x2, ..., xn. Se dispormos de uma amostra x1, x2, ..., xn, porém não conhecemos o parâmetro , podemos considerar a função (1) como uma função de θ* e não de x1, x2, ..., xn, tal que: CAPITULO V – ESTIMAÇÃO Métodos de Estimação Método da Máxima Verossimilhança Análise Estatística I UERJ-IME-Deptº.V Profª Fernanda S Costa 3 Denominada Função de Verossimilhança Amostral. O estimador de Máxima Verossimilhança do parâmetro  é o * que torna máxima a função verossimilhança L(* | x). Isto é, o estimador de máxima verossimilhança é o mais provável de ocorrer, dado a amostra x1, x2, ...xn, já que L representa a probabilidade de * dado a amostra x1, x2, ...xn. Para obter o estimador de máxima verossimilhança para um parâmetro, precisamos utilizar alguma técnica de maximização da função L(*|x1, x2, ...xn). CAPITULO V – ESTIMAÇÃO Métodos de Estimação Método da Máxima Verossimilhança Análise Estatística I UERJ-IME-Deptº.V Profª Fernanda S Costa 4 A princípio, qualquer técnica de maximização é possível, entretanto, adota-se aplicar, inicialmente, o logaritmo na função L( *| x1, x2, ...xn) e, a seguir, derivar e igualar a zero a função resultante. A solução desta equação é o estimador * do parâmetro , obtido pelo método da Máxima Verossimilhança. CAPITULO V – ESTIMAÇÃO Métodos de Estimação Método da Máxima Verossimilhança Análise Estatística I UERJ-IME-Deptº.V Profª Fernanda S Costa 5 Assim, CAPITULO V – ESTIMAÇÃO Métodos de Estimação Método da Máxima Verossimilhança Análise Estatística I UERJ-IME-Deptº.V Profª Fernanda S Costa 6   0 1 / ( log        n i xi f A resolução da equação acima fornece o Estimador de Máxima Verossimilhança do parâmetro θ. CAPITULO V – ESTIMAÇÃO Métodos de Estimação Método da Máxima Verossimilhança Análise Estatística I UERJ-IME-Deptº.V Profª Fernanda S Costa 7 CAPITULO V – ESTIMAÇÃO Métodos de Estimação Método da Máxima Verossimilhança Análise Estatística I UERJ-IME-Deptº.V Profª Fernanda S Costa 8  CAPITULO V – ESTIMAÇÃO Métodos de Estimação Método da Máxima Verossimilhança Análise Estatística I UERJ-IME-Deptº.V Profª Fernanda S Costa 9 A resolução desse sistema de k equações fornece os Estimadores de Máxima Verossimilhança dos parâmetros θ1,..., θk. Propriedades Assintóticas dos Estimadores de Máxima Verossimilhança: CAPITULO V – ESTIMAÇÃO Métodos de Estimação Método da Máxima Verossimilhança Análise Estatística I UERJ-IME-Deptº.V Profª Fernanda S Costa 10 CAPITULO V – ESTIMAÇÃO Métodos de Estimação Método da Máxima Verossimilhança Análise Estatística I UERJ-IME-Deptº.V Profª Fernanda S Costa 11 Exemplos: 1. Determinar o estimador de Máxima Verossimilhança do parâmetro  do modelo exponencial. CAPITULO V – ESTIMAÇÃO Métodos de Estimação Método da Máxima Verossimilhança Análise Estatística I UERJ-IME-Deptº.V Profª Fernanda S Costa 12 2. Determinar os estimadores de Máxima Verossimilhança dos parâmetros  e 2 do modelo normal. CAPITULO V – ESTIMAÇÃO Métodos de Estimação Método da Máxima Verossimilhança Análise Estatística I UERJ-IME-Deptº.V Profª Fernanda S Costa 13 2. Determinar os estimadores de Máxima Verossimilhança dos parâmetros  e 2 do modelo normal. Continuação. CAPITULO V – ESTIMAÇÃO Métodos de Estimação Método dos Momentos Análise Estatística I UERJ-IME-Deptº.V Profª Fernanda S Costa 14 na determinação dos estimadores dos parâmetros de um CAPITULO V — ESTIMACAO fee Métodos de Estimagao ‘enteat Método dos Momentos | HU; = E[X"] = 9(9;,...; 8x) E|X"| = [ x.F00. dx Variavel aleatoria continua E[x"|= ». P(X = x)X" Variavel aleatoria discreta Alguns momentos: Ho= 1 [y= E[X] Ho= E[X?] Analise Estatistica | UERJ-IME-Dept?. V Prof? Fernanda S Costa 15 CAPITULO V – ESTIMAÇÃO Métodos de Estimação Método dos Momentos Análise Estatística I UERJ-IME-Deptº.V Profª Fernanda S Costa 16 CAPITULO V – ESTIMAÇÃO Métodos de Estimação Método dos Momentos Análise Estatística I UERJ-IME-Deptº.V Profª Fernanda S Costa 17 CAPITULO V — ESTIMACAO fee Métodos de Estimagao ‘enteat Método dos Momentos | we, = E[(X-E(X))"] = 0(6;,..., 0.) r=2.... E[(X — E(X))"] = | (X — EEX)". f).dx Variavel aleatoria continua E[X"] = » P(X = x) (X — E[X])" Variavel aleatdria discreta Alguns momentos: [o= 1 W4=0 w’9= E[(X-E(X))?]=Var(X)=07 Analise Estatistica | UERJ-IME-Dept?. V Prof? Fernanda S Costa 18 CAPITULO V – ESTIMAÇÃO Métodos de Estimação Método dos Momentos Análise Estatística I UERJ-IME-Deptº.V Profª Fernanda S Costa 19 É possível combinar equações considerando os momentos µr e µ´r A escolha dos momentos que irão compor o sistema de equações é livre, entretanto, deve-se considerar aquelas que levarão o sistema mais simples. Os momentos selecionados para a estimação dos parâmetros serão preservados quando da utilização dos estimadores obtidos. Exemplos: 1. Seja x1, x2, ...xn uma amostra aleatória obtida da fdp Normal com média  e variância 2. Determinar os estimadores dos parâmetros  e 2 pelo Método dos Momentos. 2. Seja x1, x2, ...xn uma amostra aleatória obtida da fdp Poisson com parâmetro . Determinar o estimador do parâmetro  pelo Método dos Momentos. 3. Seja x1, x2, ...xn uma amostra aleatória obtida da fdp Exponencial, cujo parâmetro é . Estimar  pelo Método dos Momentos. CAPITULO V – ESTIMAÇÃO Métodos de Estimação Método dos Momentos Análise Estatística I UERJ-IME-Deptº.V Profª Fernanda S Costa 20 1. Seja x1, x2, ...xn uma amostra aleatória obtida da fdp Normal com média  e variância 2. Determinar os estimadores dos parâmetros  e 2 pelo Método dos Momentos. CAPITULO V – ESTIMAÇÃO Métodos de Estimação Método dos Momentos Análise Estatística I UERJ-IME-Deptº.V Profª Fernanda S Costa 21 2. Seja x1, x2, ...xn uma amostra aleatória obtida da fdp Poisson com parâmetro . Determinar o estimador do parâmetro  pelo Método dos Momentos. CAPITULO V – ESTIMAÇÃO Métodos de Estimação Método dos Momentos Análise Estatística I UERJ-IME-Deptº.V Profª Fernanda S Costa 22 3. Seja x1, x2, ...xn uma amostra aleatória obtida da fdp Exponencial, cujo parâmetro é . Estimar  pelo Método dos Momentos. =