TESTEFEDERAL 1693607593589 Grupos de permutações subgrupo normal e grupo quociente-2 pdf

01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 1/60 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente Prof.ª Ana Lucia de Sousa Descrição Estudo de grupos importantes e a conexão existente entre eles, a partir das suas propriedades. Propósito Apresentar grupos presentes em áreas e nos conteúdos que são estudados pelos alunos de licenciatura ao longo da graduação e na sua prática como docente. É importante que o aluno do curso de licenciatura em matemática conheça com clareza essas estruturas, seus resultados e sua importância na compreensão de novos conteúdos. Objetivos Módulo 1 Grupos de permutações e grupos diedrais Reconhecer os grupos de permutações, os grupos diedrais e suas propriedades. 01/09/2023 19:23 Grupos de permutagées, subgrupo normal e grupo quociente Médulo 2 Homomorfismo e lsomorfismo de Grupos Analisar os homomorfismos e isomorfismos de grupos. Méddulo 3 Classes laterais, subgrupos normais e grupos quocientes Identificar as classes laterais, os subgrupos normais e os grupos quocientes. O video a seguir te ajudara a identificar quais os principais conceitos que serao abordados neste estudo. https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 2/60 01/09/2023 19:23 Grupos de permutagées, subgrupo normal e grupo quociente Orientagao sobre unidade de medida Em nosso material, unidades de medida e numeros so escritos juntos (ex.: 25km) por questdes de tecnologia e didaticas. No entanto, o Inmetro estabelece que deve existir um espaco entre o numero e a unidade (ex.: 25 km). Logo, os relatérios técnicos e demais materiais escritos por vocé devem seguir o padrao internacional de separacao dos numeros e das unidades. Fr + 2 ” i a & { i fi y a “ ae vy S ‘ > \ ef . A 1- Grupos de permutacoes e grupos diedrais Ao final deste modulo, vocé sera capaz de reconhecer os grupos de permutacoes, os grupos diedrais e suas propriedades. Vamos comecar! Dois grupos importantes Antes de iniciar este estudo, conhe¢a os principais conceitos e aspectos que devem ser observados sobre os grupos de permutacoes e diedrais. https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 3/60 01/09/2023 19:23 Grupos de permutagées, subgrupo normal e grupo quociente Seja S = {1, 2,3,---,n} um conjunto nao vazio e denotamos por S', 0 conjunto de todas as fungées bijetoras, onde Sn = {f : S — S; f bijetiva }. Considerando uma operag4o “o” chamada de composic4o de fungées, dizemos que (Sn, O) é um grupo chamado de grupo das permutagées dos n elementos do conjunto S. Também podemos chamar esse grupo de grupo simétrico. Isso pode ser facilmente verificado pela analise das propriedades que caracterizam um grupo. Veja: Primeiro Vfig,h € Sn, (fog) 0h = fo (goh), assim verifica-se que a propriedade associativa é valida. Segundo https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 4/60 01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 5/60 elemento neutro é dado pela função identidade , assim, , Terceiro A função bijetiva e possui inversa , tal que . Logo, concluímos que com a operação de composição de funções é um grupo das permutações de elementos do conjunto . Nesse estudo, vamos considerar o conjunto finito. Portanto, o número total de permutações encontradas é , ou seja, a ordem de é . Por exemplo, , elementos. Logo, teremos permutações nesse conjunto. Podemos dizer também que existem 24 bijeções de em . Usamos uma notação matricial bem simples para representarmos uma permutação. Veja: Seja onde: Rotacione a tela.  Nessa notação, os elementos da primeira linha representam os elementos do domínio e os elementos da segunda linha representam as imagens. Dessa maneira, a bijeção leva cada elemento da primeira linha no elemento da segunda linha. Vamos analisar alguns exemplos para fixarmos o conteúdo! Exemplo 1 Vamos considerar uma permutação de é uma bijeção , onde e . , a imagem do elemento 1 é ; , a imagem do elemento 2 é ; , a imagem do elemento 3 é ; Podemos representar essa permutação por: O Id : E → E ∀f ∈ Sn f ∈ Sne–– f −1 ∈ Sn f ∘ f −1 = f −1 ∘ f = Id Sn n S S n! S n! S = {1, 2, 3, 4} n = 4 4! = 24 S S f : {1, 2, 3, … , n} → {1, 2, 3, … , n} f = ( ) 1 2 … n f(1) f(2) … f(n) f S3 = {f : {1, 2, 3} → {1, 2, 3}/f } f(1) = 2, f(2) = 3 f(3) = 1 f(1) = 2 2 f(2) = 3 3 f(3) = 1 1 f = ( ), onde f = ( ) 1 2 3 f(1) f(2) f(3) 1 2 3 2 3 1 01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 6/60 Rotacione a tela.  É importante frisar que: para , verificamos que não é um grupo abeliano. Exemplo 2 Considerando o conjunto e as funções e em : Rotacione a tela.  Rotacione a tela.  Calculando a : Logo, a Calculando a n ≥ 3 Sn S = {1, 2, 3} f1 f2 S3 f1 = ( ) 1 2 3 2 3 1 f2 = ( ) 1 2 3 1 3 2 f1 o f2 f1 (f2(1)) = f1(1) = 2 f (f2(2)) = f1(3) = 1 f (f2(3)) = f1(2) = 3 f1 o f2 = ( ) 1 2 3 2 1 3 f2 o f1 : 01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 7/60 Logo, a Note que a é diferente da , ou seja, . Logo, fica claro que se o número de elementos de for maior ou igual a 3, então, não é um grupo abeliano. Observação: Podemos determinar, por exemplo, o composto de maneira mais rápida por: Rotacione a tela.  A composição é construída da direita para a esquerda, partindo sempre do primeiro elemento da primeira linha em direção ao primeiro elemento da segunda linha. Mencionamos anteriormente que o número total de permutações de um conjunto com n elementos é dado por n!. Temos, então, a seguinte proposição: a ordem de Sn é n! Essa proposição diz que considerando , temos que pode ser escolhido de maneiras. Como é uma função bijetora, não podemos ter repetição dos elementos, sendo assim, a escolha do pode ser feita de maneiras, e de maneiras, e assim por diante. Pelo princípio da contagem, existem possibilidades. Exemplo 3 f (f (1)) f (2) 3 f2 (f1(2)) = f2(3) = 2 f2 (f1(3)) = f2(1) = 1 f2 o f1 = ( ) 1 2 3 3 2 1 f1 o f2 f2 o f1 f1 o f2 ≠ f2 o f1 S Sn f1 o f2 f1 o f2 = f1 (f2) = ( ) f1 ( ) f2 = ( ) f1 o f2 = f1 (f2) = ( ) f1 ( ) f2 = ( ) 1 2 3 2 3  1     1 2 3 1 3  2     1 2 3 f1 (f2(1)) f1 (f2(2)) f1 (f2(3)) 1 2 3 2 3  1     1 2 3 1 3  2     1 2 3 2 1 3 f = ( ) 1 2 … n a1 a2 … an a1 n f a2 n − 1 a3 n − 2 n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) … ⋅ 2 ⋅ 1 = n! 01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 8/60 temos permutações, ou seja, encontramos 6 bijeções de em . Vejamos: tal que: Permutação. Isto é, e . Representando essa aplicação com a notação dada anteriormente, temos: Rotacione a tela.  Logo, o conjunto é composto dos seguintes elementos: , onde: Veja que a ordem de é 6. Em S = {1, 2, 3} 3! = 3.2.1 = 6 S S Id : S → S, Id(1) = 1, Id(2) = 2 Id(3) = 3 Id = ( ) = ( ) 1 2 3 Id(1) Id(2) Id(3) 1 2 3 1 2 3 S3 S3 = {( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )} 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 1 2 3 2 1 3 1 2 3 2 3 1 1 2 3 3 1 2 1 2 3 3 2 1 Id = ( ), α1 = ( ), α2 = ( ), 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 1 2 3 2 1 3 α3 = ( ), α4 = ( ), α5 = ( ) 1 2 3 2 3 1 1 2 3 3 1 2 1 2 3 3 2 1 S3 Saiba mais  01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 9/60 Permutações na tábua de Cayley Representação e operações de na tábua de Cayley Considerando as permutações de : Podemos representar na tábua de Cayley. Tabela: Tábua de Cayley. Ana Lucia de Sousa Note que a tábua não é simétrica em relação à diagonal principal, ou seja, não verificamos a propriedade comutativa. Portanto, com a operação de composição é um grupo em que o elemento neutro é e todos os elementos são simetrizáveis. Considerando a tábua temos, por exemplo, que: Podemos usar outras letras para representar as permutações, por exemplo, α (alfa), β(beta), σ(sigma), f, entre outras. Nesse exemplo usamos a letra grega α. Sn S3 Id = ( ), α1 = ( ), α2 = ( ), α3 = ( ), α4 = ( ), α5 = ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 1 2 3 2 1 3 1 2 3 2 3 1 1 2 3 3 1 2 1 2 3 3 2 1 S3 ∘ Iid α1 α2 α3 α4 α5 Iid Iid α1 α2 α3 α4 α5 α1 α1 Iid α4 α5 α2 α3 α2 α2 α3 Iid α1 α5 α4 α3 α3 α2 α5 α4 Iid α1 α4 α4 α5 α1 Iid α3 α2 α5 α1 α4 α3 α2 α1 Iid S3 = {Iid, α1, α2, α3, α4, α5} Iid 01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 10/60 Rotacione a tela.  Podemos considerar no conjunto , por exemplo, as permutações e , onde e Vamos analisar os produtos formados por e . Veja: Rotacione a tela.  Rotacione a tela.  Rotacione a tela.  Podemos escrever ao invés de O mesmo ocorre com o composto . Observe: Rotacione a tela.  Rotacione a tela.  Assim, o conjunto também pode ser construído a partir dos produtos formados pelas permutações e , isto é, Veja que o grupo não é cíclico. Vamos analisar um exemplo para compreendermos melhor esse assunto! I −1 id = Iid α−1 3 = α4, pois α3 ∘ α4 = Iid α−1 1 = α1, pois α1 ∘ α1 = Iid α−1 3 = α4, pois α3 ∘ α4 = Iid S3 α1 = ( ) 1 2 3 1 3 2 α4 = ( ) 1 2 3 3 1 2 α1 = μ α4 = σ. μ σ μ2 = ( ) ( ) = ( ) = Iid 1 2 3 1 3 2 1 2 3 1 3 2 1 2 3 1 2 3 σ2 = ( ) ( ) = ( ) = α3 1 2 3 3 1 2 1 2 3 3 1 2 1 2 3 2 3 1 σ3 = ( ) ( ) = ( ) = Iid 1 2 3 2 3 1 1 2 3 3 1 2 1 2 3 1 2 3 μσ μ ∘ σ. σ ∘ μ μσ = ( ) ( ) = ( ) = α2 1 2 3 1 3 2 1 2 3 3 1 2 1 2 3 2 1 3 σμ = ( ) ( ) = ( ) = α5 1 2 3 3 1 2 1 2 3 1 3 2 1 2 3 3 2 1 S3 μ σ S3 = {Iid, μ, σ, σ2, μσ, σμ}. S3 01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 11/60 Exemplo 4 Considerando a tábua da operação composição de funções em , onde: Tabela: Tábua da operação composição de funções. Ana Lucia de Sousa Determine . Permutação inversa Podemos facilmente determinar o inverso de um elemento do conjunto das permutações . Nesse caso, basta trocar a posição das linhas da matriz e depois colocarmos em ordem as colunas, de acordo com os elementos do domínio. Seja , então Para facilitar o entendimento desse conceito, vejamos alguns exemplos: S = {f1, f2, f3, f4} f1 = ( ) a b c d a b c d f2 = ( ) a b c d b c d a f3 = ( ) a b c d c d a b f4 = ( ) a b c d d a b c ∘ f1 f2 f3 f4 f1 f1 f2 f3 f4 f2 f2 f3 f4 f1 f3 f3 f4 f1 f2 f4 f4 f1 f2 f3 (f3 ∘ f4)3 Solução  Sn f = ( ) 1 2 … n a1 a2 … an f −1 = ( ) a1 a2 … an 1 2 … n 01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 12/60 Exemplo 1 Determine no grupo o inverso de , onde o elemento neutro é dado . Exemplo 2 Considere elementos de . Determine: Exemplo 3 Considere e três elementos de . A partir deles, determine a solução da equação . Grupos diedrais Grupos de simetrias do triângulo equilátero e do quadrado S4 f = ( ) 1 2 3 4 2 4 3 1 por Iid = ( ) 1 2 3 4 1 2 3 4 Solução  α = ( ) e β = ( ) 1 2 3 4 1 4 3 2 1 2 3 4 3 1 4 2 S4 α−1 ∘ β−1 Solução  (α ∘ β)−1 Solução  a = ( ), 1 2 3 4 4 3 1 2 b = ( ) 1 2 3 4 3 1 4 2 c = ( ) 1 2 3 4 2 1 4 3 S4 a−1xb = c Solução  01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 13/60 Vamos conhecer os grupos de simetrias, ou grupo diedral, do triângulo equilátero e do quadrado, considerando a operação de composição. Podemos usar a notação , onde representa o número de lados de uma figura geométrica plana. A ordem de é . Simetrias do triângulo equilátero - Dado um triângulo equilátero de vértices A, B e C, podemos verificar um conjunto de transformações que preservam esse triângulo, com a operação de composição. Análise das simetrias no triângulo equilátero. Onde: As retas S, T e W são as mediatrizes do triângulo equilátero, que passam pelo baricentro O. Dn n Dn 2n Atenção! e possuem cardinalidades diferentes, pois e . Eles são iguais apenas quando .  Dn Sn |Dn| = 2n |Sn| = n! n = 3 D3 01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 14/60 F1, F2 e F3 são as reflexões espaciais de ângulo π radianos em torno das retas S, T e W. Agora, vamos analisar esses movimentos em torno dessas retas, considerando o sentido anti-horário, mas podemos usar também o sentido horário. Reflexão em torno da reta W. Fixamos o vértice A e trocamos apenas a posição dos vértices B e C. Observe: Reflexão em torno da reta T. Fixamos o vértice B e trocamos apenas a posição dos vértices A e C. Veja: Reflexão em torno da reta S. Fixamos o vértice C e trocamos apenas a posição dos vértices A e B. Agora, vamos analisar as rotações em torno do centro O no sentido anti-horário, por meio das imagens a seguir: Identidade. 01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 15/60 rotação de identidade Veja que não alteramos nenhuma posição dos vértices. Rotação de 120°. rotação de ou radianos Com essa rotação de 120°, o vértice A foi para a posição do vértice B, o vértice B foi para a posição do vértice C e o vértice C foi para a posição do vértice A. Rotação de 240°. rotação de ou radianos Com essa rotação de 240°, o vértice A foi para a posição do vértice C, o vértice B foi para a posição do vértice A e o vértice C foi para a posição do vértice B. Portanto, o conjunto formado pelas seis simetrias do triângulo equilátero é dado por: Rotacione a tela.  Tábua de operação do grupo Rid 0o (Iid)− R 2π 3 120∘ 2π 3 R 4π 3 240∘ 4π 3 D3 = {Iid, F1, F2, F3, R2π 3 , R 4π 3 } D3 01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 16/60 Segue a tábua do grupo , considerando todos os elementos de onde , , , , e Tabela: Tábua de Cayley. Ana Lucia de Sousa A partir da tábua, verificamos que: A composta de duas rotações é uma rotação. A composta de duas reflexões é uma rotação. A composta de uma rotação com uma reflexão e vice-versa é uma reflexão. O grupo não é abeliano. D3 D3 = {Iid, F1, F2, F3, R 2π 3 , R 4π 3 }, Iid = ( ) a b c a b c F1 = ( ) a b c a c b F2 = ( ) a b c c b a F3 = ( ) a b c b a c R 2π 3 = ( ) a b c b c a R 4π 3 = ( ) a b c c a b ∘ Iid R 2π 3 R 4π 3 F1 F2 F3 Iid Iid R 2π 3 R 4π 3 F1 F2 F3 R 2π 3 R 2π 3 R 4π 3 Iid F3 F1 F2 R 4π 3 R 4π 3 Iid R 2π 3 F2 F3 F1 F1 F1 F2 F3 Iid R 2π 3 R 4π 3 F2 F2 F3 F1 R 4π 3 Iid R 2π 3 F3 F3 F1 F2 R 2π 3 R 4π 3 Iid 01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 17/60 Não é um grupo cíclico. possui elementos, ou seja, elementos, ou seja, a ordem do grupo é 6. Vejamos alguns exemplos para fixarmos o conteúdo que acabamos de estudar! Exemplo 1 Considerando a tábua do grupo , determine . Exemplo 2 Considerando a tábua do grupo , determine a ordem de . Simetrias do quadrado Dado um quadrado de vértices A, B, C e D, podemos verificar um conjunto de transformações que preservam esse quadrado, com a operação de composição. possui elementos, ou seja, elementos, ou seja, a ordem do grupo é 8. No quadrado, temos 8 transformações, sendo 4 rotações e 4 reflexões. No quadrado, também vamos usar o sentido anti-horário. D3 = 2n 2x3 = 6 D3 R−1 4π 3 Solução  D3 R 4π 3 Solução  D4 D4 2n 2 × 4 = 8 01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 18/60 Operação de composição no quadrado. Onde: As retas S e T são perpendiculares aos lados do quadrado passando pelo ponto médio. M e N são as diagonais do quadrado. F1 , F2 , F3 e F4 são as reflexões espaciais de radianos em torno das retas S , T, M e N. Rotações em torno do centro O são: rotação de - identidade rotação de ou radianos rotação de ou radianos rotação de ou radianos Rotações em torno do centro O. Observação: O conjunto formado pelas oito simetrias do quadrado é dado por: Rotacione a tela.  Onde: Rid 0∘ (Iid) R π 2 90∘ π 2 Rπ 180∘ π R 3π 2 270∘ 3π 2 D4 = {Iid, F1, F2, F3, F4, R π 2 , Rπ, R 3π 2 } Iid = ( ), a b c d a b c d 01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 19/60 , e Tábua de operação do grupo Considerando o grupo temos a seguinte tábua de operação: Tabela: Tábua de Cayley. F1 = ( ), a b c d a d c b F2 = ( ), a b c d c b a d F3 = ( ) a b c d b a d c F4 = ( ), a b c d d c b a R π 2 = ( ), a b c d b c d a Rπ = ( ) a b c d c d a b R 3π 2 = ( ) a b c d d a b c D4 D4 = {Iid, F1, F2, F3, F4, R π 2 , Rπ, R 3π 2 }, ∘ Iid F1 F2 F3 F4 R π 2 Rπ R 3π 2 Iid Iid F1 F2 F3 F4 R π 2 Rπ R 3π 2 F1 F1 Iid Rπ R 3π 2 R π 2 F4 F2 F3 F2 F2 Rπ Iid R π 2 R 3π 2 F3 F1 F4 F3 F3 R π 2 R 3π 2 Iid Rπ F1 F4 F2 F4 F4 R 3π 2 R π 2 Rπ Iid F2 F3 F1 R π 2 R π 2 F3 F4 F2 F1 Rπ R 3π 2 Iid Rπ Rπ F2 F1 F4 F3 R 3π 2 Iid R π 2 R 3π 2 R 3π 2 F4 F3 F1 F2 Iid R π 2 Rπ 01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 20/60 Ana Lucia de Sousa De acordo com a tábua de operação, fica claro que o grupo não é abeliano. Vamos analisar alguns exemplos! Exemplo 1 Considerando a tábua do grupo , determine . Exemplo 2 Considerando a tábua do grupo , determine a ordem de . O estudo sobre as simetrias é estendido para polígono regular de lados, denotado por . Em , encontramos simetrias por meio de rotações e reflexões. Por exemplo, no grupo , onde , temos um pentágono regular, . Acompanhe a seguir a descrição de dois teoremas: Teorema 1 O conjunto das simetrias de gera um grupo para a composição de simetrias, denotado por e chama-se grupo diedral de ordem Teorema 2 O grupo diedral é um grupo de ordem gerado por dois elementos e satisfazendo , em que e Veja a seguir um exemplo utilizando o Teorema 2. Exemplo 3 D4 D4 R−1 π Solução  D4 Rπ Solução  n Pn Pn 2n n n D5 n = 5 P5 Pn Dn 2n. Dne–– 2n α β αn = β2 = e α = ( ) 1 2 3 n − 1 n 2 3 4 n 1 β = ( ). 1 2 3 n − 1 n 1 n n − 1 3 2 01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 21/60 Determine as simetrias e de usando o Teorema 2 . As rotações de são determinadas por e e as reflexões determinadas por , e . Essas permutações formam o grupo Vem que eu te explico! Os vídeos a seguir abordam os assuntos mais relevantes do conteúdo que você acabou de estudar. Módulo 1 - Vem que eu te explico! Permutação de grupos Módulo 1 - Vem que eu te explico! Grupos diedrais e tábua de operação α β D5 Solução  D5 α2, α3 α4 αβ α2β, α3β α4β D5 = {Iid, α, β, α2, α3, α4, αβ, α2β, α3β, α4β}.  01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 22/60 Questão 1 Considere ec três elementos de . A partir deles, determine a solução da equação e com elemento neutro .  Vamos praticar alguns conceitos? Falta pouco para atingir seus objetivos. a = ( ), b = ( ) 1 2 3 4 4 1 2 3 1 2 3 4 3 4 2 1 = ( ) 1 2 3 4 1 4 3 2 S4 x ∈ S4 cxac = b e A x = ( ) 1 2 3 4 1 4 2 3 B x = ( ) 1 2 3 4 4 1 2 3 C x = ( ) 1 2 3 4 2 4 1 3 01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 23/60 Questão 2 Considerando a tábua do grupo , marque a alternativa que indica a ordem de . Tábua de Cayley. Ana Lucia de Sousa D x = ( ) 1 2 3 4 3 2 4 1 E x = ( ) 1 2 3 4 1 2 3 4 Responder D4 R 3π 2 ∘ Iid F1 F2 F3 F4 R π 2 Rπ R 3π 2 Iid Iid F1 F2 F3 F4 R π 2 Rπ R 3π 2 F1 F1 Iid Rπ R 3π 2 R π 2 F4 F2 F3 F2 F2 Rπ Iid R π 2 R 3π 2 F3 F1 F4 F3 F3 R π 2 R 3π 2 Iid Rπ F1 F4 F2 F4 F4 R 3π 2 R π 2 Rπ Iid F2 F3 F1 R π 2 R π 2 F3 F4 F2 F1 Rπ R 3π 2 Iid Rπ Rπ F2 F1 F4 F3 R 3π 2 Iid R π 2 R 3π 2 R 3π 2 F4 F3 F1 F2 Iid R π 2 Rπ A o (R 3π 2 ) = 2 01/09/2023 19:23 Grupos de permutagées, subgrupo normal e grupo quociente B O (Ry) =3 C O (Ry) =4 D O (Ry) =5 ce 0 (Rs) =6 Responder -_ + ) =, «a ; \ ~N 2 - Homomorfismo e isomorfismo de grupos Ao final deste modulo, vocé sera capaz de analisar os homomorfismos e isomorfismos de grupos. https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 24/60 01/09/2023 19:23 Grupos de permutagées, subgrupo normal e grupo quociente Vamos comecar! Homomorfismo e isomorfismo de grupos Vamos agora conhecer os principais conceitos e aspectos que devem ser observados no estudo sobre Homomorfismo e Isomorfismo de Grupos. Homomorfismo de grupos Definicao O homomorfismo de grupos é um conceito importante e presente, por exemplo, na algebra linear no estudo das transformacoes lineares. A ideia do homomorfismo de grupos é garantir que a operagao de um grupo sera preservada no outro grupo. https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 25/60 01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 26/60 Vamos considerar dois grupos, e , e uma aplicação . Dizemos que é um homomorfismo de grupos de em se, e somente se: Rotacione a tela.  Isso significa que a imagem dos elementos de com a operação * deve ser igual às imagens de cada um desses elementos com a operação em . Fique atento, pois e são elementos de . Veja a definição dada pelos diagramas a seguir: Homomorfismo de grupos. Vamos analisar alguns exemplos para entendermos melhor sobre homomorfismo de grupo! Exemplo 1 Sejam e dois grupos. A função exponencial definida por , onde é um homomorfismo de grupo de em , pois para quaisquer , temos: Exemplo 2 Dados os grupos e e a função definida de em , também verificamos que a função dada é um homomorfismo de grupos. De fato: , temos: (G1, ∗) (G2, Δ) f : G1 → G2 f (G1, ∗) (G2, Δ) f(x ∗ y) = f(x)Δf(y) ∀x, y ∈ G1 G1 Δ G2 f(x) f(y) G2 G = (R, +) H = (R∗, . ) f : G → H f(x) = 2x G H x, y ∈ G Solução  (Z, +) (C ∗, ⋅) f(p) = ip Z C ∗ ∀p, q ∈ Z 01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 27/60 Exemplo 3 Sejam os grupos com a operação de adição definida por e . Seja uma transformação linear. Vamos considerar dois elementos de definidos por e . Veja que é um homomorfismo de grupo, pois . Exemplo 4 Dados os grupos e e a função definida por . Exemplo 5 Dado o grupo , observe que a aplicação (identidade) de em G, definida por: Exemplo 6 Considerando o grupo ( ,∙) e o elemento neutro e de , podemos definir: Exemplo 7 Seja a aplicação definida por . Verifique se é um homomorfismo de grupo. Solução  G = R2 (a, b) + (c, d) = (a+ c, b + d) H = (R, +) T : G → H, T(x, y) = x − y G X = (x1, y1) Y = (x2, y2) T : G → H T(X + Y ) = T ((x1, y1) + (x2, y2)) Solução  (R, +) (R∗ +, +) f : R → R∗ + f(x) = x + 1 Solução  (G, ⋅) Iid G Iid : G → G a → a Solução  G G Solução  f : (Z6, +) → (Z6, +) f(¯x) = 3x – f 01/09/2023 19:23 Grupos de permutagées, subgrupo normal e grupo quociente Homomorfismo: proposicoes e demonstracoes Proposicoes de homomorfismos Nos momentos seguintes, vamos conhecer algumas proposigdes. Acompanhe criteriosamente as observacées e as demonstragées de cada uma delas. Proposicao 1 Seja f : G; — G2 um homomorfismo do grupo (Gi, *) no grupo (G2, A). Se e; elemento neutro de (G1, *) e €2 elemento neutro de (G2, A), entao, f (e1) = ea. Observagao: Essa proposicao sinaliza que a imagem do elemento neutro de (G4, *) é o elemento neutro €, de (Go, A). Demonstracao f : G; + G2 um homomorfismo do grupo (G1, *) no grupo (G2, A) € elemento neutro de (G4, *) €2 elemento neutro de (G2, A) Veja: (Gy , *) (G2 , A ) Homomorfismo do grupo. https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 28/60 01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 29/60 De acordo com os diagramas, vamos considerar que é um elemento de , ou seja, . O elemento operado com o elemento neutro , temos: Eq. 1 Rotacione a tela.  Podemos escrever Eq. 2 Rotacione a tela.  Substituindo (2) em (1), temos: Eq. 3 Rotacione a tela.  Como é um homomorfismo do grupo no grupo podemos escrever Eq. 4 Rotacione a tela.  Substituindo (4) em (3), temos: Eq. 5 Rotacione a tela.  Pela lei do cancelamento, podemos cancelar dos dois lados da igualdade. Portanto, . Proposição 2 Seja um homomorfismo do grupo no grupo f (e1) (G2, Δ) f (e1) ∈ (G2, Δ) f (e1) e2 f (e1)Δe2 = f (e1) f (e1) = f (e1 ∗ e1) f (e1)Δe2 = f (e1 ∗ e1) f : G1 → G2 (G1, ∗) (G2, Δ) f (e1 ∗ e1) = f (e1)Δf (e1) f (e1)Δe2 = f (e1)Δf (e1) f (e1) e2 = f (e1) f : G1 → G2 (G1, ∗) (G2, Δ) 01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 30/60 Rotacione a tela.  Observação: Essa proposição mostra que a imagem do inverso de qualquer elemento do grupo é igual ao inverso da imagem de , ou seja, o homomorfismo de grupos preserva o inverso de cada elemento de . Demonstração um homomorfismo do grupo no grupo Da proposição 1, temos . Pela propriedade do elemento inverso, temos: Rotacione a tela.  Logo: Rotacione a tela.  Como é um elemento de , que é um grupo, podemos operar o elemento dos dois lados da igualdade. Rotacione a tela.  Aplicando a propriedade do elemento inverso, temos: Rotacione a tela.  Proposição 3 Sejam e homomorfismos de grupos, então, a composição de funções é um homomorfismo. Demonstração f (x−1) = f −1(x), ∀x ∈ G1 x (G1, ∗) x G1 f : G1 → G2 (G1, ∗) (G2, Δ). f (e1) = e2 f (e1) = e2 = f (x ∗ x−1) = f(x)Δf (x−1) ∀x ∈ G1 f(x)Δf (x−1) = f (e1) f(x) (G2, Δ) f −1(x) f −1(x)Δf(x)Δf (x−1) = f −1(x)Δf (e1) f (x−1) = f −1(x) f : G1 → G2 g : G2 → G3 gof : G1 → G3 01/09/2023 19:23 Grupos de permutagées, subgrupo normal e grupo quociente Por hipotese f : Gy — G2eg: G2 — G3 so homomorfismos de grupos. Vamos considerar x e y elementos de G;. Temos: (g0 f)(ab) = 9(f(ab)) = (f(a) - F(0)) = 9(F(a)) - 9(F(0)) = (9° f(a): Go f)(O) Rotacione a tela. S$ Portanto, (gof) é um homomorfismo. Imagem e nucleo de um homomorfismo Definigao de imagem Seja f : G1 — G2 um homomorfismo de grupos. Definimos a imagem de f por: Im(f) = {y € Ga/da € Gi, f(x) = y} Rotacione a tela. S$ Proposicao 4 Sejam G1 e G2 grupos. Se H é um subgrupo de Gj, entao, f(H) é subgrupo de G2, onde f(H) = {f(h):h © H}. Em outras palavras, 0 conjunto imagem de todos os elementos de H é um subgrupo de Gp». Definicao de nucleo Seja f : Gy + G2 um homomorfismo de grupos, onde os grupos considerados sao (G‘;, *) e (G2, A), e e2 0 elemento neutro de G». Definimos nucleo de f ou kernel de f 0 subconjunto de G, definido por N(f) = Ker(f) = {2 € Gi/f(x) = eg}. Isso significa que N(f) é 0 conjunto de todos os elementos do grupo G1, que sao levados para o neutro €9 de Go mediante o homomorfismo f. Veja a imagem: https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 31/60 01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 32/60 Núcleo do homomorfismo de grupo. Note na ilustração que o núcleo de um homomorfismo nunca é vazio, pois pela proposição 1, . Vamos analisar alguns exemplos. Exemplo 1 Determine o ( ), sendo o homomorfismo definido por: Rotacione a tela.  Acompanhe a seguir a solução para o exemplo: Exemplo 2 Determine o , sendo o homomorfismo definido por onde . Exemplo 3 Dado o homomorfismo de grupos definido por: , determine o . f f (e1) = e2 N f f f : R → R∗ + x → 2x Solução  N(f) f f : R∗ + → R f(x) = log x Solução  f : (Z × Z, +) → (Z × Z, +) f(x, y) = (x − y, 0) N(f) 01/09/2023 19:23 Grupos de permutagées, subgrupo normal e grupo quociente Exemplo 4 Dado o homomorfismo de grupos f : (Z, +) — (C*,.) definido por f(m) = i”, determine o N(f). Exemplo 5 Seja f : (GL3(R),-) (R*-) definida por f(A) = det A um homomorfismo de grupo. Observagao: GL,,(R) é 0 grupo linear de grau n sobre R. GL, (R) = {A € M,(R) : det A 4 0} O nucleo desse homomorfismo é definido por N(f) = {A € GL3(R) : det A = 1}. Exemplo 6 Seja f : Z12 —> Zoq definida por f ([Z]12) = [6Z]24 um homomorfismo de grupo. Vamos determinar: Proposicao sobre o nucleo do homomorfismo Seguem alguns resultados importantes a partir da definicao de nucleo. Proposicao 5 Seja f : Gy + G2 um homomorfismo de grupos. Entao f é injetiva se,e somente se, N(f) = {e,} Demonstracao https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 33/60 01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 34/60 é uma função injetiva, então . Seja: Eq. 1 Rotacione a tela.  Pela proposição 1, temos que: Eq. 2 Rotacione a tela.  e segue que Como é injetiva, temos . Portanto, . é injetiva. Vamos considerar e elementos de , tais que . Como é elemento de , então, ele possui inverso. Podemos multiplicar os dois lados de pelo inverso . Multiplicando cada lado de por temos: Rotacione a tela.  Da definição de núcleo, temos . multiplicando os dois lados da igualdade por . (⇒)f N(f) = {e1} x ∈ N(f) ⇒ f(x) = e2 f (e1) = e2 De(1) (2) f(x) = f (e1) f x = e1 N(f) = {e1} (⇐)N(f) = {e1} ⇒ f x y G1 f(x) = f(y) f(y) G2 f(x) = f(y) de f(y) f(x) = f(y) (f(y))−1 ⋅ (f(y))−1, f(x)(f(y))−1 = f(y)(f(y))−1 f(x)(f(y))−1 = e2 f(x)f −1(y) = e2 f (xy−1) = e2 xy−1 ∈ N(f) xy−1 = e y xy−1y = ey ⇒ x = y 01/09/2023 19:23 Grupos de permutagées, subgrupo normal e grupo quociente MULAVIVIIC a Lela. W Portanto, f é injetiva. Vejamos algumas definicées! 1. Se f 6um homomorfismo de G; — G2 e sea aplicagado f é sobrejetora, dizemos que f 6 um epimorfismo de G, + G2 2. Se f 6um homomorfismo de G; — G» e sea aplicacgao f é injetora, dizemos que f 6 um monomorfismo de G, — Go. 3. Se f 6um homomorfismo de G; — G2 e sea aplicagao f é bijetora, dizemos que f 6 um isomorfismo de G; > Go. 4. Umisomorfismo f : G — G é chamado de automorfismo. O isomorfismo de grupos desempenha um papel importante dentro da algebra, pois, por meio dele, podemos comparar duas estruturas e verificar se elas sao semelhantes. Ou seja, se elas possuem as mesmas propriedades algébricas. Dados dois grupos (Gi, *) e (G2, A), dizemos que uma aplicagdo f : G; —- G2 6 um isomorfismo de grupos, de (G1, *) em (Go, A) se, e somente se, as Seguintes condi¢ées forem verificadas: f éum homomorfismo de grupos Isto 6, f(a * y) = f(x)Af(y)Vz,y € G4. f é bijetora Isto 6, injetora e sobrejetora. Observacées: Também podemos usar a proposi¢ao 5 para verificarmos se a fung¢ao f é um homomorfismo de grupo, pois basta verificar N(f) = {e;}. A bijegao garante que os conjuntos possuem a mesma quantidade de elementos. https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 35/60 01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 36/60 Vamos analisar alguns exemplos para compreendermos melhor! Exemplo 1 Dado o grupo com a operação de multiplicação e o grupo , determine a tábua de tal que seja isomorfo a . Na tábua do grupo vamos determinar o resultado de: - Na bijeção, temos . No lugar de , colocamos ficando com a operação . Na tabela de , podemos verificar que o resultado de , logo . - Na bijeção, temos e . No lugar de , colocamos e no lugar do colocamos , ficando com a operação . Na tabela de , podemos verificar que o resultado de e , logo . Observação: Esse procedimento será repetido e você poderá perceber que a primeira linha é igual à linha fundamental e a primeira coluna é igual à coluna fundamental. Vejamos os outros elementos da tábua de G. Comentário Dados dois grupos, por exemplo, e podemos dizer que e são isomorfos ou podemos usar a notação . Significa que existe um isomorfismo .  G1 G2 G1 G2 G1 ≃ G2 φ : G1 → G2 G = {e, a, b, c} (Z ∗ 5, ) G G (Z ∗ 5, ⋅) Solução  G e ⋅ e e → –1 e –1 –1 ⋅ –1 Z ∗ 5 –1 ⋅ –1 = –1e e → –1 e. e = e e ⋅ a e → –1 a → –2 e –1 a –2 –1 ⋅ –2 Z ∗ 5 –1 ⋅ –2 = –2 a → –2 e. a = a 01/09/2023 19:23 Grupos de permutagées, subgrupo normal e grupo quociente a:-a Bijegao: a —> 2 Ema-:a,trocamos 0 a por 2. Veja que na tabua do grupo Z;, o resultado da operacdo 2.2=4. Na bijegao, temos c > 4, entdo, trocamos 0 4 por c.Logo,a:a=c. a-b Bijegdes:a + 2eb > 3 Em a: 6, trocamos a por 2Qeb por 3. Veja que na tabua do grupo Zs o resultado da operagao 2-3=1.Na bijegao, temos e — 1, entao, trocamos o 1 por e.Logo,a:b = eeb-a=e. a:c Bijegdes:a + 2ec—> 4 Ema -:c, trocamos a por 2ec por 4. Veja que na tabua do grupo Z;, o resultado da operacdo 2-4=3.Na bijegado, temos b > 3, entdo, trocamos 0 3 por b. Logo,a-c = bec-a=b. Bijecdes: b — 3 Em b - b, trocamos b por 3. Veja que na tabua do grupo Zs, 0 resultado da operagao 3-3 = 4. Na bijecdo, temos c — 4, entdo trocamos 0 4 por c. Logo, b- b = c. b-c Bijegdes:b 4 3ec > 4 | _— . ~ To. . . a - oo. 7 7 Zz. | https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 37/60 01/09/2023 19:23 Grupos de permutagées, subgrupo normal e grupo quociente Em 6 - c, trocamos 6 por 3 ec por 4. Veja que na tabua do grupo Z;, o resultado da operagao 3 - 4 = 2. Na bijegado, temos a —> 2, entdo, trocamos o 2 por a.Logo,b-c = aec-b=a. cC:C Bijegoes: c —> 4 Em c-c,trocamos c por 4, Veja que na tabua do grupo Zs o resultado da operacgao 4-4=1.Na bijecao, temos e —> 1, entdo, trocamos o 1 pore. Logo,a:a =e. Exemplo 2 Dados os grupos G, = (Z4, +) e Gp = (Ze, +). Verifique se os grupos sao isomorfos. Exemplo 3 Dada uma fungdo f : Z — 2Z, definida por f(x) = 2x, Vx € Z, mostre que f é um isomorfismo. Considere a operagao de adicao. Devemos verificar as condicées a seguir: ¢ f&umhomomorfismo de grupos, isto é, f(z xy) = f(x)Af(y) Va,yeGi ¢ f ébijetora, isto é, injetora e sob ejetora. As condigées (a) e (b) foram verificadas. Portanto, f 6 um isomorfismo. Proposicao https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 38/60 01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 39/60 Se é um isomorfismo, então, também é um isomorfismo. Essa proposição sinaliza que a função inversa também é um isomorfismo. Vem que eu te explico! Os vídeos a seguir abordam os assuntos mais relevantes do conteúdo que você acabou de estudar. Módulo 2 - Vem que eu te explico! Homomorfismo de grupo Módulo 2 - Vem que eu te explico! Isomorfismo de grupo f : G1 → G2 f −1 : G2 → G1  01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 40/60 Questão 1 A função , definida por , é um homomorfismo. Determine .  Vamos praticar alguns conceitos? Falta pouco para atingir seus objetivos. f : (R2, +) → (R, +) f(x, y) = 5x − 4y N(f) A N(f) = {(5, 4)} B N(f) = {(0, 5 4 )} C N(f) = {(0, 1)} D N(f) = {( 5 4 , 1)} 01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 41/60 Questão 2 Considerando o que você estudou sobre isomorfismo de grupo, julgue as afirmativas a seguir. I - Com relação aos grupos e , podemos dizer que . II - A função definida por um isomorfismo de grupo. III - A função definida por um isomorfismo, ou seja, . É correto o que se afirma em E N(f) = {(2, 5 2 )} Responder G1 = (S3, ∘) G2 = (Z6, +) G1 ≃ G2 f : (R, +) → (R∗ +, ⋅) f(x) = exe–– f : R∗ + → R f(x) = log xe–– R∗ + ≃ R A II e III. B II apenas. C I e III. D III apenas. E I apenas. Responder 01/09/2023 19:23 Grupos de permutagées, subgrupo normal e grupo quociente = : : . Sh | . LL, iat ram fags - a - : ‘ Fy 7) ~~ ' : , . ) ia® | «4 y , . - a @ Z . an \ a 5 - Classes laterais, subgrupos normais e grupos quocientes Ao final deste modulo, vocé sera capaz de identificar as classes laterais, os subgrupos normais e os grupos quocientes. Vamos comecar! Classes, grupos e subgrupos Conhega os principais conceitos e aspectos relevantes sobre as classes laterais, os subgrupos normais e os grupos quocientes. https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 42/60 01/09/2023 19:23 Grupos de permutagées, subgrupo normal e grupo quociente Classes laterais e o teorema de Lagrange Classes laterais: definicao Vamos comegar este médulo considerando um grupo G finito e H um subgrupo de G. A partir do subgrupo H, definiremos uma classe de equivaléncia chamada de classes laterais. Considerando G um grupo finito, apresentaremos o teorema de Lagrange. Seja (G’, *) um grupo de ordem finita e seja (H, *) um subgrupo de G. Dado um elemento fixo a € G,, definimos: °axH={axh, h€ H},classe lateral a esquerda, modulo H. ¢ Hxa={hxa,h © H},classe lateral a direita, modulo H. Vejamos algumas observacgées importantes: https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 43/60 01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 44/60 Veja os exemplos a seguir. Exemplo 1 Considere um grupo comutativo e subgrupo de . Determine as classes laterais à esquerda de . Exemplo 2 Considere o grupo multiplicativo e subgrupo de . Determine as classes laterais à direita de . Exemplo 3 Seja um grupo e o subgrupo formado pelos múltiplos de 4. Determine as classes laterais à esquerda de . Como qualquer inteiro dividido por 4 deixa resto ou 3, Temos: Portanto, o conjunto das classes laterais à esquerda de em será: Se for o elemento neutro do grupo e G  Conjunto das classes laterais à esquerda de H  (Z6, +) H = {–0, –3} (Z6, +) H Solução  G = {1, i, −1, −i} H = {1, −1} G H Solução  (Z, +) H = 4Z = {4n : n ∈ Z} H 0, 1, 2 0 + H = H + 0 = H 1 + H = {1 + h/h ∈ H} = {1 + 4n/n ∈ Z} 2 + H = {2 + h/h ∈ H} = {2 + 4n/n ∈ Z} 3 + H = {3 + h/h ∈ H} = {3 + 4n/n ∈ Z} H = 4Z Z G/H = {H, 1 + H, 2 + H, 3 + H} ou Z/4Z = {4Z, 1 + 4Z, 2 + 4Z, 3 + 4Z} 01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 45/60 Rotacione a tela.  Proposições sobre as classes laterais Seguem alguns resultados sobre as classes laterais. Proposição 1 Seja um grupo de subgrupo de . A união de todas as classes laterais módulo é igual ao grupo . Vamos entender essa proposição por meio do exemplo 1. Nesse exemplo, temos o grupo e um subgrupo . Encontramos três classes laterais distintas à esquerda de : De acordo com a proposição, a união das classes laterais à esquerda de é igual ao grupo . Proposição 2 Seja um grupo de subgrupo de . Para quaisquer elementos de se, e somente se, . Proposição 3 Sejam e duas classes laterais módulo genéricas, então, ou Proposição 4 As classes laterais de à esquerda de e à direita de têm a mesma cardinalidade. Essa proposição sinaliza que toda classe lateral tem a mesma quantidade de elementos do subgrupo , isto é, existe uma função bijetora de em . Em outras palavras, podemos dizer que e assim . G H G H G Z6 = {0, –1, –2, –3, –4, –5} H = {–0, –3} H 0 + H = {0 + 0, 0 + 3} = {0, 3} = H + 0 1 + H = {1 + 0, 1 + 3} = {1, 4} = H + 1 2 + H = {2 + 0, 2 + 3} = {2, 5} = H + 2 H Z6 G = Z6 = H ∪ (1 + H) ∪ (2 + H) = {0, 3} ∪ {1, 4} ∪ {2, 5} = {0, 1, 2, 3, 4, 5} G H G a, b G, aH = bH a−1. b ∈ H aH bH H aH = bH aH ∩ bH = ∅. a H H H H aH |aH| = |H| |Ha| = |H|, |aH| = |Ha| 01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 46/60 Índice do subgrupo no grupo Sendo um grupo finito e um subgrupo de , o índice de em é igual ao número de classes laterais distintas, módulo , em . Ele é denotado por ou . O que pudemos aprender a partir dos exemplos 1 e 2:  Exemplo 1 Vimos que o conjunto das classes laterais à esquerda de possui três classes laterais distintas: , assim, o índice de em G é 3 ou ou .  Exemplo 2 Temos duas classes laterais distintas: , assim, o índice de em G é 2 ou ou . A partir dessa definição podemos enunciar o teorema de Lagrange. Com esse teorema, fica fácil identificar os subgrupos de , já que ele reduz o número de subconjuntos de . Teorema de Lagrange Comentário |conjunto| essa notação indica ordem/número de elementos do conjunto.  G H G H G H G |G/H| (G : H) H G/H = {H, 1 + H, 2 + H} H |G/H| = 3 (G : H) = 3 H/G = {H, Hi} H |H/G| = 2 (G : H) = 2 G G 01/09/2023 19:23 Grupos de permutagées, subgrupo normal e grupo quociente Seja H um subgrupo de um grupo finito G,, entao, a ordem do subgrupo H divide a ordem do grupo G. Ou seja: o(G) = o(H)-(G: H) Rotacione a tela. S$ Também podemos escrever: |G| = |H|-|G: H| ou G IG: H| = Il | || Rotacione a tela. S$ Esse teorema afirma que a ordem do grupo o(G) é igual a quantidade de classes laterais (G : H) multiplicada pela ordem do subgrupo H, o( #7). Vamos a um exemplo! Exemplo Seja o grupo G = (Z12, +) eH = {0, 2, 4} um subgrupo de G. Veja que pelo teorema de Lagrange podemos determinar o numero de classes laterais distintas de H em G. G= (Z12, +) Entao, o(G) = 12 ou |G| = 12. Isso significa que 0 grupo G possui 12 elementos. H = {0,2, 4} Entao, o(H) = 3 ou|H| = 3. 0 subgrupo H possui 3 elementos. Usando 0 teorema, temos: https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 47/60 01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 48/60 Rotacione a tela.  Além disso, Demonstração do teorema de Lagrange Suponhamos que e seja o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo . Pela proposição 1, temos . Como cada elemento de pertence a apenas uma dessas classes e como o número de elementos de cada classe é , temos que , mas . Logo, . Vejamos alguns exemplos! Exemplo 1 (DOMINGUES; IEZZI, 2018, p. 197, exemplo 99) Determine todas as classes laterais no grupo . Exemplo 2 Considere o grupo e um subconjunto de . (As barras foram omitidas). Podemos verificar se é candidato a subgrupo de pelo teorema de Lagrange. Veja que possui 4 elementos e 4 não divide 10. Logo, não é candidato a subgrupo de . Exemplo 3 Considere o grupo e um subconjunto de . (As barras foram omitidas). Usando o teorema de Lagrange, verifica-se que pode ser ou não um subgrupo de , pois 5 divide 10. Isto é, . |G : H| = |G| |H| = 12 3 = 4 classes laterais o(G) = o(H) ⋅ (G : H) 12 o(G:H) = 3 o(H) ⋅ 4 número de classes               (G : H) = r {a1H, a2H, ⋯ , arH} H a1H ∪ a2H ∪ ⋯ ∪ arH = G G o(H) r. o(H) = o(G) r = (G : H) (G : H). o(H) = O(G) H = {–0, –3, –6, –9} G = (Z12, +) Solução  G = (Z10, +) H = {0, 2, 4, 8} G H G H = {0, 2, 4, 8} H G G = (Z10, +) H = {0, 2, 4, 6, 8} G H = {0, 2, 4, 6, 8} G |G : H| = |G| |H| = 10 5 = 2 01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 49/60 Veja que o resultado sinaliza que é apenas um candidato a subgrupo. Vamos verificar se é um subgrupo: I. O elemento neutro de é 0 e 0∈ . II. , temos III. , temos O simétrico de 2 em é 8 , pois e O simétrico de 4 em é 8 , pois e O simétrico de 8 em é 8 , pois e O simétrico de 6 em é 8 , pois e Portanto, é um subgrupo de . Alguns corolários sobre o teorema de Lagrange Seguem algumas consequências do teorema de Lagrange, que são os corolários. Corolário 1 Seja um grupo finito. Se então, . Esse corolário sinaliza que se é um grupo finito e é um elemento de , então, a ordem de divide a ordem de . Por exemplo, se a ordem de é 10 , então, para cada elemento de , a ordem desse elemento pertence ao conjunto . Corolário 2 Seja um grupo finito. Se , então, . H = {0, 2, 4, 6, 8} H = {0, 2, 4, 6, 8} G H ∀h1, h2 ∈ H h1h2 ∈ H : 0 + 0 = 0 ∈ H 2 + 2 = 4 ∈ H 4 + 4 = 8 ∈ H 6 + 6 = 2 ∈ H 0 + 2 = 2 ∈ H 2 + 4 = 6 ∈ H 4 + 6 = 0 ∈ H 6 + 8 = 4 ∈ H 0 + 4 = 4 ∈ H 2 + 6 = 8 ∈ H 4 + 8 = 2 ∈ H 8 + 8 = 6 ∈ H 0 + 6 = 6 ∈ H 2 + 8 = 0 ∈ H 0 + 8 = 8 ∈ H ∀h ∈ H h−1 ∈ H : G 2 + 8 = 10 = 0 8 ∈ H G 4 + 6 = 10 = 0 6 ∈ H G 8 + 2 = 10 = 0 2 ∈ H G 6 + 4 = 10 = 0 4 ∈ H H G G a ∈ G e H = [a], o(a) ∣ o(G) G a G a G G a G {1, 2, 5, 10} G a ∈ G ao(G) = eG 01/09/2023 19:23 Grupos de permutagées, subgrupo normal e grupo quociente Corolario 3 Seja o(G) = p, p é primo em G, entao, G é ciclico. Esse resultado sinaliza que esse grupo so tem subgrupos triviais, ou seja, H = {e} eH=G. Corolario 4 Se G é um grupo finito e o(G) < 5, entdo, G é abeliano. Exemplo Seja G um grupo de ordem 135. Considerando 0 corolario 1, fica facil verificar que um grupo de ordem 135 pode ter um subgrupo de ordem 5, por exemplo. Nesse caso, basta verificar que 5 divide 135. Seja G um grupo e seja H um subgrupo de G. Diz-se que H é um subgrupo normal de G ou que o subgrupo H é normal em G se as classes laterais sAo iguais, isto é, aH = Ha para todo elemento a em G. Usamos a notacéo H <G. Vamos analisar alguns exemplos! Exemplo 1 Considere (Z¢, +) um grupo comutativo e H = {0,3} subgrupo de (Z¢, +). Verifique se H« G, isto é, se H é um subgrupo normal de G. Exemplo 2 https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 50/60 01/09/2023 19:23 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 51/60 Considere a tábua de operação do grupo diedral e um subgrupo . Verifique se é um subgrupo normal de . Tabela: Tábua de Cayley. Ana Lucia de Sousa Vejamos a solução: Proposições e corolário sobre o subgrupo normal Vejamos as proposições e o corolário sobre o subgrupo normal: Proposição 1 Sejam um subgrupo normal de um grupo e e duas classes laterais, então, o conjunto das classes laterais é um grupo para a multiplicação definida por . Proposição 2 Se é um subgrupo de e , então, é um subgrupo normal de . Como consequência dessa proposição, temos o corolário a seguir. Corolário D6 H = {e, b} H D6 e a a2 b ba ba2 e e a a2 b ba ba2 a a a2 e ba2 b ba a2 a2 e a ba ba2 b b b ba ba2 e a a2 ba ba ba2 b a2 e a ba2 ba2 b ba a a2 e Solução  H G aH bH (aH)(bH) = (ab)H H G (G : H) = 2 H G 01/09/2023 19:23 Grupos de permutagées, subgrupo normal e grupo quociente Seja G um grupo finito. Se H é um subgrupo de Ge || = A entdo, H é um subgrupo normal de G. Exemplo Considerando o grupo diedral Dg = {e, a, a’, b, ba, ba? } eo subgrupo H = {e, a, a*}, fica facil verificar que H éum subgrupo normal do grupo diedral Dg, pois pelo corolario temos que: |De| 6 | =" = |A| => = |Ds| = 2-H 2 2 Rotacione a tela. S$ Sejam G um grupo e H um subgrupo de G tal que aH = Ha, Va € G. Entéo, G/H é um grupo. Esse grupo sera chamado de grupo quociente com respeito a H. G/H = {aH/aé G} Ou seja, se H <G, entao, (G/H, .) é um grupo. Veja as propriedades que caracterizam um grupo. O fechamento € verificado, pois VaH, bH € G/H,temos aHbH = (ab)Ha € G/H. Vamos ver alguns exemplos para fixarmos o contetido! Exemplo 1 https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 52/60 01/09/2023 19:24 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 53/60 Considere o grupo multiplicativo e subgrupo de , um grupo abeliano. Vimos que é um subgrupo normal a , ou seja, . Determinamos o conjunto chamado de conjunto quociente, formado pelas classes laterais à direita de : Rotacione a tela.  Portanto, podemos dizer que é um grupo quociente. Exemplo 2 Considere o grupo aditivo e um subgrupo de . Verifique se é um grupo quociente. Exemplo 3 Considere o grupo aditivo e um subgrupo de . Construa a tábua de operações do grupo quociente . Exemplo 4 Considerando o grupo e o subgrupo dos inteiros múltiplos de como um subgrupo normal de . Determine o grupo quociente . Já vimos que o conjunto das classes laterais à esquerda de em é: Rotacione a tela.  Assim, o grupo quociente . Exemplo 5 Construa a tabela do grupo quociente , onde . Considere a tábua de operação do grupo diedral . G = {1, i, −1, −i} H = {1, −1} G. G H G H ◃ G H H/G = {H, Hi} H/G = {H, Hi} (Z9, +) H = {0, 3, 6} G G/H Solução  (Z6, +) H = {0, 3} G Z6/H Solução  (Z, +) H = 4Z 4. H Z Z/4Z H = 4Z Z G/H = {H, 1 + H, 2 + H, 3 + H} Z 4Z = {0 + 4Z, 1 + 4Z, 2 + 4Z, 3 + 4Z} D6/H H = {e, a, a2} D6 01/09/2023 19:24 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 54/60 Tabela: Tábua de Cayley. Ana Lucia de Sousa Classes laterais à esquerda de . Determinando as classes laterais à esquerda de , encontramos apenas duas classes distintas. Portanto, . A tábua do grupo quociente será da seguinte forma: e a a2 b ba ba2 e e a a2 b ba ba2 a a a2 e ba2 b ba a2 a2 e a ba ba2 b b b ba ba2 e a a2 ba ba ba2 b a2 e a ba2 ba2 b ba a a2 e H eH = e {e, a, a2} = {e, a, a2} aH = a {e, a, a2} = {a, a2, e} a2H = a2 {e, a, a2} = {a2, e, a} bH = b {e, a, a2} = {b, ba, ba2} (ba)H = ba {e, a, a2} = {ba, ba2, b} (ba2)H = (ba2) {e, a, a2} = {ba2, b, ba} H G/H = {H, bH} eH = e {e, a, a2} = {e, a, a2} = H bH = b {e, a, a2} = {b, ba, ba2} D6/H = {H, bH} ⋅ H bH H H bH 01/09/2023 19:24 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 55/60 Tabela: Tábua de Cayley. Ana Lucia de Sousa Seguem as operações realizadas para construir a tábua do grupo quociente. Proposição sobre o grupo quociente Segue um resultado sobre grupos quocientes sobre grupo abeliano. Proposição Seja G um grupo e H um subgrupo normal de G. Se G é um grupo comutativo, então, o grupo quociente G/H é comutativo. Se G é um grupo cíclico, então, o grupo quociente G/H é cíclico. Vem que eu te explico! Os vídeos a seguir abordam os assuntos mais relevantes do conteúdo que você acabou de estudar. Módulo 3 - Vem que eu te explico! Classes laterais e subgrupos normais ⋅ H bH bH bH H eHeH = (ee)H = H eHbH = (eb)H = bH bHH = bH bHbH = (bb)H = eH = H  01/09/2023 19:24 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 56/60 Módulo 3 - Vem que eu te explico! Teorema de Lagrange Questão 1 Considerando o seu estudo sobre classes laterais e o teorema de Lagrange, julgue as afirmativas a seguir. I - Considere um grupo comutativo e subgrupo de . Podemos afirmar que é um grupo quociente. II - Os subconjuntos é um subgrupo de .  Vamos praticar alguns conceitos? Falta pouco para atingir seus objetivos. (Z6, +) H = {0, 2, 4} (Z6, +) G/H H = {0, 2, 5} G = (Z10, +) 01/09/2023 19:24 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 57/60 III - não é um subgrupo de . É correto o que se afirma em Questão 2 Dado um subgrupo de , onde e , determine as classes laterais à esquerda de . H = {2, 8} G = (Z12, +) A II e III. B II apenas. C I e III. D III apenas. E I apenas. Responder H = [a] G = GL2(R) a = [ ] 0 −2 1/2 0 x = [ ] 1 2 0 3 H A xH = {x, xa} B xH = {x, xa, xa3} 01/09/2023 19:24 Grupos de permutagées, subgrupo normal e grupo quociente tH = {x, za, za” } tH = {xa, xa’, za® } cH = {x, xa, xa”, za*} C id ~ fi e Concluimos o nosso estudo sobre os grupos de permutagées e as simetrias no plano. Esse assunto é vasto e interessante. Vocé pode explorar as simetrias nas artes, nos desenhos de Escher, por exemplo. Os homomorfismos e isomorfismos de grupos serao explorados também no estudo de outra estrutura algébrica, mas ficou clara a importancia deles em preservar as operacoées e as propriedades de cada conjunto. Por fim, conhecemos 0 grupo quociente. Vocé percebeu que, neste breve estudo, surgiram resultados importantes que sustentam a teoria estudada. Alguns resultados foram provados, outros nao. Buscamos conhecer os resultados sem nos preocupar com as demonstracées. https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 58/60 01/09/2023 19:24 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 59/60 Para concluir, ouça a entrevista com o especialista que abordará questões relevantes ao conteúdo estudado. 00:00 09:17 1x Explore + Leia alguns artigos interessantes sobre a álgebra abstrata. Simetria e ornamentos no plano euclidiano: uma abordagem para o ensino fundamental II, de Luiza Vasconcellos Coimbra, Fernanda da Costa Calsavara, Ana Carolina Ferreira Rangel e Wanderley Moura Rezende. Simetrias nas obras de Escher: uma possibilidade de ensino por meio da arte, de Adeline Laudicéia Pinatti e João Henrique Lorin. O problema do isomorfismo para as álgebras de grupos racionais de p-grupos, de Allan Rodrigo Fonseca Teixeira. Assista à palestra Simetria, encontro da arte com a matemática (2020), do IMPA. Referências DOMINGUES, Hygino H.; IEZZI, Gelson. Álgebra moderna. 5. ed. São Paulo: Saraiva, 2018. GARCIA, Arnaldo. Álgebra: um curso de introdução. Rio de Janeiro: IMPA-Projeto Euclides, 2003. GONÇALVES, Adilson. Introdução a álgebra. 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2003. LANG, Serge. Álgebra para Graduação. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2008. MONTEIRO, Luiz Henrique. Elementos de Álgebra. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico Científico, 1971. VIEIRA, Vandenberg Lopes. Álgebra abstrata para licenciatura. Campina Grande: EDUEPB, 2015. 01/09/2023 19:24 Grupos de permutações, subgrupo normal e grupo quociente https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/03636/index.html# 60/60 Material para download Clique no botão abaixo para fazer o download do conteúdo completo em formato PDF. Download material O que você achou do conteúdo? Relatar problema