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A aplicação da continuidade fornece: ∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z = 0 => ∂v/∂x = 0 (I) Como u não é função do tempo, u é, no máximo, uma função de y. ∴ u = u(y) Componente x da equação de N-S: ρgx - ∂P/∂x + μ(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²) = ρ(∂v/∂t + u∂u/∂x + v∂u/∂y) Termos eliminados segundo explicado anteriormente. ∴ ∂²u/∂y² = 0 que, integrada duas vezes, torna: u = C₁y + C₂ p1 y = 0 => u = -U₂ e ∴ C₂ = -U₂ p1 y = b => u = U₁ e ∴ U₁ = C₁b - U₂ ∴ C₁ = (U₁ + U₂)/b ∴ u = ((U₁ + U₂)/b)y - U₂ 2 pontos GABARITO - 3ª QUESTÃO - P8 - PME 3230 - 30/11/2018 (VALOR 2,5 PONTOS) a) VAZÃO HA - [hf + (Kse + 2Ks,G + Ks,s) V²/2g] = HB ZA - f Ltotal/D V²/2g + (1,0 + 2.1,5) ZA - ZB = f (10/0,1) V²/20 + 5 V²/20 Por tentativa: => f = 0,0158 V = 2,47 m/s a = 0,19 m³/s (0,5 pt) b) POTÊNCIA DA BOMBA HB - (f LBC/D V²/2g + Kse V²/2g) + Ks,c V²/2g + (hf,m = 2 + 2 = 4m) = HA WB = 1/η (HB - HA) = 1013 w b = 1,0 pt c) PRESSÃO NA SEÇÃO C HB - (f LBC/D V²/2g + Ks,c V²/2g) + (2hf,c) = HC = V²/2g ZB - (0,0158 5/0,1) + 1,0 + 1,5+ Vc²/2g = 4 + Pc/γ + (2/2)² Pc/γ = -5,30 m.c.a ∴ há cavitação. (1,0 pt) 2ª Questão - 3ª prova - 30.11.2018 - PME 3230 Para se obter uma solução analítica com o uso das equações de Navier-Stokes devem-se considerar as hipóteses: - Escoamento laminar - Fluido Newtoniano - Escoamento plenamente desenvolvido - Regime permanente - Escoamento em linhas de corrente paralelas (V=0) ∂P/∂x = 0 - O escoamento se estabelece devido às tensões viscosas causadas pelo movimento das placas. O campo de velocidades é unidimensional e w = 0 e ∂/∂z de qualquer componente de velocidade é zero ∂ = g = gey gz = 0 = gz. Como condições de contorno: Da condição de não escorregamento do fluido em relação a duas placas: y = b => u = U₁ y = 0 => u = -U₂ valor 1 ponto
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A aplicação da continuidade fornece: ∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z = 0 => ∂v/∂x = 0 (I) Como u não é função do tempo, u é, no máximo, uma função de y. ∴ u = u(y) Componente x da equação de N-S: ρgx - ∂P/∂x + μ(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²) = ρ(∂v/∂t + u∂u/∂x + v∂u/∂y) Termos eliminados segundo explicado anteriormente. ∴ ∂²u/∂y² = 0 que, integrada duas vezes, torna: u = C₁y + C₂ p1 y = 0 => u = -U₂ e ∴ C₂ = -U₂ p1 y = b => u = U₁ e ∴ U₁ = C₁b - U₂ ∴ C₁ = (U₁ + U₂)/b ∴ u = ((U₁ + U₂)/b)y - U₂ 2 pontos GABARITO - 3ª QUESTÃO - P8 - PME 3230 - 30/11/2018 (VALOR 2,5 PONTOS) a) VAZÃO HA - [hf + (Kse + 2Ks,G + Ks,s) V²/2g] = HB ZA - f Ltotal/D V²/2g + (1,0 + 2.1,5) ZA - ZB = f (10/0,1) V²/20 + 5 V²/20 Por tentativa: => f = 0,0158 V = 2,47 m/s a = 0,19 m³/s (0,5 pt) b) POTÊNCIA DA BOMBA HB - (f LBC/D V²/2g + Kse V²/2g) + Ks,c V²/2g + (hf,m = 2 + 2 = 4m) = HA WB = 1/η (HB - HA) = 1013 w b = 1,0 pt c) PRESSÃO NA SEÇÃO C HB - (f LBC/D V²/2g + Ks,c V²/2g) + (2hf,c) = HC = V²/2g ZB - (0,0158 5/0,1) + 1,0 + 1,5+ Vc²/2g = 4 + Pc/γ + (2/2)² Pc/γ = -5,30 m.c.a ∴ há cavitação. (1,0 pt) 2ª Questão - 3ª prova - 30.11.2018 - PME 3230 Para se obter uma solução analítica com o uso das equações de Navier-Stokes devem-se considerar as hipóteses: - Escoamento laminar - Fluido Newtoniano - Escoamento plenamente desenvolvido - Regime permanente - Escoamento em linhas de corrente paralelas (V=0) ∂P/∂x = 0 - O escoamento se estabelece devido às tensões viscosas causadas pelo movimento das placas. O campo de velocidades é unidimensional e w = 0 e ∂/∂z de qualquer componente de velocidade é zero ∂ = g = gey gz = 0 = gz. Como condições de contorno: Da condição de não escorregamento do fluido em relação a duas placas: y = b => u = U₁ y = 0 => u = -U₂ valor 1 ponto