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Solução: Vamos calcular a solução dada pelo MDF. Pela figura, temos: μ(x,0) = 0, μ(0,y) = 10, μ(x,1) = 0, μ(1,y) = 100. EDP 1) ∂²μ(x,y)/∂x² + ∂²μ(x,y)/∂y² = 0 Número de nós: 9+8=17 T=0 h=1 T=10 L=2 T=0 T=100 (i) Comparar a solução por MDF com a solução analítica: (i) Comparar a solução por MDF com a solução analítica: μ(x,y) = ∑ [from i=1 to m] Cm sinh(mπx/2) senh(mπy/2) Cm = 8sen(mπ/2)/[m²π²senh(3mπ/2)] (ii) Calcular o erro entre essas soluções. (iii) Plotar o valor da temperatura para os pontos centrais. Obs: T_{0,3} = T_{0,4} = T_{0,5} = T_{0,6} = 0. Seja T_{m,n} := T(X_m,Y_m), m \in \{0,1,2\}, m \in \{0,1,2,3,4,5,6\}. Vamos interpor com polinômio P(x,y) de modo que: \frac{\partial T}{\partial x} \bigg|_{r,n} = \frac{\partial P}{\partial x} \bigg|_{m,n} = \frac{T_{n+1,m} - T_{n-1,m}}{2\Delta} \frac{\partial T}{\partial x} \bigg|_{m,n} = \frac{\partial P}{\partial y} \bigg|_{m,n} = \frac{T_{m,m+1} - T_{m,m-1}}{2\Delta} \Rightarrow \left( \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} \right)_{m,m} = \Rightarrow \left( \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} \right)_{m,m} = = \frac{1}{\Delta^2} \left(T_{m+1,m} + T_{m-1,m} + T_{m,m+1} + T_{m,m-1} - 4T_{m,m}\right) As condições contorno implicam que: T_{n,0} = T(x_n,0) = \mu\left(x_n,0\right) = 0, \ m = 0,1,2,...,N T_{0,m} = T(0,y_m) = \mu(0,y_m) = 10, \ m = 0,1,2,...,M T_{n,m} = T(1,y_m) = \mu(1,y_m) = 100, \ m = 0,1,2,...,M T_{m,m} = T(x_m,1) = \mu(x_m,1) = 0, \ m = 0,1,2,...,N Agora, vamos calcular o operador nos nós que desconhecemos a Temperatura: T_{n,1} = T(x_n,Y_1), m = 1,2,...,5. \frac{1}{\Delta^2} \left(T_{m+1,m} + T_{m-1,m} + T_{m,m+1} + T_{m,m-1} - 4T_{m,n} \right) = 0 \frac{1}{\Delta^2} \left(T_{2,1} + \cancel{T_{0,1}} + T_{1,0} + \cancel{T_{1,0}} - 4T_{1,1} \right) = 0 \Rightarrow \frac{1}{\Delta^2} \left(-4T_{1,1} + T_{2,1} + 10 \right) = 0 \frac{1}{\Delta^2} \left(T_{1,2} + T_{1,2} + \cancel{T_{2,0}} + T_{1,0} - 4T_{1,1} \right) = 0 \Rightarrow \frac{1}{\Delta^2} \left(T_{1,1} - 4T_{2,1} + T_{3,1} \right) = 0 (1/Δ^2)(T_{m+1,n} + T_{m,n+1} + T_{m-1,n} + T_{m,n-1} - 4T_{m,n}) = 0 ⇒ 1/Δ^2 (T_{4,1} + T_{2,1} + T_{1,2} + T_{1,0} - 4T_{1,1}) = 0 ⇒ 1/Δ^2 (T_{2,1} - 4T_{1,2} + T_{1,0}) = 0 ⇒ 1/Δ^2 (T_{5,1} + T_{3,2} + T_{1,2} + T_{1,0} - 4T_{1,3}) = 0 ⇒ 1/Δ^2 (T_{3,1} - 4T_{4,1} + T_{5,1}) = 0 ⇒ 1/Δ^2 (T_{4,1} + T_{4,2} + T_{5,2} + T_{1,0} - 4T_{5,1}) = 0 ⇒ 1/Δ^2 (T_{1,4} - 4T_{5,1} + 100) = 0 Resolvendo esse sistema linear de 5 incógnitas e 5 equações, encontramos: T_{1,1} ≈ 2,8° T_{2,1} ≈ 1,23° T_{3,1} ≈ 2,11° T_{4,1} = 7,23° T_{5,1} = 26,8 { -4 \cdot x_1 + x_2 = -10 x_1 - 4 \cdot x_2 + x_3 = 0 x_2 - 4 \cdot x_3 + x_4 = 0 x_3 - 4 \cdot x_4 + x_5 = 0 x_4 - 4 \cdot x_5 = -100 Δ = || -4 1 0 0 0 1 -4 1 0 0 0 1 -4 1 0 0 0 1 -4 1 0 0 0 1 -4 || = -780 Δ_1 = || -10 1 0 0 0 0 -4 1 0 0 0 1 -4 1 0 0 0 1 -4 1 -100 0 0 1 -4 || = -2190; Δ_2 = || -4 -10 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 -4 1 0 0 0 1 -4 1 0 -100 0 1 -4 || = -960; Isso completa a solução pelo MDF. Agora vamos obter a solução analítica. Temos: 17 u(x,y) = | Cm senh( (mπx/2)) senh( (mπy/2)) m=1 Cm = 8 sen( (m*(π/2) m^2 * π^2 senh( (3 * π/2) => T1,2 = 2,1 T2,1 = 4,25 T3,1 = 1,79 T4,1 = 6,8 T5,1 = 24,2 | -4 1 -10 0 0 0 | Δ3 = | 1 -4 1 0 0 0 | = -1650; | 0 1 0 1 0 0 | | 0 0 -4 1 0 | | 0 0 -100 1 -4 | ≡ | -4 1 0 -10 0 | Δ4 = | 1 -4 1 0 0 | | 0 1 -4 0 0 | = -5640; | 0 0 1 0 1 | | 0 0 0 -100 -4 | ≡ | -4 1 0 0 -10 | Δ5 = | 1 -4 1 0 0 | | 0 1 -4 1 0 | = -20910; | 0 0 1 -4 0 | | 0 0 0 1 -100 | ≡ x1 = Δ1/Δ = -2190/ -780 = 73/26 x2 = Δ2/Δ = -960 / -780 = 16/13 x3 = Δ3/Δ = -1650 / -780 = 55 / 26 x4 = Δ4/Δ = -5640 / -780 = 94 / 13 x1 = Δ1/Δ = -2190/ -780 = 73/26 x2 = Δ2/Δ = -960 / -780 = 16/13 x3 = Δ3/Δ = -1650 / -780 = 55 / 26 x4 = Δ4/Δ = -5640 / -780 = 94 / 13 x5 = Δ5/Δ = -20910 / -780 = 697 / 26 Answer: x1 = 73/26 x2 = 16/13 x3 = 55 / 26 x4 = 94/13 x5 = 697/26 Percebemos uma concordância razoável entre os soluções do MDF e analítica. Os erros são dados por ε_{m,1} := | T_{m,1} - \overline{T}_{m,1} |, m = 1,2,...,5 Os valores foram plotados na malha acima.