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Prof. João Carlos Vilela joaocarlosvilela@gmail.com / jcvilela@em.ufop.br ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE LIAPUNOV  A análise de estabilidade de Liapunov se mostra importante em sistemas descritos por espaço de estados.  Existem 2 métodos de Liapunov para análise de estabilidade: 1. Primeiro método: Consiste em procedimentos nos quais as soluções na forma explícita das equações diferenciais (ou diferenças) são usadas para análise. 2. Segundo método: não requer as soluções das equações diferenciais (ou diferenças).  O segundo método se mostra mais simples e mais útil na prática.  O objetivo desta aula é ver a aplicação do 2º método de Lyapunov para análise de estabilidade de sistemas discretos lineares invariantes no tempo (LIT). ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE LIAPUNOV  Porém o 2º método de Liapunov é mais geral, e pode ser aplicado a sistemas não-lineares e invariantes no tempo.  Como já vimos, existem outros métodos para análise de estabilidade, como critério de Jury, critério de Routh-Hurwitz, dentre outros. Estes métodos são Limitados a sistemas LIT (lineares e invariantes no tempo).  O 2º método de Liapunov é mais geral e não se limita a somente sistemas LIT.  O segundo método de Liapunov também é chamado de método direto de Liapunov. O SEGUNDO MÉTODO DE LIAPUNOV  O segundo método é baseado no fato que, da mecânica clássica, um sistema vibratório é estável se sua energia total decresce continuamente até que um ponto de equilíbrio é alcançado.  Logo, se o sistema tem um estado de equilíbrio assintoticamente estável então a energia guardada do sistema disposto no domínio de atração decai com o aumento do tempo até que assume seu valor mínimo no estado de equilíbrio.  Para sistemas matemáticos não se tem uma maneira simples de definir uma “função de energia”.  Liapunov introduz o conceito de função de Liapunov, uma função de energia fictícia.  Qualquer função escalar que satisfaça as hipóteses dos teoremas de estabilidade de Liapunov, que veremos adiante, serve como uma função de Liapunov. O SEGUNDO MÉTODO DE LIAPUNOV DEFINIÇÕES INICIAIS  Antes de discutir a função de Liapunov, devemos saber alguns conceitos:  Funções escalares positiva definidas: Uma função escalar 𝑉(𝐱) é dita ser positiva definida na região 𝛺 (que inclui a origem do espaço de estado) se 𝑉 𝐱 > 0 para quaisquer estados não nulos 𝐱 na região 𝛺 e se 𝑉 𝟎 = 0.  Uma função variante no tempo 𝑉(𝐱, 𝑡) é dita ser positivo definida em uma região 𝛺 (que inclui a origem do espaço de estado) se 𝑉(𝐱,𝑡) é limitada por baixo por uma função definida positiva invariante no tempo, ou seja, se existe uma função definida positiva tal que: 𝑉 𝐱, 𝑡 > 𝑉 𝐱 , para todo 𝑡 ≥ 𝑡0 𝑉 𝟎, 𝑡 = 0, para todo 𝑡 ≥ 0 O SEGUNDO MÉTODO DE LIAPUNOV DEFINIÇÕES INICIAIS  Funções escalares negativa definidas: Uma função escalar é dita negativa definida se −𝑉 𝐱 é positiva definida.  Funções escalares positiva semidefinidas: Uma função escalar 𝑉(𝐱) é positiva semidefinida se ela é positiva para todos os estados na região Ω, exceto na origem e alguns outros estados, onde ela é zero.  Funções escalares indefinidas: Uma função escalar 𝑉(𝐱) é indefinida se na região 𝛺 assume valores tanto positivos quanto negativos, não importando quão pequena a região. O SEGUNDO MÉTODO DE LIAPUNOV DEFINIÇÕES INICIAIS  Exemplos de funções escalares definidas: Definição Função Positiva definida 𝑉 𝐱 = 𝑥1 2 + 𝑥2 2 Positiva definida 𝑉 𝐱 = 𝑥1 2 + 𝑥2 2 1+𝑥2 2 Positiva semidefinida 𝑉 𝐱 = 𝑥1 + 𝑥2 2 Negativa definida 𝑉 𝐱 = −𝑥1 2 − 𝑥1 + 𝑥2 2 Indefinida 𝑉 𝐱 = 𝑥1𝑥2 + 𝑥2 2 O SEGUNDO MÉTODO DE LIAPUNOV FUNÇÕES DE LIAPUNOV  A função de Liapunov é uma função escalar definida positiva contínua, com suas derivadas parciais primeiras (com respeito a seus argumentos) na região Ω ao redor da origem contínuas e que tem derivada temporal que, quando tomada ao longo da trajetória, é negativa definida (ou negativa semidefinida em alguns casos).  Denotaremos as funções de Liapunov por 𝑉(𝐱, 𝑡) (ou 𝑉(𝐱) quando não inclui 𝑡 explicitamente).  Não é única para um dado sistema.  A função positiva definida mais simples é a forma quadrática: 𝑉 𝑥 = 𝑞𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗 𝑛 𝑗=1 𝑛 𝑖=1 , 𝑖, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛  Funções de Liapunov podem não ser da forma quadrática acima. O SEGUNDO MÉTODO DE LIAPUNOV FUNÇÕES DE LIAPUNOV - DEFINIÇÕES  SISTEMA  Consideraremos o sistema definido por 𝐱 = 𝐟(𝐱, 𝑡)  𝐱 é o vetor de estado e 𝐟(𝐱, 𝑡) é um vetor de funções de 𝑥1, … , 𝑥𝑛 e 𝑡.  Note que o sistema considerado é contínuo no tempo, mas pode ser estendido para o caso discreto no tempo, como será feito mais adiante.  Assumimos que o sistema tem uma solução única começando em um condição inicial dada.  A solução é denotada por 𝐱 𝑡 = 𝝓 𝑡; 𝐱0,𝑡0 O SEGUNDO MÉTODO DE LIAPUNOV FUNÇÕES DE LIAPUNOV - DEFINIÇÕES  ESTADO DE EQUILÍBRIO  Para o sistema considerado, um estado 𝐱𝑒, onde 𝐟 𝐱𝑒,𝑡 = 𝟎 para todo 𝑡 é chamado de estado de equilíbrio do sistema.  Para um sistema LIT, se 𝐀 é não singular, existe apenas um estado de equilíbrio.  Se A é singular existem infinitos estados de equilíbrio.  Para sistemas não-lineares podem existir vários estados de equilíbrio.  A determinação do estado de equilíbrio não envolve a solução da eq. de estado. O SEGUNDO MÉTODO DE LIAPUNOV TEOREMA DE LIAPUNOV NA ESTABILIDAE ASSINTÓTICA  Suponha o sistema descrito por 𝐱 = 𝐟(𝐱, 𝑡) onde 𝐟 𝟎, 𝑡 = 𝟎, para todo 𝑡.  Se existe uma função escalar 𝑉(𝐱, 𝑡) tendo derivadas parciais primeiras contínuas e satisfazendo as condições: 1. 𝑉(𝐱,𝑡) é positiva definida; 2. 𝑉 (𝐱,𝑡) é negativa definida.  Então o estado de equilíbrio na origem é uniformemente assintoticamente estável.  Se ainda 𝑉 𝐱, 𝑡 → ∞ quando 𝐱 → ∞, então o estado de equilíbrio na origem é assintoticamente estável globalmente. EXEMPLOS EXEMPLOS EXEMPLOS Análise de estabilidade de Liapunov de sistemas LIT contínuos O SEGUNDO MÉTODO DE LIAPUNOV ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE LIAPUNOV DE SISTEMAS LIT CONTÍNUOS  Considere o seguinte sistema linear invariante no tempo (LIT): 𝐱 = 𝐀𝐱  Escolhendo uma possível função de Liapunov como: 𝑉 𝐱 = 𝐱∗𝐏𝐱  Onde 𝐏 é uma matriz positiva definida Hermitiana.  A derivada temporal de 𝐏 ao longo da trajetória é: O SEGUNDO MÉTODO DE LIAPUNOV ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE LIAPUNOV DE SISTEMAS LIT CONTÍNUOS  Desde que 𝑉(𝐱) foi escolhida sendo positiva definida, para estabilidade assintótica 𝑉 (𝐱) deve ser negativa definida, ou seja Sendo Portanto, para estabilidade assintótica do sistema em questão, é suficiente que 𝐐 seja positiva definida. O SEGUNDO MÉTODO DE LIAPUNOV ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE LIAPUNOV DE SISTEMAS LIT CONTÍNUOS  TEOREMA  Considere o sistema linear descrito por  Uma condição necessária e suficiente para que o estado de equilíbrio 𝐱 = 𝟎 seja assintoticamente estável globalmente é que, dada uma matriz Hermitiana positiva definida 𝐐, existe uma matriz Hermitiana positiva definida 𝐏 tal que  A função escalar 𝐱∗𝐏𝐱 é a função de Liapunov do sistema.  Note que para o sistema linear considerado, se o estado de equilíbrio é assintoticamente estável, então é assintoticamente estável globalmente. EXEMPLOS EXEMPLOS EXEMPLOS Análise de estabilidade de Liapunov para sistemas discretos no tempo ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE LIAPUNOV PARA SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO  A análise de estabilidade para um sistema discreto no tempo qualquer (não linear o linear) pelo 2º método de Liapunov pode ser feita de maneira semelhante ao caso contínuo, bastando trocar 𝑉 (𝐱) pela diferença em avanço 𝑉 𝐱 𝑘 + 1 𝑇 − 𝑉 𝐱 𝑘𝑇 , ou Δ𝑉 𝐱 𝑘𝑇 = 𝑉 𝐱 𝑘 + 1 𝑇 − 𝑉 𝐱 𝑘𝑇 TEOREMA  Considere o sistema discreto 𝑥 𝑘 + 1 𝑇 = 𝐟(𝐱 𝑘𝑇 ) Onde 𝐱 → vetor de dimensão 𝑛 𝐟 𝐱 → vetor de dimensão 𝑛 tal que 𝐟 𝟎 = 𝟎 𝑇 → período de amostragem ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE LIAPUNOV PARA SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO ... TEOREMA (continuação)  Supondo que existe uma função escalar 𝑉(𝐱) contínua em 𝐱 tal que 1. 𝑉 𝐱 > 0 para 𝐱 ≠ 𝟎 2. 𝛥𝑉 𝐱 < 0 para 𝐱 ≠ 𝟎, 3. 𝑉 𝟎 = 0 4. 𝑉 𝐱 → ∞ quando 𝐱 → ∞  Então o estado de equilíbrio 𝐱 = 𝟎 é assintoticamente estável globalmente e 𝑉(𝐱) é uma função de Liapunov. ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE LIAPUNOV PARA SISTEMAS LIT DISCRETOS NO TEMPO  Considere o sistema LIT discreto no tempo 𝐱 𝑘 + 1 = 𝐆𝐱(𝑘) sendo 𝐱 um vetor 𝑛 × 1 e 𝐆 uma matriz 𝑛 × 𝑛 constante.  A origem 𝐱 = 𝟎 é o estado de equilíbrio  Escolhendo a possível função de Liapunov: sendo 𝐏 uma matriz Hermitiana positiva definida (ou uma matriz simétrica real positiva definida) ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE LIAPUNOV PARA SISTEMAS LIT DISCRETOS NO TEMPO  Logo  Como 𝑉 𝐱 𝑘 é escolhida como positiva definida, para estabilidade assintótica deve-se ter que Δ𝑉 𝐱 𝑘 seja negativa semidefinida. ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE LIAPUNOV PARA SISTEMAS LIT DISCRETOS NO TEMPO  Com isso onde 𝐐 = − 𝐆∗𝐏𝐆 − 𝐏 = definida positiva Assim, para a estabilidade assintótica do sistema LIT discreto no tempo é suficiente que 𝐐 seja positiva definida.  É conveniente especificar primeiro uma matriz Hermitiana positiva definida 𝐐 e então checar se a matriz 𝐏 determinada de é positiva definida. Uma matriz 𝐏 positiva definida é uma condição necessária e suficiente para a estabilidade assintótica. ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE LIAPUNOV PARA SISTEMAS LIT DISCRETOS NO TEMPO  Resumo:  Seja o sistema discreto  Uma condição necessária e suficiente para o estado de equilíbrio 𝐱 = 𝟎 ser assintoticamente estável globalmente é que, dada qualquer matriz Hermitiana definida positiva 𝐐, existe uma matriz Hermitiana positiva definida 𝐏 tal que  A função escalar 𝐱∗𝐏𝐱 é a função de Liapunov para o sistema. Apêndice CRITÉRIO DE SYLVESTER  Para testar se uma matriz é positiva definida podemos usar o critério de Sylvester.  Uma condição necessária e suficiente para que uma matriz seja positiva definida é que os determinantes de todos menores principais sucessivos da matriz sejam positivos.  A seguir é mostrado um exemplo do critério de Sylvester. CRITÉRIO DE SYLVESTER  Exemplo Considere a matriz Hermitiana 𝐏 a seguir. Para que a mesma seja positiva definida, o determinante de seus menores principais devem ser todos positivos: MATRIZ HERMITIANA  Uma Matriz Hermitiana é aquela cuja conjugada transposta é igual a ela mesma.  Exemplos: 𝐀 = 1 0 0 1 = 𝐀∗ = 1 0 0 1 𝐁 = 2 0,5 0,5 2 = 𝐁∗ = 2 0,5 0,5 2 𝐂 = 1 −1 + 1𝑗 −1 − 1𝑗 1 = 𝐂∗ = 1 −1 + 1𝑗 −1 − 1𝑗 1