SEXTOTESTEINDEXAÇÃO pdf

E como \varphi = a + \sen(\theta) \implies \cos\theta = \sqrt{1-(\varphi-a)^2}, Logo, segue que: \int \varphi^2 \sqrt{1-(\varphi-a)^2} \, d\varphi = a^2 \left(\frac{\theta}{2} + \frac{\sen(2\theta)}{4}\right) + 2a \frac{\cos^3(\theta)}{3} + \frac{1}{4} \frac{\theta - \sen(2\theta)}{4} Ou seja: \int \varphi^2 \sqrt{1-(\varphi-a)^2} \, d\varphi = a^2 \left[\frac{\arcsin(\varphi-a)}{2} + \frac{(\varphi-a)\sqrt{1-(\varphi-a)^2}}{2}\right] + + \frac{2a}{3} (1-(\varphi-a)^2)^{3/2} + \frac{1}{4} \left[\frac{\arcsin(\varphi-a)}{2} - \frac{(\varphi-a)\sqrt{1-(\varphi-a)^2}}{2}\right] Logo, segue que aplicando esse resultado para a integral com \varphi = x e a = 1 e o teremos que: \int_{1/2}^{1} x^2 \sqrt{1-(x-1)^2} - x^2 \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{\arcsin(x-1)}{2} + \frac{(x-1)\sqrt{1-(x-1)^2}}{2} + + \frac{2}{3} (1-(x-1)^2)^{3/2} + \frac{1}{4} \left[\frac{\arcsin(x-1)}{2} - \frac{(x-1)\sqrt{1-(x-1)^2}}{2}\right] - \arcsin(x) + x \sqrt{1-x^2} + \overline{3}{2}(1-x^2)^{3/2} +\frac{1}{4} \left[\frac{\arcsin(x)}{2} - x\sqrt{1-x^2}\right]_{1/2}^1 = -\frac{2}{3} + \frac{23\sqrt{3}}{69} + \frac{5\pi}{98} - \frac{1}{192} \left(3\sqrt{3} + 8\pi\right) = \frac{1}{96} \left(6\pi - 64 + 33\sqrt{3}\right) Além disso, a tão função f(z) = tan(z) também é ímpar pois: tan(-z) = sen(-z) / cos(-z) = (-sen(z)) / (cos(-z)) = -sen(z) / cos(z) = -tg(z). Ou seja: tan(-z) = -tg(z) e logo segue que f(z) = tan(z) é uma função ímpar que justifica o resultado: ∫ -√1-x^2-y^2^√1-x^2-y^2 tan(z) dz = 0. Assim, com os dois resultados justificados temos que: ∫∫∫ D x^2024 log^2(y) z + sin^4(xy) tan(z) dV = 0. 1) Como é feito, seja f(z) uma função ímpar, isto é f(-z) = -f(z), então, veja que: ∫ -a^a f(z) dz = ∫ -a^0 f(z) dz + ∫ 0^a f(z) dz. Ademais, como f(z) = -f(z) segue que se φ = -z então obtemos que: φ = -z => d/dz φ = -1 e φ(-a) = -(-a) = a e φ(a) = -a. Logo, veja que a integral adequada de f sobre o intervalo [-a, a] com a ∈ ℝ é ∫ -a^a f(-z) dz = ∫ a^-a f(φ) (-dφ) = -∫ a^-a f(φ) dφ = ∫ -a^a f(φ) dφ. Como φ é uma variável muda na integração segue que podemos trocá-la, por exemplo, por z, que equivale a mudança de variável z = φ. Assim, temos que: ∫ -a^a f(-z) dz = ∫ -a^a f(z) dz => -∫ -a^a f(x) dx = ∫ -a^a f(z) dz. => 2 ∫ -a^a f(z) dz = 0. Portanto, estabelecemos que: ∫ -a^a f(z) dz = 0. 4) A região de integração E é dado por E = {(x,y,z) ∈ R³ | a² < x²+y²+z² ≤ b²} Logo, é conveniente usarmos coordenadas esféricas que nos dão: { x = r cos(θ) sen(φ) y = r sen(θ) sen(φ) z = r cos(φ) Mas aqui temos que os limites de integração devem ser tais que a < r < b , 0 ≤ θ ≤ 2π e 0 ≤ φ ≤ π. Em que a² ≤ n ≤ b delimita a região entre as esferas. De posse disso, segue que: ∭ₑ (x²+y²) dV = ∫ᵇₐ∫²π₀∫π₀ [ (r cos(θ) sen(φ))² + (r sen(θ) sen(φ))² ] r sen(φ) dφ dθ dr = ∫ᵇₐ∫²π₀∫π₀ [ r² cos²(θ) sen²(φ) + r² sen²(θ) sen²(φ) ] r sen(φ) dφ dθ dr = ∫ᵇₐ∫²π₀∫π₀ r⁴ sen³(φ) [ cos²(θ) + sen²(θ) ] dφ dθ dr = ∫ᵇₐ r⁴ dr ∫²π₀ [ cos²(θ) + sen²(θ) ] dθ ∫π₀ sen³(φ) dφ Continuando temos que: ∭ₑ x²+y² dV = ∫ᵇₐ r⁴ dr ∫²π₀ [ cos²(θ) + sen²(θ) ] dθ ∫π₀ sen³(φ) dφ = 2/5 (b⁵-a⁵) π ∫π₀ sen³(φ) dφ. Logo, agora veja que a integral acima é calculada fazendo: ∫π₀ sen³(φ) dφ = ∫π₀ sen(φ) [ sen²(φ) ] dφ = ∫π₀ sen(φ) [ 1-cos²(φ) ] dφ = ∫π₀ sen(φ) dφ - ∫π₀ cos²(φ) sen(φ) dφ = -cos(φ) |_₀π - [ -cos³(φ)/3 ] |_₀π = -(-1 -1) + (-1 -1/3) = 2 - 2/3 = 4/3 Em que usamos a mudança φ = cos(ψ) para avaliamos: ∫π₀ cos²(φ) sen(φ) dφ Pois φ = cos(ψ) => dφ/dψ = -sen(ψ) => dψ = -dφ/sen(ψ) Daí temos: ∫π₀ cos²(φ) sen(φ) dφ = ∫ₖ₁ = 0 = -∫₋₁¹ φ² dφ = -φ³/3 |_₋₁¹ = -1/3 [-1 -1] = 2/3 Que justifica o resultado: ∫π₀ cos²(φ) sen(φ) dφ = 2/3. Portanto, temos que: ∭ₑ x²+y² dV = 2/5 (b⁵-a⁵) π ∫π₀ sen³(φ) dφ = 2/5 (b⁵-a⁵) π · 4/3 = 8/15 (b⁵-a⁵) π Ou seja: ∭ₑ x²+y² dV = 8π/15 (b⁵-a⁵) que é o desejado. 5) Usemos coordenadas esféricas, que nos dão o seguinte: \begin{cases} x = r \cos(\theta) \sen(\phi) \\ y = r \sen(\theta) \sen(\phi) \\ z = r \cos(\phi) \end{cases} \quad (1) De fato, veja que a região de integração é 0 \leq y \leq 2 , \; -\sqrt{4-y^2} \leq x \leq \sqrt{9-y^2} \; \text{e} \; -\sqrt{4-x^2-y^2} \leq z \leq \sqrt{9-x^2-y^2} Ou seja, a região de integração é a esfera de raio 4 centrada na origem. Com efeito: -\sqrt{4-x^2-y^2} \leq z \leq \sqrt{9-x^2-y^2} \Rightarrow |z|^2 = z^2 \leq 4-x^2-y^2 \Rightarrow x^2+y^2+z^2 \leq 4 = 2^2 Assim, a mudança de variável é dada por 1 com 0 \leq r \leq 2 , \; 0 \leq \theta \leq 2 \pi \; \text{e} \; 0 \leq \phi \leq \pi Logo, com isso e segue ainda que: x^2+y^2+z^2 = r^2 \cos^2(\theta) \sen^2(\phi) + r^2 \sen^2(\theta) \sen^2(\phi) + r^2 \cos^2(\phi) = r^2 \quad (2) e o elemento de diferenciação é tq dxdydz = r^2 \sen(\phi) drd\theta d\phi \quad (3) Então, usando (1), (2) e (3) obtemos que: I = \int_{0}^{2} \int_{\sqrt{4-y^2}}^{\sqrt{4-y^2}} \int_{\sqrt{4-x^2-y^2}}^{\sqrt{9-x^2-y^2}} \sqrt{\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} + \frac{z^2}{2}} dxdydz = \int_{0}^{2} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{\frac{1}{2} (x^2+y^2+z^2)} \; r^2 \sen(\phi) d\theta d\phi dr = \int_{0}^{2} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{\frac{1}{2}} \; r^2 \sen(\phi) d\theta d\phi dr = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_{0}^{\pi} \sen(\phi)d\phi \cdot \int_{0}^{2} r^3dr \cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta = \frac{1}{\sqrt{2}} [E - \cos(E \phi)]_{0}^{\pi} \cdot \frac{r^4}{4}\Big|_{0}^{2} \cdot \Theta \Big|_{0}^{2\pi} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2^4}{4} \cdot 2\pi = \frac{16}{\sqrt{2}} \pi = 8 \sqrt{2} \pi \therefore \int_{0}^{2} \int_{-\sqrt{4-y^2}}^{\sqrt{4-y^2}} \int_{-\sqrt{4-x^2-y^2}}^{\sqrt{9-x^2-y^2}} \sqrt{\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} + \frac{z^2}{2}} dxdydz = 8 \sqrt{2} \pi. 2. Façamos a seguinte mudança de variável: {X=r\cos(θ) {Z=r\sen(θ) Em que x²+z² = r²cos²(θ) + r²sen²(θ) = r²(cos²(θ) + sen²(θ)) = r² Ou seja, para o cilindro: X²+Z²=1 temos que: 1⩾x²+y⩾r² -> 0⩽r²⩽1. ·ᵒ O⩽r⩽1. e para o cilindro com o um todo segue ainda que o⩽θ ⩽2π. Logo, isso define que o⩽r⩽1 e 0⩽θ⩽2π. Agora, perceba que o y é tal que: x²+z²⩽y⩽9-x²-z² = 9-(x²+z²) Como z²=r² logo ficamos com x²+z²⩽y⩽9-(x²+z²) => r² ⩽ y ⩽ 9-r² De posse disso e sabendo que dxdy=rdθdz temos que: m = ∭ p(x²+z²) dV = ∫₀¹ ∫₀²π ∫√r² 𝓚√r². ᵒr drdθdz = ∫²π 𝓚𝓇 dy dz ∫₀ dθ Continuando temos: m = ∫₀²π ∫₀¹ ∫𝑟² 𝓚r² dy dr = θ|₀²π ∫₀¹ 𝓚 r² y|√𝑟² dr = (2π-0) ∫₀¹ 𝓚 r² [q-r²-r²] dr = 2π ∫₀¹ 𝓚 [9r²-2r⁴] dr = 2π𝓚∫₀¹ 9r²-2πr⁴ dr = 2π𝓚 [9r³/3 - 2r⁵/5]₀¹ = 2π𝓚 [9/3 - 2/5] = 2π𝓚 [45-6/15] = 2π·39/15 Portanto, a massa m será: m = (26𝓚π)/5 m = \frac{26𝓚π}{5}. 3) Seja o conjunto: B = {(x,y)∈R² : 1⩽x²+y²⩽2x, y⩾0}∩{(x,y)∈R² : x⩽1} Veja que: x²+y²⩽2x => x²-2x+1+y²⩽0 => (x²-2x+1)+y²-1⩽0 => (x-1)²+y²⩽1. Logo, x²+y²⩽2x => (x-1)²+y²⩽1. Vamos esboçar os conjuntos. Com efeito, seja B₁≡ {(x,y)∈R² : 1⩽x²+y²⩽2x, y⩾0} e B₂≡ {(x,y)∈R² : x⩽1} Então, veja que os esboços são: (Gráfico: círculo com regiões B, B₁, B₂) -x (x-1)² + y² = 1 x² + y² = 1 y 1 1 -1 B B₁ 1 Digitalizado com CamScanner Perceba que o ponto P é o ponto de interseção das curvas x²+y²=1 e (x-1)²+y²=1. Com efeito, esse ponto é obtido fazendo: x²+y²=1 = (x-1)²+y² => (x-1)² = x² => x² - 2x + 1 = x² => -2x + 1 = 0 => x = 1/2. Logo, o ponto P é obtido em x = 1/2, ou seja: x = 1/2 => y² = 1 - x² = [1 - (1/2)²] = 1 - 1/4 = 3/4. ∴ y = √3/2, pois caso contrário y seria negativo que é um absurdo por hipótese. Logo, perceba que a região de integração, em coordenadas esféricas cartesianas deve ser a parte compreendida entre 1/2 e 1 no eixo x e limitada em y por √1-(x-1)² e inferiormente em y por √1-x². Deposto disso, podemos escrever a região de integração como sendo o conjunto D tal que: D = {(x,y)∈ R² | 1/2 ≤ x ≤ 1 e √1-x² < y ≤ √1-(x-1)²} Logo, o volume pedido é: V = ∫∫_D z(x,y) dA = ∫₁ʰ₂ ∫√1-(x-1)²█√1-x² x²/2 + y²/2 dy dx = 1/2 ∫¼₁ x²y + y³/3|√1-(x-1)²█√1-x² dx = 1/2 ∫½¹ x² [√1-(x-1)² - √1-x²] + 1/3 [(1-(x-1)²)³/²-(1-x²)³/²] dx Em suma, nosso problema passa a ser resolver duas integrais que são: ∫ ϕ²√1-(ϕ-a)² dϕ (3.1) ∫ √1-(ϕ-a)²³/² dϕ (3.2) Resolvem nos (3.1). Quem é: ∫ ϕ² √1 - (ϕ-a)² dϕ façamos a mudança de variável: ϕ = a + sen(θ) que nos dá que: dϕ = cos(θ) dθ. Logo, temos que: ∫ ϕ² √1 - (ϕ-a)² dϕ = ∫ (a + sen(θ))² √1 - sen²(θ) · cos(θ) dθ = ∫ (a + sen(θ))² · cos(θ) · cos(θ) dθ = ∫ (a² + 2a sen(θ) + sen²(θ)) cos²(θ) dθ = ∫ a²cos²(θ) + 2a cosen(θ)cos²(θ) + sen²(θ)cos²(θ) dθ = a²∫cos²(θ)dθ + 2a∫sen(θ)cos²(θ)dθ + ∫sen²(θ)cos²(θ)dθ = a²∫cos²(θ)dθ + 2a∫sen(θ)cos²(θ)dθ + ∫ 1/4 sen²(2θ) dθ = a²∫ 1/2 + 1/2 cos(2θ) dθ + 2a∫cos³(θ)/3 + 1/4∫[1/2 - 1/2 cos(2θ)]dθ = a²(θ/2 + sen(2θ)/4) + 2a(cos³(θ)/3) + 1/4(θ/2 - sen(2θ)/4) Para a=0 segue que: ∫(1/2)^1 (1-x^2)^(3/2) dx = [(√(1-x^2))^3(x)]/4 + [3x√(1-x^2)]/8 + (arcsin(x))/2 |(1/2)^1 = (8π - 12√3 + 3√3)/64 = (8π - 9√3)/64 Logo: ∫(1/2)^1 [(1-(x-1)^2)^(3/2) - (1-x^2)^(3/2)] dx = (3√3)/16 - (3√3-9π)/64 - (8π - 12√3 + 3√3)/64 = (3√3)/16 + (6√3 + 4π)/64 = (18√3 + 9π)/64 = (9√3 + 2π)/32 Assim, segue que: V = (1/2)[∫(1/2)^1 x^2[√(1-(x-1)^2) - √(1-x^2)] dx + (1/6)∫(1/2)^1 {(1-(x-1)^2)^(3/2) - (1-x^2)^(3/2)}dx = (6π - 64 + 33√3)/192 + (9√3 + 2π)/108 E o volume V é: V = (6π - 64 + 33√3)/192 + (9√3 + 2π)/108.